M.Sc. Joselo Soriano
Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números en
filas y columnas
Forma General de una Matriz:
Una matriz [A...
De manera general: A(mxn)
Ej.: Sea la matriz:
Clases de Matrices:
1) Matriz Cuadrada: Es cuando el número de filas es
igual al número de columnas.
Ej.:
2. Matriz Columna:
Es cuando tiene una columna (n = 1)
Ej.:
3. Matriz Fila:
Es cuando tiene una fila o renglón (m = 1)
Ej.:
4. Matriz Rectangular:
Es cuando el número de filas es diferente al número de
columnas.
Ej.:
Igualdad de Matrices
Dos matrices son iguales si y solo si cada elemento de
una de ellas es igual al elemento correspondie...
Ej. de igualdad de matrices:
Otro tipo de matrices:
Matriz Diagonal:
Es una matriz cuadrada que tiene la característica de que
los elementos que están ...
Matriz Identidad:
Es la matriz diagonal donde todos los elementos de la
diagonal principal son iguales a 1, se lo represen...
Matriz Transpuesta:
Es la matriz que se obtiene intercambiando las filas por
las columnas o viceversa de una matriz dada. ...
Ej.:
Dada la siguiente matriz determinar su transpuesta:
Matriz Nula:
Es la matriz en la cual todos sus elementos son ceros. Se
lo simboliza con la letra griega
Ej.:
Operaciones con matrices:
1. Suma y Diferencia de Matrices:
Para sumar o restar dos o más matrices,
primeramente deben ser...
Propiedades de la suma de matrices:
a) Propiedad conmutativa: El orden de las matrices
en la suma no altera el resultado, ...
c) Propiedad modulativa: Toda matriz sumada a la
matriz nula da como resultado la misma matriz, así:
Sean A una matriz cua...
e) La transpuesta de la suma o resta de matrices: Es
igual a la suma o resta de las transpuestas de las
matrices dadas, as...
2. El producto de un escalar por una matriz:
Es igual al producto del escalar por todos los elementos
de la matriz dada, e...
3. El producto de dos matrices:
Supóngase que A es una matriz de orden mxp, y que B es
una matriz de orden pxn. Entonces e...
Propiedades del producto de matrices:
 Propiedad Asociativa:
A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C
 Propiedad Distributi...
Nota:
El producto matricial A x A se puede escribir: A2
Ejercicios de Aplicación:
Ponga mucha atención a los ejercicios qu...
Determinantes
Definición: Si la matriz es cuadrada, se le puede asignar
un número al que se le llama determinante de una
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Determinante de 2do Orden:
Es de la forma:
Determinante de 3er orden:
Es de la forma:
Formas de evaluar un determinante de 3er
orden:
1. Método de Sarrus: Consiste en aumentar 2 filas o 2
columnas, así:
2. Método de cofactores (o por menores):
Consiste en tomar los términos de cualquier fila o
columna que serán los cofactor...
Otra forma de expresar esto es diciendo que el signo que
le corresponde a
De manera general el desarrollo es:
Este es el desarrollo en términos de la 1ra
fila. El mismo valor se obtiene si se
desarrolla con respecto a cualquier otra...
3. Método de Triangulación o de Estrella:
Sea el siguiente determinante:
 Ejercicios de Aplicación:
Ponga mucha atención a los ejercicios que se desarrollarán
en la pizarra, luego transcríbalos ...
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Matrices y determinantes

  1. 1. M.Sc. Joselo Soriano
  2. 2. Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas Forma General de una Matriz: Una matriz [A] es del orden mxn, donde m son las filas y n son las columnas, entonces la matriz [A] está dada de la siguiente forma:
  3. 3. De manera general: A(mxn) Ej.: Sea la matriz:
  4. 4. Clases de Matrices: 1) Matriz Cuadrada: Es cuando el número de filas es igual al número de columnas. Ej.:
  5. 5. 2. Matriz Columna: Es cuando tiene una columna (n = 1) Ej.:
  6. 6. 3. Matriz Fila: Es cuando tiene una fila o renglón (m = 1) Ej.:
  7. 7. 4. Matriz Rectangular: Es cuando el número de filas es diferente al número de columnas. Ej.:
  8. 8. Igualdad de Matrices Dos matrices son iguales si y solo si cada elemento de una de ellas es igual al elemento correspondiente de la otra Simbólicamente:
  9. 9. Ej. de igualdad de matrices:
  10. 10. Otro tipo de matrices: Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene la característica de que los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son ceros. Ej.:
  11. 11. Matriz Identidad: Es la matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, se lo representa con la letra I Ej.:
  12. 12. Matriz Transpuesta: Es la matriz que se obtiene intercambiando las filas por las columnas o viceversa de una matriz dada. Se representa de la siguiente manera: Sea A una matriz cualquiera → At : se lee, transpuesta de la matriz A, o A transpuesta
  13. 13. Ej.: Dada la siguiente matriz determinar su transpuesta:
  14. 14. Matriz Nula: Es la matriz en la cual todos sus elementos son ceros. Se lo simboliza con la letra griega Ej.:
  15. 15. Operaciones con matrices: 1. Suma y Diferencia de Matrices: Para sumar o restar dos o más matrices, primeramente deben ser de igual tamaño y luego procedemos a realizar la suma (o resta) con los elementos correspondientes. De manera general:
  16. 16. Propiedades de la suma de matrices: a) Propiedad conmutativa: El orden de las matrices en la suma no altera el resultado, es decir: Sean A y B dos matrices A + B = B + A b) Propiedad asociativa: Las matrices pueden agruparse en parejas en cualquier orden y sustituirse por su suma, así: Sean A, B y C tres matrices A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)
  17. 17. c) Propiedad modulativa: Toda matriz sumada a la matriz nula da como resultado la misma matriz, así: Sean A una matriz cualquiera y Φ la matriz nula → A + Φ = Φ + A = A d) Propiedad invertiva: Toda matriz tiene su opuesto que al sumarlos se obtiene la matriz nula, así: Sean A una matriz cualquiera y - A la matriz opuesta → A + (-A) = Φ
  18. 18. e) La transpuesta de la suma o resta de matrices: Es igual a la suma o resta de las transpuestas de las matrices dadas, así: Sean A y B dos matrices → (A ± B)t = At ± Bt
  19. 19. 2. El producto de un escalar por una matriz: Es igual al producto del escalar por todos los elementos de la matriz dada, es decir: Sea k un escalar cualquiera y A una matriz cualquiera → k.(A) = (k.A)
  20. 20. 3. El producto de dos matrices: Supóngase que A es una matriz de orden mxp, y que B es una matriz de orden pxn. Entonces el producto de A y B, denotado por A.B es la matriz mxn, para la que el elemento del i-ésimo renglón (fila) y la j-ésima columna es la suma de los productos formados mediante la multiplicación de cada elemento del renglón i-ésimo de A por el correspondiente elemento de la columna j-ésima de B. Por lo tanto : (mxp).(pxn) = (mxn). Esto significa que la condición necesaria y suficiente para multiplicar dos matrices es que el número de columnas de A es igual al número de filas de B
  21. 21. Propiedades del producto de matrices:  Propiedad Asociativa: A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C  Propiedad Distributiva: A x (B + C) = A x B + A x C  Propiedad Modulativa: A x I = I x A = A (donde I es la matriz identidad)  La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la misma matriz, así: (At)t = A
  22. 22. Nota: El producto matricial A x A se puede escribir: A2 Ejercicios de Aplicación: Ponga mucha atención a los ejercicios que se resolverán en la pizarra y transcríbalos a su cuaderno.
  23. 23. Determinantes Definición: Si la matriz es cuadrada, se le puede asignar un número al que se le llama determinante de una matriz. A un determinante se lo representa: Det. A, o también: (no es valor absoluto), en ambos casos se lee: determinante de A El orden está definido sólo en matrices, por lo tanto el orden del determinante, es el orden de la matriz.
  24. 24. Determinante de 2do Orden: Es de la forma:
  25. 25. Determinante de 3er orden: Es de la forma:
  26. 26. Formas de evaluar un determinante de 3er orden: 1. Método de Sarrus: Consiste en aumentar 2 filas o 2 columnas, así:
  27. 27. 2. Método de cofactores (o por menores): Consiste en tomar los términos de cualquier fila o columna que serán los cofactores, y se va eliminando la fila y columna de cada término, formándose de esta manera determinantes de 2do orden, el cual se resuelve y se multiplica por su correspondiente cofactor. Hay que considerar que el patrón de signos de números (aij) es: + - + - + - + - +
  28. 28. Otra forma de expresar esto es diciendo que el signo que le corresponde a De manera general el desarrollo es:
  29. 29. Este es el desarrollo en términos de la 1ra fila. El mismo valor se obtiene si se desarrolla con respecto a cualquier otra fila o columna.
  30. 30. 3. Método de Triangulación o de Estrella: Sea el siguiente determinante:
  31. 31.  Ejercicios de Aplicación: Ponga mucha atención a los ejercicios que se desarrollarán en la pizarra, luego transcríbalos a su cuaderno.

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