Clase08 temas 3.3 y 3.4

Concreto Armado I
• Contenido:
• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión
• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes
• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte
• 3.3 Resistencia a torsión
• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión
Prof. Ing. José Grimán Morales 1

RESISTENCIA A TORSIÓN
• INTRODUCCIÓN.
• Los elementos de concreto armado pueden estar
sometidos a pares de torsión, casi siempre
acompañados por momentos flectores, por cortantes
y algunas veces por fuerzas axiales.
• Hace algunos años se consideraba la torsión como
un efecto secundario que no se tenía en cuenta en
forma explícita en el diseño. Ahora en muchos casos
es necesario considerar los efectos de la torsión en el
diseño, debido a que los factores de seguridad
globales de los métodos actuales son menores y a
que se ha incrementado el uso de elementos en los
cuales la torsión es un aspecto principal del
comportamiento.

Figura 15.1. Tesis de Hormigón armado. Marcelo Romo Proaño

Figura 15.2. Tesis de Hormigón armado. Marcelo Romo Proaño

• TORSIÓN PRIMARIA Y TORSIÓN SECUNDARIA.
• La torsión primaria, algunas veces llamada torsión de
equilibrio o torsión estáticamente determinada, se
presenta cuando la carga externa no tiene otra alternativa
que ser resistida por torsión. En estos casos, la torsión
necesaria para mantener el equilibrio estático puede
determinarse en forma única.
• Un ejemplo es la losa en voladizo de la figura 15.3. Las
cargas aplicadas en la superficie de la losa producen
unos momentos de torsión que actúan a lo largo de la
longitud de la viga de soporte. Éstos se equilibran
mediante el momento torsor resistente T que se genera
en las columnas. Sin estos momentos de torsión, la
estructura colapsaría.

Figura 15.3. Torsión primaria. Tomado de Arthur H. Nilson

• La torsión secundaria también llamada torsión por
compatibilidad o torsión estáticamente indeterminada,
se genera a partir de los requisitos de continuidad, es
decir, de la compatibilidad de deformaciones entre
partes adyacentes de una estructura. En este caso, los
momentos de torsión no pueden determinarse
únicamente con base en el equilibrio estático.
• Si no se considera la continuidad en el diseño se
presentará probablemente un gran agrietamiento, pero
por lo general no se producirá colapso. Generalmente
existe la posibilidad de una redistribución interna de
fuerzas y de un equilibrio alterno de fuerzas. Un
ejemplo de torsión secundaria se presenta en la viga de
borde que sostiene una losa monolítica de concreto
como aparece en la figura 15.4b.

Figura 15.4. Torsión secundaria. Tomado de Arthur H. Nilson

• Si la viga de borde es rígida a la torsión y está
reforzada adecuadamente, y si las columnas pueden
suministrar el momento torsor resistente T que se
necesita, entonces los momentos en la losa serán
aproximadamente los de un apoyo exterior rígido,
como se ilustra en la figura 15.4c.
• En cambio, si la viga tiene una rigidez baja a la torsión
y está reforzada en forma inapropiada para efectos de
torsión, se presentará agrietamiento, que reducirá aún
más la rigidez de torsión, y los momentos en la losa se
aproximarán a los de un borde articulado, como se
ilustra en la figura 15.4d.

• TORSIÓN EN ELEMENTOS DE CONCRETO
SIMPLE
• En la figura 15.5 se muestra una porción de un
elemento prismático sometido a momentos torsores T
iguales y opuestos en sus extremos.
• Si el material es elástico, la teoría de torsión de St.
Venant indica que los esfuerzos cortantes por torsión
se distribuyen sobre la sección transversal, como se
muestra en la figura 15.5b. Los mayores esfuerzos
cortantes se presentan en la mitad de las caras más
anchas.
• Si el material se deforma inelásticamente, tal como se
espera para el concreto, la distribución de esfuerzos se
aproxima a la indicada por líneas punteadas.

Figura 15.5. Esfuerzos causados por la torsión. Tomado de Arthur H. Nilson

• Los esfuerzos de corte resultantes, indicados con τ en
la figura, actúan siempre en pares sobre las caras o
planos mutuamente perpendiculares de elementos
diferenciales.
• Como se sabe, este estado es equivalente a un estado
de esfuerzos de tensión, en la figura σ= τ y
compresión, σ= - τ , actuando en las caras de un
elemento rotado a un ángulo de 45° con respecto a la
dirección del cortante.
• Las tensiones inclinadas son similares a las inducidas
por fuerzas de corte transversal, pero en el caso de
torsión, puesto que las tensiones tienen signos
opuestos en las dos caras opuestas, ver Fig. 15.5a, los
esfuerzos de tensión diagonal resultan
perpendiculares entre sí, en una cara a 45° y en la
opuesta a 135°, es decir son hélices que se cruzan a lo
largo de la barra, como muestra la Fig.15.6(a).

Figura 15.6. Trayectorias de las tensiones principales para torsión pura.
Tomado de CARLOS RICARDO LLOPIZ

• TORSOR CRÍTICO O DE AGRIETAMIENTO EN
SECCIONES RECTANGULARES DE CONCRETO.
• Cuando los esfuerzos de tensión diagonal exceden la
resistencia a la tensión del concreto, se forma una
grieta en algún sitio accidentalmente más débil y ésta
se propaga inmediatamente a través de la viga. El valor
del momento torsor que corresponde a la formación de
esta grieta diagonal se conoce como el torque de
agrietamiento Tcr .
• Tal como lo sugiere la distribución de tensiones de Fig.
15.5b, para los efectos del diseño una buena
aproximación es la de idealizar que en una sección
maciza la torsión sólo es resistida por una sección o
tubo de pared delgada, ignorando la parte central.

• Cinco razones fundamentales soportan esta
idealización:
• (i) Las tensiones en la parte central son muy pequeñas.
• (ii) Los brazos de palanca de las resultantes de las
tensiones en el centro son también menores.
• (iii) Por las dos razones anteriores, la contribución al
momento torsor de la parte central es doblemente
menor que en las partes externas.
• (iv) En la parte externa la tendencia a entrar en campo
no lineal del material hace que en ese tubo idealizado
de pared delgada la tensión tienda a ser uniforme, y se
acrecientan entonces las diferencias con las tensiones
internas cada vez más relativamente menores.
• (v) Los resultados experimentales avalan la
modelación propuesta.

• En definitiva entonces, en la viga de sección maciza se
puede considerar que los esfuerzos de corte por
torsión son constantes a través de un espesor finito t
alrededor de la periferia del elemento, permitiendo
representar a la viga como un tubo equivalente como
muestra la Fig.15.7.
• Dentro de las paredes del tubo la torsión es resistida
por el flujo de corte q (fuerza por unidad de longitud),
cuya trayectoria, como lo muestra la Fig.15.8, se
representa por una línea en la mitad del espesor
idealizado t. En la analogía dicho flujo, q= t.τ , se
considera constante en el perímetro (la tensión y el
espesor son constantes).

Figura 15.7. Tubo de pared delgada equivalente bajo torsión.
Tomado de Arthur H. Nilson

Figura 15.8. Tomado de CARLOS RICARDO LLOPIZ

• Considerando el equilibrio del momento torsor
externo T y las tensiones internas:
• 𝑻 = 𝟐 ∙ 𝒒 ∙ 𝑨 𝟎 𝒚 𝒒 =
𝑻
𝟐∙𝑨 𝟎
• Para un espesor de pared de tubo t, el esfuerzo
unitario que actúa dentro de las paredes del tubo es:
• 𝝉 =
𝒒
𝒕
=
𝑻
𝟐∙𝑨 𝟎∙𝒕
• de donde:
• T = torsor aplicado
• t = espesor de la pared del tubo
• q = flujo de cortante debido a la torsión, considerada
uniforme, que actúa en el espesor de la pared
• A0 = área encerrada por la trayectoria del flujo de
cortante constante

Figura 15.9. Tomado de Perdomo y Yépez
A0 = área encerrada por la trayectoria del flujo de
cortante constante
ACP = área de la sección gruesa de concreto
pCP = perímetro de la sección gruesa de concreto

• El esfuerzo principal a tensión es σ = τ. De esta
manera, el concreto se agrieta sólo cuando τ = σ = f’t , la
resistencia a la tensión del concreto. Considerando que
el concreto está sometido a tensión y compresión
biaxial, f’t puede representarse conservadoramente
mediante 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′
𝒄
, para concretos de densidad
normal.
• 𝝉 = 𝝉 𝒄𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′ 𝒄
• Despejando T , se obtiene el valor del momento torsor
de agrietamiento
• 𝑻 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙ 𝟐 ∙ 𝑨 𝟎 ∙ 𝒕 (15.1)
• Con 𝑨 𝟎 =
𝟐
𝟑
𝑨 𝒄𝒑 𝒚 𝒕 =
𝟑
𝟒
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝑷 𝒄𝒑
• 𝑻 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
(15.2)

• TORSIÓN EN ELEMENTOS DE CONCRETO
ARMADO.
• Para resistir torsión se utiliza una combinación de
estribos poco separados y barras longitudinales. Esto
implica que, de ser aplicable, se deben adicionar
refuerzos de acero a los necesarios para corte y flexión
(esfuerzos con los que normalmente coexiste la
torsión).
• Cuando los elementos se refuerzan en forma adecuada,
como en la figura 15.10a, las fisuras en el concreto
aparecen para un momento torsor igual o un poco
mayor que el de un elemento no reforzado, según la
ecuación (15.2).

Figura 15.10. Viga de concreto armado bajo torsión.
(a) Refuerzo de torsión, (b) grietas de torsión. Tomado de Arthur H. Nilson

• Las grietas forman un patrón en espiral, como aparece
en la figura 15.10b. Después del agrietamiento, la
resistencia a la torsión del concreto disminuye hasta
casi la mitad de la resistencia del elemento no fisurado
y el resto de la torsión la resiste ahora el refuerzo.
• Esta redistribución en la resistencia interna se refleja
claramente en la curva de momento torsor versus
ángulo de torsión (ver la figura 15.11), que al nivel del
momento torsor de agrietamiento genera rotación
continua para momento torsor constante, hasta que las
fuerzas se redistribuyen del concreto hacia el acero.
Cuando la sección se aproxima a la resistencia última,
el concreto de recubrimiento del acero se fisura y
empieza a desprenderse, contribuyendo cada vez
menos a la capacidad de torsión del elemento.

Figura 15.11. Tomado de Guillermo Santana

TORSOR RESISTENTE O NOMINAL DE SECCIONES RECTANGULARES
DE CONCRETO ARMADO
• En la figura 16.1, la resistencia de torsión
correspondiente a un elemento con una sección
transversal rectangular puede representarse como la
suma de las contribuciones de los cortantes en cada
una de las cuatro paredes del tubo hueco equivalente.
La contribución a la resistencia de torsión del cortante
que actúa en la pared vertical derecha del tubo es, por
ejemplo, igual a:
• 𝑻 𝟒 =
𝑽 𝟒∙𝒙 𝟎
𝟐
(16.1)

• Siguiendo un procedimiento similar al utilizado
para analizar el modelo de armadura de corte con
ángulo variable, el equilibrio de una sección de
pared vertical, con un borde paralelo a una grieta
de torsión con ángulo θ, puede evaluarse
utilizando la figura 16.2a, suponiendo que los
estribos que atraviesan la grieta están en fluencia,
el cortante en la pared considerada es:
• 𝑽 𝟒 = 𝑨 𝒕 ∙ 𝒇 𝒚𝒗 ∙ 𝒏 (16.2)
• Donde: At = área de una rama del estribo cerrado.
• fyv = resistencia de la fluencia del refuerzo
transversal.
• n = número de estribos interceptados en la grieta de
torsión.

• Puesto que la proyección horizontal de la grieta es:
𝒚 𝟎 ∙ 𝐜𝐨𝐭 𝜽 y 𝒏 =
𝒚 𝟎∙𝐜𝐨𝐭 𝜽
𝒔
, donde θ es el ángulo de
inclinación del puntal y s es el espaciamiento de los
estribos (ver figura 16.2a) ,
• 𝑽 𝟒 =
𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗∙𝒚 𝟎
𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽 (16.3)

• Combinando las ecuaciones 16.1 y 16.3 se obtiene:
• 𝑻 𝟒 =
𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗∙𝒚 𝟎∙𝒙 𝟎
𝟐𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽
• Puede demostrarse que se obtienen expresiones
idénticas para cada una de las paredes horizontales y
verticales. Así, sumando la contribución de todos los
lados, la capacidad nominal de la sección es:
• 𝑻 𝒏 = 𝑻𝒊 =𝟒
𝒊=𝟏
𝟐∙𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗∙𝒚 𝟎∙𝒙 𝟎
𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽
• Observando que 𝒚 𝟎 ∙ 𝒙 𝟎 = 𝑨 𝒐𝒉 , y reordenando
ligeramente, se obtiene:
• 𝑻 𝒏 =
𝟐∙𝑨 𝒐𝒉∙𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗
𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽 (16.4)

CONTRIBUCIÓN DEL REFUERZO LONGITUDINAL EN LA
• Los puntuales diagonales a compresión que se forman
paralelamente a las grietas de torsión son necesarios,
para el equilibrio de la sección transversal. Como se
muestra en las figuras 16.2b y 16.2c, la componente
horizontal de la compresión en los puntuales en las
paredes verticales debe equilibrarse con una fuerza de
tensión axial ∆𝑵 𝟒.
• Con base en la distribución uniforme supuesta del
flujo de corte alrededor del perímetro del elemento,
los esfuerzos diagonales en los puntales deben ser
uniformemente distribuidos, obteniéndose una línea
de acción de la fuerza resultante que coincide con la
altura media de la pared.

• Con referencia a la figura 16.2c, la contribución total de
la pared vertical derecha al cambio de fuerza axial del
elemento debida a la presencia de la torsión es:
• ∆𝑵 𝟒= 𝑽 𝟒 ∙ 𝒄𝒐𝒕 𝜽 =
𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗∙𝒚 𝟎
𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽
• De nuevo, totalizando para todos los lados, el
incremento axial para el elemento es:
• ∆𝑵 = ∆𝑵𝒊=𝟒
𝒊=𝟏
𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗
𝒔
∙ 𝟐 ∙ 𝒙 𝟎 + 𝒚 𝟎 ∙ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝜽
• ∆𝑵 =
𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗∙𝒑 𝒉
𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝜽
• Donde ph es el perímetro de la línea central de los
estribos cerrados.

• Debe proporcionarse refuerzo longitudinal para
soportar esta fuerza axial adicional ∆𝑵 . Si se diseña el
acero para que fluya, entonces:
• 𝑨𝒍 ∙ 𝒇 𝒚𝒍 =
𝑨 𝒕∙𝒇 𝒚𝒗∙𝒑 𝒉
𝒔
∙ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽
• de donde: 𝑨𝒍 =
𝑨 𝒕
𝒔
∙ 𝒑 𝒉 ∙
𝒇 𝒚𝒗
𝒇 𝒚𝒍
𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽 (16.5)
• Donde Al = es el área del refuerzo longitudinal
para resistir la torsión.
• fyl = resistencia a la fluencia del refuerzo longitudinal
por torsión.

• Se ha encontrado experimentalmente que después del
agrietamiento el área efectiva encerrada por la línea
del flujo de corte es algo menor que el valor de Aoh
utilizado en el desarrollo anterior. Se recomienda
tomar un valor reducido igual 𝑨 𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝑨 𝒐𝒉, donde
Aoh es el área encerrada por la línea central del
refuerzo transversal.
• Se ha encontrado además de la evidencia experimental
que el espesor del tubo equivalente para cargas
cercanas a la última puede aproximarse
convenientemente por 𝒕 = 𝑨 𝒐𝒉 𝒑 𝒉 , donde ph es el
perímetro de Aoh.

Concreto Armado I
• Contenido:
• Tema 3: Miembros sometidos a corte y torsión
• 3.1 Resistencia a las fuerzas cortantes
• 3.2 Diseño del acero de refuerzo por corte
• 3.3 Resistencia a torsión
• 3.4 Diseño del acero de refuerzo por torsión

ESPECIFICACIONES NORMATIVAS PARA DISEÑO DE SECCIONES
SOMETIDAS A TORSION (Covenin 1753-2006)
• Los efectos de torsión podrán omitirse cuando el
momento torsor mayorado sobre 𝜙, (Tu / 𝜙) o
resistencia nominal a torsión, sea menor o igual a la
cuarta parte de resistencia torsional crítica, Tcr,
definida por las siguientes fórmulas:
• 𝑻 𝒄𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟔 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
(15.2)
• Umbral de torsión: 𝑻 𝒖𝒎𝒃𝒓𝒂𝒍 =
𝑻 𝒄𝒓
𝟒
= 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
• Si 𝑻 𝒖 ≤ 𝜙 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
(16.6) se pueden
despreciar los efectos de la torsión.

• o cuando se consideran fuerzas axiales, de compresión
o tracción:
• 𝑻 𝒖 ≤ 𝜙 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 ∙ 𝒇′
𝒄
∙
𝑨 𝒄𝒑
𝟐
𝑷 𝒄𝒑
𝟏 +
𝑵 𝒖
𝟏,𝟎𝟔∙ 𝒇′ 𝒄∙𝑨 𝒈
(16.7)
• Cuando se apliquen las fórmulas 16.6 y 16.7 a las
secciones huecas se usará Ag en lugar de Acp.
• En vigas confinadas por losas que hayan sido vaciadas
en forma monolítica, se podrá considerar la
contribución de la losa a la rigidez torsional en el
cálculo de Acp.

Clase08 temas 3.3 y 3.4

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