1. Circuitos Digitales
COMPUERTAS LÓGICAS Y ÁLGEBRA BOOLEANA
Los circuitos digitales (lógicos) operan en el modo binario donde cada voltaje de
entrada y salida es un 0 o un 1; las designaciones 0 y 1 representan rangos de voltaje
predefinidos.
Constantes y variables Booleanas
En el álgebra booleana difiere de manera notable del álgebra común en que a las
constantes y variables booleanas sólo se les permite tener dos valores posibles: 0 o 1
0 lógico 1 lógico
falso verdadero
desactivado activado
bajo alto
no si
Interruptor abierto interruptor cerrado
Tablas de verdad
Una tabla de verdad es un medio para describir cómo la salida lógica de un circuito
depende de los niveles lógicos presentes en las entradas de un circuito.
• Ejemplo de tablas de verdad
ENTRADAS SALIDAS
A B X A
0 0 1 CIRCUITO X
0 1 0 B
1 0 1
1 1 0
Se representa en la figura de arriba una tabla de verdad para un tipo de circuito lógico
de dos entradas. En la tabla se listan todas las combinaciones posibles de niveles lógicos
presentes en las entradas A y B junto con el nivel de salida correspondiente
Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón -1-
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2. Circuitos Digitales
A B C D X A B C X
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 En estas figuras se muestran ejemplos de tablas de verdad
1 1 0 0 0 para los circuitos de tres y cuatro entradas
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Operación OR con compuertas OR
la operación OR es la primera de las tres operaciones booleanas básicas que se
debe aprender.
La expresión booleana para la operación OR es:
X=A+B
En esta expresión, el signo + no representa la adición común, sino la operación OR
(lógica), entonces tendríamos 1 + 1 = 1.
A B X=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Símbolo del circuito para una
compuerta
Tabla de verdad que OR de dos entradas
Define la operación OR
La expresión X = A + B se lee como “X es igual a A o B”, lo que significa que X
será 1 cuando A o B, o ambas, sean 1.
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3. Circuitos Digitales
• Ejemplo: determine la salida de la compuerta OR, las entradas a y b de la
compuerta OR varían de acuerdo a los diagramas de temporización que se muestran
en la figura de abajo.
Operación AND con compuertas AND
La operación AND es la segunda operación básica booleana, la expresión booleana
para la operación AND es:
X=A.B
En esta expresión el signo (.) representa la operación booleana AND y no la
multiplicación.
A B X = A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Símbolo del circuito para una
Tabla de verdad que compuerta
Define la operación AND AND de dos entradas
La expresión X=A.B se lee “X es igual a A y B”, lo que significa que X será 1
cuando A y B sean 1.
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4. Circuitos Digitales
• Ejemplo: determine la salida de la compuerta AND, las entradas a y b de la
compuerta AND varían de acuerdo a los diagramas de temporización que se
muestran en la figura de abajo.
Operación NOT
La operación NOT difiere de las operaciones OR y AND en que se pueden realizar
en una sola variable de entrada. Por ejemplo, si la variable A se somete a la
operación NOT, el resultado X se puede expresar como:
X= A.
A X= A
0 1
1 0
Símbolo para
Tabla de verdad el inversor
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5. Circuitos Digitales
Descripción algebraica de circuitos lógicos
Cualquier circuito lógico, sin importar qué tan complicado sea, puede ser
completamente descrito mediante el uso de las tres operaciones básicas booleanas,
ya que la compuerta OR, la compuerta AND y el circuito NOT son los bloques de
construcción básicos de los sistemas digitales.
• Ejemplo: determinar la salida para cada circuito
Circuitos que contienen inversores
Siempre que un inversor esté presente en un diagrama de un circuito lógico, su
expresión de salida será simplemente igual a la expresión de entrada con una barra
sobre ella.
• Ejemplo:
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6. Circuitos Digitales
Implementación de circuitos a partir de expresiones booleanas
• Dibujar el diagrama del circuito cuya salida sea Y= AC + BC’ + A’BC
Solución:
• Dibujar el diagrama del circuito cuya salida sea Y= (A+B)(B’+C)
Solución:
Compuertas NOR y compuertas NAND
En los circuitos digitales se utilizan ampliamente dos tipos más de compuertas
lógicas: NOR y NAND. Estas compuertas en realidad combinan las operaciones
básicas OR, AND y NOT, por lo que es relativamente simple escribir sus
expresiones booleanas.
OR NOR
A B A+B (A+B)’
0 0 0 1
0 1 1 0
Circuito equivalente 1 0 1 0
1 1 1 0
Denota inversión
Símbolo NOR
Tabla de verdad
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7. Circuitos Digitales
• Ejemplo: determine la forma de onda en la salida de una compuerta NOR para las
formas de onda de entrada que se muestran en la figura de abajo.
• Determine la expresión booleana para una compuerta NOR de tres entradas
seguidas de un inversor.
X= A+B+C
Solución:
Tenemos: X= ((A+B+C)’)’
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8. Circuitos Digitales
Compuerta NAND
Denota inversión
Símbolo NAND Circuito equivalente
A B AB (AB)’
0 0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
AND NAND
Tabla de verdad
• Ejemplo: Determine la forma de onda de salida de una compuerta NAND con las
entradas que se muestran en la figura de abajo.
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9. Circuitos Digitales
• Implemente el circuito lógico que tiene la expresión X= (AB(C+D)’)’ utilizando
únicamente compuertas NOR y NAND.
Solución:
Teoremas booleanos
Teoremas con una variable:
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Teoremas con variables múltiples:
(9) x+y=y+x
(10) x.y = y.x
(11) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z
(12) x(y.z) = (x.y)z = xyz
(13) x(y + z) = xy + xz
(14) x + xy = x
(15) x + x’y = x + y
(16) x’ + xy = x’ + y
• Simplifique: Y = AB’D + AB’D’
Y= AB’(D+D’) = AB’
• Simplifique: Z = (A’ + B) (A + B)
Z = A’A + A’B + A.B +B.B
Z = 0 + B(A’ + A) + B
Z= B
• Simplifique: X = ACD + A’BCD
X = CD(A + A’B)
X = CD(A + B)
X = A.C.D + B.C.D
Teoremas de Demorgan:
Los teoremas de Demorgan son de mucha utilidad para simplificar expresiones
en las que se invierte un producto o una suma de variables.
(17) (x+y)’= x’.y’
(18) (x.y)’ = x’ + y’
• Simplifique: Z = ((A’ + C) (B + D’))’
Z = (A’ +C)’ + (B + D’)’
Z = A’’.C’ + B’. D’’
Z = A.C’ + B’.D
• Simplifique: Z = (A + B’.C)’
Z = A’(B’.C)’
Z = A’(B’’+ C’)
Z = A’(B + C’)
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11. Circuitos Digitales
Los teoremas de Demorgan se aplican fácilmente a más de dos variables. Por
ejemplo se puede probar que:
(X + Y + Z)’ = X’.Y’.Z’
(X.Y.Z)’= X’ + Y’ + Z’
Universalidad de las compuertas NAND y NOR
Todas las expresiones booleanas constan de varias formas de combinar las
operaciones básicas OR, AND e INVERSOR. Por lo tanto, cualquier expresión se
puede llevar a cabo usando combinaciones de compuertas OR, AND e
INVERSOR. Sin embargo, es posible implementar cualquier expresión lógica
usando únicamente NAND.
Tenemos:
De manera similar podemos mostrar que las compuertas NOR pueden estar
dispuestas para implementar cualquiera de las operaciones booleanas.
Autor: Carlos Enrique Mendiola Mogollón - 11 -
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