1. LA ARITMÉTICA:
Es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones
elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el sentido
de «la aritmética» ha ido evolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias.
Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con
el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las
distintas disciplinas de las «ciencias naturales». En la actualidad, puede referirse a
la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también al
conjunto que reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas,
específicamente, las cuatrooperaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales,
fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores,
etc); también a la así llamada alta aritmética, mejor conocida como teoría de números.
OPERACIONES ARITMÉTICAS:
Las cuatros operaciones básicas (o elementales) de la aritmética son:
Suma: La suma o adición es una operación básica por su naturalidad, que se
representa con el signo (+), el cual se combina con facilidad matemática de
composición en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener
una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos
colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción
repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.
Resta: La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética;
se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad,
eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.
Multiplicación: La multiplicación es una operación matemática que consiste en
sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro
multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces
el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área
geométrica.
División: En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición
que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro
número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De
manera general puede decirse que la división es la operación inversa de
la multiplicación, si bien la división no es una operación, propiamente dicha.
En el sentido de la definición expuesta, el sustantivo «aritmética», en los primeros
grados de enseñanza escolar, suele designarse simplemente como «matemáticas», la
distinción comienza a precisarse con la introducción del álgebra y la consiguiente
implementación de "letras" para representar "variables" e "incógnitas", así como las

2. definiciones de las propiedades algebraicas tales como conmutatividad, asociatividad
o distributividad, que son propias del álgebra elemental.
De manera más general, el cómputo numérico incluye, además de las operaciones
básicas: el cálculo de congruencias, lafactorización, el cálculo de potencias y
la extracción de raíces.5 En este sentido, el término aritmética se aplica para designar
operaciones realizadas sobre entidades que no son números enteros solamente, sino
que pueden ser decimales, racionales, etc., o incluso objetos matemáticos con
características completamente diferentes. El término «aritmética» es utilizado
también como adjetivo, como por ejemplo en una progresión aritmética.
INSTRUMENTOS DE CÁLCULO:
Los utensilios para facilitar las cuentas numéricas y el conteo han sido utilizados
durante miles de años, por ejemplo contar con los dedos estableciendo
una correspondencia uno-a-uno con los dedos de la mano. El primer objeto para contar
fue probablemente un «palo de conteo». Registros posteriores a lo largo del Creciente
Fértil incluyen cálculos (esferas de barro, conos, etc.) que representan cuentas de
objetos, posiblemente granos.6 La numeración con varillas es otro ejemplo.
ORIGEN:
Los orígenes de la aritmética se pueden rastrear hasta los comienzos de la matemática
misma, y de la ciencia en general. Los registros más antiguos datan de la Edad de
Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente
con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.
Edad antigua:
Fracciones egipcias: Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos
de casi todos los aspectos de la aritmética elemental hacia 1800 a. C., gracias a
transcripciones de caracteres sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas de
geometría y astronomía. Solo se puede especular sobre los métodos utilizados para
generar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla
de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de ternas pitagóricas, pero sin
mostrar cómo se generó la lista.
Los antiguos textos Shulba-sutras (datados ca. 800 a.C y 200 a.C) recopilan los
conocimientos matemáticos de la India durante el período védico; constan de datos
geométricos relacionados con la construcción de altares de fuego, e incluyen el
problema de la cuadratura del círculo.
Otras civilizaciones mesopotámicas, como sirios y fenicios, alcanzaron grados de
desarrollo matemático similar que utilizaron tanto para el comercio como para la
resolución de ecuaciones algebraicas.

3. El sistema de numeración egipcio, basado en fracciones unitarias, permitía efectuar
cuentas aritméticas avanzadas, como se muestra en papiros conservados como
el Papiro de Moscú o el Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una
copia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) que muestra sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones, así como los
problemas de determinar el volumen de una esfera, o el volumen de una pírámide
truncada. El papiro de Ahmes es el primer texto egipcio que menciona los 365 días
del calendario egipcio, es el primer calendario solar conocido.
Aritmética formal en la Antigua Grecia: La aritmética en la Grecia Antigua era
considerada como el estudio de las propiedades de los números, y no incluía cálculos
prácticos, los métodos operatorios eran considerados una ciencia aparte. Esta
particularidad fue heredada a los europeos durante la Edad Media, y no fue hasta
el Renacimiento que la teoría de números y los métodos de cálculo comenzaron a
considerarse «aritméticos».
La matemática griega hace una aguda diferencia entre el concepto de número y el de
magnitud o conmensurabilidad. Para los antiguos griegos, número significaba lo que
hoy se conoce por número natural, además de diferenciar entre «número» y
«magnitud geométrica». Los libros 7–9 de Los elementos de Euclides tratan de la
aritmética exclusivamente en este sentido.
Nicómaco de Gerasa (ca. 60 - 120 d. C.), en su Introducción a la Aritmética, resume la
filosofía de Pitágoras y de Platón enfocada a los números y sus relaciones
fundamentales. Nicómaco hace por primera vez la diferencia explícita
entre Música, Astronomía,Geometría y Aritmética, y le da a esta última un sentido más
«moderno», es decir, referido a los números enteros y sus propiedades
fundamentales.7 El quadrivium (lat. "cuatro caminos"), agrupaba estas cuatro
disciplinas científicas relacionadas con las matemáticas provenientes de la escuela
pitagórica.
Diofanto de Alejandría (siglo III d.C), es el autor de Arithmetica, una serie de libros
sobre ecuaciones algebraicas en donde por primera vez se reconoce a
las fracciones como números, y se utilizan símbolos y variables como parte de la
notación matemática; redescubierto por Pierre de Fermat en el siglo XVII, las hoy
llamadas ecuaciones diofánticas condujeron a un gran avance en la teoría de números.
Edad Media y Renacimiento europeo:
El mayor progreso matemático de los griegos se dio entre los años 300 a.C y el 200
d.C. Después de esto los avances continuaron en regiones islámicas. Las matemáticas
florecieron en particular en Irán, Siria e India. Si bien los descubrimientos no fueron
tan sustanciales como los llevados a cabo por la ciencia griega, sí contribuyeron en
gran medida a preservar sus obras originales. A partir del siglo XI, Adelardo de Bath y
más adelante Fibonacci, introducen nuevamente en Europa esta matemática islámica
y sus traducciones del griego.
De las siete artes liberales en que se organizaban los estudios formales en la
Antigüedad y la Edad Media, la aritmética era parte de las enseñanzas escolásticas y
universitarias. En 1202, Fibonacci, en su tratado Liber Abaci, introduce el sistema de

4. numeración decimal con números arábigos. Las operaciones aritméticas, aún las más
básicas, realizadas hasta entonces con numerales romanos resultaban muy
complicadas; la importancia práctica en contabilidad hizo que las nuevas técnicas
aritméticas se popularizaran enseguida en Europa. Fibonacci llegó a escribir que
«comparado con este nuevo método, todos los demás habían sido erróneos».
Civilizaciones precolombinas: Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas,
los mayas utilizaban un sistema de numeración de base vigesimal (base aritmética 20)
para medir el tiempo y participar del comercio a larga distancia. Los mayas
preclásicos desarrollaron independientemente el concepto del cero alrededor del año
36 a. C. Aunque poseían sistema de numeración, la ciencia maya y azteca estaba más
enfocada en predecir el paso del tiempo, elaborar calendarios y pronosticar eventos
astronómicos. Las culturas andinas, que no poseían sistema de escritura, sí parecen
haber desarrollado más el cálculo aritmético. Algunas inscripciones fijan con gran
precisión el año solar real en 365 días. Fueron las primeras civilizaciones en inventar
el cero, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.
Los incas se destacaron principalmente por su capacidad de cálculo para fines
económicos y comerciales. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que
tuvo la administración incaica. Esto dotó a los incas de una aritmética sencilla pero
efectiva para fines contables; basada en unsistema decimal, conocieron el cero y
dominaron la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Aritmética en China: La matemática china temprana es tan diferente a la de otras
partes del mundo, que es razonable suponer que se desarrolló independientemente. El
texto de matemáticas más antiguo que se conserva es el Chou Pei Suan
Ching(literalmente: La Aritmética Clásica del Gnomon y los Senderos Circulares del
Cielo), datado del 300 a.C.
De particular notoriedad es el uso de un sistema decimal posicional, la así
llamada numeración con varillas, utilizada muchos siglos antes del sistema
indoarábigo de numeración. El sistema de numeración con varillas permitía
representar cantidades arbitrariamente grandes, y facilitaba el cálculo matemático
con suanpan (o ábaco chino). La fecha de invención del "suan pan" es incierta, pero los
registros escrito más antiguos que lo mencionan datan del año 190 a.C., en las «Notas
Suplementarias en el arte de las Figuras», de Xu Yue.
Los nueve capítulos sobre el arte matemático, contiene problemas de agricultura,
comercio, geometría e ingeniería, así como trabajos con triángulos rectángulos y
aproximaciones al número π. El matemático chino Zu Chongzhi calculó el valor de π
hasta siete decimales.
Aritmética en la India: La matemática hindú alcanzó su madurez durante los siglos I
al VIII, con el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero
como valor nulo. Utilizaron, como en Occidente, un sistema de numeración de base 10
(con diez dígitos). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal,
este no era posicional, ni poseía el cero, el cual fue transmitido a occidente mucho más
tarde por los árabes, que le llamaban hesab, a través de la España e Italia medievales.

5. El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño tratado
que data probablemente del siglo VI. Los trabajos matemáticos de los hindúes se
incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido
hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Hacia 1150, Bhaskara escribió un
tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento del cálculo de raíces
cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en
forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede
llamar algebraica.
En el siglo VII, el obispo sirio Severo Sebhokt menciona este método con admiración,
indicando no obstante que el método indio iba más allá de esa descripción. Las
múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de «notación posicional con cero»
dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas. Los
modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de
los números árabes y la notación decimal posicional.
Aritmética árabe: La matemática hindú, con el temprano desarrollo de la notación
posicional y uso del cero, revistieron gran importancia en el progreso matemático
posterior. Esta herencia fue recogida por los árabes, netamente con los trabajos de al-
Jwarizmi y las primeras traducciones de textos griegos al árabe, incluyendo los
Elementos de Euclides realizada por al-Hajjaj. En la Casa de la sabiduría (Bayt al-
Hikma, una institución de investigación y traducción establecida en Bagdad), los
científicos y matemáticos tradujeron las obras
deEuclides, Diofanto, Menelao, Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio entre otros clásicos
de la ciencia griega. Uno de los avances más significativos se da con los trabajos
de Abu Yafar Mohamed ibn Musa al-Jwarizmi: el álgebra, que representaba un
apartamiento revolucionario del concepto geometricista de los griegos, permitiendo
un tratamiento distinto de los "objetos" tales como los números racionales, los
irracionales o las magnitudes geométricas, y una aplicación sistemática de la
aritmética al álgebra.14 Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, nacido
en 953, es probablemente el primero en liberar completamente al álgebra de
lasoperaciones geométricas y remplazarlas por el tipo de operaciones aritméticas que
constituyen el corazón del álgebra actual. al-Samawal (nacido en 1130) fue el primero
en dar al nuevo tópico del álgebra una descripción precisa, cuando escribió que ella se
ocupaba ...de operar sobre las incógnitas usando todas las herramientas aritméticas, de
la misma forma que el aritmético opera sobre lo conocido. Thabit ibn Qurra (nacido
en 836), hizo múltiples contribuciones en los más diversos campos de las
matemáticas, en especial a la teoría de números.
Tres distintos tipos de sistemas aritméticos se empleaban simultáneamente alrededor
del siglo X: la aritmética por conteo con los dedos, con los numerales enteramente
escritos en palabras, era el método empleado por la comunidad mercantil;
el sexagesimal, con los numerales denotados por letras del alfabeto árabe, provenía de
la matemática babilónica, y los matemáticos del islam lo usaron principalmente para
el trabajo astronómico; el tercer sistema fue la aritmética de los numerales indios y las
fracciones con valor posicional decimal.

6. ALTA ARITMÉTICA:
El término aritmética también hace referencia a la teoría de números, la cual desarrolla
y profundiza las propiedades de los números (enteros) relacionadas con
su primalidad, divisibilidad y las soluciones de ecuaciones en los enteros; en
particular, el «teorema fundamental de la aritmética» y las «funciones aritméticas» se
desarrollan dentro de este marco y este es el uso reflejado en A Course in
Arithmetic de Jean-Pierre Serre, o el que le da Harold Davenport en frases como:
"aritmética de primer orden" o "alta aritmética".
La aritmética modular trata de las congruencias de números enteros; su estudio se
inscribe dentro de la teoría de números.
La aritmética binaria y el álgebra de Boole, muy utilizadas en informática, es el
cálculo aritmético efectuado en un sitema de numeración binario, y el álgebra
resultante. Documentado por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo Explication de
l'Arithmétique Binaire.
La aritmética ordinal, en teoría de conjuntos, describe el cálculo aritmético con las
operaciones —suma, multiplicación ypotenciación— aplicadas a los números
ordinales.
La aritmética de Peano es el conjunto de axiomas de construcción de los números
naturales.
Teoremas de incompletitud de Gödel, enunciados por Gödel en 1930, demuestra
que ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y
la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa.
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
También conocido como teorema de factorización única, afirma que todo entero
positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Este
resultado fue obtenido por Euclides, y presentado originalmente como un corolario al
llamado Primer Teorema de Euclides. La demostración formal no se dio hasta la
publicación de las Disquisitiones Arithmeticae por Carl Friedrich Gauss en 1801. La
generalización y profundización de este resultado y otros similares, son los que
impulsan el desarrollo de la teoría de números, la geometría algebraica o la teoría de
grupos.
LA AXIOMATIZACIÓN DE LA ARITMÉTICA
La teoría de conjuntos y en particular diversas paradojas relacionadas con
los conjuntos infinitos, así como los problemas derivados de la noción de

7. cantidad infinitesimal, entre otros, llevaron a la llamada «crisis de los fundamentos»
de las matemáticas, a principios del siglo XX. En ese contexto, David Hilbert y otros
matemáticos colaboradores propusieron el llamado programa de Hilbert como
respuesta al problema de los fundamentos. Dicho programa pretendía librar de
paradojas el trabajo matemático mediante la formalización y
la axiomatización explícita de diversas ramas de las matemáticas. En el caso de la
aritmética, ya Giuseppe Peanohabía propuesto los llamados «axiomas de Peano» para
la aritmética. Estos axiomas, en la forma propuesta por Peano, no podían ser
formalizados en un sistema lógico de primer orden, aunque al principio no se pensó
que eso constituyera un problema, por lo que por algún tiempo se trabajó en la
fundamentación de la aritmética y la teoría de conjuntos usando lenguajes formales de
primer orden; sin embargo, el programa de Hilbert sufriría un revés importante
cuando Kurt Gödel probó que la formalización de la aritmética mediante un sistema de
primer orden en el más puro estilo del programa de Hilbert era problemático.
EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL
En 1931, Kurt Gödel demostró sus dos famosos teoremas de incompletitud. El primer
teorema se refiere a una axiomatización de la aritmética como teoría de primer orden,
donde el conjunto de axiomas fuera recursivo (es decir, existiera un algoritmo que
permitiera decidir en un número finito de pasos si una proposición dada era o no un
axioma, ya que la formalización requiere un número infinito de axiomas, todos ellos
instancias de un número finito de esquemas de axioma). Este primer teorema
demostraba que aceptando que dicha teoría es consistente entonces necesariamente
debe ser incompleta. Es decir, suponiendo que dicha no diera lugar nunca a
contradicciones (consistencia) entonces siempre habría una proposición tal que ni ella
ni su contrario son demostrables. Asumiendo una interpretación lo anterior se puede
interpretar como que existen afirmaciones ciertas no deducibles dentro de la teoría.
Gödel demostró este teorema construyendo explícitamente una fórmula tal que ni ella
ni su negación eran demostrables. El segundo teorema de Gödel es aún más
ambicioso, Gödel probó que un conjunto de fórmulas dentro de un lenguaje formal
que formalizara la aritmética podía "gödelizarse", es decir, representarse por un
subconjunto de números enteros, tal que a cada proposición del conjunto el
correspondía un único número y a cada número del conjunto le correspondía una
proposición o fórmula. Este teorema aseveraba que la consistencia de la propia
aritmética era indemostrable dentro de la artimética ya que el conjunto de números
de Gödel asociado al conjunto de teoremas demostrable no era representable dentro
de la teoría como subconjunto recursivo.
ARITMÉTICA DE SEGUNDO ORDEN

8. Los teoremas de incompletitud tuvieron un efecto demoledor sobre el programa de
Hilbert, por lo que se buscaron generalizaciones más sofisticadas para formalizar la
aritmética. Si bien puede construirse un lenguaje de primer orden para la aritmética
que sea consistente y completo, pero a condición de introducir un número infinito de
axiomas adicionales y sin que el conjunto añadido sea recursivo, lo cual carece de
interés práctico ya que sería imposible describir explícitamente ese conjunto de
axiomas mediante algún procedimiento algorítmico razonable. Por esa razón, se
comenzó a trabajar sobre la construcción de sistemas para formalizar la aritmética
mediante lenguajes formales de segundo orden. Puede probarse que la llamada
aritmética de segundo orden completa, admite un único modelo que en esencia puede
identificarse con los números naturales formalizados menos rigurosamente por los
axiomas de Peano. Sin embargo, esa trivialidad del conjunto de modelos de la teoría la
hace poco interesante en muchos aspectos, por esta razón se han buscado modelos de
aritmética de segunda orden lógicamente más débiles, con el fin de averiguar qué
partes de las matemáticas son formalizables utilizando un lenguaje formal más
restrictivo. En la actualidad se han construido un cierto número de lenguajes de
segundo orden para la aritmética, y el estudio de los mismos es importante en la
llamada matemática inversa que busca averiguar cual es sistema lógicamente más
restrictivo que permite formalizar ciertas áreas de las matemáticas.