Este documento describe el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica que si una ecuación diferencial de primer orden puede expresarse en una forma donde las variables independientes están separadas, entonces se puede resolver mediante integración directa. A continuación, presenta 25 ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar este método para separar variables y encontrar la solución de la ecuación diferencial.

1. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona la variable independiente con la variable
dependiente y sus derivadas. Por ejemplo:
El orden de la ecuación diferencial es el orden de la máxima derivada. El orden de las ecuaciones
nos indica el número de constantes y constantes arbitrarias en la solución. Por ejemplo, para la
ecuación anterior:
Ecuaciones diferenciales de Primer Orden, Separación de Variables.
Dada una ecuación diferencial:
Si la ecuación diferencial se puede colocar de la forma:
Es de variables separables, y la solución está dada por la integral directa.
A continuación se muestran una serie de ejemplos. Antes de comenzar a analizarlos se debe
considerar que una constante (marcada con azul) al momento de ser multiplicada por un número
cualquiera, su valor cambia, y por tanto se convierte en una nueva constante. La constante indica
que la ecuación pertenece a una familia de curvas, cuyo valor debe ser determinado dada las
condiciones de la misma ecuación, por lo pronto no se determinaran los valores de dichas
constantes. Otra cosa que debe tomarse en cuenta es que, la expresión final de una ecuación
diferencial, puede representarse en varias formas, y por tanto, la expresión final será aquella que
sea más conveniente trabajar para nosotros (Véase ejemplo 1).
I.Q. Juan Antonio García Avalos

2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
1.-
Solución:
Otra posible solución:
2.-
Solución:
3.-
Solución:
4.-
Solución:
I.Q. Juan Antonio García Avalos

3. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
Elevando a la sexta potencia ambos términos:
5.-
Solución:
Elevando a la mn potencia ambos términos:
6.-
Multiplicando por
7.-
8.-
I.Q. Juan Antonio García Avalos

4. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
Elevando al cuadrado ambos términos:
9.-
10.-
1 1 1
1- 1
x+1 x x+1 y-1 y 1 + y-1
-x-1 -y+1
11.-
Elevando a la segunda potencia ambos términos:
I.Q. Juan Antonio García Avalos

5. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
12.-
x +1 1
x - 1 x2 x+1+ x-1
- x2+ x
-x+1
Multiplicando ambos términos por 2:
13.-
y-1
y +1 y2 +1 2
-y2 +1 - y y–1+y+1
+1 + y
+2
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2:
I.Q. Juan Antonio García Avalos

6. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
14.-
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 2:
15.-
u dv
Integral por partes:
Multiplicando ambos lados de la ecuación por x:
16.-
Multiplicando ambos lados de la ecuación por -3:
17.-
I.Q. Juan Antonio García Avalos

7. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 4:
18.-
19.-
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 4:
20.-
21.-
I.Q. Juan Antonio García Avalos

8. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
22.-
a
x
t
Multiplicando ambos lados de la ecuación por -1
23.-
a
x
t
Del problema anterior se tiene que:
24.-
x
t
I.Q. Juan Antonio García Avalos

9. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
25.-
I.Q. Juan Antonio García Avalos

10. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
ANEXOS
I.Q. Juan Antonio García Avalos

11. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Separación de Variables.
I.Q. Juan Antonio García Avalos