Superficies de Respuesta

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Teoría de Superficie de Respuesta y una aplicación en el software Statgraphics

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Superficies de Respuesta

  1. 1. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL “UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN” FACULTAD DE CIENCIAS JURÍDICAS Y EMPRESARIALES ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA COMERCIAL PROFESOR: DR. HUMBERTO ESPADA ALUMNOS: CHINO, Daydith MARCA, Fanny MAMANI, Aydee PÉREZ, Jimmy VELASQUEZ, Alicia
  2. 2. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 1 ÍNDICE INTRODUCCION ............................................................................................................................. 2 I. OBJETIVO DEL ESTUDIO .................................................................................................... 3 1.1 OBJETIVOS GENERALES ............................................................................................ 3 1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................... 3 II. MARCO TEORICO ............................................................................................................. 4 2.1 DEFINICION .................................................................................................................... 4 2.2 CARACTERISTICAS ...................................................................................................... 4 2.3 FINALIDAD ...................................................................................................................... 5 2.4 TERMINOLOGÍA. ........................................................................................................... 5 2.5 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANALISIS DE SUPERFICIES DE RESPUESTAS. .............................................................................................................................. 8 2.6 ELEMENTOS DE LA MSR ............................................................................................. 8 2.7 METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA ............................................... 9 2.8 TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN ................................................................................ 10 2.9 PRINCIPALES PROPIEDADES DE SUPERFICIE DE RESPUESTA} .................. 16 2.10 DISEÑOS DE SUPERFICIE DE RESPUESTA ........................................................... 17 III. APLICACIÓN A LA INGENIERÍA COMERCIAL ....................................................... 20 3.1 PLANTEAMIENTO ....................................................................................................... 20 3.2 DESARROLLO DEL CASO SOFTWARE STATGRAPHICS ................................. 20 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 29
  3. 3. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 2 INTRODUCCION La metodología de superficies de respuesta, es una colección de técnicas de diseño experimental, métodos de regresión y optimización de procesos. La base está en encontrar niveles óptimos de un factor sobre una respuesta. Se hacen pocos experimentos y se enfoca la atención sobre los niveles donde la respuesta es óptima por lo que se considera una experimentación secuencial. Su nacimiento se desarrolló alrededor de la ingeniería química, por la necesidad de encontrar un modelo que correlacionaras diversos factores influyentes en los procesos de reacción química.
  4. 4. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 3 SUPERFICIES DE RESPUESTA I. OBJETIVO DEL ESTUDIO 1.1 OBJETIVOS GENERALES  Explicar el concepto de optimización y su relación con la superficie de respuesta.  Aplicar la metodología de superficie de respuesta y sus respectivos diseños y modelos.  Describir las técnicas de optimización y aplicarlas adecuadamente. 1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS  Acopiar información precisa y necesaria para el desarrollo de la Análisis de superficies de Respuesta.  Implementar el modelo de Análisis de Superficies de Respuesta con bases aplicables a la ingeniería comercial.  Desarrollar el modelo de Análisis de Superficie de Respuesta, de manera clara y específica para su debida comprensión.  Demostrar la utilización de paquetes estadísticos como una forma fácil y practica en el Análisis de Superficie de Respuesta.  Saber aplicar el Análisis de Superficies de Respuesta, con ayuda del statgraphics.
  5. 5. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 4 II. MARCO TEORICO 2.1 DEFINICION La Metodología de Superficies de Respuesta es un conjunto de técnicas Matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una variable de interés es influenciada por otras. El objetivo es optimizar la variable de interés. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema. La MSR es la estrategia experimental y de análisis que permite resolver el problema de encontrar las condiciones de operación óptimas de un proceso, es decir, aquellas que dan por resultado “valores óptimos” de una o varias características de calidad del producto. La Metodología de la Superficie de Respuesta (RSM) es un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar problemas en los que una variable de interés es influenciada por otras. El propósito inicial de estas técnicas es diseñar un experimento que proporcione valores razonables de la variable respuesta y, a continuación, determinar el modelo matemático que mejor se ajusta a los datos obtenidos. El objetivo final es establecer los valores de los factores que optimizan el valor de la variable respuesta. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema. La diferencia entre (RSM) y un diseño experimental corriente estriba en que un diseño experimental por si solo tiene como objetivo localizar el tratamiento “ganador” entre todos aquellos que se han probado. En cambio, RSM pretende localizar las condiciones óptimas de operación del proceso. Ello supone un reto para el investigador, requiere una estrategia más completa e incluye la posibilidad de efectuar varios experimentos secuenciales y el uso de técnicas matemáticas más avanzadas. 2.2 CARACTERISTICAS La característica del sistema de superficie de respuesta (máximo, mínimo, o punto silla):
  6. 6. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 5 Genera una distribución satisfactoria de los puntos experimentales sobre la región experimental. Los diseños más utilizados son puntos distribuidos de manera uniforme sobre la región experimental, o cuando menos tienen alguna simetría con respecto al centro de ésta. Requiere un número mínimo de corridas experimentales, ya que en cada prueba realizada se gastan recursos que siempre son escasos. Permitir que otros diseños de orden mayor se construyan a partir de él. Esto permite que, cuando el comportamiento de la respuesta resulta ser más complicado de lo que se pensaba (por ejemplo, se detecta curvatura), se agregan puntos adicionales al diseño para tratar de explicar ese comportamiento. Permite la detección de la falta de ajuste, para lo cual se requieren repeticiones al menos en el centro del diseño. Proporciona un estimador puro de la varianza del error, lo cual se logra con repeticiones al menos en el punto central. 2.3 FINALIDAD Es optimizar la variable de interés. Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación del sistema. La Metodología de Superficies de Respuesta es la estrategia experimental y de análisis que permite resolver el problema de encontrar las condiciones de operación óptimas de un proceso, es decir, aquellas que dan por resultado “valores óptimos” de una o varias características de calidad del producto. 2.4 TERMINOLOGÍA. A continuación se presenta la terminología que se utilizará: Factores. Son las condiciones del proceso que influencian la variable de respuesta. Estos pueden ser cuantitativos o cualitativos. Respuesta.
  7. 7. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 6 Es una cantidad medible cuyo valor se ve afectado al cambiar los niveles de los factores. El interés principal es optimizar dicho valor. Función de respuesta. Al decir que un valor de respuesta Y depende de los niveles x1, x2, ... xk de k factores, x1, x2,... xk, estamos diciendo que existe una función matemática de x1, x2, ... xk cuyo valor para una combinación dada de los niveles de los factores corresponde a Y, esto es Y=f(x1, x2, ... xk.). Función de respuesta predicha. La función de respuesta se puede representar con una ecuación polinomial. El éxito en una investigación de una superficie de respuesta depende de que la respuesta se pueda ajustar a un polinomio de primer o segundo grado. Supongamos que la función de respuesta para los niveles de dos factores se puede expresar utilizando un polinomio de primer grado: Y = b0 + b1x1 + b2x 2 donde b0, b1, b2 son los coeficientes de regresión a estimar, x1 y x2 representan los niveles de x1 y x2 respectivamente. Suponiendo que se recolectan N‡3 valores de respuesta (Y), con los estimadores b0, b1 y b2 se obtienen b0, b1 y b2 respectivamente. Al remplazar los coeficientes de regresión por sus estimadores obtenemos: Yˆ = b0 + b1x1 +b2x 2 donde Yˆ denota el valor estimado de Y dado por x1 y x2. Superficie de respuesta La relación Y=f(x1, x2,... xk.) entre Y y los niveles de los k factores x1, x2,... xk representa una superficie. Con k factores la superficie está en k+1 dimensiones. Por ejemplo cuando se tiene Y=f(x1.) la superficie esta en dos dimensiones como se muestra en la figura 2.1 (Cornell [12] (1990)), mientras que si tenemos Y=f(x1, x2.) la superficie está en tres dimensiones, esto se observa en la figura 2.2 (Cornell [12] (1990)).
  8. 8. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 7 Superficie de respuesta en dos dimensiones Gráfica de contornos. La gráfica de contornos facilita la visualización de la forma de una superficie de respuesta en tres dimensiones. En ésta las curvas de los valores iguales de respuesta se grafican en un plano donde los ejes coordenados representan los niveles de los factores. Cada curva representa un valor específico de la altura de la superficie, es decir un valor específico de Yˆ . Esto se muestra en la figura 2.3 (Cornell [12] 1990). Esta gráfica nos ayuda a enfocar nuestra atención en los niveles de los factores a los cuales ocurre un cambio en la altura de la superficie. Región experimental. La región experimental especifica la región de valores para los niveles de los factores. Esto se puede hacer empleando los niveles actuales de operación para cada factor; si se desea explorar el vecindario se incrementa y decrementa el valor del nivel en una cantidad determinada.
  9. 9. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 8 Superficie de respuesta tridimensional 2.5 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL ANALISIS DE SUPERFICIES DE RESPUESTAS. 2.5.1 VENTAJAS:  La MSR es la estrategia experimental y de análisis que permite resolver el problema de encontrar las condiciones de operación óptimas de un proceso.  Ofrece por resultado “valores óptimos” de una o varias características de calidad de un producto. 2.5.2 DESVENTAJAS:  Tiene un nivel de complejidad elevado al de un diseño experimental simple. 2.6 ELEMENTOS DE LA MSR La metodología de superficie de respuesta implica tres aspectos: diseño, modelo y técnica de optimización. El diseño y el modelo se piensan al mismo tiempo, y dependen del tipo de comportamiento que se espera en la respuesta. De manera específica, el modelo puede ser de primero o segundo orden (plano o con curvatura); por ello, el tipo de diseño utilizado y el método de optimización se clasifican, según sea el caso, como de primero o segundo orden.
  10. 10. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 9 El aspecto diseño implica que para optimizar un proceso se debe aplicar el diseño de experimentos, en particular aquellos que sirven para ajustar un modelo de regresión lineal múltiple. Más adelante se presentan algunos de estos diseños, conocidos genéricamente como diseños para superficie de respuesta. El aspecto del modelo utiliza el análisis de regresión lineal múltiple, junto con sus elementos básicos que son: parámetros del modelo, modelo ajustado, significancia del modelo, prueba de falta de ajuste, residuos, predichos, intervalos de confianza para predichos y coeficiente de determinación. Por último, el aspecto de optimización está formado por algunas técnicas matemáticas que sirven para que, dado un modelo ajustado, explorarlo a fin de obtener información sobre el punto óptimo. Conviene recordar técnicas como: derivadas de funciones, multiplicadores de Lagrange, operaciones con matrices, valores y vectores propios y sistemas de ecuaciones simultáneas. 2.7 METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA Se distinguen tres etapas en la búsqueda del punto óptimo, que son: Cribado: La optimización de un proceso se inicia con esta etapa cuando tiene muchos factores (más de 6 u 8) que influyen en la variable de interés. Búsqueda I o de primer orden: Esta etapa se aplica cuando se tienen pocos factores (k £5), y se sabe que éstos influyen en la variable de respuesta. En esta etapa se corre un diseño de primer orden que permita caracterizar en forma preliminar el tipo de superficie de respuesta y detectar la presencia de curvatura. Por lo general se utiliza un diseño factorial completo o fraccionado con repeticiones al centro. Búsqueda II o de segundo orden: En el momento en que se detecta la presencia de curvatura, o bien, que la superficie es más complicada que un hiperplano, se corre o se completa un diseño de segundo orden para
  11. 11. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 10 caracterizar mejor la superficie y modelar la curvatura. Con el modelo ajustado se determinan las condiciones óptimas de operación del proceso 2.8 TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN Una vez que se tiene el modelo debidamente ajustado y validado se procede a explorar la superficie descrita por el modelo para encontrar la combinación de niveles en los factores que dan por resultado un valor óptimo de la respuesta, o bien, para determinar la dirección óptima de movimiento en la que se debe experimentar en el futuro. Si el modelo no explica un mínimo de 70% del comportamiento de la respuesta, en términos del R2aj, no se recomienda utilizarlo para fines de optimización porque su calidad de predicción es mala. En adelante supondremos niveles codificados para los factores (–1, +1), lo cual facilita las interpretaciones y los cálculos. Por lo que siempre que se encuentren las condiciones óptimas o la dirección de experimentación futura, primero se hará en condiciones codificadas y después eso se debe traducir a condiciones o niveles reales. Aunque el uso de un software puede evitar el uso de códigos. La técnica de optimización a utilizar depende del tipo de modelo ajustado y existen básicamente tres métodos, que son: Escalamiento ascendente (o descendente). Análisis canónico. Análisis de cordillera. El escalamiento ascendente es para el modelo de primer orden y las otras dos Técnicas son para el modelo de segundo orden. A continuación se describen cada uno de estos métodos. 2.8.1 Escalamiento ascendente (descendente) Cuando la variable de respuesta de interés es del tipo: mientras más grande es mejor, se tiene un escalamiento ascendente; pero si lo que interesa es: mientras más pequeña mejor, se trata de escalamiento descendente. De aquí en adelante, diremos simplemente escalamiento ascendente, en lugar de “escalamiento ascendente (descendente)”, puesto que el escalamiento descendente se convierte en ascendente al cambiar los
  12. 12. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 11 signos de los términos del modelo ajustado. Cuando la respuesta es del tipo: el valor nominal es lo mejor, el problema es localizar la curva de nivel específica que tenga la altura o valor requerido de la variable de respuesta. En este caso, cada punto sobre la curva de nivel es una solución, y de todos ellos se elige el de menor variabilidad y/o menor costo. La técnica de optimización de escalamiento se aplica cuando, de acuerdo con la valoración inicial, se cree que se está lejos de la condición óptima, por lo que será necesario explorar una región de experimentación inicial y a partir de ésta determinar una dirección en la cual experimentar fuera de la región inicial. Así, a partir del conocimiento que ya se tiene del problema es preciso seleccionar los niveles de los factores para determinar la región de exploración. A continuación se corre un diseño de primer orden (típicamente un diseño 2k completo o fraccionado con puntos al centro) para explorar la región experimental determinada antes. Se analizan con detalle los resultados y se ajusta un modelo de primer orden con niveles codificados. Si éste explica satisfactoriamente la variabilidad observada es necesario continuar como se indica más adelante, de lo contrario, investigar a qué se debe la falta de ajuste: ¿Mucha variabilidad? ¿Curvatura? ¿Región más complicada? y proceder en consecuencia. Con el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la metodología. 2.8.2 Análisis canónico Se aplica un diseño de segundo orden cuando se quiere explorar con más amplitud una región experimental y/o cuando se espera que el punto óptimo ya esté cerca (probablemente dentro de la región experimental). El análisis canónico es una de las técnicas para analizar el modelo de segundo orden y consiste en los siguientes pasos: 1. A partir del conocimiento que ya se tiene del problema, seleccionar los niveles de los factores para determinar la región de exploración.
  13. 13. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 12 2. Correr un diseño de segundo orden (un diseño de composición central, por ejemplo) para explorar la región experimental determinada antes. 3. Ajustar un modelo de segundo orden con niveles codificados. Si éste explica bien la variabilidad observada continuar al siguiente paso; de lo contrario, investigar por qué la falta de ajuste (¿mucha variabilidad?, ¿región más complicada?) y proceder en consecuencia. 4. Encontrar las coordenadas del punto estacionario. 5. Expresar el modelo ajustado en su forma canónica. El análisis canónico consiste en reescribir el modelo ajustado de segundo orden en su forma canónica, es decir, se expresa en términos de nuevas variables llamadas variables canónicas, las cuales son transformaciones de las variables codificadas. La ventaja es que la ecuación canónica proporciona información a simple vista sobre el tipo de superficie que se está observando y sobre su forma. 6. Evidenciar la relación entre las variables canónicas y las variables codificadas. En la práctica, si se cuenta con un software adecuado no necesaria mente se siguen los últimos tres pasos del análisis canónico. La mejor estrategia será encontrar, primero los coeficientes de la ecuación canónica que indican el tipo de superficie observa da y sólo si ésta es del tipo que interesa (por ejemplo máximo), entonces se procede a localizar las coordenadas del punto estacionario. Si la superficie encontrada no es del tipo deseado se sigue el análisis de cordillera descrito en la siguiente subsección. Sin embargo, primero veamos cómo determinar el punto estacionario, dado que interviene en el término independiente de la ecuación canónica. Determinación del punto estacionario (candidato a óptimo). El punto estacionario es el punto (x10, x20, …, xk0) en el espacio de factores, sobre el cual el plano tangente a la superficie tiene pendiente igual a cero.
  14. 14. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 13 Por ejemplo, si la superficie tiene un máximo, el punto estacionario es justo el punto donde se ubica ese máximo. De aquí que el punto estacionario sea un candidato natural a punto óptimo, que resulta “electo” sólo cuando es del tipo que interesa y se encuentra dentro de la región experimental. Podría pasar que aunque se esté buscando un máximo, el punto estacionario sea un mínimo o punto silla, en cuyo caso evidentemente no se trataría del óptimo buscado. Suponga que ya se realizaron los tres primeros pasos de un análisis canónico, y que por lo tanto ya se tiene ajustado un modelo de segundo orden: Para el cual se quiere encontrar su punto estacionario (donde la derivada es igual a cero). El punto se localiza derivando al modelo con respecto a cada variable xi, igualando a cero y resolviendo en forma simultánea todas las ecuaciones. Todo esto se facilita si el modelo se reescribe en notación matricial como: Donde x¢= (xl, x2,…, xk) es cualquier punto en la región de operabilidad del proceso, en unidades codificadas; el vector b son los coeficientes de la parte lineal (efectos principales) del modelo y la matriz B son los coeficientes de las interacciones y de los términos cuadráticos puros. Esto es:
  15. 15. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 14 Derivando el modelo dado por (12.3) con respecto al vector X e igualando a cero se obtiene: Resolviendo para X se llega a que el punto estacionario está dado por: donde B–l es la inversa de la matriz B. 2.8.3 Análisis de cordillera Muchas veces, el punto estacionario no es del tipo que se requiere, y en esos casos la opción es encontrar el “mejor punto posible” dentro de la región experimental. Este punto se ubica sobre la cordillera óptima a partir del centro del diseño, y es aquel que predice la mejor respuesta sobre la región. Esta búsqueda se hace precisamente con el llamado análisis de cordillera, que consiste en calcular el máximo o mínimo de la superficie de respuesta sobre esferas concéntricas al centro del diseño, empezando por una esfera de radio casi cero y posteriormente se abre la exploración incrementando el radio de la siguiente esfera. Así se continúa hasta llegar a la primera esfera que cubre los puntos experimentales. El mejor punto posible es aquel sobre el que se predice el óptimo desempeño de la variable de respuesta. Con frecuencia, este punto se ubica en la esfera de radio más grande. En el caso de k= 2 factores, no son esferas sino circunferencias como en las de la figura 12.12. Note que en esta figura se van alcanzando mejores puntos y se va escalando la superficie. Asimismo, en cada paso se corrige el rumbo debido a la curvatura de la superficie. Ahora, brevemente veamos en forma matemática el análisis de cordillera. Consideremos el modelo ajustado de segundo orden escrito en su forma matricial
  16. 16. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 15 Donde b y B se construyen como en (12.4). Sea la esfera centrada en el origen con radio Ri, cuyos puntos sobre ella cumplen la restricción: El problema del análisis de cordillera es encontrar el punto sobre la esfera, donde la respuesta predicha por el modelo es máxima (o mínima). Para ello se plantea la función objetivo dada por Donde L es multiplicador de Lagrange. Derivando esta última relación con respecto al vector x e igualando a cero, se obtiene y de aquí se llega al sistema de ecuaciones El punto (x1, x2,..., xk) óptimo sobre una esfera particular se encuentra al sustituir un valor para l, que no sea un valor propio de la matriz Ben esta última relación, y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante. En general es mejor recurrir a un software para hacer el análisis de cordillera.
  17. 17. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 16 2.9 PRINCIPALES PROPIEDADES DE SUPERFICIE DE RESPUESTA} 2.9.1 Ortogonalidad: Se considera que un diseño es ortogonal cuando los coeficientes estimados en el modelo ajustado no están correlacionados entre sí, lo cual hace que el efecto de cada término, representado por el parámetro correspondiente, se estime de manera más precisa. Un experimento es ortogonal si en la matriz de diseño todos los vectores columna son independientes entre sí. Es fácil verificar que en un diseño factorial completo 2klas columnas de su matriz de diseño son independientes: multiplique dos columnas cualesquiera, término a término usando la notación –1 y +1, y el resultado es cero. Cuando las columnas de la matriz de diseño son independientes entre sí, hace que los coeficientes del modelo ajustado no estén correlacionados. 2.9.2 Rotabilidad: Un diseño se llama rotable si la varianza de Yˆ(x) sólo depende de la distancia del punto xal centro del diseño y no de la dirección en la que se encuentra. Es decir, si pensamos en la variable var[Yˆ(x)] como otra res puesta, su gráfica de contornos tiene la forma de círculos concéntricos alrededor del centro del diseño. La rotabilidad del diseño asegura que la calidad de la predicción, medida por var[Yˆ(x)], sea invariante a cualquier rotación del diseño alrededor del centro del mismo; de aquí se deriva el nombre de esta propiedad. La importancia práctica de la rotabilidad en el problema de encontrar un punto óptimo es porque asegura que, con independencia de la dirección en que se explore a partir del centro del diseño, la calidad de predicción se comporta de igual manera. Es aquel en el que la varianza de la respuesta estimada sobre un punto depende de la distancia de éste al centro del diseño y no de la dirección en la que se encuentra.
  18. 18. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 17 2.10 DISEÑOS DE SUPERFICIE DE RESPUESTA 2.10.1 Diseños de primer orden Suponga que se desea utilizar el modelo de primer orden dado por la ecuación (12.3) para estudiar el comportamiento de cierta característica de calidad, que se supone depende de k factores de proceso. En principio, al proponer un diseño de primer orden se supone que sólo son importantes los efectos principales. Estrictamente hablando, para estimar los k + 1 parámetros del modelo de primer orden se requiere un mínimo de k + 1 puntos experimentales. Un criterio de selección del diseño de primer orden es que la varianza de la respuesta predicha (var[Yˆ(x)]) en el punto x¢= (x1,x2,...,xk) sea mínima. Este criterio es importante porque cuando se busca determinar la dirección óptima de movimiento a partir de los predichos por el modelo, éstos tienen mayor precisión, lo cual se traduce en mayor certeza de la dirección seleccionada. Los diseños que satisfacen este criterio son los que tienen la propiedad de ortogonalidad. Entre los más utilizados están los siguientes: Diseños factoriales 2k Diseños factoriales fraccionados 2k – p Diseño de Plackett-Burman Diseño simplex Todos estos diseños, excepto el diseño simplex, emplean dos niveles en cada factor, lo cual tiene que ver con el hecho de que sólo interesa detectar el efecto principal de cada factor. Sin embargo, una vez superada la etapa de cribado es importante aumentar estos arreglos con repeticiones al centro a fin de detectar la presencia de curvatura o falta de ajuste del modelo; las repeticiones al centro también proporcionan más grados de libertad para el error aleatorio. Lo diseños 1 a 3 se explicaron en los capítulos previos. El diseño simplex para k factores se representa por medio de una figura de forma regular dibujada en un espacio de dimensión k – 1, y se
  19. 19. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 18 caracteriza por el hecho de que el ángulo q formado por cualquier par de vértices con el origen, es tal que cos(q) = –1/k. Así, para k = 2 factores, los tratamientos del diseño simplex corresponden a los vértices de un triángulo equilátero (véase figura 12.15); para k = 3 son los vértices de un tetraedro (figura 12.15). Las matrices de diseño en unidades codificadas para estos dos casos también se muestran en la figura. Observe que algunos factores se prueban en dos niveles y otros en tres. En el capítulo 15 se emplea una variante especial de diseños simples para estudiar experimentos con mezclas. 2.10.2 Diseños de segundo orden Se llaman diseños de segundo orden aquellos que permiten ajustar un modelo de segundo orden para así estudiar, además de los efectos lineales y de interacción, los efectos cuadráticos o de curvatura pura. Por consiguiente, estos diseños se emplean cuando se quiere explorar una región que se espera sea más compleja o cuando se cree que el punto óptimo ya se encuentra dentro de la región experimental. El modelo de segundo orden está dado por: Tiene p = (k + 1)(k + 2)/2 términos, por lo tanto se requiere al menos esa cantidad de puntos de diseño. El diseño debe tener al menos tres niveles en cada factor para estimar la curvatura de la superficie en la dirección de cada factor. Es deseable que estos diseños sean ortogonales, pero a veces no es fácil que cumplan esta propiedad y se admite alguna dependencia entre las columnas de los contrastes. Los más utilizados tienen la propiedad de ser rotables. A continuación se presentan las matrices de diseño, la geometría y propiedades de los diseños de segundo orden más recomendados como son: el diseño de Box-Behnken y el diseño central compuesto o de composición central.
  20. 20. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 19 a) Diseño de Box-Behnken: Este diseño se aplica cuando se tienen tres o más factores, y suelen ser eficientes en cuanto al número de corridas. Es un diseño rotable o casi rotable que se distingue porque no incluye como tratamientos a los vértices de la región experimental. b) Diseño de composición central: El diseño de composición central (DCC) es el más utilizado en la etapa de búsqueda de segundo orden debido a su gran flexibilidad: se puede construir a partir de un diseño factorial completo 2k o fraccionado 2k – p agregando puntos sobre los ejes y al centro (véase ejemplos 12.3 y 12.4), además de otras propiedades deseables. Este diseño se compone de tres tipos de puntos: 1. Una réplica de un diseño factorial en dos niveles, completo o fraccionado. A esta parte del DCC se le llama porción factorial. 2. n0puntos o repeticiones al centro del diseño, con n0 ≥1. 3. Dos puntos sobre cada eje a una distancia a del origen. Estos pun tos se llaman porción axial.
  21. 21. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 20 III. APLICACIÓN A LA INGENIERÍA COMERCIAL 3.1 PLANTEAMIENTO La panadería el BUEN SABOR realiza un experimento desarrollado para optimizar la resistencia de una envoltura de pan. El diseño implica los siguientes factores experimentales y el rango de valores sobre los cuales serán variados. Factores Bajo Alto Unidades Temperatura de Lacre 225 285 °F Temperatura de Conversión 46 64 °F Polietileno 0.5 1.71 % 3.2 DESARROLLO DEL CASO SOFTWARE STATGRAPHICS  PASO N° 01: Para el desarrollo del caso usaremos el software STATGRAPHICS.  PASO N° 02: Para este modelo no se ingresan los datos al inicio del ejercicio, se siguen los siguientes pasos; DDE > Crear Diseño > Diseño Nuevo.
  22. 22. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 21  PASO N° 03: Nos aparece la siguiente ventana en la cual seleccionamos la opción “Superficie de Respuesta”. Y damos click en “Aceptar”.  PASO N° 04: Nos aparecerá la siguiente ventana en la cual tendremos que llenar con los datos correspondientes (*) seleccionando “A, B, C” respectivamente. Y damos click en “Aceptar”.
  23. 23. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 22  PASO N° 05: Después de llenar los datos correspondientes nos aparece la siguiente ventana en la cual colocamos el sistema de medida de la resistencia de las bolsas. Y damos click en “Aceptar”.  PASO N° 06: En la siguiente ventana en la cual tendremos que elegir el método de “Diseño de compuesto central”. Y aceptamos.
  24. 24. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 23  PASO N° 07: A continuación nos aparece una ventana en la cual en el punto central colamos la cantidad de datos. Y escogemos la Ubicación de “Al Final”.  PASO N° 08: Luego de haber llenado correctamente el Diseño el programa STATGRAPICHS nos arroja la siguiente tabla de datos. Y sus especificaciones.
  25. 25. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 24  PASO N° 09: Ahora para poder obtener los graficos es necesario llenar manualmente. Los siguientes datos que nos proporcionó el STATGRAPHICS:
  26. 26. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 25 Resultados Estimados para Fuerza Observados Ajustados Inferior 95.0% Superior 95.0% Fila Valores Valores para Media para Media 1 6.6 6.51022 4.52392 8.49651 2 6.9 6.00289 4.01659 7.98918 3 7.9 7.08462 5.09833 9.07092 4 6.1 5.1773 3.191 7.16359 5 9.2 9.25114 7.26484 11.2374 6 6.8 6.74381 4.75751 8.7301 7 10.4 10.4255 8.43925 12.4118 8 7.3 6.51822 4.53192 8.50451 9 9.8 9.87243 7.98102 11.7638 10 5.0 6.16014 4.26873 8.05155 11 6.9 7.06963 5.17823 8.96104 12 6.3 7.36295 5.47155 9.25435 13 4.0 5.2001 3.30869 7.0915 14 8.6 8.63248 6.74107 10.5239 15 10.1 10.1648 9.17488 11.1546 16 9.9 10.1648 9.17488 11.1546 17 12.2 10.1648 9.17488 11.1546 18 9.7 10.1648 9.17488 11.1546 19 9.7 10.1648 9.17488 11.1546 20 9.6 10.1648 9.17488 11.1546 El StatAdvisor Esta tabla contiene información acerca de los valores de Fuerza generados usando el modelo ajustado. La tabla incluye: (1) los valores observados de Fuerza (si alguno) (2) el valor predicho de Fuerza usando el modelo ajustado (3) intervalos de confianza del 95.0% para la respuesta media Cada item corresponde a los valores de los factores experimentales en una fila especifica de su archivo de datos. Para generar pronósticos para las combinaciones adiciones de los factores, agregue filas al final su archivo de datos. En cada nueva fila, introduzca valores para los factores experimentales pero deje vacía la celda para la respuesta. Cuando regrese a esta ventana, se habrán agregado pronósticos a la tabla para las nuevas filas pero el modelo no se verá afectado.
  27. 27. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 26  PASO N° 10: Para las opciones graficas nos dirigimos al a barra de menú: DDE > Procedimientos DOE Heredados > Analizar Diseño > Analizar Diseño.  PASO N° 11: En la siguiente ventana seleccionamos la variable fuerza. Y aceptamos.
  28. 28. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 27  PASO N° 12: En esta ventamos solo damos click en “Aceptar”.  PASO N° 13: En la siguiente ventana seleccionamos los gráficos necesarios.
  29. 29. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 28 GRAFICOS Diagrama de Pareto Estandarizada para Fuerza 0 1 2 3 4 5 Efecto estandarizado B:Temperatura de Conversión BC AB AC AA C:Polietileno BB A:Temperatura de Lacre CC + - Superficie de Respuesta Estimada Polietileno=1.1 200 220 240 260 280 300 320 Temperatura de Lacre 46 49 52 55 58 61 64 Temperatura de Conversión 5.3 6.3 7.3 8.3 9.3 10.3 11.3 Fuerza -1.4 2.2 5.8 Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada Polietileno=1.1 200 220 240 260 280 300 320 Temperatura de Lacre 39 49 59 69 79 Temperatura de Conversión Fuerza -5.0 -3.2 -1.4 0.4 2.2 4.0 5.8 7.6 9.4 11.2 13.0 -3.2 0.4 4.0 9.4 7.6
  30. 30. SUPERFICIES DE RESPUESTA DISEÑO EXPERIMENTAL 29 CONCLUSIONES La metodología de superficies de rspuesta (MSR) es una estrtega experimental y de modelaion que permit encontrar condiciones de operación optimas de un proceso, implica 3 apectos: DISEÑO, MODELO Y TECNICA DDE OPTIMIZACION. El diseño y el modelo dependen del tipo de comportamiento que se espera en la rspuesta, el modelo puede ser de primro o segundo orden (plano o con curvatura); por ello el tipo de diseño utilizado y el método de optimización sse clasifican según como sea el caso.

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