1. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS ACÚSTICAS
1. Motivación
Actualmente existen muchas técnicas diagnósticas en medicina, se pueden dividir
en dos grandes grupos, los que utilizan radiación ionizante y los otros con
radiaciones no ionizantes. En éste último grupo está los ultrasonidos.
Como seguramente ya hemos escuchado que todo el avance tecnológico en
medicina, se debe principalmente a la física. Para nosotros que somos físicos de
formación las aplicaciones de la física en todas las áreas nos enaltecen.
Los resultados del análisis de un fenómeno físico pueden ser aplicados, de acuerdo
al ingenio en algún área de las ciencias. Tenemos muchos conocimientos que están
esperando que lo apliquemos.
¿Cómo puedo aplicar mis conocimientos de reflexión y refracción de ondas
acústicas en medicina?
2. Objetivo
Analizar el fenómeno físico de reflexión y refracción de ondas acústicas planas, y
aplicar éstos resultados a las posibilidades diagnósticas que ofrece el ultrasonido.
3. Reflexión y Refracción de Ondas
Asumiremos que no hay pérdida de energía durante el proceso de propagación de la
onda (el coeficiente de absorción es cero); también que no ocurra dispersión (medio
homogéneo).
La onda de presión incidente (de izquierda a derecha) puede ser representado como
Pi = A1 e i (ω t − k 1 x ) (1)
Donde:
A1, es una constante igual a la amplitud de la onda incidente
t, es el tiempo
x, es la localización espacial
ω, es la frecuencia angular
k1, es el número de onda en el medio 1 (k1 = ω/c1)
La onda incide normalmente sobre una superficie plana paralela que separa el
primer medio homogéneo de un segundo con propiedades acústicas diferentes.
Entonces la onda incidente experimentará en la superficie que divide los dos
medios, reflexión y transmisión.
La onda de presión reflejada puede ser representado como
Pr = B1 e i (ω t + k 1 x ) (2)
Donde:
B1, es una constante igual a la amplitud de la onda reflejada
Se toma positivo en el paréntesis porque va de derecha a izquierda.
De igual manera para la onda de presión transmitida puede ser representado como
Pt = A 2 e i (ω t − k 2 x ) (3)
Donde:
JPRV 1

2. A2, es una constante igual a la amplitud de la onda transmitida
k2, es el número de onda en el medio 2 (k2 = ω/c2)
La situación es descrita esquemáticamente en la Fig. 1.
Figura 1. Reflexión y transmisión de ondas planas en una superficie plana.
Las condiciones de frontera
Pi | x = 0 + Pr | x = 0 = Pt | x = 0 (4)
u i |x = 0 +u r |x = 0 = u t |x = 0 (5)
Donde
u, es la velocidad de la partícula, definido como
1 ∂P
u = −  ∫ 
 ρ   ∂ x  dt
 (6)
   
Si P es armónica y plana, entonces la dependencia espacial y temporal se puede se
puede separar tal que
P (x, t) = P (x ) ei ω t (7)
Reemplazando (7) en (6) da
1  ∂ P (x )  i ω t
u=− e (8)
i ωρ  ∂ x 
 
Usando otra vez (7) se obtiene
1 ∂ P ( x, t )
u=− (9)
i ωρ ∂ x
De las condiciones de frontera (4) y (5), tenemos
A1 + B1 = A 2 (10)
A1 B A2
− 1 = (11)
ρ1 c1 ρ1 c1 ρ 2 c 2
Operando con (10) y (11) se tiene
B1 ρ 2 c 2 − ρ1 c1
= (12)
A1 ρ1 c1 + ρ 2 c 2
JPRV 2

3. A2 2 ρ2 c2
= (13)
A1 ρ 2 c 2 + ρ1 c1
Llamaremos coeficiente de reflexión de presión a
P  B
r =  r | x =0 = 1
P  (14)
 i A1
Coeficiente de transmisión de presión a
P  A
τ =  t | x =0 = 2
P  (15)
 i A1
Reemplazando (12), (13) en (14), (15) respectivamente y en función de la
impedancia acústica (Z = ρc)
Z − Z1
r= 2 (16)
Z1 + Z 2
2 Z2
τ= (17)
Z 2 + Z1
Vemos que
1+ r = τ (18)
La intensidad media de una onda plana esta dado por
1
I = ρc u2 (19)
2
Teniendo en cuenta (9), de (19) tenemos
2
A1 A2
Ii = = 1 (20)
2 ρ1 c1 2 Z1
2 2
B1 B1
Ir = = (21)
2 ρ1 c1 2 Z1
A22 = A2
2
It = (22)
2 ρ2 c2 2 Z2
Definiendo el coeficiente de reflexión de intensidad como
I B2
R = r = 1 = r2 (23)
I i A1 2
Y el coeficiente de transmisión de intensidad como
I  A2  Z  Z 
T = t =  2   1  = τ2  1 
  Z  (24)
I i  A1   Z 2 

2
  2
Teniendo en cuenta (16) y (17), obtenemos
2
 Z − Z1 
R = 2
Z +Z   (25)
 1 2
JPRV 3

4. 4 Z1 Z 2
T= (26)
(Z 1 + Z 2 )2
Vemos que
R +T =1 (27)
4. Discusión y Ejemplo de Aplicación
En la Tabla 1, se muestra las propiedades acústicas de diferentes medios, a partir de
ella ver las posibilidades diagnósticas.
Tabla 1. Propiedades acústicas de diferentes medios (temperatura de ambiente, 20 ºC, y temperatura
humana, 37 ºC)
Material ρ (kg. m-3) c (m.s-1) Z (kg.m-2.s-1)
Aire 1,21 343 415
Agua 1 000 1 480 1,48x106
Hígado 1 060 1 550 1,64x106
Músculo 1 080 1 580 1,70x106
Grasa humana 952 1 459 1,38x106
Riñón 1 038 1 560 1,62x106
Bazo 1 045 1 570 1,64x106
Sangre 1 057 1 575 1,62x106
Hueso 1 912 4 080 7,8x106
Pulmón 400 650 0,26x106
Si deseo obtener información de estructuras haciendo incidir ondas acústicas, los
resultados del fenómeno físico me dicen que tengo que conseguir alto coeficiente
de transmisión de intensidad (T), con respecto al coeficiente de reflexión de
intensidad (R).
La onda que trae la información va ha ser la reflejada, o sea los ecos (así llamados).
La reflexión y transmisión de las ondas acústicas va producirse cuando la onda pasa
de un medio a otro pero diferente, y es caracterizada por la impedancia acústica del
medio.
Centrando nuestro análisis al cuerpo humano, de la Tabla 1, podemos ver que aire,
hueso y pulmón, tienen gran variación con respecto a la impedancia acústica de los
otros tejidos.
Analicemos los siguientes casos:
a) Incidencia Aire-Agua (o Agua-Aire)
R = 0,999 y T = 0,001
b) Incidencia Agua-Hueso (o Hueso-Agua)
R = 0,464 y T = 0,536
c) Incidencia Agua-Pulmón (o Pulmón-Agua)
R = 0,492 y T = 0,508
d) Incidencia Grasa humana-Músculo (o Músculo-Grasa humana)
R = 0,011 y T = 0,989
JPRV 4

5. Podemos concluir que no utilizaremos ondas acústicas cuando queremos estudiar
estructuras en el cuerpo humano que contengan hueso o cavidades con aire.
Como alguien tiene que generar las ondas acústicas, y esto lo hace un material
piezoeléctrico, uno bastante conocido es el PZT (Plomo-Zirconio-Titanio) cuya
impedancia acústica es 29,0x106 kg.m-2.s-1. Si ponemos este transductor en contacto
directo con el tejido humano (1,63x106 kg.m-2.s-1), tendremos
Incidencia PZT-Tejido humano
R = 0,798 y T = 0,202
Este valor es inaceptable y la mayoría de transductores tienen un material
intermedio entre este y la superficie humana, si este material tiene una impedancia
Z y queremos maximizar la transmisión, hallaremos que
Z = Z1 Z 2
Donde
Z1, es la impedancia del transductor
Z2, es la impedancia del tejido humano
5. Preguntas y Problemas
1. ¿Cuándo ocurre el fenómeno físico de reflexión y transmisión de ondas
acústicas? ¿Encuentra alguna analogía con las ondas electromagnéticas? ¿Cómo
podríamos diferenciar ambas?
2. Las relaciones que obtuvimos son considerando ondas planas, ¿significa que no
sirve mis relaciones obtenidas? Explique.
3. Se sabe que la impedancia de un transductor PZT es 29,0x106 kg.m-2.s-1 y que la
impedancia de cierto tipo de piel es 1,4x106 kg.m-2.s-1.
a) Si la intensidad de la onda incidente es 80 mW.cm-2; determine la intensidad
de la onda transmitida a la piel.
b) Si ahora se coloca un material que optimice la transmisión, determine la
intensidad de la onda transmitida a la piel.
4. Un ultrasonido llega a una región Tejido-Hueso-Tejido. Si la intensidad de la
onda al llegar a la primera interfase Tejido-Hueso es 10 mW.cm-2, determine la
intensidad de la onda que entra al segundo tejido.
5. Si un paciente le preguntase si el diagnóstico usando ecografía acarrea
complicaciones y se puede usarse para todo tipo de diagnóstico, ¿cuál sería su
respuesta?
6. Demostrar que la optimización de la transmisión se logra poniendo un material
intermedio de impedancia Z = Z1 Z 2 .
7. Investigar lo que ocurre cuando se toma en cuenta la atenuación de las ondas
acústicas. ¿Cómo serían ahora mis relaciones de R y T?
8. Según la pregunta anterior, usted tiene dos sistemas de ecografía, uno opera a 4
Mz y otro a 2 MHz. ¿Cuál usaría para hacer ecografía de una persona obesa y
cual para una persona delgada? Explique.
9. Generalice las ecuaciones de R y T, para múltiples capas de diferentes medios.
10. Diseñe en bloques (cajas negras) un equipo para la adquisición de imágenes
mediante ecografía con ultrasonidos desde su generación, recepción de las
ondas acústicas hasta su presentación como imagen.
JPRV 5