Msc. Juan Carlos Briceño
Asignatura: Matemática III
Ejercicio Resuelto de
Ecuaciones Exacta
y’ + P(x)y = Q(x)
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden que presenta la form...
Para resolver una ecuación exactas es importante tener en
cuenta los siguientes pasos:
1.) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂...
a) ( 4Y+ 2X- 5) 𝝏𝒙 + ( 6y + 4x – 1 ) 𝝏𝒚 = 𝟎
b.) ( 𝒆 𝟐 + y) 𝝏x + ( 2 + x + y 𝒆 𝒚) 𝝏𝒚= 0
Solución al ejercicio a:
1) Observe...
3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ ,
la otra con respecto a ¨x¨
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
=
𝜕(6𝑦 + 4𝑥...
4.) Se introduce una función auxiliar F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C= f(y)
Esto es: F = (4y+2x−5) 𝝏x
F = 4y dx + 𝟐𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 𝝏x
F = 𝟒𝐲 dx ...
𝒅𝑭
𝒅𝒚
=
𝒅𝟒𝒚𝒙
𝒅𝒚
+
𝒅𝒙 𝟐
𝒅𝒚
+
𝒅−𝟓𝒙
𝒅𝒚
+
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
𝒅𝑭
𝒅𝒚
= 4x
𝒅𝒚
𝒅𝒚
+
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
Recuerda que al derivar:
𝒅𝒙 𝟐
𝒅𝒚
,
𝒅−𝟓𝒙
𝒅𝒚
, es...
7.) Por último integramos en ambos miembros: ∫𝝏𝑭
𝝏𝒚
Para ello, tomamos inicialmente la expresión anterior:
𝒅𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
= 6y –...
Solución del ejercicio 2:
1) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0
( 𝒆 𝒙 + y) 𝝏x + ( 2 + x + y 𝒆 𝒚) 𝝏𝒚= 0
2) De...
𝑑𝑀(𝑥,𝑦)
𝑑𝑦
=
𝑑
𝑑𝑦
𝑒 𝑥
+
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
=
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𝑑𝑥
+
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑
𝑑𝑥
(y 𝑒 𝑦
)
= 1 = 1
Por lo tanto:
𝑑𝑀 𝑥,𝑦
𝑑𝑦
=
𝑑𝑁(𝑥,𝑦)
𝑑𝑥
4) I...
5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y :
𝝏𝑭
𝝏𝒚
𝐅 = ex + y.x + f(y)
𝝏𝑭
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
(ex + y.x + f(y))
𝝏𝑭
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
e...
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= x +
𝝏f(y)
𝝏𝒚
Como: N(x,y) = 2 + x + y𝑒 𝑦y
Entonces al igualar en:
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= N( x,y)
x +
𝝏f(y)
𝝏𝒚
= 2 + x + y𝑒 𝑦 Lueg...
Agradecimientos
Este material, fue elaborado en conjunto con los estudiantes de la 3M1ES
Aldana Yenismar C.I: 22.092.861
P...
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Ecuaciones exacta(mejorado 3)

  1. 1. Msc. Juan Carlos Briceño Asignatura: Matemática III Ejercicio Resuelto de Ecuaciones Exacta y’ + P(x)y = Q(x)
  2. 2. En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: M (x,y)dx + N(x,y) dy =0 en donde las derivadas parciales de las funciones M y N : 𝝏𝑴 𝝏𝒀 Y 𝝏𝑵 𝝏𝑿 son iguales. Esto es : 𝝏𝑴 𝝏𝒀 = 𝝏𝑵 𝝏𝑿 Donde 𝝏𝒇 𝝏𝒙 = M( x,y) y 𝝏𝒇 𝝏𝒚 = N( x,y)
  3. 3. Para resolver una ecuación exactas es importante tener en cuenta los siguientes pasos: 1.) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y = 0 2.) Se debe comprobar si es homogénea o no. 3.) 𝝏𝑴 𝝏𝒀 = 𝝏𝑵 𝝏𝑿 De cumplirse el paso (1), (2) y (3) se garantiza que es una ecuación exacta y por lo tanto se aplica el algoritmo exacto. 4.) Introducimos una función auxiliar: F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C = f(y) 5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y : 𝝏𝑭 𝝏𝒚 6.) Igualamos : 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = N( x,y) 7.) ∫ 𝝏𝑭 𝝏𝒚
  4. 4. a) ( 4Y+ 2X- 5) 𝝏𝒙 + ( 6y + 4x – 1 ) 𝝏𝒚 = 𝟎 b.) ( 𝒆 𝟐 + y) 𝝏x + ( 2 + x + y 𝒆 𝒚) 𝝏𝒚= 0 Solución al ejercicio a: 1) Observemos que el ejercicio tiene la forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0 esto es: (4y + 2x - 5) ∂x + (6y + 4x - 1) ∂y = 0 2) Determinar si es o no homogénea M(x,y) = 4y + 2x - 5 ; N(x,y) = 6y + 4x -1 M(kx,ky) = 4ky + 2kx -5 ; N(kx,ky) = 6ky 4kx -1 Observa que en las expresiones anteriores, no se pudo extraer la k como factor común, por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea.
  5. 5. 3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ , la otra con respecto a ¨x¨ 𝑑𝑁(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 = 𝜕(6𝑦 + 4𝑥 − 1) 𝜕𝑥 Por lo tanto, de lo anterior se tiene: En base al paso (1), (2) y (3), aplicamos algoritmo exacto. = 𝜕(6𝑦) 𝜕𝑥 + 4 𝜕𝑥 𝜕𝑥 - 𝜕1 𝜕𝑥 Recuerda: que al derivar 𝑑𝑀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 , la ¨x¨ se convierten en constante y al derivar 𝑑𝑁(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 , la ¨y¨ es constante 𝑑𝑀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = 𝜕(4𝑦 + 2𝑥 −5) 𝜕𝑦 = 4 𝜕𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕(2𝑥) 𝜕𝑦 − 𝜕5 𝜕𝑦 𝑑𝑀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = 4 𝑑𝑁(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = 4 𝒅𝑴(𝒙,𝒚) 𝒅𝒚 = 𝒅𝑵(𝒙,𝒚) 𝒅𝒙
  6. 6. 4.) Se introduce una función auxiliar F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C= f(y) Esto es: F = (4y+2x−5) 𝝏x F = 4y dx + 𝟐𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 𝝏x F = 𝟒𝐲 dx + 𝟐 𝒙𝒅𝒙 − 𝟓 𝝏x Recuerda que en este caso: la letra ¨y¨, son constante F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 − 𝟓𝒙 + C F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + f(y) Recuerda que: C = f(y) 5.) A continuación, derivamos a ¨ F ¨ con respecto a y : 𝝏𝑭 𝝏𝒚 𝒅𝑭 𝒅𝒚 = 𝒅 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐− 𝟓𝒙 + f(y) 𝒅𝒚
  7. 7. 𝒅𝑭 𝒅𝒚 = 𝒅𝟒𝒚𝒙 𝒅𝒚 + 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒚 + 𝒅−𝟓𝒙 𝒅𝒚 + 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝑭 𝒅𝒚 = 4x 𝒅𝒚 𝒅𝒚 + 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 Recuerda que al derivar: 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒚 , 𝒅−𝟓𝒙 𝒅𝒚 , es cero 𝒅𝑭 𝒅𝒚 = 4x + 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 Observa que en este caso: la letra ¨y¨, son constante 6.) Siguiendo el algoritmo exacto, se tiene: 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = N( x,y) Pero 𝒅𝑭 𝒅𝒚 = 4x + 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 y N(x,y) = 6y + 4x – 1 Igualando 4x + 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 = 6y + 4x – 1 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 = 6y – 1 Simplificamos 4x en ambos miembros
  8. 8. 7.) Por último integramos en ambos miembros: ∫𝝏𝑭 𝝏𝒚 Para ello, tomamos inicialmente la expresión anterior: 𝒅𝒇(𝒚) 𝒅𝒚 = 6y – 1 𝒅𝒇(𝒚) = (6y – 1 ) dy 𝒅𝒇 𝒚 = (6𝑦 – 1 ) 𝑑𝑦 𝒅𝒇 𝒚 = 6 𝑦 𝑑𝑦 – 𝑑𝑦 𝒇(𝒚) = 6 𝑦2 2 – 𝑦 𝒇(𝒚) = 3𝑦2– 𝑦 Aplicando teorema de integración: 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Sustituyendo la expresión anterior en: F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + f (y) Se tiene: F = 𝟒𝐲𝐱 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 3𝑦2– 𝑦 Despejamos 𝒅𝒚 Integramos en ambos miembros
  9. 9. Solución del ejercicio 2: 1) Debe tener esta forma: M(x,y) ∂x + N (x,y) ∂y =0 ( 𝒆 𝒙 + y) 𝝏x + ( 2 + x + y 𝒆 𝒚) 𝝏𝒚= 0 2) Determinar si es o no homogénea M( x,y) = 𝑒 𝑥 + y ; N(x,y) = 2 + x + y𝑒 𝑦 M(kx,ky) = 𝑒 𝑘𝑥 + ky ; N(kx,ky) = 2 + kx + ky.𝑒 𝑘𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥+ Ky ; = 2 + kx + ky𝑒 𝑘𝑦 Observa, que en las expresiones anteriores no se pudo extraer la k, como factor común, por lo tanto la ecuación diferencial no es homogénea. ∂M ( x,y ) = ∂ (𝑒 𝑥 + y) ; ∂N (x,y) = ∂ (2+ x+ y 𝑒 𝑦) ∂y ∂y ∂x ∂x 3.) Se deriva la función con M(x,y ) y N(x,y) , una con respecto a ¨y¨ , la otra con respecto a ¨x¨
  10. 10. 𝑑𝑀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑑 𝑑𝑦 𝑒 𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑁(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑑2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 (y 𝑒 𝑦 ) = 1 = 1 Por lo tanto: 𝑑𝑀 𝑥,𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑁(𝑥,𝑦) 𝑑𝑥 4) Introducimos una función auxiliar: F = 𝑴 𝒙, 𝒚 𝝏x , C = f(y) Recuerda: que al realizar las derivadas en los términos: 𝑑 𝑑𝑦 𝑒 𝑥, 𝑑 𝑑𝑦 2, d dx y𝑒 𝑦 , son cero F = (𝑒 𝑥 + y) 𝑑x 𝐅 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + y 𝑑𝑥 Ten encuenta que en este caso y es constante 𝐅 = ex + y.x + C 𝐅 = ex + y.x + f(y) Recuerda que debemos sustituir C por f(y)
  11. 11. 5.) Derivamos en ambos miembros con respecto a y : 𝝏𝑭 𝝏𝒚 𝐅 = ex + y.x + f(y) 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = 𝝏 𝝏𝒚 (ex + y.x + f(y)) 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = 𝝏 𝝏𝒚 ex + 𝝏 𝝏𝒚 y.x + 𝝏 𝝏𝒚 f(y)) 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = 𝝏 𝝏𝒚 ex + x 𝝏𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏f(y) 𝝏𝒚 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = x + 𝝏f(y) 𝝏𝒚 𝑹𝒆𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆: 𝝏 𝝏𝒚 ex = 0, 𝝏𝒚 𝝏𝒚 = 1 6.) Ahora debemos igualar : 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = N( x,y)
  12. 12. 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = x + 𝝏f(y) 𝝏𝒚 Como: N(x,y) = 2 + x + y𝑒 𝑦y Entonces al igualar en: 𝝏𝑭 𝝏𝒚 = N( x,y) x + 𝝏f(y) 𝝏𝒚 = 2 + x + y𝑒 𝑦 Luego simplificamos la x 𝝏f(y) 𝝏𝒚 = 2 + y𝑒 𝑦 7.) A continuación debemos integrar ∫ 𝝏𝑭 𝝏𝒚 𝝏f(y) 𝝏𝒚 = 2 + y𝑒 𝑦 Para ello procedamos de manera análoga como en la lamina 8, correspondiente al primer ejercicio. Seguramente te quedaran dos integrales, una con constante y otra relacionada a una por sustitución, la cual tiene solución a través de alguno de los teoremas presente en los formularios, será inmediata. Propuesto
  13. 13. Agradecimientos Este material, fue elaborado en conjunto con los estudiantes de la 3M1ES Aldana Yenismar C.I: 22.092.861 Pérez María F. C:I 23.481.691 Valera Dorenny C.I: 22.092.860 MATEMATICAS III

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