longitud del arco

1. Wilder Jesús Parra Soteldo
Longitud de arco

2. Introducción
En el siglo XVII, justo antes de la invención del cálculo diferencial e integral,
hay muchos métodos para problemas de cuadratura (cálculo de áreas), cubicación y
rectificación de una curva.
El problema de calcular la longitud de arco de una curva es en algunos casos
extremadamente difícil, ya que nos puede llevar a integrales elípticas. Con la
invención del cálculo diferencial e integral, este procedimiento conduce a la
resolución de una integral definida, donde el integrando implica una raíz cuadrada y
la derivada de la función.

3. LONGITUD DE ARCO
Para las curvas generadas por las funciones de primer grado, simplemente aplicar el
Teorema de Pitágoras en el rango deseado, nos encontramos con la longitud de la
función rápidamente.
Para otras funciones, tenemos que utilizar el cálculo diferencial e integral para
determinar la longitud de un arco dado.
Considere la función y = f (x) continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), el
gráfico se puede ver a continuación:

4. Para determinar la longitud de arco de la curva entre los puntos
y podemos subdividir la curva en segmentos infinitesimales de recta,
ya sabemos calcular la relación (1), donde:
Como puede verse en la figura siguiente:

5. Es el punto donde. La longitud total del
polígono es la suma de las longitudes de los cables que
conectan cada punto al siguiente.
Ya sea para k = 1, 2, 3, ..., n
Así que tenemos triángulos rectángulos y el problema sería bajar a conocer la
longitud infinitesimal de su hipotenusa tamaño:
El Teorema de Pitágoras, la longitud de la k ª cadena denotan
por es igual a:
Mientras que f (x) continua en el intervalo [a, b] y derivable en(a, b),
entonces f (x) es derivable en el intervalo [x k -1, x k] y el teorema del valor medio
existe, de tal manera que :

6. Sustituyendo (3) en (2) da:
Pero es sólo la longitud de un segmento infinitesimal de la curva. Para la longitud
total de la poligonal L, hacer:
Cuando tiende a infinito, la longitud del subintervalo tratar de cero. Por lo tanto,
si L indica la longitud del arco AB, a continuación:
Esto con la hipótesis adicional de que f (x) es continua para el pleno dada en relación
(5) existe.
Estos son algunos ejemplos para ilustrar esta idea:
Ejemplo 1: Si la función f (x) = 2 x - 1. Determinar la longitud del arco de la
curva f (x) en el intervalo [1, 2].
En primer lugar se calcula la derivada de la función:

7. Entonces sustituido en la fórmula (5) a la longitud de arco:
Gráficamente tendríamos:
Si utilizamos el teorema de Pitágoras, obtenemos:

8. ¿Qué es exactamente lo que nos encontramos con la fórmula con la integral.
Podemos aplicar este concepto a varias curvas más complejas, pero dependiendo de la
función original, pueden conducir a un pozo lleno de la dificultad de
resolución. Veamos otros ejemplos:
Ejemplo 2: es la función.
Determinar la curva de la longitud de arco en el intervalo [1, 4].

9. Para resolver esta integral, utilizamos la integración mediante la técnica de
sustitución. Lo hacemos:
Pero:

10. Ejemplo 3: Si la función f (x) = cosh (x). Determinar la curva de la longitud de arco
en el intervalo [- y, y].

11. La identidad fundamental de la trigonometría hiperbólica, tenemos:
Reemplazar (8) (7):

12. Las ecuaciones paramétricas pueden emplearse para definir una curva descrita por un
movimiento físico. Como ejemplo, se considera una cicloide, la
curva descrita por un punto de una circunferencia conforme esta rueda a lo
largo de una recta. Sea a el radio de la circunferencia y sea el eje x la recta fija
sobre la cual rueda la circunferencia. Considere al origen como uno de los
puntos donde el punto dado P hace contacto con el eje x. después de lo cual la
circunferencia ha rodado un ángulo de t radianes, como se muestra en la figura. La
circunferencia ha rodado una distancia de |𝑂𝑇̅̅̅̅ | unidades, la cual también es la
longitud del arco PT de la circunferencia. Así, | 𝑂𝑇̅̅̅̅| = 𝑎𝑡 .Las coordenadas de C, el
centro de la circunferencia, son entonces (𝑎𝑡, 𝑎).
Del triángulo rectángulo PAC, = | 𝑃𝐴̅̅̅̅| = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 | 𝐴𝐶̅̅̅̅| = a cos t. Así
𝑥 = | 𝑂𝑇̅̅̅̅| − | 𝑃𝐴̅̅̅̅| 𝑦 𝑦 = | 𝑇𝐶| − | 𝐴𝐶|
𝑥 = 𝑎𝑡 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑎 − cos 𝑡
Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son
𝑥 = 𝑎( 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡) 𝑦 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡)
Donde t es cualquier número real.
Definición de curva lisa

13. Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑓( 𝑡) 𝑦 𝑦 = 𝑔( 𝑡) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
Se dice que es lisa (o suave) en el intervalo cerrado [ 𝑎, 𝑏] si 𝑓′
𝑦 𝑔′ son continuas en
[ 𝑎, 𝑏] 𝑦 𝑓′( 𝑡) 𝑦 𝑔′(𝑡) no son cero simultaneamente en cada numero del intervalo
abierto ( 𝑎, 𝑏).
Definición de longitud de arco de una curva plana
Sea C la curva que tiene las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑓(𝑡) y 𝑦 = 𝑔(𝑡). Suponga
que existe un número L que tiene la siguiente propiedad: para cualquier 𝜖 > 0 existe
𝛿 > 0 tal que para toda partición ∆ del intervalo [ 𝑎, 𝑏] para la cual ‖∆‖ < 𝛿
entonces
|∑|𝑃𝑖 − 𝑃𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅| − 𝐿
𝑛
𝑖=1
| < 𝜖
Esto se expresa como
𝐿 = lim
‖∆‖→0
∑| 𝑃𝑖−1 𝑃𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅̅|
𝑛
𝑖=1
Y 𝐿 unidades se denomina la longitud de arco de la curva C desde el punto
(𝑓(𝑎), 𝑔( 𝑎)) hasta el punto (𝑓(𝑏), 𝑔( 𝑏)).
Se dice que el arco de la curva es rectificable si el límite de la definición existe. Si
𝑓′
𝑦 𝑔′ son continuas en [ 𝑎, 𝑏], Se procede como sigue para determinar una formula a
fin de evaluar este limite.

14. Como 𝑓′
𝑦 𝑔′
Son continuas en [ 𝑎 , 𝑏], se procede como sigue para detrminar una
formula a fin de evaluar este limite.
Como 𝑓′
𝑦 𝑔′ Son continuas en [ 𝑎 , 𝑏], son continuas en cada subintervalo de la
particion ∆. De modo que 𝑓 𝑦 𝑔 satisfacen la hipotesis del teorema del valor medio
en cada subintervalo [ 𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖] tales que
𝑓( 𝑡𝑖) − 𝑓( 𝑡𝑖−1) = 𝑓′(𝑧𝑖)∆𝑖 𝑡
Y
𝑔( 𝑡𝑖) − 𝑔( 𝑡𝑖−1) = 𝑔′(𝑤𝑖)∆𝑖 𝑡
Al sustituir de estas ecuaciones en (1) se obtiene
| 𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅̅| = √[𝑓′(𝑧𝑖)∆𝑖 𝑡]2 + [ 𝑔′(𝑤𝑖)∆𝑖 𝑡]2
| 𝑃𝑖−1 , 𝑃𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅̅| = √[𝑓′(𝑧𝑖)]2 + [ 𝑔′(𝑤𝑖)]2 − ∆𝑖 𝑡
Donde 𝑧𝑖 𝑦 𝑤𝑖 están en el intervalo abierto ( 𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖)
Si el límite existe entonces.
𝐿 = lim
‖∆‖→0
∑ √[𝑓′(𝑧𝑖)]2 + [ 𝑔′(𝑤𝑖)]2∆𝑖 𝑡
𝑛
𝑖=1
La suma e no es suma de Riemann debido a que 𝑧𝑖 𝑦 𝑤𝑖 no son necesariamente los
mismos números. Por esta razón no puede aplicarse la definición de integral definida
par a evaluar el límite. Sin embargo, existe un teorema que puede aplicarse con el fin
de evaluar este límite.