El Teorema Fundamental del Cálculo tiene sus orígenes en los problemas clásicos de cálculo de áreas y trazado de tangentes en los siglos XVII y XVIII. Matemáticos como Newton y Leibniz establecieron los conceptos de derivada e integral que permitieron demostrar analíticamente la relación entre estas operaciones inversa. Entre los siglos XVIII y XIX, el teorema se extendió para reducir el cálculo de áreas al de primitivas de funciones.

1. Acerca del origen y evolución del
Teorema Fundamental del Cálculo

3. El Teorema Fundamental del Cálculo

4. El Teorema Fundamental del Cálculo
b
a
f t dt F b F a
1.-
2.-
x
a
d
f t dt f x
dx

5. El Teorema Fundamental del Cálculo
¿Por qué es “Fundamental”?

6. El Teorema Fundamental del Cálculo
¿Por qué es “Fundamental”?
Historia del Cálculo

7. Antecedentes
• Dos problemas clásicos:
Trazo de tangentes
Cálculo de las cuadraturas
(áreas, volúmenes)

8. Antecedentes
• Dos problemas clásicos:
Trazo de tangentes
Cálculo de las cuadraturas
(áreas, volúmenes)
Relación

9. Antecedentes
Oresme (1323-1382)
Galileo (1564-1642)
Torricelli (1608-1647)
Barrow (1630-1677)
1300 1800
Lectiones Geometricae
1669

10. Antecedentes
• Isaac Barrow (1630-1677)

11. Antecedentes
• Isaac Barrow (1630-1677)
Métodos para trazar tangentes.

12. Antecedentes
• Isaac Barrow (1630-1677)
El problema del trazo
tangentes se podía reducir
al problema de cuadraturas.

13. Antecedentes

14. Área ACDE

15. Área ACDE

16. Área ACDE

17. Área ACDE

18. Área ACDE

19. Área ACDE

20. Área ACDE
x
a
F x f t dt

21. Área ACDE h CF

22. Área ACDE h CF

23. Área ACDE h CF

24. Área ACDE h CF

25. CD
CF
h
GC

26. CD h
CF GC

27. CD h
CF GC

28. CD h
CF GC

29. CD h
CF GC
CF
GC
CD
h

30. CF CD
GC h
CD h
CF GC
'
x
a
d
F x f t dt
dx
f x

31. CF CD
GC h
'
x
a
d
F x f t dt f x
dx
Área ACDE h CF
x
a
F x f t dt

32. Antecedentes
• La aproximación de Barrow fue
estrictamente geométrica.
• Hacían falta las herramientas
analíticas para poder hacer un
uso eficaz de la relación.

33. Antecedentes
(1323-1382)
(1564-1642)
(1608-1647)
(1630-1677)
1300 1800
Newton (1642-1727)
Leibniz (1646-1716)

34. Antecedentes
Trataron también los problemas
clásicos de cuadraturas y
tangentes, pero basados en dos
conceptos generales, conocidos
actualmente como:
Cada uno por su parte dio un
argumento para demostrar lo que
ahora conocemos como Teorema
Fundamental del Cálculo.
Derivada e Integral

35. Antecedentes
• El problema general de cuadraturas:
• Reducido al problema de encontrar una línea
(curva) con una regla de tangencia.
• Cálculo integral era el método inverso del
Cálculo diferencial.

36. Antecedentes
• Durante los siglos XVIII y XIX, básicamente, el
cálculo integral se consideraba como el
proceso inverso de la derivación:
Antiderivación

37. Antecedentes

38. Antecedentes

39. Antecedentes
(1323-1382)
(1564-1642)
(1608-1647)
(1630-1677)
1300 1900
(1642-1727)
(1646-1716)
Cauchy (1789-1857)

40. Antecedentes
• Cauchy (1789-1857): Cours d’Analyse
de 1821.
• Definición de Integral y Derivada.
• Demostración analítica…

41. Antecedentes
b
a
f t dt F b F a
1.-
2.-
x
a
d
f t dt f x
dx

42. Cálculo de
cuadraturas y
trazado de
tangentes.
Integración y
Diferenciación
Antecedentes

43. Antecedentes
(1323-1382)
(1564-1642)
(1608-1647)
(1630-1677)
1300 1900
(1642-1727)
(1646-1716)
Cauchy (1789-1857)
Riemann (1826-1866)

44. Antecedentes
• Riemann (1826-1866):
Extiende el concepto de
integral de Cauchy.

45. Antecedentes
¿Por qué es “Fundamental”?

46. El Teorema Fundamental del Cálculo

47. El Teorema Fundamental del Cálculo

48. El Teorema Fundamental del Cálculo

49. El Teorema Fundamental del Cálculo

50. El Teorema Fundamental del Cálculo

51. El Teorema Fundamental del Cálculo

52. El Teorema Fundamental del Cálculo

53. El Teorema Fundamental del Cálculo
Entre los siglos XVIII y XIX:
Redujo el cálculo de áreas
(cuadraturas) al cálculo de
primitivas
Origen en el siglo XVII:
Contexto dinámico y
geométrico
En el siglo XX:
Con la introducción de los
conceptos de integral y
derivada, se extendió su
uso para funciones más
generales

54. Sultepec
Estado de México
Gracias…