17232344 manual-de-matematica

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles - Matemáticas

MATEMÁTICAS

CUADERNO
AUTOINSTRUCTIVO
DE DEFINICIÓN DE
NIVELES


SUMARIO Página

Aritmética 2

Álgebra 37

Geometría Plana 81


CUADERNO AUTOINSTRUCTIVO
DE DEFINICIÓN DE NIVELES

MATEMÁTICAS

ARITMÉTICA
1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

1.2 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

1.3 NÚMEROS RACIONALES

1.4 PROPORCIONALIDAD

1.5 PROGRESIONES

3


1. ARITMÉTICA

1.1 OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Historia de los números.
Desde los orígenes, el hombre ha utilizado los números naturales para contar su rebaño,
sus cosechas, etc. usando piedras o marcas. Las matemáticas de los egipcios se
conocen por el papiro de Rhind de casi 3800 años y eran muy prácticas. Los babilonios
usaban una numeración en base 60, la que persiste hoy en día en los sistemas de
medición del tiempo. Los griegos utilizaban fracciones de números naturales, el sistema
decimal y se preocuparon por la existencia de números irracionales, al no poder medir la
longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno. Las primeras etapas de los sistemas
numéricos evolucionaron bajo las exigencias de navegación, comercio, ingeniería y el
ejército; y después por el avance de la astronomía y de otras ciencias. El sistema
indoarábigo de base diez es el comúnmente utilizado en la actualidad en todo el mundo.

1.1.1 Conjuntos numéricos

El conjunto de los números reales, que se denota IR, tiene los siguientes subconjuntos
notables:

a. Números naturales. (Se denota IN), IN = {1;2;3;4;5. ..}

b. Números enteros. (Se denota Ζ ), Ζ = {... - 3;-2;-1;0;1;2;3...}
Ζ Ζ

c. Números racionales. (Se denota Q ) Son los números reales que se pueden expresar en
a
la forma , con a ∈ Ζ , b ∈ Ζ y b ≠ 0 .
Ζ Ζ
b
3 11 − 3 7
Ejemplos: ; ; ; 2; − 5; 0 y 3,5 = .
5 4 750 2
d. Números irracionales. (Se denota I ) Son los números reales que no son racionales.
Ejemplos: 2 ; 4 7 ; π .

Notas:
1. Se observa que todo número natural es entero y todo número entero es racional.
En general
IN ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ IR
Ζ
I ⊂ IR
I ∪Q = IR y I ∩ Q= ∅

2. Se llaman números positivos (respectivamente negativos) a los números que son
estrictamente mayores (respectivamente menores) a cero.

1.1.2 Operaciones básicas

La suma, resta, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. Adicionalmente
se define las operaciones de potenciación y radicación tal como se detalla a continuación.

4


1.1.2.1 Potencia natural de un número real a. Una potencia de base real a y exponente
natural n es el producto de n factores iguales a a.

a n = a.a.a.......a
n veces
Ejemplo: 32 = 3 x3 = 9 ; 41 = 4 ; (−3) 2 = ( −3) x (−3) = 9

Nota: Por la regla de los signos, cuando n es par se tiene an≥ 0 .

Ampliación para exponente enteros Anécdota :
no positivos. El término googol que significa
a0 = 1, si y sólo si a≠ 0 10100 fue inventado por el
1 profesor Edward Kasner de la
a −n = ,donde n es un entero Universidad de Columbia. Este
an número excede al número de
positivo y a ≠ 0; electrones en el universo que es
de 1079 !!!

Leyes de exponentes.
Sean m y n enteros, a y b números reales, tales que las operaciones que
aparecen se puedan realizar.
a man = am+ n (a n ) m = a mn
n
⎛a⎞ an
(ab) n = a nb n ⎜ ⎟ = n , donde b≠ 0
⎝b⎠ b

1 1
Ejemplos: 30 = 1 , 5 −3 = 3
= = 0,008 , (−3) 2 (−3)3 = (−3)5 , (32 ) −5 = 3−10 ,
5 125
(23 x53 ) = (2 x5)3 = 103 = 1000

1.1.2.2 Radicación de un número real a.

Si n es un entero positivo impar, entonces se define: Ejemplo
n
a =b, si y sólo si b n = a. 3
8; 3
−8 = − 2

Si n es un entero positivo par y a≥ 0; b≥ 0, entonces se define: Ejemplo
n
a =b, si y sólo si b n = a. 9 = 3 ; 4 16 = 2

El símbolo n a para la enésima raíz principal de a es denominado también radical; el
entero n es el índice y a el radicando (o cantidad subradical).

Notación: si n =2, se denota: 2 a = a y se ¡Cuidado!
dice raíz cuadrada. • 16 ≠ − 4 , aunque (-4)2 =16.
Como n es par, 16 = 4 es positivo.
• − 16 no es un número real.

5


Propiedad: Si a ≥ 0 ; b ≥ 0, entonces ab = a b .

Ejemplo: Calcular 1089 = 9 × 121 = 9 121 = 3 × 11 = 33

Radicales semejantes.- Son radicales de igual índice y que tienen el mismo número real
como radicando.
Ejemplo:
1
2 3 ;5 3 ; 3 Son radicales semejantes
2
3 3 ;5 2 No son radicales semejantes
23 5 ; 3 5 No son radicales semejantes
23
2 ; 23 2 ; 33 2 Son radicales semejantes
3

3
Ejemplo: Calcular 7 3 -5 2 - 4 - 4 3 +12 3
2 = 3 3 +7 3 2 - 4.

1.1.3 Orden de operaciones

Para calcular expresiones numéricas en las cuales Si hay dos operaciones de
no hay símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes o la misma jerarquía, se
llaves), se opera en el siguiente orden: opera de izquierda a
1. Potencias y raíces. derecha.
2. Multiplicaciones y divisiones. Ejemplo: 10 + 12 ÷ 3 x 2 =
3. Adiciones y sustracciones. 10 + 4 x 2 = 10 + 8 = 18
Ejemplo: 3 x 5 2 -7 = 3 x 25 -7 = 75 – 7 =68

Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y
llaves, se efectúa primero las operaciones indicadas dentro de los símbolos de agrupación
empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.
Ejemplo: 0,9 – 2 [6 ÷ 9 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 22)]
¡Error común!
= 0,9 – 2 [6 ÷ 3 x 0,2 – 0,4(6 + 1 ÷ 4)]
9 – 7 ( 2x5 –1)
= 0,9 – 2 [2 x 0,2 – 0,4(6 + 0,25)]
≠ 2 ( 2x5-1)
= 0,9 – 2 [0,4 – 0,4(6,25)]
= 0,9 – 2 [0,4 – 2,5)]
= 0,9 – 2 [–2,1]
= 0,9 +4,2 = 5,1
Ejemplo: Calcular 43 − 2 x32 = 43 − 2 x9 = 43 − 18 = 25 = 5

Supresión de paréntesis.
• Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación esta precedida del signo +, se
puede quitar los símbolos respectivos sin hacer ningún cambio en la expresión.
Ejemplo: 2 − 3 + (7,5 − 3 ) = 2 − 3 + 7,5 − 3 = 9,5 − 2 3 .
• Cuando una expresión dentro de símbolos de agrupación esta precedida del signo -, se
puede quitar los símbolos respectivos cambiando el signo de cada uno de los términos
de la expresión.
Ejemplo: 2 − 3 − (7,5 − 3 ) = 2 − 3 − 7,5 + 3 = −5,5 .

1.1.4 Ejemplos y ejercicios
Ejercicio: Calcular: A = 5+12÷3x22 –7 y B = 9 – 2 ( 9 x 2 – 42). Respuesta.- A= 14, B=29

6


Ejemplo:
Dos personas se dedican a fabricar chocolates. El primero de ellos hace 30 chocolates por
hora y el segundo 75 en el mismo tiempo. Para la campaña de Navidad, el primero ha
empezado 39 horas antes del segundo y ambos terminaron cuando habían fabricado igual
número de chocolates. ¿Cuántas horas trabajó cada uno?

Solución:
Como el primero ha empezado 39 horas antes, en ese lapso ha fabricado:
39 x 30 = 1 170 chocolates, cantidad en la que aventaja al segundo.
Cuando empieza a trabajar el segundo, éste hace 45 chocolates ( 75 – 30) más que el
primero en cada hora. Es decir que en cada hora el segundo reduce la ventaja de 45
chocolates.
Para eliminar la ventaja el segundo empleará entonces 26 horas debido al cálculo :
1170
= 26 y el primero habrá trabajado (26 +39) horas, o sea 65 horas.
45
Respuesta.- Total de horas de trabajo del primero: 65 horas.
Total de horas de trabajo del segundo: 26 horas.

Ejemplo:
Un negociante de provincia ha adquirido en la capital, al por mayor, 910 libros. El precio
unitario fue de 5 soles, pero se le regaló un libro por cada docena que adquirió. En su
pueblo decide regalar, para la biblioteca del colegio, 2 libros por cada docena que tiene y
vender los que le sobraban, ¿a cuánto debe vender el ejemplar, si quiere ganar 3 600 soles?

Solución:
Primero se calcula el costo total:
Al adquirir una docena de libros, le regalan uno. Entonces, se considera grupos de 13 libros.
En 910 libros, hay 70 grupos de 13 libros por 910 / 13 = 70.
El precio de cada grupo es el correspondiente a12 libros: 12x 5 = 60 soles.
Como hay 70 grupos, el costo total de los libros es de 70 x 60 = 4 200 soles.
Luego se calcula la venta total:
Por cada docena, regala 2 libros; entonces se considera grupos de 14 libros.
En 910 libros, hay 65 grupos de 14 libros por 910 / 14 =65.
Entonces le queda para vender 65 x 12 = 780 libros.
Para tener la ganancia de 3600 soles, deberá recaudar 7800 soles ( 4200 + 3600) y deberá
vender cada libro a 10 soles por 7800/ 780.
Respuesta.- El precio de venta de cada ejemplar es de 10 soles.

Ejercicio.- Juan tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de S/.229,23. Pagó con la
tarjeta: S/.296,06, S/.103 y S/.76,2. Como había gastado mucho, depositó $130 (tipo de
cambio: S/.3,50). Si a fin de mes el banco le carga por aportaciones y otros el S/.7,56, ¿cuál
es el saldo de la tarjeta? Respuesta.- El saldo de la tarjeta es de
S/. 201,41

Ejercicio: Una empresa de confecciones realiza una promoción en sus ventas y decide
obsequiar una chompa a los cinco primeros alumnos de cada sección de primaria de un
colegio y las demás venderlas a S/. 40 cada una. Si en el colegio hay 6 secciones de primer
grado de 37 alumnos cada una; 5 de segundo grado de 39 alumnos cada una; 4 de tercer
grado de 36 alumnos cada una y 7 secciones de cuarto, quinto y sexto grado todas de 37
alumnos cada una. ¿Cuánto se recauda por el total de las ventas, si todos los alumnos
restantes compraron su chompa? Respuesta.- Se obtiene S/. 28 4000 por el total de
las ventas.

7


Ejercicio: Un comerciante compra al por mayor 300 vasos a S/. 25 el ciento. Al transportar
los 300 vasos a su tienda, se rompen 3 docenas. ¿ A cuánto debe vender la docena si
quiere ganar S/. 35? Respuesta.- Cada docena se debe vender a S/. 5.

8


1.2 DIVISIBILIDAD EN LOS NÚMEROS NATURALES

Un paseo al Cuzco:
Una promoción de estudiantes realizará una excursión al Cuzco. Para el alquiler de
carpas tienen las siguientes propuestas: carpas para 12 personas a S/.30 la noche;
carpas para 8 personas a S/.22 la noche y carpas para 4 personas a S/.12 la noche.
Si el grupo es de 128 personas, ¿qué tipo(s) de carpas y cuántas de cada tipo deben
alquilar para que resulte lo más económico posible?
La resolución de problemas como este necesita el conocimiento de múltiplos y
divisores de números naturales.

1.2.1 Múltiplos y divisores

El campo de estudio de múltiplos y divisores, será el conjunto de los números naturales.

Definición:
Dados dos números naturales a y b,
si la división de a entre b es exacta, Nota
entonces se dice: Si a es múltiplo de b puede
• a es divisible por b expresarse como: a = kb donde k es
• a es múltiplo de b un número natural.
• b es divisor de a

Ejemplos: 20 es divisible por 5. En efecto 20 ÷ 5 = 4
22 no es múltiplo de 5 . En efecto 22 ÷ 5 = 4,4.
Los cincos primeros múltiplos naturales de 6 son: 6; 12; 18; 24; 30.
Los divisores naturales de 6 son: 1; 2; 3; 6.

1.2.2 Criterios de divisibilidad

Criterios:
Un número es divisible por 2 si se termina en 0 o en una cifra par.
Un número es divisible por 5 si se termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejemplo: ¿ Cuántos valores distintos puede tomar la cifra a para que el número 256a sea
múltiplo de 2 y de 3?

Solución: La suma de las cifras es: 2 + 5 + 6 + a = 13 + a, debe ser múltiplo de 3. Los
valores posibles de a son: 2; 5 y 8. Como 5 es impar solo quedan dos valores.
Respuesta.- a puede tomar solamente dos valores distintos: 2 y 8.

1.2.3 Números primos y compuestos
Nota:
Definición:
1 no es primo ni compuesto
Un número natural es primo si admite solamente
porque tiene sólo un
dos divisores distintos: la unidad y él mismo.
divisor, él mismo.
En otro caso, salvo el 1, el número natural es compuesto.

Ejemplos:
Los números primos menores que 30 son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.
6 es un número compuesto porque tiene 4 divisores: 1; 2; 3; 6.

9


1.2.4 Descomposición canónica

Descomposición en factores primos o canónica. Los números naturales, salvo la unidad,
se pueden descomponer de manera única en un producto de factores primos.

Ejemplo: 180 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 2 2 x 3 2 x 5

Regla para obtener la descomposición canónica: Presentación Práctica
• Se divide el número natural por los números primos 180 2
en orden creciente hasta llegar a un cociente exacto. 90 2
• Se efectúe la división y se reporta el cociente obtenido 45 3
• Se repite el proceso hasta que el cociente sea 1. 15 3
5 5
1
Ejemplo: Paseo al Cuzco ( Ver Introducción)

Solución: La descomposición canónica de 128 es 128= 2x2x2x2x2x2 = 27 . Entonces 128
es divisible por 4 y 8 pero no por 12.
Si se considera carpas de 4 se debe alquilar 32 y el costo es de S/. 384 por 32x12 = 384.
Si se considera carpas de 8 se debe alquilar 16 y el costo es de S/. 352 por 16x22 = 352.
Sin embargo, el mayor múltiplo de 12 menor que 128 es 120. Se puede alquilar entonces 10
carpas de 12 y una carpa de 8 lo que da: 10x30 + 1x22 = 300 +22 = 322.
Respuesta.- El menor costo se obtiene alquilando 10 carpas de 12 y una carpa de 8.

Aplicación: Extracción de factores de un radical.
• Se hace la descomposición canónica del radicando.
• Se agrupa los factores primos según el índice de la raíz.
• Se aplica la propiedad de la raíz de un producto.
• Se extrae los factores posibles de las raíces.

En la tabla siguiente, se recuerda algunas propiedades importantes de la potencia y la
radicación.

Cálculos para un real a Ejemplos
Si n es impar, entonces se cumple 3
125 = 3 53 = 5 , 3
− 8 = 3 (−2)3 = −2 .
n
a = a , ( a) = a
n n n
(3 125 )3 = (5)3 = 125 .
Si n es par, a positivo, n
a n = a , (n a ) n = a 25 = 52 = 5 , ( 16 ) 2 = (4) 2 = 16 .
a negativo, n
an = − a (−3) 2 = 3 ( Notar que: – ( -3) = 3 )

Ejemplos: 18 = 32 × 2 = 32 2 = 3 2
288 = 25 × 32 = 2 2 × 2 2 × 2 × 32 = 2 2 2 2 2 32 = 2 × 2 × 2 × 3 = 12 2
3 3 3 3 3 2 3 3 2 3
3
324 = 34 × 22 = 33 × 3 × 2 2 = 33 3 2 =3 3 2 = 3 12

1.2.5 Máximo común divisor

El máximo común divisor (MCD) de dos o más números naturales es el mayor divisor
común de dichos números.

10


Cálculo del MCD: Se descompone canónicamente cada número y se toma el producto de
los factores primos comunes, cada uno elevado al menor exponente con el que aparece en
las descomposiciones de los número.

Ejemplo: Hallar el MCD de 18, 24 y 60. Se tiene 18=2x32 ; 24=23 x3 y 60 = 22 x3x5
De donde MCD ( 18, 24, 60) = 2x3 = 6

Números primos relativos o primos entre sí. Dos o más números se dicen primos
relativos si admiten como único divisor común a la unidad.
Ejemplo : 9 y 10 son primos entre sí porque MCD( 9, 10) = 1.

1.2.6 Mínimo común múltiplo

El mínimo común multiplo (MCM) de dos o más números naturales es el menor de los
multiplos comunes de dichos números.

Cálculo del MCM: Se descompone canónicamente cada número y se toma el producto de
los factores primos comunes y no comunes, cada uno elevado al mayor exponente con el
que aparece en las descomposiciones de cada número.

Ejemplo: Hallar el MCD de 18, 24 y 60.
Se tiene 18=2x32 ; 24=23 x3 y 60 = 22 x3x5
de donde MCM ( 18, 24, 60) = 23x32x5 = 360

1.2.7 Ejemplos y ejercicios

Ejemplo: ¿Cuál es el MCM y el MCD de 150; 180 y 200? ¿Cuántos divisores comunes
tienen? ¿Cuántos múltiplos comunes?

Solución:
Se tiene 150 = 2x3x52 , 180 = 22x32x5 , 200 = 23x52.
De donde MCD( 150, 180, 200) = 2x3x5 = 30 y MCM(150, 180, 200) = 23x32x52=1800
Los divisores comunes de 150, 180 y 200 son los divisores de su MCD, o sea de 10.
Los divisores de 10 son: 1, 2, 5, 10. En total 10 tiene 4 divisores y 4 es el número de
divisores comunes de 150, 180 y 200.
Los múltiplos comunes de 150, 180 y 200 son los múltiplos de su MCM, o sea de 1800.
Los múltiplos de 1800 son infinitos: 1 800, 3 600, 5 400 .....
Respuestas.- MCD( 150, 180, 200) = 10, MCM(150, 180, 200) =1800.
Los números 150, 180 y 200 tienen 4 divisores comunes y una infinidad de múltiplos
comunes.

Ejemplo: Se debe cortar 2 alambres, de 48 y 60 cm de longitud respectivamente en
pedazos todos iguales y de la mayor longitud posible. Si por cada corte, se debe pagar
S/.1,00, ¿a cuánto asciende el costo total?

Solución:
La longitud “L” de cada pedazo debe ser divisor
común de 48 y 60 y como debe ser la mayor L ⎪ ⎪ ⎪
longitud posible, entonces: 48cm
L = MCD (48; 60) = 12
Se calcula cuantos pedazos se obtienen de cada ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
alambre y el número de cortes para obtenerlos:
48÷12= 4 pedazos y 3 cortes 60cm
60÷12= 5 pedazos y 4 cortes
Respuesta.- El pago total es S/.7.
11


Ejemplo: De una tela de 150 cm por 90 cm una señora quiere confeccionar servilletas
cuadradas idénticas y del mayor tamaño posible. ¿Cuántas servilletas obtendrá y cuánto
medirá el lado de cada una?

Solución:
El lado ”L” de cada servilleta debe ser divisor común
L de 90 y 150 y como debe ser la mayor longitud
posible, se tiene: MCD (90; 150) = 30
L De donde, L = 30 cm
De cada lado de la tela se obtiene:
90cm
90 ÷ 30= 3 servilletas
150 ÷ 30= 5 servilletas
Respuesta.- Se hará 15 servilletas de 30 cm de lado.

150cm

Ejemplo: Dos señoras se han encontrado hoy en la peluquería. Una de ellas va cada 10
días y la otra lo hace cada 15 días. ¿Dentro de cuántos días se volverán a encontrar?

Solución: Para que coincidan nuevamente debe pasar un número de días que sea múltiplo
de 10 y de 15 en forma simultánea y que sea el menor posible, por lo tanto ese número de
días es: MCM(10 ; 15) = 30.
Respuesta.- Ambas señoras se volverán a encontrar dentro de 30 días.

Ejercicio: ¿Cuántos triángulos rectángulos distintos, cuyos catetos son números enteros y
que tengan 50 m2 de área existen?
Respuesta.- 5 triángulos rectángulos.

Ejercicio: En la Catedral de Lima existen 3 campanas que fueron tocadas simultáneamente
hoy; si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera
cada 10 días. ¿Después de qué tiempo se volverán a tocar las tres el mismo día?
Respuesta.- 140 días

Ejercicio: Se tienen 3 rollos de papel que miden 340m, 306m y 238m, y se pretende sacar
de éstos, rollos más pequeños todos de igual longitud, sin que sobre material. ¿Cuántos de
éstos rollos como mínimo se podrán obtener en total?
Respuesta.- 26 rollos

Ejercicio: La Municipalidad de Santiago de Surco decide sembrar árboles en un terreno que
tiene ubicado cerca al Ministerio de Guerra. El terreno es de forma rectangular, las
dimensiones son 408m y 216m. La Municipalidad decide dividir este terreno en el menor
número de cuadrados que sea posible; ¿cuántos árboles son necesarios plantar si se quiere
poner uno en cada vértice de dichos cuadrados?
Respuesta.- 180 árboles

Ejercicio: En la tienda de abarrotes del papá de Juan hay tres barriles de pintura, uno
contiene pintura roja y es de 210 litros de capacidad, otro pintura azul y es de 300 litros y un
tercero con pintura amarilla y de 420 litros. Se desea depositar la pintura de los tres barriles
(sin mezclarlas) en envases que sean de la misma capacidad. ¿Cuál es la menor cantidad
de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no se desperdicie la pintura?
Respuesta.- 31 envases

Ejercicio: Un vendedor tiene entre 600 y 800 naranjas. Si se puede agruparlas de 15 en 15,
de 18 en 18 y de 24 en 24 sin que sobre alguna, ¿cuántas naranjas tiene el vendedor?
Respuesta.- 720 naranjas
12


1.3 NÚMEROS RACIONALES
Paradoja
Agustín y Percy tiraron penales el fin de semana. El sábado,
Percy anotó 10 de 20 intentos mientras Agustín anotó 45 de
100. El dómingo, Percy anotó 30 de 100 y Agustín 5 de 20. Si
medimos la eficiencia con el cociente del número de goles sobre
el número de intentos, podemos afirmar que tanto el sábado
U
como el domingo Percy estuvo más eficiente que Agustín
aunque Agustín estuvo más eficiente en el fin de semana
completo (sábado y domingo).

1.3.1 Fracciones
a
Fracción. Es una expresión de la forma , con a ∈ Ζ, b ∈ Ζ con b ≠ 0.
b
Interpretación: Una fracción consta de dos términos: el de arriba se llama numerador y el
3 −3
de abajo se llama denominador. Al referirse a oa se entiende que la unidad principal
4 4
se divide en cuatro partes iguales y se considera (3) o se extrae (-3) tres de dichas partes.

Ejemplo: Un señor compra una pizza para 8 personas. Al llegar a casa la señora la corta en
ocho partes iguales, pero solo dos de los hijos comen su parte respectiva y deciden guardar
el resto para más tarde, ¿cuánto queda de la pizza?

Solución .La pizza es cortada en ocho
8
octavos: y se consume dos octavos:
8
2
, por lo tanto quedan seis octavos de
8
6
pizza:
8

Ejemplo: Se tiene dos quintos de un molde de queso y se compra un molde más, ¿cuántos
quintos se obtiene?
2 2 5 7
Solución: +1= + =
5 5 5 5
2 Son siete quintos de molde de queso.
5
Y 1

Observación: Los números racionales mayores que la unidad se pueden escribir como
números mixtos los cuáles tienen parte entera y parte fraccionaria.
32 2
Ejemplo: = 6 , ya que al dividir 32 entre 5 se obtiene un cociente de 6 y un resto de 2.
5 5
Asimismo, el número mixto también se puede convertir en fracción.
2 2 3 × 7 + 2 23
Ejemplo: 7 =7+ = =
3 3 3 3

13


Fracciones equivalentes.
Ejemplo: Se considera tres pliegos de cartulina de mismas dimensiones. Se ha señalado las
partes iguales y se ha sombreado la misma parte en cada caso.

3 9 6
5 15 10
a c a c
Dos fracciones y son equivalentes si a × d = b × c . Se denota =
b d b d

1 2 3 −5
Ejemplo: = . En efecto 1x4 = 2x2. Del mismo modo, - = por -3x10= 6x(-5)
2 4 6 10

Fracción irreductible.
Nota: El valor absoluto de
a
La fracción es irreductible si a y b son primos entre sí. un número a, que se
b denota a , es el mayor
valor del real entre a o de
6 −2
Ejemplo: y son irreductibles porque su opuesto (-a).
7 3 Ejemplos:
MCD(6,7)= 1 y MCD (2,3)= 1. −4 = 4; 5,2 = 5,2
5 − 12
y no son irreductibles porque
10 10
MCD( 5, 10) = 5 y MCD( 12, 10) = 2.

Fracciones homogéneas. Son aquellas fracciones que tienen igual denominador.

Fracciones heterogéneas. Son aquellas fracciones que tienen diferente denominador.

1 2 −8 1 2 −3
Ejemplo: , y son homogéneas, y , y son heterogéneas.
5 5 5 3 7 6

1.3.2 Operaciones

1.3.2.1 Amplificación y simplificación de los términos de las fracciones.

a ka
Debido a la propiedad: = ,donde k ∈ Ζ y k ≠ 0, se tiene dos operaciones:
b kb
• Amplificación de los términos de la fracción: cuando se multiplica el
numerador y el denominador por un mismo número entero no nulo.

• Simplificación de los términos de la fracción: cuando se divide el
numerador y el denominador por un divisor común a los dos y diferente de 1.

14


2 2 x3 6 2 2 x(−2) − 4 14 14 ÷ 7 2
Ejemplos: = = ; = = ; = =
5 5 x3 15 5 5 x(−2) − 10 35 35 ÷ 7 5

1.3.2.2 Potenciación y radicación de fracciones.

Sean a, b y n enteros tales que las
operaciones que aparecen se puedan Ejemplo
efectuar
n 3
⎛a⎞ an ⎛2⎞ 23 8 ⎛ 3⎞ 92
⎜ ⎟ = n ⎜ ⎟ = 3 = ; ⎜− ⎟ =
⎝b⎠ b ⎝ 3⎠ 3 27 ⎝ 4⎠ 16
a na 64 64 8 27 3
n = ; donde n > 0 = = ; 3 − =−
b nb 121 121 11 64 8

1.3.2.3 Adicción y sustracción de fracciones.

La suma de dos fracciones es otra fracción que se obtiene de la siguiente manera.
a c ad + bc
+ =
b d ad

La resta de dos fraccciones es otra fracción que se obtiene de la siguiente manera

a c ad − bc
− =
b d ad

Nota muy importante: En la práctica estas dos fórmulas no son muy útiles y en especial
cuando se debe presentar la nueva fracción en forma irreductible. Por lo tanto se ha
desarrollado procedimientos que se muestran a continuación.

Procedimientos prácticos.

Nota importante: En estos procedimientos, se suma o se resta solamente
fracciones con denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplica el
numerador y el denominador de la fracción por –1.
4 4x(−1) − 4 − 10 − 10x(−1) 10
Ejemplo: = = ; = =
− 5 − 5x(−1) 5 −3 − 3x(−1) 3

• Si las fracciones son homogéneas, el procedimiento es bastante sencillo.

2 − 5 8 2 − 5 − 8 − 11
Se suma o resta los numeradores. Ejemplo: + − = = .
19 19 19 19 19

• Si las fracciones son heterogéneas, se hace en tres etapas:
1. Se calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.
2. Se amplifica los términos de las fracciones para convertirlas en fracciones equivalentes
homogéneas.
3. Se suma o resta los numeradores según el caso.

15


2 3
Ejemplo: +
5 4
1. En este caso se tiene MCM(4,5) = 20
2 2× 4 8 3 3 × 5 15
2. Luego, se amplifica los términos de las fracciones = = y = = .
5 5 × 4 20 4 4 × 5 20
2 3 8 15 23
3. Y después se suma los numeradores + = + =
5 4 20 20 20
3
Nota: En este caso se puede dar el resultado en forma de número mixto: 1 .
20

• Si se tiene números mixtos, se recomienda realizar por separado el cálculo con las
partes enteras y con las partes fraccionarias.
2 1
Ejemplo: Calcular: 3 + 16 .
7 3
2 2 1 1
1. Se recuerda que 3 = 3 + y 16 = 16 +
7 7 3 3
2. Se suma las partes enteras y se obtiene 3+16 =19.
2 1 2 × 3 + 1× 7 13
3. Por otro lado, se suma las partes fraccionarias y se tiene + = =
7 3 21 21
4. El resultado final se obtiene sumando los resultados parciales.
13
Respuesta.- 19 .
21

Nota importante: Todos los resultados finales deben estar dados con una
fracción irreductible.

4 1 2
Ejemplo: Calcular: + −
5 6 15

Se calcula el MCM( 5,6,15)= 2x3x5=30 y se amplifica los términos de las fracciones.
Se tiene entonces:
4 1 2 4x6 1x5 2x2 24 + 5 − 4 25
+ − = + − = =
5 6 15 30 30 30 30 30
25 25 ÷ 5 5
Ahora se simplifica los términos de la fracción obtenida: = =
30 30 ÷ 5 6
Respuesta. 5 / 6

1.3.2.4 Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación. El resultado de la multiplicación de dos o más fracciones es una nueva
fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el
producto de los denominadores.
Notas:
a c ac • Siempre es conveniente simplificar cada
x =
b d bd fracción antes de hacer las operaciones.
• Se aplica la regla de los signos cuando
hay números negativos.
3 8 − 2 3 × 8 × (−2) − 4
Ejemplo: × × = =
4 3 5 4 × 3× 5 5

16


División. El resultado de dividir una fracción entre otra es igual al producto de la primera
por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.

a c a d ad
Si c ≠ 0 , ÷ = x =
b d b c bc

a
También se puede representar como: b = ad
c bc
d
− 3 2 − 3 5 − 15 7
Ejemplo: ÷ = × = = −1
4 5 4 2 8 8

1.3.3 Comparación de fracciones

Nota importante. Se recomienda comparar solamente fracciones que tengan
denominadores positivos. De no ser el caso, se multiplica el numerador y el
denominador de la fracción por –1 como se explico anteriormente.

Si las fracciones a comparar son homogéneas y con denominador positivo, se compara los
numeradores.

Si las fracciones a comparar son heterogéneas y con denominador positivo, se debe
convertirlas en homogéneas y comparar los denominadores.

Ejemplo. Paradoja
Percy Agustín Resultados
Sábado 10 50 45
= Percy es más eficiente
20 100 100
Domingo 30 5 25
= Percy es más eficiente
100 20 100
Fin de semana 40 50
120 Agustín es más eficiente
120

Ejemplo.- Ordenar las fracciones siguientes de menor a mayor:

3 4 1 5
I) II) III) IV)
5 −7 2 6

Solución.-
4 −4
Se transforma la segunda fracción : = .
−7 7
−4
Ahora, como es la única fracción con numerador negativo, se deduce que es la menor.
7
Se considera el MCM ( 5 , 2, 6) = 30

3 6x3 18 1 15 5 5x5 25
De donde: = = , = , = =
5 30 30 2 30 6 30 30

17


4 1 3 5
Respuesta.- < < <
−7 2 5 6

1.3.4 Ejemplos y ejercicios.

Ejemplo: Calcular:
2 2x3 − 2 4 4
2− 4
3 3 4 6 4x2
= = 3 = 3 = 3 = x = = −8
− 2 4 1 − 2 5 1 − 1 1 − 1x3 + 1x2 − 1 3 −1 −1
÷ + x + + 6
5 5 3 5 4 3 2 3 6

Ejemplo. Manolo reparte su dinero de la siguiente manera: A Fernando le da la cuarta
parte, a Cesar la tercera parte y a Adela le da la sexta parte, quedándose con 1 800 soles.
¿Cuánto dinero tenía Manolo?

Solución:
Se expresa las fracciones del dinero total;

Fernando César Adela Manolo
1 1 1 1 1 1
1− − −
4 3 6 4 3 6

1 1 1 12 − 3 − 4 − 2 3 1
La fracción que le corresponde a Manolo es: 1 − − − = = = .
4 3 6 12 12 4
1
De donde S/. 1800 representan del total.
4
Por lo tanto, el total de dinero es 1800 x 4 = 7200.
Respuesta.- S/. 7200.

Ejemplo: Una contadora hace un reporte completo en 4 horas y su secretaria lo hace en 8
horas. Si trabajan juntas, ¿cuánto se demoran?

Solución:
1 1
En una hora, la contadora hace de todo el trabajo y su secretaria solamente .
4 8
1 1 3
Por lo tanto, juntas en una hora avanzan: + = de todo el trabajo. Para hacer el trabajo
4 8 8
8 2
se necesita de hora o sea 2 horas y de hora. Como cada hora es 60 minutos,
3 3
2
x60 = 40 minutos.
3
Respuesta. Si trabajan juntas se demoraran 2 horas y 40 minutos.

Ejemplo: Una jarra tiene un litro de jugo de naranja puro. Un niño toma la tercera parte y
reemplaza el contenido con agua. Se le cae la mitad de la mezcla y tuvo que reemplazarlo
de nuevo con agua. ¿Cuánto queda de jugo de naranja puro en la mezcla?

Solución:

18


Acción Jugo (litro) Agua (litro)
Inicio 1 0
Toma la tercera parte y se llena con 2 1
agua 3 3
1⎛2⎞ 1 2
Se cae la mitad y se llena con agua ⎜ ⎟=
2⎝3⎠ 3 3
1
Respuesta. En la mezcla, queda litro de jugo.
3

Ejercicio. Reducir las expresiones
1 1
a) 3 48 + 27 − 108 b) 3 2 + 3 − 125 + 49 − 4 2 + 5 8
4 8
Respuestas. a) 12 3 b) 9 + 6 2

Ejercicio: Calcular 5 − 2( 2 x30 − 2 −1 5 2 − 3 2 ) Respuesta. 5

⎡ 1 ⎛ 2 ⎞⎤ ⎛ ⎛ − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎢− + ⎜ − ⎟⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎟
⎣ 2 ⎝ 5 ⎠⎦ ⎛ 1⎞ ⎝ 5 ⎠ ⎝6⎠⎟
b) 3⎜
11
Ejercicio. a) + ⎜1 ⎟ Respuestas. a) – b) 4
⎛ 1 1⎞ ⎝ 4⎠ ⎜ ⎛ 1⎞ ⎟ 2
⎜− + ⎟
⎜ 5 3⎟ ⎜ 3⎜ − ⎟ + 0,2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 5⎠ ⎠
2 2
−2 −1 − +2
⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ 5 15 45 13
Ejercicio: a) ⎜ − ⎟ − ⎜− ⎟ b) Respuestas. a) b)
⎝ 3⎠ ⎝ 9⎠ 5
−1 4 5
3

Ejercicio. Tres niñas se han repartido una caja de chocolates, tomando una de ellas la
mitad de los chocolates, otra la tercera parte de lo que quedó y la tercera el resto. Si a la
segunda le tocó 6 chocolates, ¿cuántos chocolates le tocó a la tercera?
Respuesta: 12 chocolates

Ejercicio. En la mitad del terreno de una huerta se siembra pasto. En la tercera parte de lo
que queda se siembra café y en las 3/5 partes del resto se siembra fruta. Determine qué
parte de la huerta quedó sin sembrar y qué parte se sembró con café.
2 1
Respuesta: Se quedó sin sembrar de la huerta y se sembró con café de la huerta
15 6

Ejercicio. Para llenar un tanque de agua se dispone de dos llaves. La primera llena en una
hora 2/5 del tanque y la segunda llave llena en una hora la tercera parte. Si el tanque tiene
en el fondo dos agujeros de los cuáles fluye agua a razón de 4/15 y 1/6 del tanque por hora
respectivamente, ¿qué parte del tanque se llenará en una hora si se abre simultáneamente
3
las dos llaves? Respuesta: de tanque
10

Ejercicio. Una persona decide gastar su dinero en 4 días. El primero, gasta la mitad de lo
que tiene, el segundo la tercera parte más 10 soles; el tercer día gasta los 2/5 de lo que
gastó el día anterior y el cuarto, gasta los 100 soles restantes. ¿Cuánto tenía inicialmente?
Respuesta: S/.3 420

19


1.4 PROPORCIONALIDAD

Razón áurea
Longitud 1 + 5
Un rectángulo cuyas dimensiones satisfacen la proporción = se
Ancho 2
llama rectángulo áureo y su origen se remonta a la época de los griegos, quienes
pensaban que este rectángulo mostraba la proporción más estética y la usaron en sus
obras de Arquitectura como el Partenón, construido sobre la Acrópolis en la Antigua

1.4.1 Razones y proporciones numéricas

Razón: Es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha comparación se puede
hacer de dos maneras:
a
• Por cociente de dos reales: r = ; b ≠ 0 (razón geométrica)
b
• Por diferencia de dos reales: r = b - a (razón aritmética).

Observación: r es un número real.

Ejemplo. Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre le
lleva 30 años a su hijo (razón aritmética con r = 30) o también que el padre tiene 4 veces la
edad de su hijo (razón geométrica con r = 4).

Nota: En este documento sólo se tratará razón geométrica la cuál se llamará simplemente
razón.

Vocabulario
a a se llama antecedente
En una razón geométrica, r = ;b ≠ 0
b b se llama consecuente

Problema: Densidad de la población: La extensión territorial de la
ciudad “Aconao” es de 72 600 kilómetros cuadrados y su Aconao
población aproximada en 1998 era de 609 840. ¿Cuál era su 400Km
densidad poblacional en 1998?
Salida 14
Solución: La densidad poblacional es el cociente del número de
habitantes por kilómetros cuadrados. Se expresa en habitantes por kilómetros cuadrados.
En este caso la densidad poblacional de la cuidad de Aconao es de 8,4 hab/km2 por el
609840
cociente = 8,4 .
72 600
Respuesta.- La densidad poblacional de la cuidad de Aconoa es 8,4 hab / km 2 .

Proporción: Es la igualdad de dos razones.

Una proporción geométrica es de la forma
a c
= (con b≠0 y d≠0) a y d se llaman extremos de la proporción.
b d

se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”. b y c se llaman medios de la proporción.

20


Propiedad Fundamental:

a c
Para todo a, b, c y d no nulos, = es equivalente a ad = bc
b d

Consecuencias Importantes:
• Se deduce que existe un número real α tal que a= α c, b= α d.
a 4
Por ejemplo: si = entonces se tiene a =4 α y b=7 α
b 7
a c
• Si se tiene la proporción = en la cuál a, b, c y d son no nulos entonces se puede
b d
a b
formar la proporción siguiente: = .
c d

Serie de razones iguales:
x y z
Si se tiene una serie de razones iguales como: = = = k , entonces se deduce que:
a b c
x= ka, y= kb, z= kc.
Se dice que k es la constante de proporcionalidad y que los números x, y, z son
proporcionales a: a, b y c, respectivamente.

Ejemplo: Se reparte 80 canicas a tres niños de 5, 6 y 9 años proporcionalmente a su edad.
¿Cuántas canicas tendrá cada uno?

Solución: Sea x la cantidad de canicas que tiene el niño de 5 años,
y la cantidad de canicas que tiene el niño de 6 años y
z la cantidad de canicas que tiene el niño de 9 años.
Se cumple entonces lo siguiente:
x y z
• = = = k , entonces: x= 5k , y = 6k ; z= 9k
5 6 9
• x+y+z = 80
Así 5k + 6k + 9k = 80 de donde: 20k = 80 y k = 4.
De donde: x = (4)(5) =20 y = (4)(6) =24 z = (4)(9) = 36
Respuesta.- Los niños de 5, 6 y 9 años recibieron 20, 24 y 36 canicas respectivamente.

1.4.2 Magnitudes y cantidades.

Una magnitud es todo aquello susceptible de medición. Se expresa usando un número real
y una unidad de medición.

Ejemplos:
Magnitud Ejemplo Unidad Número o valor
Temperatura 15°C grado Celsius 15
Longitud 5 cm centímetro 5
Masa 7,5 kg kilogramo 7,5
Dinero S/. 20 un nuevo sol 20
Velocidad 55 km /h kilómetro / hora 55
Obrero 8 obreros un obrero 8

Otras magnitudes son: capacidad, superficie, volumen, velocidad, menú, página etc.

21


1.4.3 Magnitudes directamente proporcionales

Caso : Si un kilogramo de un producto cuesta 20 soles, y se paga en soles a razón de la
masa en kilogramos, se puede llenar la siguiente tabla:

Magnitudes Valores correspondientes
Precio (soles) 10 20 40 42,5 60
Masa (kg) 0,5 1 2 2,125 3

Se observa que el cociente de sus valores correspondientes es constante.

10 20 40 42,5 60
= = = = = 20
0,5 1 2 2,125 3
Es decir que la serie de razones iguales admite 20 como constante de proporcionalidad.

Precio
= 20 nuevo sol / kilogramo o Precio = 20 Masa nuevos soles
Masa
Se dice entonces que:
• el precio es directamente proporcional a la masa.
• la masa es directamente proporcional al precio.
• las dos magnitudes ( precio y masa) son directamente proporcionales.

Definición: Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, cuando, al multiplicar el
valor de una de ellas por un real no nulo, el valor correspondiente a la otra magnitud se
encuentra multiplicado por el mismo real, manteniendo la misma proporción.

Ejemplos : Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen un
comportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes directamente proporcionales:
1. El número de objetos y el precio cuando se paga a razón del número de objetos.
2. La masa y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón de la masa de la
mercancía.
3. La longitud de la circunferencia de un círculo y la longitud del diámetro de la misma.
4. El perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado.
5. El área de un cuadrado y el cuadrado de su lado.

Si A es directamente proporcional a B, entonces
A
=k o A = kB ,
B
donde k es la constante de proporcionalidad.

1.4.4 Magnitudes inversamente proporcionales

Definición: Se dice que una magnitud A es inversamente proporcional a una magnitud B si
1
la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud .
B

22


Caso : Si un móvil que se desplaza a una velocidad constante (Movimiento rectilíneo
uniforme) de 30 kilómetros por hora demora 2 horas, se puede llenar la siguiente tabla para
saber cuanto tiempo se demoraría para recorrer la misma distancia a velocidades constantes
distintas.

Velocidad ( km/h) 15 30 50 60

Tiempo (horas) 4 2 1,2 1

Se observa que el producto de sus valores correspondientes es constante.

15 x 4 = 30 x 2 = 50 x 1,2 = 60 x 1= 60

Es decir que la serie de productos admite 60 como constante de proporcionalidad.

60
velocidad x tiempo = 60 km o velocidad = km / h
tiempo

Se dice entonces:
• La velocidad es inversamente proporcional al tiempo.
• El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad.
• Las dos magnitudes ( velocidad y tiempo) son inversamente proporcionales.

Ejemplos: Si se considera que las otras magnitudes que intervienen en el suceso tienen un
comportamiento constante, se tiene las siguientes magnitudes inversamente proporcionales
1. El número de obreros ( de igual rendimiento) y el tiempo que emplean para hacer una
obra.
2. El número de días y el número de horas por día que emplean los trabajadores (de igual
rendimiento) en realizar una misma obra.

Si A es inversamente proporcional a B, entonces
k
A= o AB = k ,
B

1.4.5 Propiedades:
Sean A y B dos magnitudes proporcionales y sus valores correspondientes indicados en la
siguiente tabla.

A a1 a2 a3
B b1 b2 b3

1. Si A y B son directamente proporcionales entonces, se cumple:
a1 a 2 a 3 a 4
• = = = =k.
b1 b 2 b 3 b 4
donde k es la constante de proporcionalidad y tiene una unidad.

23


a1 b1 a1 b1 a b
• = , = , 2 = 2 , etc.
a2 b2 a3 b3 a3 b3

En estos cocientes, el resultado no tiene unidad debido a que se divide dos cantidades
expresadas en la misma unidad.

Ejemplo: En el caso del precio con la masa visto anteriormente, estas últimas proporciones
60 3 40 10
se traducen por ejemplo con: = , = .
40 2 2 0,5

2. Si A y B son inversamente proporcionales entonces, se cumple:
• a1 b1 = a2 b2= a3 b3 = a4 b4 = k.
donde k es a constante de proporcionalidad y tiene una unidad.

a1 b 2 a1 b 3 a b
• = , = , 2 = 3 , etc.
a 2 b1 a 3 b1 a3 b2
En estos cocientes, el resultado no tiene unidad, debido a que se divide dos cantidades
expresadas en la misma unidad.

Nota importante: Cabe resaltar que, en este caso, se invierte el orden de los valores
correspondientes.

Propiedad 2:
1. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es directamente
proporcional a la magnitud C, entonces, la magnitud A es directamente proporcional a la
magnitud BC, lo que se expresa con:

A = k BC
Donde k es la constante de proporcionalidad.

Nota: Esta propiedad se puede generalizar a más de 2 magnitudes.

2. Si la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y es inversamente
proporcional a la magnitud C, entonces se expresa con:

B
A =k ,
C

Ejemplo: La fuerza de atracción entre dos planetas es directamente proporcional a cada
una de las masas de los planetas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que los separa. Expresar la relación de proporcionalidad entre estas magnitudes. Si la
distancia entre las planetas se duplica, ¿que pasa con la fuerza de atracción?

Solución. Sea F la fuerza de atracción, M y M’ las magnitudes masa de cada planeta y D la
M.M'
magnitud distancia, se tiene entonces F = k .
D2
Si la distancia se duplica, D2 se cuadruplica y la fuerza se divide entre 4.

24


Ejemplo: Sean tres magnitudes X, Y y Z, para los cuales:
X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z.
a. Expresar X en términos de Y y de Z.
b. Si el valor de X es 18 cuando Y toma el valor 5 y Z toma el valor de 2, determinar el valor
que toma X cuando Y es 25 y Z, 3.

Solución.
Como X es directamente proporcional a Y e inversamente proporcional al cuadrado de Z,
Y
entonces por propiedad: X = k
Z2
5
Con los datos se puede calcular k. Así 18 = k ( ). De donde k = 72/5.
22
Ahora si Y=25 , Z =3 se tiene X = (72/5 )(25/9)= 20

Respuesta.- Si Y=25 , Z =3 entonces X = 20.

Ejemplo: El valor de una obra de arte es proporcional al cuadrado de la antigüedad que
tiene. Si actualmente tiene 20 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su valor?

Solución:
Si se denota con P la magnitud obra de arte y con A la magnitud antigüedad, entonces se
tiene: P = k A2.
P p p
Por lo tanto, la relación:
2
= k, es siempre constante y se cumple: 12 = 22 .
A a1 a2
p1 4p1
Como p2 = 4 p1, se reemplaza los valores: 2
= 2 .
(20) a2
Se simplifica por p1, por ser no nulo, y por lo tanto, a22 = 4 (20)2= 1600.
Como a2 es positivo, se deduce que a2 = 1600 = 40.
Respuesta.- El valor de la obra se cuadriplicará dentro de 20 años.

Ejemplo: Si A y B son dos magnitudes tales que: A 2 3,5 5 6,5
entonces, A y B son magnitudes inversamente B 7 4 2,8 2
proporcionales.

Solución: En este caso se debe verificar que los productos de los valores correspondientes
de A y B son iguales. Se observa que 2*7=3,5*4=5*2,8= 14 pero 6,5*2=13.
Respuesta.- Las magnitudes A y B no son inversamente proporcionales.

Nota: Un error frecuente es considerar solamente que cuando los valores de A crecen, los
valores respectivos de B decrecen sin verificar todos los productos.

1.4.6 Regla de tres

1.4.6.1 Regla de tres simple:

Definición: La regla de tres simple es un procedimiento que permite hallar un término
desconocido de una proporción geométrica en la cuál interviene solamente dos magnitudes
que tienen una relación de proporcionalidad.

Regla de tres simple directa: Se dice cuando las magnitudes son directamente
proporcionales.

25


Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales tales que la
magnitud B corresponde al valor desconocido.
Se establece la siguiente tabla:
A B
a1 b1
a2 x
Como las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple B = k A.
a1 b1 a b
Se establece la proporción: = , y, por la propiedad fundamental, x = 2 1 .
a2 x a1

Ejemplo: En un restaurante, si se cobra 48 soles por un total de 12 menús, ¿cuánto cuestan
5 menús?

Solución:
Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (precio y menú) son directamente
proporcionales. En efecto, al aumentar el número de menús, el precio aumenta en la misma
proporción.
De esta manera se tiene:
Precio
= k donde k es la constante de proporcionalidad
Menú

Se presenta los datos de la siguiente manera:

Menús Precio
(Número de) (En Soles)
12 48
5 x
O de esta otra:
12 menús ............... S/. 48

5 menús ............... S/. x

Como las magnitudes son directamente proporcionales
12 48
• se establece la proporción =
5 x
• se aplica la propiedad fundamental (48)( 5) = 12 x
(48)(5) (4)(5)
• de donde: x = = = 20
12 1
Respuesta. – Cinco menús cuestan S/. 20.

Regla de tres simple inversa: Se dice cuando las magnitudes son inversamente
proporcionales.

Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales tales que la
magnitud B corresponde al valor desconocido.
Se establece la siguiente tabla:
A B
a1 b1
a2 x

26


Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple AB = k y se deduce:
a1 x ab
= . Por la propiedad fundamental se tiene a1 b1 = a2 x. De donde: x = 1 1 .
a 2 b1 a2

Ejemplo: Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra, ¿cuántos días demorarían 8
obreros a hacer la misma obra en las mismas condiciones?

Solución: Se observa que, en este caso, las dos magnitudes (tiempo y obrero) son
inversamente proporcionales. En efecto al aumentar el número de obreros, el tiempo
disminuye en la misma proporción.
Se puede presentar los datos de la siguiente manera:

Obreros Tiempo
( Número) (En días)
6 20
8 x
O de esta otra:
6 obreros .................... 20 días
8 obreros .................... x días

Como las magnitudes son inversamente proporcionales: (Obreros)(Tiempo)= k
6 x
• se establece la proporción =
8 20
• se aplica la propiedad fundamental (6)(20) = 8 x
(6)(20)
• de donde: x = = 15 .
8
Respuesta: 8 obreros se demorarían 15 días.

Ejemplo: Si se necesita dos horas para pintar una pared cuadrada de cinco metros de lado,
¿ cuánto tiempo se necesita para pintar en las mismas condiciones una pared cuadrada de
diez metros de lado?

Solución: ¡Cuidado! En este caso, la proporcionalidad no es con el lado del cuadrado sino
con su área.
Área de la pared Tiempo
( en metros cuadrados) ( en horas)
25 2
100 x

Como a más área, más tiempo, las magnitudes son directamente proporcionales y se tiene
25 100 200
= . De donde: 25 x = (100)(2) y x= =8.
2 x 25
Respuesta.- Se necesita 8 horas para pintar una pared de 10 metros de lado.

1.4.6.2 Regla de tres compuesta:

Definición.- La regla de tres compuesta es un procedimiento que permite hallar un término
desconocido de una serie de razones en la cuál intervienen más de dos magnitudes que
tienen entre sí relaciones de proporcionalidad.

27


Procedimiento.- Para resolver el problema se estudia la relación de proporcionalidad que
tiene la magnitud que corresponde al valor desconocido con las otras magnitudes
considerando en cada caso que las demás magnitudes presentan un comportamiento
constante.
Sean A, B y C magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido.

A B C
a1 b1 c1
x b2 c2

Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente
B
proporcionales entonces, por las propiedades vistas en 1.4.5, se tiene: A = k .
C
a1 b1 c 2 ab c
De donde = y x= 1 2 1.
x b2 c1 b1c 2
Nota importante.- Como A y B son directamente proporcionales entonces la razón
mantiene el mismo orden. En cambio, como A y C son inversamente proporcionales la
respectiva razón se invierte.
.
Ejemplo: Para una obra cinematográfica se encarga la confección del vestuario a 10 sastres
que pueden hacer 1000 trajes en 40 horas. ¿Cuántos sastres más que trabajan de la misma
forma se necesita para hacer 600 trajes en 20 horas?

Solución: Se establece la siguiente tabla con los datos

Sastres ( Número) Tiempo (Horas) Trajes (Número)
10 40 1000
x 20 600

Como a más sastres, menos tiempo, los sastres y el tiempo son magnitudes inversamente
proporcionales
Como a más sastres, más trajes entonces los sastres y los trajes son magnitudes
directamente proporcionales
10 20 1000
Y se tiene: =( )( )
x 40 600
(10)( 40)(600)
De donde: x = = 12 y por lo tanto 12 - 10 = 2.
( 20)(1000)
Respuesta.- Se necesita 2 sastres más.

1.4.7 Porcentajes

Definición.- Un porcentaje es una razón cuyo Nota Histórica.
antecente es racional y cuyo consecuente es 100. En un libro del NCTM ( National
a Council of teachers of
La razón se denota a% y se lee a por ciento. Mathematics) se señala que el
100
signo de porcentaje %
1.4.7.1 Aplicar un porcentaje.- evolucionó de un símbolo en un
Se calcula el a % de una cantidad N de la siguiente manuscrito italiano de 1425 y
a se transformó a la notación
manera: a% de N= N. actual alrededor de 1650.
100

28


Ejemplo.- Calcular el 5 % de 90.
5
Solución.- Se calcula ( 90) , o, lo que es lo mismo, (0,05) (90). El resultado es 4,5.
100

Ejemplo. ¿Cuál es el 20 % del 30 % de 150?
30
Solución: El 30 % de 150 es : x150 = 0,30 x 150.
100
20 30
El 20 % del 30 % de 150 es x x150 = 0,20 x 0,30 x 150= 9
100 100
Respuesta. - 9

Ejemplo: La leche da 12,5 % de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 dm3 de crema,
¿cuántos litros de leche se ha procesado?

Solución: Si V es el volumen en dm3 de leche procesado, se debe cumplir
12,5 (30)(100)
12,5% de V = 30. De donde: V = 30 y V = = 240
100 12,5
V = 240 dm3 . Como 1dm3 = 1 litro se tiene

Respuesta.- Se ha procesado 240 litros de leche.

1.4.7.2 Transformar razón a porcentajes
a ⎛a⎞
Tomar el de N es equivalente a tomar el 100⎜ ⎟ % de N.
b ⎝b⎠

Ejemplos.-
3 (3)(100)
• Tomar los de N equivale a tomar el % de N, es decir el 75 % de N.
4 4
• ¿Qué porcentaje de 250 es 50?
50 a (50)(100)
Se debe cumplir = . Por lo tanto: a = = 20
250 100 250

Respuesta: 50 es el 20 % de 250.

• Un par de zapatos de 150 Nuevos Soles se rebaja a 120 Nuevos Soles. ¿Cuál es el
porcentaje de descuento?
Se ha aplicado al precio una rebaja de 30 Nuevos Soles por 150 – 120. Ahora, se calcula
30 a
el porcentaje de descuento con la proporción: = . De donde: a = 20.
150 100
Respuesta.- El porcentaje de descuento es 20 %.

Ejemplo: En un matrimonio al cuál asistieron 120 personas adultas, el 60% era hombres. Si
el 50% de los hombres y el 31,25% de las mujeres eran solteras, ¿qué porcentaje de los
asistentes eran solteros?

Solución: Se calcula el número de hombres solteros:
50 60
50% de 60% de 120 es: x x120 = 36
100 100

29


Se calcula el número de mujeres solteras: Si hay 60% de hombres entonces hay 40% de
mujeres.
31,25 40
31,25% de 40% de 120 es: x x120 = 15
100 100
36 + 15 a
Luego se establece la proporción: = , donde a es el porcentaje de los
120 100
asistentes solteros. Así a = 42,5

Respuesta.- El porcentaje de solteros es 42,5 %.

1.4.7.3 Aplicación al campo económico.

Caso 1: El Impuesto general a la ventas ( I.G.V) se calcula aplicando a cada precio inicial
el 18 %. ¿Cómo se calcula los nuevos precios?

Solución. Si P es el precio inicial, entonces el IGV es el 18 % de P o sea (0,18)P.
Como es un aumento, el nuevo precio es:
P + 18% = P + (0,18)P = (1+0,18)P = 1,18 P

Respuesta.- Para calcular los nuevos precios se multiplica los precios iniciales por 1,18.

Caso 2: Una tienda de ropa inicia una campaña de oferta, aplicando a cada prenda un
descuento del 15 %. ¿Cómo se calcula los nuevos precios?

Solución. Si P es el precio de una prenda, entonces el 15 % de P es (0,15)P.
Como es un descuento, el nuevo precio es:
P -15% P = P – (0,15)P = ( 1 - 0,15)P = 0,85 P.

Respuesta.- Para calcular los nuevos precios se debe multiplicarlos por 0,85.

Resumen:
Precio inicial Aumento de a% Descuento de a%
P (1 + a%) P (1 - a%)P

Ejemplo. Una tienda vende chompas a S/. 60 ganando un 20 % del costo. ¿Cuál es el costo
de una chompa?

Solución: Si C es el costo, entonces el precio de venta se expresa por: 60 = (1 + 20%) C.
De donde 60 = 1,20 C y C = 50.
Respuesta.- El costo de una chompa es de S/.50.

Ejemplo. Un automovilista va a comprar aceite para su motor en su grifo favorito y descubre
que los precios han aumentado de 15 % desde el mes anterior. Si, al comprar el aceite, el
vendedor le hace una rebaja de 15 % por ser cliente preferencial, ¿ha ganado o perdido el
automovilista en la transacción?¿ Cuál es su porcentaje de ganancia o perdida?

Solución: Si P es el precio inicial del aceite, con el aumento de 15 % se transforma en
1,15P. Luego, se aplica la rebaja de 15 % al nuevo precio y se transforma en: (0,85)(1,15) P
o sea en 0,9775 P.
Este resultado significa que el automovilista ha pagado su aceite 97,75 % del precio del mes
anterior y ha ganado el 2,25 % (100% – 97,75% ) sobre el precio del mes anterior.

30


Aplicación: Variaciones
El cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento
porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior.

Ejemplo. Con la finalidad de vender la mayor cantidad de artículos después de las fiestas
patrias, un comerciante reduce sus precios en un 20 % y observa que sus ventas en el mes
de agosto aumentan en un 30 %. ¿En que porcentaje varió su ingreso en agosto con
respecto a julio?

Solución: El ingreso se calcula multiplicando el precio por el número de artículos vendidos.
En el mes de julio, se tiene: IJ = PN donde P es el precio y N el número de artículos.
En el mes de agosto, se tiene IA = (0,80 P)(1,30N) = (1,04 PN)
La variación del ingreso del mes de julio al mes de agosto esta dada por:
I A − I J 1,04PN - PN
= = 0, 04 = 4 %.
IJ PN
Respuesta.- La variación de su ingreso de julio a Agosto es un aumento del 4 %.

1.4.8 Ejemplos y problemas.

Ejemplo. Juan y José tienen dinero en la relación de 4 a 3, pero gastan como 5 a 6
respectivamente. Si tenían juntos 350 soles y gastaron juntos 220 soles ¿En qué razón
está el dinero de Juan con respecto al de José luego de los gastos?

Juan 4 4α
Solución. La razón entre el dinero de Juan y el de José es de : = = donde α es
Jose 3 3α
un número real. Como en total tienen 350 soles, se cumple: 4α + 3 α = 350 .
De donde 7α = 350 y α = 50.
Por lo tanto, Juan tiene 200 soles y José tiene 150 soles.
Similarmente, se calcula que Juan ha gastado 100 soles y José 120 soles.
Respuesta. - Al final, Juan y José tienen dinero en la relación de10 a 3.

Ejercicio. Si el precio de una manzana es al precio de una naranja como 3 es a 2 y el precio
de una naranja es al de una pera como 5 es a 6, ¿cuántas peras se puede intercambiar por
100 manzanas?
Respuesta.- 80 peras

Ejercicio. De un plano hecho a escala 1:1 000 se obtienen las siguientes medidas de un
terreno rectangular: 5cm y 8cm. ¿Cuál es el área del terreno en metros cuadrados?
Respuesta.- 400m2

Ejercicio. Supongamos que Pedro y Juan van a establecer un negocio. Pedro va a invertir
$12 000 y Juan $18 000. ¿Qué parte de las ganancias le corresponderán a cada uno?
2 3
Respuesta: A Pedro le corresponde y a Juan
5 5

Ejercicio. Un padre desea repartir una herencia entre sus hijos José, Luis y Carlos, de
manera que las partes sean entre sí como los números 7, 6 y 5 respectivamente.
Posteriormente cambia de opinión y ordena hacer el reparto proporcionalmente a los
números 6, 5 y 4.

31


a. ¿Qué fracción de la herencia ha ganado o perdido cada uno de los hijos con esta
nueva repartición?
b. El monto total de la herencia si a uno de ellos le corresponde en la segunda
repartición S/.1 200 más que la primera.
1 1
Respuesta.- a. José gana ,Luis ni pierde ni gana y Carlos pierde de la herencia.
90 90
b. El monto total es S/. 108 000.

Ejercicio. El número de problemas resueltos por una persona en un examen es
directamente proporcional a la raíz cuadrada del número de horas diarias de estudio y es
inversamente proporcional a la edad de la persona. Si un alumno de 20 años que dedicó 4
horas diarias de estudio contestó 12 preguntas, ¿cuántas preguntas contestará un alumno
que tiene 15 años si estudio 9 horas?
Respuesta: El alumno contestará 24 preguntas.

Ejercicio. En una fabrica industrial la gratificación por fiestas patrias se pagó en forma
directamente proporcional a los años de trabajo y al número de horas diarias de jornada, e
inversamente proporcional a la cantidad tardanzas acumuladas en el año.
Si Juan Pérez recibió S/. 2 400 por trabajar 12 años, haciendo una jornada diaria de 8 horas
y habiendo llegado tarde 5 veces, ¿cuánto le correspondería a Pedro Gómez por sus 14
años de experiencia, trabajando 10 horas diarias, habiendo acumulado 7 tardanzas?
Respuesta S/.2 500

Ejercicio. Ocho albañiles, con una jornada de 10 horas por día han concluido una obra en 6
días.¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles para hacer el trabajo en
10 días? Respuesta: 9h36m

Ejercicio. Se contrataron 5 artesanos que hacen 12 chompas en 15 días. Se pretende tener
60 chompas en 25 días, ¿cuántos artesanos se deben contratar adicionalmente?
Respuesta: 10 artesanos

Ejercicio. Sabiendo que un obrero se demora 16 horas en abrir una zanja de 400m3, ¿en
cuántas horas lograría abrir una zanja de 300m3 ? Respuesta: 12 horas

Ejercicio. Una guarnición tiene víveres para 121 días a razón de una ración diaria. Si se
aumenta en 1/3 el número de individuos, ¿en qué fracción se debe disminuir la ración diaria
1
para que dure el mismo tiempo? Respuesta:
4

Ejercicio. Un ingeniero cuenta con 30 obreros para hacer una obra en 24 días, pasados 10
días de trabajo le notifican que la obra debe culminarse 4 días antes, ¿cuántos obreros
adicionales debe contratar para cumplir con el nuevo plazo?
Respuesta: 12 obreros

Ejercicio. Roberto en su afán de realizar un negocio decide vender dos calculadoras del
mismo modelo a 300 dólares cada una. Si en una de ellas pierde el 15% y en la otra gana el
15% sobre el precio de compra, ¿podemos afirmar que Roberto es un buen negociante?
Respuesta: No, pierde más o menos S/.14,00

Ejercicio.¿En que porcentaje se debe aumentar el costo de un artículo para fijar su precio,
de tal manera que aún haciendo un descuento del 20% del precio fijado se gane el 40% del
costo? Respuesta: 75%

32


Ejercicio. Compré una joya en 500 dólares y quise venderla inicialmente en "N" dólares,
pero dada la recesión decidí venderla tan sólo al 80% de dicho precio. Luego, para realizar
la venta hice un descuento adicional de 25% obteniendo una ganancia de 20%. Hallar "N".
Respuesta: $1 000

Ejercicio. ¿En qué porcentaje varía el área de un cuadrado, si su lado disminuye en 15%?
Respuesta: Disminuye en 27,75%

Ejercicio. Susana trabaja en una compañía textil. En el mes de Mayo (por el día de la
madre), recibe un aumento del 20%, y luego en el mes de Julio (por fiestas patrias), le
vuelven a aumentar, esta vez 15%. ¿Qué porcentaje extra de su sueldo de Abril estará
recibiendo en Julio?
Respuesta: 38%

Ejercicio. En una industria se han fabricado 1000 dispositivos electrónicos para
computadoras en una semana; el 45% de ellos han sido fabricados en el turno diurno de
producción y el resto en el turno nocturno. Si se sabe que el 20% de lo fabricado en el turno
diurno es defectuoso y el 40% de lo fabricado en el turno nocturno es defectuoso, ¿qué
porcentaje de la producción de la semana representan los dispositivos defectuosos?
Respuesta: 31%

33


1.5 PROGRESIONES

Hace mucho tiempo, en la India, el gran visir Sissa Ben Dahir, inventó el juego de
ajedrez en honor a su rey, Shirham. Al rey le entusiasmó tanto el juego que ofreció al
gran visir cumplir cualquier deseo que le formúlase.
• Majestad, deme un grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 granos por la
segunda casilla y así, ¡Oh rey¡, doblando cada vez el número de granos que hay en
la casilla anterior, deme el trigo suficiente para cubrir todas las casillas del tablero.
• Tu deseo será cumplido ahora, gran visir¡
Sin embargo, era más fácil decirlo que hacerlo. El rey ordenó que trajesen un saco de
trigo ante su trono. Empezaron a contar los granos, pero el saco se vació antes de llegar
a la cantidad correspondiente a la vigésima casilla. Hecho esto, el rey mando a traer más
sacos hasta agotar todos los que tenía en el almacén y aún así faltaban más granos,
llegando a la conclusión de que le iba a ser imposible cumplir con el deseo del visir.

¡La cantidad era tal, que sembrando todos los campos de la India, no harían en dos mil
siglos los granos de trigo que según la promesa del rey corresponde al gran visir!

1.5.1 Progresiones Aritméticas

Definición. Es una sucesión de números en la cual cada término, salvo el primero, se
obtiene sumando al término anterior una cantidad constante no nula llamada razón o
diferencia que se denota r.
Ejemplo: -2; 5; 12; 19; ............ es una progresión aritmética creciente de razón 7.
10; 2; -6; -14; .......... es una progresión aritmética decreciente de razón -8.

Razón Tipo de progresión
r< 0 progresión aritmética es decreciente
r >0 progresión aritmética es creciente

Elementos. En la progresión aritmética: a1; a2; .........an de n términos, se tiene:

Razón : r = ai – ai-1, donde i = 2; 3; .....; n
Término de lugar n : an = a1 + (n-1)r
(a + a n )n
Suma de los n primeros términos : Sn = 1
2

Ejemplo: Hallar el término que ocupa el lugar 23 en la progresión aritmética: 9; 4; -1;-6;...

Solución: Se calcula la razón: r = 4 – 9 = -5 .
El término de lugar 23 es : a23 = 9 + (23 -1)(-5)
Respuesta. a23 = -101

Ejemplo: Determinar el número de términos de la siguiente progresión aritmética:
-4; -1,5;1; .......; 66

Solución: Se calcula la razón: r = -1,5 – (-4) = 2,50
Se utiliza la fórmula para determinar cualquier término de posición n: an = a1+(n-1)
Si an es el último término, entonces se tiene: 66 = -4 + (n -1)(2,5)
70 = (n-1)(2,5)
28 = n – 1 de donde n = 29.

34


Respuesta.- La progresión tiene 29 términos.

Ejemplo: Un mecánico arregla 20 piezas de una carrocería. Por la complejidad del trabajo
acuerda la forma de pago siguiente: $3,50 por la primera pieza; $5,00 por la segunda; $6,50
por la tercera y así sucesivamente. ¿Cuánto recibirá por todo el trabajo?

Solución: Los pagos forman una progresión aritmética de razón: r = 5,00 - 3,50=1,50.
Para calcular lo que recibe por todo el trabajo se debe determinar la suma de los 20 pagos,
(a + a 20 )(20)
es decir: S20 = 1
2
Se calcula el término a20 con: a20 = a1 + (20-1)r = 3,50 +(19)(1,50) = 32
(3,50 + 32)(20)
Se reemplaza en la suma: S20 = = 355
2
Respuesta.- El mecánico recibirá por el trabajo completo S/.355,00.

1.5.2 Progresiones Geométricas

Definición. Es una sucesión de números en la cual cada término, salvo el primero, se
obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante no nula llamada razón
que se denota q.

Ejemplos:
3; 12; 48; 192; ............ es una progresión geométrica creciente de razón q = 4.
2
10; 4; 1,6; 0,64; ......... es una progresión geométrica decreciente de razón q = .
5
1 1
; − 1; 2 ; − 4 ; − 8 ; ......... es una progresión geométrica alternante de razón q = −
2 2

Razón Tipo de progresión
q<0 Progresión geométrica alternante
0< q <1 Progresión geométrica decreciente
q >1 Progresión geométrica creciente

Elementos. En la progresión geométrica: a1, a2, .........an de n términos, se tiene:

ai
Razón :q = ; donde i = 2; 3; .....;n
a i−1
Término de lugar n : an = a1 (q )n −1
a1 ( qn − 1)
Suma de los n primeros términos : Sn = si q ≠ 1
q -1

1 1
Ejemplo: La razón de una progresión geométrica es y el óctavo término es .
2 64
Determinar el valor del primer término.

Solución: Se aplica la fórmula para el óctavo término: a8 = a1q8-1= a1q7
7
= a1 ⎛ 1 ⎞
1
Y se reemplaza : ⎜ ⎟
64 ⎝2⎠

35


1
= a1 1
64 128

Respuesta.- El primer término, a1, es 2.

Ejemplo: Hallar el noveno término a partir de la progresión geométrica: 3; ......; 24; 48;.......
a 48
Solución: Se determina la razón: q= i = =2
a i−1 24
Se calcula el noveno término: a9 = a1q8 = 3(2)8
Respuesta.- El noveno término, a9, es: 768.

Ejemplo: Se tiene una lámina triangular equilátera. Se toma los puntos medios de sus
lados formando un nuevo triángulo. En este triángulo se vuelve a tomar los puntos medios
formándose otro triángulo y así sucesivamente. Si se repite el proceso diez veces,
determinar la suma de los perímetros de todos los triángulos así formados incluyendo el
triángulo original de lado "a".

Solución:
perímetro 1: 3 (a) = 3a Los perímetros forman
⎛ a ⎞ 3a 1
perímetro 2: 3 ⎜ ⎟ = una PG de razón: y de
⎝2⎠ 2 2
a primer término 3a.
⎛ a ⎞ 3a
perímetro 3: 3 ⎜ ⎟ = Se pide determinar la
⎝4⎠ 4 suma de los 10 primeros
........ términos de dicha
perímetro 10: .............. progresión.
⎛ ⎛ 1 ⎞ 10 ⎞
3a ⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ 3a ⎛ 1 − 1⎞ 3a ⎛ − 1023 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎝ 2 ⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 1024 ⎠ ⎝ 1024 ⎠
Se reemplaza en la fórmula: S10 = = =
1 1 1
-1 − −
2 2 2
3069
Respuesta.- La suma de los 10 perímetros es: S10 = a.
512

Ejemplo: Dos poblaciones “Antara” y “Bascua”, tienen en la actualidad 9 167 360 y 143 240
habitantes, respectivamente. Suponiendo una disminución anual de la población de “Antara”
en 1/8 de sus habitantes y el aumento anual de la población “Bascua” en 3/4 ¿Dentro de
cuanto tiempo las poblaciones tendrán el mismo número de habitantes?

Solución: Como la población de “Antara” disminuye en 1/8 anualmente, después de cada
año quedan los 7/8 de la población anterior, por lo tanto varía de la siguiente manera:
2 n
7 ⎛7⎞ ⎛7⎞
9 167 360; (9 167 360); ⎜ ⎟ (9 167 360); ....................; ⎜ ⎟ (9 167 360) (1)
8 ⎝8⎠ ⎝8⎠
Como la población de “Bascua” aumenta en 3/4 anualmente, después de cada año quedan
los 7/4 de la población anterior, por lo tanto varía de la siguiente manera:
2 n
7 ⎛7⎞ ⎛7⎞
143 240; (143 240); ⎜ ⎟ (143 240); ....................; ⎜ ⎟ (143 240) (2)
4 ⎝ 4⎠ ⎝4⎠

Por condición del problema se busca n tal que:

36

17232344 manual-de-matematica

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a 17232344 manual-de-matematica

Similar a 17232344 manual-de-matematica (20)

17232344 manual-de-matematica