En eIAAMo

Por el teorema de Pitágoras: 

(a-R)?  = R2 +[%]2

a2-2aR+R2=R2+aT2
%a2=2aR
%a=  R
A542 

8 64

9na2

As- 64 Rp...
Calcular el área de la región som-
breada. 

/ ® As= %= 4 AS:  _ ¡x A) a2(6-n)/3 a
2 -n
msm 4 1 p)  

Portraslación de reg...
B
A C
Poseer “O” (baricentro);  trazamos
las medianas de los lados respecti-

VOS:  A
As:  AGABC
66
AS= T As=11

 Asomb.  ...
Reemplazando: 
 s), )=(2 V3-n)m2

En Iafigura:  Ñ= ÍIABCD =3o m2.
ABCF =  5m2. El área sombreada es: 
A) 20 m2 C

B) 15m2
...
Asomb;  2ah-12/4 En la figura hallar el area de Ia parte

(I)+ (II)+(III): 

 

Asomb‘:  2(4)_3 =  5 m2 Rpfa- A rayada;  s...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

areas geometricas

177 visualizaciones

Publicado el

areas sombreadas

Publicado en: Educación
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
177
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
4
Acciones
Compartido
0
Descargas
8
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

areas geometricas

  1. 1. En eIAAMo Por el teorema de Pitágoras: (a-R)? = R2 +[%]2 a2-2aR+R2=R2+aT2 %a2=2aR %a= R A542 8 64 9na2 As- 64 Rpta. B Hallar el área de la región sombrea- da siAC = 8. A) 30 n B) 26 n C) 32 n: D) 24 11: E) 28 1': RESOLUCIÓN: añ i. ‘ A—>s<—c En el AABC: Por Pitágoras: R2+r2=64 . ... ... ... .. (I) A _135°Tcr2 + 135°nr2 S ’ 360 360 _ 1351: (RZHZF1B36Ï: (64) AS ’ 360 As = 241: Hallar el área de Ia región sombrea- da. A) 3a2/8 B) 32/2 C)2a2/5 a D) 3a2/7 E)4a2/7 RESOLUCIÓN: a -8,“ 4A— 2 -81,” A’ e a2 3A=3[: ]=%a2 Hallar el área de Ia región sombrea- da. A)6 B)4 C)r: +2 D)rc-2 E)2 RESOLUCIÓN: As = Q X X = i? -V , r[¿) 2 X _ fi _ v5 fi 4 4 8 x= "¿(1) -14—6= 275-4 _(2) (2) en (1): 2 2 As — "( ) - (2744) 2 As = 2TC-2TE+4 As = 4 Hallar el área dela región sombrea- da. A)nR2/2 B)1cR2/3 C) n R2/4 D)2rc R2/3 E)7cR2/5 RESOLUCIÓN: As = 2x Gïéfiïz R2 As= "3 Hallar el área de Ia región sombrea- da. 233232 c)2a2/5 l D) 3a2/7 1 l E) a2/2 RESOLUCIÓN: 1 A x M (a-x) D Delafigurazï= CÏ= a MA= CP= X DeIAMDc Por Pitágoras: (a+x)2 = a2+(a-x)2 (a+x)2-(a-x)2 = a2 4ax = a2 Luego a-x = a- i = í a 4 4 [7 F 3 As= T = ïaz Rpta. B Hallar el área de la región sombrea- da. A) 167: ' BW IFE C)20rc D) 2271 E)24n RESOLUCIÓN: As: n(42—22)+n(32—12) As: Tc(12)+1'c(8) As: 207: Calcular el área de Ia región som- breada. A)4rc B) 57: - C)61c 0,8“ w E) 37': RESOLUCIÓN: Q As = Ú-U+@ J AS = n25? _ Mi)? + «(E)2 AS: 2gTE_1ÉTE +1 As=5n Rpta. B HaIIareI área de Ia región sombreada A) 4 B) 3 C) 6 D) 1 E) 2 RESOLUCIÓN: ' 4 '
  2. 2. Calcular el área de la región som- breada. / ® As= %= 4 AS: _ ¡x A) a2(6-n)/3 a 2 -n msm 4 1 p) Portraslación de regiones: . As: — R2-—1I — C)a2(4-rc)/4 a ¡í 4 —r RP“ A 5 2 V3 D)a2(n-2)/3 2 Hallar el área de Ia región sombrea- As: i R2 - nR E)a2(5'n)/2 , da 5¡AB:4_ A ‘¿z 10 RESOLUCION: B _ _ Sabemos que el ángulo interior de un 3:“ AS 10 (8 n) Rpta" D polígono regularse calcula. 713 ® Calcular el área de la región som- " a " Q2“ o breada. F T D) 5“ A) a2 (6 xfi-znys E)6n I B)a2(4x/3—3)/4 a RESOLUCION: c)a2(9x/ Ïs—4n)/6 A 4 B D)a2(5x/ ïs—3n)/3 Y E) a2 (9 vï-sm/ z gh RESOLUCIÓN: As= Ü - fi ' Sabemos que el ángulo interior de í 2 2 * un polígono regular se calcula. T” 2 _ As: a2 -2 í _ 180(n 2) 4 m 92 l = a 2 I n As = a2 ' TI i En ¿A ooo, para un exagono: n = 6 4 . , _ 180(6-2) a2 PorPrtagoras. '= í = 120° A = — 4 Rpta. C (R+r)2=(R_r)2+42 m g: l 6 s 4 ( d”) (R+T)2'(R'T)=15 Calcular el área de la región som- 4Rr=16 breada. Rr=4 . ... ... .. . . (1) mah/ E)2 a As= Ü-Ú-Ü mah/ E A = n(R+r)2 _ KRZ + m2 C)a2/3/4 S 2 2 2 D)a2/ Ï/3 AS = L [(R+, )2_R2_,2] E) aZVÏ/ Z ’ 2 As = RESOLUCION: AS = g [(R2 +2r+r2.R2.¡-2] A _ 6 azví 2 [n32 Sabemos que el ángulo interior de un s _ í - n 4 3 As = ï (2Rr) = nRr A _ gazvï _ 21m2 Pero: Rr = 4 s _ 6 3 Luego: As: 4rr A _ gazx/ ï4naz s _ a Hallar el área dela región sombreada a2 6 As = Ï(9‘/ ï'4") Rpta. c í a Calcular el área de la región som- breada: a A A) a2(6-n)/6 V Ñ B) a2(4-n)/3 A) R2(6-1I)/10 B) R2(4-rr)/4 Cl a2(5‘")’4 a C) R2(6-n)/8 D) R2(8-n)/1 o D) 335-70“ , o E) R2(3-, ¡)/5 E)? !‘ (4-7T)/2 I CAPITULO N 50 M , , : SOMBREADAS j El (Del N° 905 al N° 928) 0* 1* N 2 , . n , , En ¿”A ONM ‘lgllatfilíarrczïnafilrza sombreada siendo O Por Pitágoras: , ' B L 2 Ademas SAABC: 66u2 R2= L2+[—) A)22 uz 2 B) 33 u? L2 C 44 2 R2=L2+T D355; E) No se puede A _ 5 A c R2 - 7 L2 RESOLUCIÓN:
  3. 3. B A C Poseer “O” (baricentro); trazamos las medianas de los lados respecti- VOS: A As: AGABC 66 AS= T As=11 Asomb. = 11><4 = 44u2 Rpta. C EnCOntraLIárÏSLSÍ: S_1= 4u2 S2=9u2; MNl/ AC; MQl/ AB. A)8u2 B)25u2 C)42u2 N Lai M D)12u2 RESOLUCIÓN: A o c SAABC: Sr . ... . . .(1) V5,1_fl ABMN -AABC — I 3V; BC () x/ s-z MC AMQC-AABC = Ï II ‘v; BC “ (| >+(| |)I x/ s-lh/ ízm/ í Alcuadrado: servía/ E)2 Sr= (/ ï+/5)2=(2+3)2 : > ST=25 S= ST. S1.S2 S =25.(4+9)=12u2 Calcular el área dela su erficie som- breada. ON = NA= 2 3 m A) (zn-x/ ïmz A B) (sn-x/ ïw c) (4n—3x/ í)m2 N D) (sn-evïw E) (61r-5 vï)m2 RESOLUCIÓN: Asomb = AVAOP-(A DANM)+A BPNO) B ONP es notable (30° y 60°) 908 OP=2(ON): NP=6 A _n6o°(4x/3) zvïxe 1I(2/ í)2 S°"‘°’Ñ‘T‘T Aso“, = su-ex/ ï-sn Asomb = sn-ex/ É Rpta. D En la siguiente figura ABCD es un cuadrado de lado 6m. EI área dela región sombreada es: A) 2(5—1s/ E—n) B) 2(1o—9x/ E—9n) c) 2m o-sxïz-sn) D) 2(5—1 sxïz-gn) E) 18(4-2/ —2-rt) RESOLUCIÓN: Asomb Asomb) = 2 n: -Q]-4 BPMB = 2 [64 —n<3;2>2). ¿rita-af? Amm = 2 [364 — 9:2] -2(6-3/ Ï)2 ASM, = 2[36rr-9n]-2(36-36/ Ï+18) Aso, ” = 72-1 sn—72+72x/ í—36 Asma), = 72vï—36—1sn Determinar el parámetro de la figu- ra: A)28 í B)30 c)2e 15 mss ) E)32 Ií13—| Se “trasladan” los pedazos de segmentos lgcialgs lados AB y BC. Por tanto: D l: 13 —l C Perímetro = AB+BC+DC+AC Perímetro = 2x15+2><13 Perímetro = 56 Calcularel área sombreada. A) (rr+2) m2 B) (21r+1 ) m2 C) (rc-Z) m2 D) (rc+3)/4 m2 E) (n45) m2 ' 4"‘ RESOLUCIÓN: M Trazand_olos_ radios QA y PA ‘ h En el sector FQ N FMNI I— 2m —¡— 2m —l 44m4 Hallar el área sombreada. C Asomb = Asector FMN ‘2Asector MPA ‘A FPAQ —ï- A’. 2 - 24 (1) 4 = rc(2)2 _2 r: (1)2 4 4 ‘m2 Amb: 71-14: %—1 pero: Asomb. Total = 2 = (rc-z) m2 A) (s‘/3—6)m2 B)(8 3—4)m2 RESOLUCIÓN: Usamos los triángulos notables de 30°, 60° y 53° y tendremos: C L 48m4 Iííïhel Asomb. = AAABE + AA CBD . ... .. . . (l) AP = 4; PB = 4 en el BAPB isósceles En el BAPE: PE = 3 En el BCPD: PC = N3 AAABE= ABAPB-AEAPE . . . . . . . . 4><4 4><3_ 2 2 2 —2m ACBD: A BCPD -A BBPD = 4x4x/ É _ 4x4x/ í =16xfi16 AABE: 2 2 2 Asomb, : 8VÏ-8+2 = (8x/3—6)m2 Hallar el área sombreada, si el radio = x5. A)Tcm2 B)2n m2 c)2«/ € m2 4Q‘ D)(2«/3—3)m2 k E) (2 x/ á-romz RESOLUCIÓN: Sor) = 81308048660“ +S412o°) 2 2 rrr2_ _2 _1 2 , S(x)-I'(/3 2) sm: rsx/ í-
  4. 4. Reemplazando: s), )=(2 V3-n)m2 En Iafigura: Ñ= ÍIABCD =3o m2. ABCF = 5m2. El área sombreada es: A) 20 m2 C B) 15m2 C)25 m2 B D D) 10m2 E)8 m2 RESOLUCIÓN: _ _ A= A; portener igual base (BF = ED) e igual altura; sus triángulos respec- tivos. A4 BFC = A4DEc Además: Asomb. = AABcD - ZAABCF Asomb? 30-2(5) = 20 m2 Encontrar el área sombreada. Si el ABC es equilátero de lado“L". A) L2 (rc+2)/4 B B) L2 (n- vïys c) L2(2rc-3/3)/6 ) ) A D (L/3+1r)2 LVï-TL 2 RESOLUCIÓN: l'| '| M- B“? .. ..(I) A“ = 360° 4 Pero: R = %/3 rrL2 LZVÏ 3A“: 18 ' 12 Entonces: Asomb. = 6A(x) 4L? _ L2/3 18 12 L2 Asom), = 6 7 (zn-sx/ ï) Rpta. c Si el área es 24 u2. Hallar el área de Asomb. = 6 í la parte sombreada. A)1 u2 B)2 u2 N C)3 u2 D)4 u2 E)5u2 A M C RESOLUCION: B Se sabe que: SAPBN= SAPNM= SAMNc=6m2 A M C Entonces: 38:6 s :2 u2 A c Si el triángulo sombreado se des- plaza hasta que “M” ocupe el centro del rectángulo de área El área del triángulo que queda será: A)A/4 Alí L íl B B)A/5 C)A/6 D)A/7 E)A/8 RESOLUCIÓN: Considerando que el desplaza- miento del triángulo es paralelo a los lados del rectángulo se tendrá la posición final de la forma: A l—L/2—lB 3T d a D C C’ , , _B’ _¿ BC/ /BC/ /PQ— 2 — 2 . A _ (a/ L)(L/2) _a_L _ A -- somb. ‘ 2 ‘ 2 ‘ 8 ¿En qué porcentaje difieren el área sombreada del área del círculo? A) 33,33% B) 66,6% C) 75% D) 50% E) 25% RESOLUCIÓN: Asomb. = AQ’2A 4 Asomb. = TIRZ - 27-[3R2 Asgm), = nR2(1/3) Luego: Si: rrRï 4* 100% ¡[R2 Tex2x=33,3% Difieren en: 100-333 = 66,8% HaI| ar“S", siA+B+C+D = 15. A)5 U2 B)7,5 u? c)s uz D) 15 u? E)22 uz RESOLUCIÓN: P Q Q = nR2(1—2/3) Él D ¿o Sabemos que: A@+2®= AUÉRU A(PQRT) ¡ 2 ( ) De (I)y(II): S= A+B+C+D = 15 S=15u2 Si: r = 2 m. Calcular el área dela re- gión sombreada. Luego: X+S+Y = A)4m2 B)8m2 c)4«/ ïm2 D)2/ ïm2 E)8/ Ïm2 RESOLUCIÓN: B Observamos que: V N OAÏZOÉSSN: 7 : > PA=2/ Ï x kMPQ-BBOQ k É; somo-ví o P o A = /Ï Asom: ZXAAMQA: zxwmfixiïv) Asomb. = = 2/ _2 m2 Hallar el área sombreada, siendo ABCD un paralelogramo de altura 12 m yAD = 18m. A) 96 m2 B C C Haciendo los trazos _ respectivos: SABCD=18X12 SABCD = 216 S D Asomb. : AÉCD 216 7:1“ m2 En Iafigura si ÉFGLGI p_ra| e|ogra- moes12m2yBM = MN = NC. Elárea sombreada es. B A)5m2 M NC B)4m2 X c)4,5m2 ‘ D)6m2 1A E)5,5m2 A E F D RESOLUCIÓN: AA5cD=3ah =12:>ah :4“) Además: Asomb. =AAMND-AAoD (3138) h _ AABCD 2 2 Asomb. :
  5. 5. Asomb; 2ah-12/4 En la figura hallar el area de Ia parte (I)+ (II)+(III): Asomb‘: 2(4)_3 = 5 m2 Rpfa- A rayada; si A(-2; -2); B(2; 4) y C(5; -2) V5: x/ s-VH/ s-ZH/ sa . . A) 7 uz y B v5: VEB/ EN? SI el lado del cuadrado mide 2m2, B)14u2 V5=3+4+1=8 ZÏIIeÏZeI area sombreada. C C) 28 U2 S : 64 U2 Rpm D TE v D 21 U2 X B) (TF+2)/4 ‘ E; ¡mpredsabb C Hallar el área de Ia parte sombreada, c) m2 REsoLuclóN: siendo Ia altura igual a 8. D)2(rr+2) _ A)2n(n-1) Asomb. - AAABc - T E)4(n-2) A D ADA/ m Ïgnznn F8 RESOLUCIÓN: y l ’ i _ 7X6 7X2 ) r2) Llamemos“flelarealncognita: Asomb. ‘ 2 ' 2 D)“ +1 l A(x): AsectorAED'AsegmentoAM A 28 E)2n2-1 _1_ _3_ _5_ _(2n_1)_ Además: C somb = — RESOLUCIÓN: o 2 Asemgmgn: “Ley = ï . ... .. . . (u) - A = 14.12 1m 3m 5><h (2n-1)h 36o 2 - - somb- Rpta. B Asomb; 2 + 2 + 2 +. ..+ 2 B C V Para el segmento Encontrarel área sombreada. Somb = 1><h+3Xh+5><h+----+(2"'1)h o ‘ circular AM. A) 32g“- V3)“ ü ' 2 ‘ l OAM = 45° y B)a2(2,, _2/3)¡3 ‘ Ï ASM = h(1+3+5+ . ... ... .. . .+(2n-1) °A= 0M c)a2(5n—6«/ Ts)/12 { a ' 2 A 5° D D)a2(/ Í_3-Tt)/4 ‘ J- Asomh: 4712 Rpta’ c Asegmentom : Asector AOM ' Atriángulo AOM E) a2(3'/3+7¡)/5 A = n(1)2_¿2 ______ __ (m) RESOLUCIÓN: AsegmentoAM 4 2 (II) y (III) en (I): - Tr fl 1 _ "+2 TRIANGULAR AW‘? Tí - 4 Rpta. B (Del N° 929 al N° 951) Calcular el área de la región som- breada. Si el triángulo ABC es equi- Iátero y los 3 arcos son iguales. ASM = A@-A ¿a . ... .. . .(I) B 22 f A = 30°rra2 +2 60°rra2 _ aZx/ ï C)211: m2 4VÏ 5 somb. 360° 360° 2 2 D)3nm2 Z X‘ Asomb. =%+nTa2' E)41t m2 RESOLUCIÓN: A ° Asomb = 57m2 - LW B. Por ser “O” bari- 12 v3 i centro del AABC; - = 2 571-6 3 l ' se cumple OAC = ' ' Ammb" a I: 12 Rpïa- C » 30°. Hallar el área del hexágono ABC °°m° DEF. Si: Ame = 9U2;AAAPF = 1u; A ZVÏ M C AADET=16UZ Según el gráfico: ¿QM:2YQA:4 BC/ /PT; ED/ /PQ; AF/ /QT e+x:30° Además: OA: CB = 4 A) 16 U2 Entonces: 2x+29 = 60° :3: i? u: Se forma el ADRO equilátero: - U : : : T ° — = Rpta. B . . A. - Tc(1)2 15m2 u: LUEQOZÁRDENON (¡__L_L) ¿Qué % del área representa la suma ) u P F E T Es decir: (O - 1 - O) de las áreas sombreadas? RESOLUCÉN: _ por ¡o tanta 29 = X A) 3o Trazamos BE y AD; además el diá- pero: e” = 30o _, x = 20o B) 4o metro XX’. c) 50 ABQC '“ AQPT ¿Qué valor puede tomar el PN en: D)6O x/ sí _«/ s_1____(¡) » E) so v5 v5 RESOLUCIÓN: D ¿EDT - ¿pm Considerando que los cuadrados sean de lado “L” entonces: ‘fi - % (ll) AmtaF 15L2;Asomb_ = 9L2 T S A)4,1 B)4 C)2,2 2 __, D) 3,8 E) 3 Atom: % X1°°% Ï/ AÏF AAPPQT RESOLUCIÓN: 32 III" ero ED= AB E ¡ PJN- Amb): 60% Rpta. D V5 PQ ( ) p S: ‘taraAza la ceviana JM

×