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  • 1. LA ARITMÉTICA:Es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operacioneselementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el sentidode «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias.Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, conel refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a lasdistintas disciplinas de las «ciencias naturales». En la actualidad, puede referirse ala aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también alconjunto que reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas,específicamente, las cuatrooperaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales,fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores,etc); también a la así llamada alta aritmética, mejor conocida como teoría de números. OPERACIONES ARITMÉTICAS:Las cuatros operaciones básicas (o elementales) de la aritmética son:Suma: La suma o adición es una operación básica por su naturalidad, que serepresenta con el signo (+), el cual se combina con facilidad matemática decomposición en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obteneruna cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar doscolecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acciónrepetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.Resta: La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética;se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad,eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.Multiplicación: La multiplicación es una operación matemática que consiste ensumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatromultiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres vecesel valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de áreageométrica.División: En matemática, la división es una operación aritmética de descomposiciónque consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otronúmero (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. Demanera general puede decirse que la división es la operación inversa dela multiplicación, si bien la división no es una operación, propiamente dicha.En el sentido de la definición expuesta, el sustantivo «aritmética», en los primerosgrados de enseñanza escolar, suele designarse simplemente como «matemáticas», ladistinción comienza a precisarse con la introducción del álgebra y la consiguienteimplementación de "letras" para representar "variables" e "incógnitas", así como las
  • 2. definiciones de las propiedades algebraicas tales como conmutatividad, asociatividado distributividad, que son propias del álgebra elemental.De manera más general, el cómputo numérico incluye, además de las operacionesbásicas: el cálculo de congruencias, lafactorización, el cálculo de potencias yla extracción de raíces.5 En este sentido, el término aritmética se aplica para designaroperaciones realizadas sobre entidades que no son números enteros solamente, sinoque pueden ser decimales, racionales, etc., o incluso objetos matemáticos concaracterísticas completamente diferentes. El término «aritmética» es utilizadotambién como adjetivo, como por ejemplo en una progresión aritmética. INSTRUMENTOS DE CÁLCULO:Los utensilios para facilitar las cuentas numéricas y el conteo han sido utilizadosdurante miles de años, por ejemplo contar con los dedos estableciendouna correspondencia uno-a-uno con los dedos de la mano. El primer objeto para contarfue probablemente un «palo de conteo». Registros posteriores a lo largo del CrecienteFértil incluyen cálculos (esferas de barro, conos, etc.) que representan cuentas deobjetos, posiblemente granos.6 La numeración con varillas es otro ejemplo. ORIGEN:Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemáticamisma, y de la ciencia en general. Los registros más antiguos datan de la Edad dePiedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblementecon fines de conteo, de representación numérica y calendarios.Edad antigua:Fracciones egipcias: Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientosde casi todos los aspectos de la aritmética elemental hacia 1800 a. C., gracias atranscripciones de caracteres sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas degeometría y astronomía. Solo se puede especular sobre los métodos utilizados paragenerar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablillade arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de ternas pitagóricas, pero sinmostrar cómo se generó la lista.Los antiguos textos Shulba-sutras (datados ca. 800 a.C y 200 a.C) recopilan losconocimientos matemáticos de la India durante el período védico; constan de datosgeométricos relacionados con la construcción de altares de fuego, e incluyen elproblema de la cuadratura del círculo.Otras civilizaciones mesopotámicas, como sirios y fenicios, alcanzaron grados dedesarrollo matemático similar que utilizaron tanto para el comercio como para laresolución de ecuaciones algebraicas.
  • 3. El sistema de numeración egipcio, basado en fracciones unitarias, permitía efectuarcuentas aritméticas avanzadas, como se muestra en papiros conservados comoel Papiro de Moscú o el Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es unacopia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) que muestra sumas, restas,multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones, así como losproblemas de determinar el volumen de una esfera, o el volumen de una pírámidetruncada. El papiro de Ahmes es el primer texto egipcio que menciona los 365 díasdel calendario egipcio, es el primer calendario solar conocido.Aritmética formal en la Antigua Grecia: La aritmética en la Grecia Antigua eraconsiderada como el estudio de las propiedades de los números, y no incluía cálculosprácticos, los métodos operatorios eran considerados una ciencia aparte. Estaparticularidad fue heredada a los europeos durante la Edad Media, y no fue hastael Renacimiento que la teoría de números y los métodos de cálculo comenzaron aconsiderarse «aritméticos».La matemática griega hace una aguda diferencia entre el concepto de número y el demagnitud o conmensurabilidad. Para los antiguos griegos, número significaba lo quehoy se conoce por número natural, además de diferenciar entre «número» y«magnitud geométrica». Los libros 7–9 de Los elementos de Euclides tratan de laaritmética exclusivamente en este sentido.Nicómaco de Gerasa (ca. 60 - 120 d. C.), en su Introducción a la Aritmética, resume lafilosofía de Pitágoras y de Platón enfocada a los números y sus relacionesfundamentales. Nicómaco hace por primera vez la diferencia explícitaentre Música, Astronomía,Geometría y Aritmética, y le da a esta última un sentido más«moderno», es decir, referido a los números enteros y sus propiedadesfundamentales.7 El quadrivium (lat. "cuatro caminos"), agrupaba estas cuatrodisciplinas científicas relacionadas con las matemáticas provenientes de la escuelapitagórica.Diofanto de Alejandría (siglo III d.C), es el autor de Arithmetica, una serie de librossobre ecuaciones algebraicas en donde por primera vez se reconoce alas fracciones como números, y se utilizan símbolos y variables como parte de lanotación matemática; redescubierto por Pierre de Fermat en el siglo XVII, las hoyllamadas ecuaciones diofánticas condujeron a un gran avance en la teoría de números.Edad Media y Renacimiento europeo:El mayor progreso matemático de los griegos se dio entre los años 300 a.C y el 200d.C. Después de esto los avances continuaron en regiones islámicas. Las matemáticasflorecieron en particular en Irán, Siria e India. Si bien los descubrimientos no fuerontan sustanciales como los llevados a cabo por la ciencia griega, sí contribuyeron engran medida a preservar sus obras originales. A partir del siglo XI, Adelardo de Bath ymás adelante Fibonacci, introducen nuevamente en Europa esta matemática islámicay sus traducciones del griego.De las siete artes liberales en que se organizaban los estudios formales en laAntigüedad y la Edad Media, la aritmética era parte de las enseñanzas escolásticas yuniversitarias. En 1202, Fibonacci, en su tratado Liber Abaci, introduce el sistema de
  • 4. numeración decimal con números arábigos. Las operaciones aritméticas, aún las másbásicas, realizadas hasta entonces con numerales romanos resultaban muycomplicadas; la importancia práctica en contabilidad hizo que las nuevas técnicasaritméticas se popularizaran enseguida en Europa. Fibonacci llegó a escribir que«comparado con este nuevo método, todos los demás habían sido erróneos».Civilizaciones precolombinas: Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas,los mayas utilizaban un sistema de numeración de base vigesimal (base aritmética 20)para medir el tiempo y participar del comercio a larga distancia. Los mayaspreclásicos desarrollaron independientemente el concepto del cero alrededor del año36 a. C. Aunque poseían sistema de numeración, la ciencia maya y azteca estaba másenfocada en predecir el paso del tiempo, elaborar calendarios y pronosticar eventosastronómicos. Las culturas andinas, que no poseían sistema de escritura, sí parecenhaber desarrollado más el cálculo aritmético. Algunas inscripciones fijan con granprecisión el año solar real en 365 días. Fueron las primeras civilizaciones en inventarel cero, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.Los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo para fineseconómicos y comerciales. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia quetuvo la administración incaica. Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla peroefectiva para fines contables; basada en unsistema decimal, conocieron el cero ydominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.Aritmética en China: La matemática china temprana es tan diferente a la de otraspartes del mundo, que es razonable suponer que se desarrolló independientemente. Eltexto de matemáticas más antiguo que se conserva es el Chou Pei SuanChing(literalmente: La Aritmética Clásica del Gnomon y los Senderos Circulares delCielo), datado del 300 a.C.De particular notoriedad es el uso de un sistema decimal posicional, la asíllamada numeración con varillas, utilizada muchos siglos antes del sistemaindoarábigo de numeración. El sistema de numeración con varillas permitíarepresentar cantidades arbitrariamente grandes, y facilitaba el cálculo matemáticocon suanpan (o ábaco chino). La fecha de invención del "suan pan" es incierta, pero losregistros escrito más antiguos que lo mencionan datan del año 190 a.C., en las «NotasSuplementarias en el arte de las Figuras», de Xu Yue.Los nueve capítulos sobre el arte matemático, contiene problemas de agricultura,comercio, geometría e ingeniería, así como trabajos con triángulos rectángulos yaproximaciones al número π. El matemático chino Zu Chongzhi calculó el valor de πhasta siete decimales.Aritmética en la India: La matemática hindú alcanzó su madurez durante los siglos Ial VIII, con el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cerocomo valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema de numeración de base 10(con diez dígitos). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal,este no era posicional, ni poseía el cero, el cual fue transmitido a occidente mucho mástarde por los árabes, que le llamaban hesab, a través de la España e Italia medievales.
  • 5. El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño tratadoque data probablemente del siglo VI. Los trabajos matemáticos de los hindúes seincorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacidohacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Hacia 1150, Bhaskara escribió untratado de aritmética en el que exponía el procedimiento del cálculo de raícescuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no enforma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puedellamar algebraica.En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método con admiración,indicando no obstante que el método indio iba más allá de esa descripción. Lasmúltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de «notación posicional con cero»dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas. Losmodernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción delos números árabes y la notación decimal posicional.Aritmética árabe: La matemática hindú, con el temprano desarrollo de la notaciónposicional y uso del cero, revistieron gran importancia en el progreso matemáticoposterior. Esta herencia fue recogida por los árabes, netamente con los trabajos de al-Jwarizmi y las primeras traducciones de textos griegos al árabe, incluyendo losElementos de Euclides realizada por al-Hajjaj. En la Casa de la sabiduría (Bayt al-Hikma, una institución de investigación y traducción establecida en Bagdad), loscientíficos y matemáticos tradujeron las obrasdeEuclides, Diofanto, Menelao, Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio entre otros clásicosde la ciencia griega. Uno de los avances más significativos se da con los trabajosde Abu Yafar Mohamed ibn Musa al-Jwarizmi: el álgebra, que representaba unapartamiento revolucionario del concepto geometricista de los griegos, permitiendoun tratamiento distinto de los "objetos" tales como los números racionales, losirracionales o las magnitudes geométricas, y una aplicación sistemática de laaritmética al álgebra.14 Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, nacidoen 953, es probablemente el primero en liberar completamente al álgebra delasoperaciones geométricas y remplazarlas por el tipo de operaciones aritméticas queconstituyen el corazón del álgebra actual. al-Samawal (nacido en 1130) fue el primeroen dar al nuevo tópico del álgebra una descripción precisa, cuando escribió que ella seocupaba ...de operar sobre las incógnitas usando todas las herramientas aritméticas, dela misma forma que el aritmético opera sobre lo conocido. Thabit ibn Qurra (nacidoen 836), hizo múltiples contribuciones en los más diversos campos de lasmatemáticas, en especial a la teoría de números.Tres distintos tipos de sistemas aritméticos se empleaban simultáneamente alrededordel siglo X: la aritmética por conteo con los dedos, con los numerales enteramenteescritos en palabras, era el método empleado por la comunidad mercantil;el sexagesimal, con los numerales denotados por letras del alfabeto árabe, provenía dela matemática babilónica, y los matemáticos del islam lo usaron principalmente parael trabajo astronómico; el tercer sistema fue la aritmética de los numerales indios y lasfracciones con valor posicional decimal.
  • 6. ALTA ARITMÉTICA:El término aritmética también hace referencia a la teoría de números, la cual desarrollay profundiza las propiedades de los números (enteros) relacionadas consu primalidad, divisibilidad y las soluciones de ecuaciones en los enteros; enparticular, el «teorema fundamental de la aritmética» y las «funciones aritméticas» sedesarrollan dentro de este marco y este es el uso reflejado en A Course inArithmetic de Jean-Pierre Serre, o el que le da Harold Davenport en frases como:"aritmética de primer orden" o "alta aritmética". La aritmética modular trata de las congruencias de números enteros; su estudio se inscribe dentro de la teoría de números. La aritmética binaria y el álgebra de Boole, muy utilizadas en informática, es el cálculo aritmético efectuado en un sitema de numeración binario, y el álgebra resultante. Documentado por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo Explication de lArithmétique Binaire. La aritmética ordinal, en teoría de conjuntos, describe el cálculo aritmético con las operaciones —suma, multiplicación ypotenciación— aplicadas a los números ordinales. La aritmética de Peano es el conjunto de axiomas de construcción de los números naturales. Teoremas de incompletitud de Gödel, enunciados por Gödel en 1930, demuestra que ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICATambién conocido como teorema de factorización única, afirma que todo enteropositivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Esteresultado fue obtenido por Euclides, y presentado originalmente como un corolario alllamado Primer Teorema de Euclides. La demostración formal no se dio hasta lapublicación de las Disquisitiones Arithmeticae por Carl Friedrich Gauss en 1801. Lageneralización y profundización de este resultado y otros similares, son los queimpulsan el desarrollo de la teoría de números, la geometría algebraica o la teoría degrupos. LA AXIOMATIZACIÓN DE LA ARITMÉTICALa teoría de conjuntos y en particular diversas paradojas relacionadas conlos conjuntos infinitos, así como los problemas derivados de la noción de
  • 7. cantidad infinitesimal, entre otros, llevaron a la llamada «crisis de los fundamentos»de las matemáticas, a principios del siglo XX. En ese contexto, David Hilbert y otrosmatemáticos colaboradores propusieron el llamado programa de Hilbert comorespuesta al problema de los fundamentos. Dicho programa pretendía librar deparadojas el trabajo matemático mediante la formalización yla axiomatización explícita de diversas ramas de las matemáticas. En el caso de laaritmética, ya Giuseppe Peanohabía propuesto los llamados «axiomas de Peano» parala aritmética. Estos axiomas, en la forma propuesta por Peano, no podían serformalizados en un sistema lógico de primer orden, aunque al principio no se pensóque eso constituyera un problema, por lo que por algún tiempo se trabajó en lafundamentación de la aritmética y la teoría de conjuntos usando lenguajes formales deprimer orden; sin embargo, el programa de Hilbert sufriría un revés importantecuando Kurt Gödel probó que la formalización de la aritmética mediante un sistema deprimer orden en el más puro estilo del programa de Hilbert era problemático. EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDELEn 1931, Kurt Gödel demostró sus dos famosos teoremas de incompletitud. El primerteorema se refiere a una axiomatización de la aritmética como teoría de primer orden,donde el conjunto de axiomas fuera recursivo (es decir, existiera un algoritmo quepermitiera decidir en un número finito de pasos si una proposición dada era o no unaxioma, ya que la formalización requiere un número infinito de axiomas, todos ellosinstancias de un número finito de esquemas de axioma). Este primer teoremademostraba que aceptando que dicha teoría es consistente entonces necesariamentedebe ser incompleta. Es decir, suponiendo que dicha no diera lugar nunca acontradicciones (consistencia) entonces siempre habría una proposición tal que ni ellani su contrario son demostrables. Asumiendo una interpretación lo anterior se puedeinterpretar como que existen afirmaciones ciertas no deducibles dentro de la teoría.Gödel demostró este teorema construyendo explícitamente una fórmula tal que ni ellani su negación eran demostrables. El segundo teorema de Gödel es aún másambicioso, Gödel probó que un conjunto de fórmulas dentro de un lenguaje formalque formalizara la aritmética podía "gödelizarse", es decir, representarse por unsubconjunto de números enteros, tal que a cada proposición del conjunto elcorrespondía un único número y a cada número del conjunto le correspondía unaproposición o fórmula. Este teorema aseveraba que la consistencia de la propiaaritmética era indemostrable dentro de la artimética ya que el conjunto de númerosde Gödel asociado al conjunto de teoremas demostrable no era representable dentrode la teoría como subconjunto recursivo. ARITMÉTICA DE SEGUNDO ORDEN
  • 8. Los teoremas de incompletitud tuvieron un efecto demoledor sobre el programa deHilbert, por lo que se buscaron generalizaciones más sofisticadas para formalizar laaritmética. Si bien puede construirse un lenguaje de primer orden para la aritméticaque sea consistente y completo, pero a condición de introducir un número infinito deaxiomas adicionales y sin que el conjunto añadido sea recursivo, lo cual carece deinterés práctico ya que sería imposible describir explícitamente ese conjunto deaxiomas mediante algún procedimiento algorítmico razonable. Por esa razón, secomenzó a trabajar sobre la construcción de sistemas para formalizar la aritméticamediante lenguajes formales de segundo orden. Puede probarse que la llamadaaritmética de segundo orden completa, admite un único modelo que en esencia puedeidentificarse con los números naturales formalizados menos rigurosamente por losaxiomas de Peano. Sin embargo, esa trivialidad del conjunto de modelos de la teoría lahace poco interesante en muchos aspectos, por esta razón se han buscado modelos dearitmética de segunda orden lógicamente más débiles, con el fin de averiguar quépartes de las matemáticas son formalizables utilizando un lenguaje formal másrestrictivo. En la actualidad se han construido un cierto número de lenguajes desegundo orden para la aritmética, y el estudio de los mismos es importante en lallamada matemática inversa que busca averiguar cual es sistema lógicamente másrestrictivo que permite formalizar ciertas áreas de las matemáticas.