Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

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Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

  1. 1. Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior PROF. JUAN CARLOS BRICEÑO
  2. 2. Para ecuaciones diferenciales de la forma: ay´´ + b y´ + c y = 0 Con las Condiciones a cumplir: Donde su respectivo polinomio característico es de la forma: . con raíces: 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0 𝑚1 𝑦 𝑚2
  3. 3. Ahora, otras condiciones a tomar en cuenta son:
  4. 4. Ejercicios: 1.) Sea la siguiente ecuación diferencial: 𝐘`` − 𝐘` − 𝟔𝐘 = 𝟎 Donde el polinomio característico es: r2 − r − 6 = 0 Factorizando se tiene: 𝑟 − 3 . 𝑟 + 2 = 0 Por lo tanto: 𝑚1 = −3 y 𝑚2 = 2 → 𝑚1 ≠ 𝑚2 De lo anterior, tenemos el Caso 1: 𝑌 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥 𝑌 = 𝐶1 𝑒−3𝑥 + 𝐶2 𝑒2𝑥
  5. 5. 2.) Sea la ecuación diferencial  𝑦4 + 4𝑦′′′ + 24𝑦′′ + 40𝑦′ + 100𝑦 = 0 El cual tiene como polinomio característico: 𝑟4 + 4𝑟3 + 24𝑟2 + 40𝑟 + 100 = 0 Para determinar las raíces, utilizaremos factorización: Estos es: 𝑟4 + 4𝑟3 + 24𝑟2 + 40𝑟 + 100 = (𝑟2 + 2r + 10)2 = 0 Luego, aplicamos ecuación de segundo grado en 𝑟2 + 2r + 10
  6. 6. Para: 𝑟2 + 2r + 10, a = 1, b= 2, c = 10 r = −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 = −2± 22−4.1.10 2𝑎 r = −2± 4−40 2.2 = −2± −36 4 ; Observa −36, no tiene solución real por lo r = −2± −1.36 4 = −2± −1. 36 4 ; r = −2± 36𝑖 4 = −2±6𝑖 4 r = −1 ± 3𝑖 Entonces, 𝑚1 = −1 + 3𝑖 ; 𝑚2 = −1 − 3𝑖 Cual utilizamos propiedades de números complejos, esto es: i = −1
  7. 7. Ahora bien, recuerde que como (𝑟2 + 2r + 10)2, quiere decir: (𝑟2 + 2r + 10)2 = (𝑟2 + 2r + 10). (𝑟2 + 2r + 10), lo que implica que se debe aplicar dos veces el procedimiento, sin embargo al ser análogo se concluye: 𝑚1 = −1 + 3𝑖 ; 𝑚2 = −1 − 3𝑖 𝑚3 = −1 + 3𝑖 ; 𝑚4 = −1 − 3𝑖 Esto implica dos condiciones: Por lo tanto: 𝑦 𝑥 = 𝑒−𝑥 ( 𝐶1cos3x + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶3xcos3x +𝐶4 𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥)
  8. 8. Tarea  Dada la ecuación diferencial, hallar las soluciones y la ecuación 𝒚 𝒑 𝐘``` − 𝟔𝐘`` + 𝟏𝟐𝐘` − 𝟖𝐘 = 𝟎
  9. 9. ¡Gracias por su Atención!

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