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COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
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Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. a – b = c – d . . a + b = c ...
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NOTA:
. a . d = b . c .
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En una proporción
geométrica continua, ...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
7. El sueldo de un empleado y
sus ahorros están en la
razón de 9 e...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
13.En una proporción
geométrica continua los
términos extremos son...
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dos números enteros son
ente si como 10 ...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
7. En una proporción
Aritmética, la suma de los
cuadrados de los t...
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¿SABÍAS QUÉ...
LUIGI GALVANI (1737 – 98)
El científico italiano Lu...
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Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de
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1545.15.53 =
Promedio Armónico o Media Armónica ( MH )
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Se verifica que:
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70 y el número de
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aritmética y la media
armónica son dos númer...
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Aritmética20
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. El promedio de edad de 18
hombres es 16 ...
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Calcular cuántas personas de
las que tienen 25 años deben
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CLAVES
1. C
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3. A
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“DEMUESTRA TUS CONOCIMIENTOS”
1. ¿Cuál es el número que
excede a l...
30
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8. La MA de 4 enteros impares
positivos diferentes entre
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
aritmética es 12, si 20 de
ellos tienen un promedio de
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si uno de los números es 120.
¿Cuál es el otro?
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¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE QUÍMICA
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TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
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⇒ (Costo total) DP (# de libros)
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En General:
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IMPORTANTE:
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IMPORTANTE:
I) LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES
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2.
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
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número de balazos que
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recibió 24 balazos...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
es media vez más que la del
verano anterior (año
pasado). Si la pr...
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12. La siguiente figura muestra
la gráfica de dos magnitudes
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. La magnitud A es D.P. a la
magnitud B cu...
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7. Según el gráfico A es IP a B.
Hallar a + b
A) 48 B) 112 C) 56
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HAY GRANDES HOMBRES QUE HACEN A
LOS DEMÁS SENTIRSE PEQUEÑOS. PERO
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¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE
CIENCIAS BIOLÓGICAS
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COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
TEMA: REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE
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3(30) = 90
3. Re...
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Repartir 1491 en 3 partes
de manera que...
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7. Se reparte 180 kilogramos,
de un producto entre 5
personas, seg...
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24; 25. se obtiene que entre
las 2 primeras exceden a la
tercera e...
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Un profesor decidió premiar
a sus 3 mejo...
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7. Dividir el número 3024 D.P a
tres números de manera que
el prim...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
PARA TENER UNA IDEA DE LO QUE ES LA PACIENCIA, BASTA
CON OBSERVAR ...
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¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE
CIENCIAS FÍSICAS
El físic...
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TEMA: REGLA DE TRES
Es un procedimiento aritmético que consiste en...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
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EJEMPLO:
1. Una cuadrilla de obreros hace una ...
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→ x + 30 = 30 .
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→ x + 30 = 180 → x = 150
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(640 - x) corderos (65 + 15) = días = 80 días
El número de cordero...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Problema 6
DOS RUEDAS CUYOS DIÁMETROS, SON 1,5CM Y 2,4M ESTÁN
MOVI...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Entonces: En 54 horas habrá hecho:
Rpta. Después de 54 horas de tr...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
los 7 obreros en hacer la obra) = 8 + 36 = . 44 días .
El retraso ...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Por tanto:
164
10 x
= ; de donde: x =
4
16.10
= 40 ⇒ ∴ . x = 40 dí...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Rpta. Si la cuerda fuera de 6m, el buey tardaría 20 días en
comers...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
7. Un móvil a velocidad
constante recorre unos
400m en 8s. ¿cuánto...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
¿en que tiempo 20
campesinos sembrarán un
terreno de 30m de lado?
...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dos panes cuestan S/. 0,20
¿cuánto costa...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
días. ¿Cuántos días se
demorará en leer “L” libros
de “S” páginas ...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
UN NIÑO SIEMPRE PUEDE ENSEÑAR TRES
COSAS A UN ADULTO; A ALEGRARSE ...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
TEMA: REGLA DE INTERÉS
INTERÉS
Es la ganancia o beneficio al prest...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
. 1 =
1200
t.r.C
, “t” en días. .
Ejemplo:
Pedro deposita 4000 sol...
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. ¿Qué interés un capital de
S/. 3000 imp...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
9. Tres hermanos Isidoro,
Fortunato y Guillermo
depositan en un ba...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
15. Una persona tiene S/.
16000 que presta al 5%
trimestral y otra...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el interés anual de S/.
1580 al 2...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
Luego de 2 meses del monto
será S/. 3600 y 3 meses
después a este ...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
CLAVES
1. C
2. A
3. E
4. C
5. D
6. E
7. A
8. E
9. D
10. C
Aritméti...
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
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RAZONES Y PROPORCIONES 7
PROMEDIOS 17
MAGNITUDES PROPO...
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  1. 1. 8 COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras: Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. . a – b . a : Antecedente b: Consecuente Razón Geométrica (k): Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. . b a . a : Antecedente b: Consecuente PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico Proporción Aritmética o Equidiferencia Aritmética 1
  2. 2. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Si a – b = r y c – d = r, entonces: . a – b = c – d . . a + b = c + d . Clases • Discreta Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde: . a – b = c – d . . d: 4ta diferencial . • Continua Cuando los términos medios son iguales: . a – b = b – c . . 2 ca b + = . . encialera. difer3c: ritméticao media aiferencialb: media d . Proporción Geométrica o Equicociente: Si: b a = k y d c = k entonces Aritmética2
  3. 3. 910 COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO NOTA: . a . d = b . c . . d c b a = . Extremos:d,a Medios:c,b Clases • Discreta Cuando los términos son diferentes sí donde: . d c b a = . . d: 4ta proporcional . • Continua Cuando los términos medios son iguales . c b b a = . NOTA: . a . c = b2 . . c.ab = . . rcionalera. propo3c: geométrical o mediaroporcionab: media p . SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor Aritmética 3
  4. 4. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 1) . k b.....bbb a.....aaa n321 n321 = ++++ ++++ . 2) . n n321 n321 k b............bbb a.............aaa = ×××× ×××× . Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie: . k b a ............... b a b a a a n n 3 3 2 2 2 1 ===== . donde: a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes k : Constantes de proporcionalidad Aritmética4
  5. 5. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En una proporción geométrica continua, el producto de los 4 términos es 10000. si la suma de los antecedentes es 12. ¿Cuál es la diferencia de los consecuentes? Rpta. 40 2. Dada la proporción: d c b a = ; a + b = 15 c + d = 25 b + d = 16 Hallar el valor de “a” Rpta. 9 3. Cuánto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica Rpta. 10 4. El dinero que tiene Andrea es al dinero que tiene Cristina como 11 es a 7. si Andrea da $ 40 a Cristina ambas tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tiene Andrea? Rpta. $ 220 5. Un padre tiene 45 años y su hijo 21. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del hijo sea los 4/7 de la edad del padre? Rpta. 11 6. La suma de dos números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos son proporcional a 3/5. Hallar el mayor Rpta. 185 Aritmética 5
  6. 6. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 7. El sueldo de un empleado y sus ahorros están en la razón de 9 es a 4. Si en el mes de marzo sus gastos fueron S/. 390. ¿Cuál fue el sueldo percibido por dicho empleado? Rpta. S/. 702 8. Si: 2 1 p n n b m a === , además. b + p = 15 m + n = 14, calcular: a . b . n Rpta. 72 9. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niñas después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el número de niñas al comienzo. Rpta. 40 10.En una granja el número de gallinas es la número de conejos como 2 es a 5 y el número de pavos es al de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja si el número total de patas de dichos animales es 900? Rpta. 135 11.Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Hallar el mayor de los 2 números Rpta. 65 12.Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 su diferencia es: Rpta. 6 2 Aritmética6
  7. 7. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 13.En una proporción geométrica continua los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si la suma de los términos de la primera razón es 40. hallar la suma de los consecuentes Rpta. 60 14.La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 11, 3 y 560. hallar uno de los números Rpta. 140 15.En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios 14. Hallar uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601 Rpta. 3 Aritmética 7
  8. 8. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Dos números enteros son ente si como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. hallar el mayor de los dos números A) 80 B) 160 C) 90 D) 45 E) 40 2. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y B es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números? A) 66 B) 55 C) 132 D) 121 E) 156 3. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales: 10 c 7 b 5 a == Hallar la suma de los antecedentes Si 3a + 2b – c = 76 A) 88 B) 78 C) 72 D) 66 E) 64 4. En una proporción continua; el primer término es 1/9 del cuarto término; si la suma de los 4 términos de la proporción es 64. hallar el término medio de la proporción A) 9 B) 8 C) 12 D) 15 E) 16 5. Una ciudad esta dividida en 2 bandos A y B, tales que la población de A es a B como 7 es a 3. si de uno de los 2 bandos se pasa al otro 60 personas la razón entre las poblaciones de los dos bandos se invierte. ¿Cuáles la población de la ciudad? A) 80 B) 70 C) 100 D) 150 E) más de 150 6. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5. ¿Cuál es la suma de dichos números? A) 30/8 B) 15/2 C) 20/3 D) 8 E) 15 Aritmética8
  9. 9. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 7. En una proporción Aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. hallar la diferencia entre los términos medios. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. La razón de dos números vale 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. encontrar el mayor de los dos números. A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60 9. Si: 7 c 8 b 2 a == y a + b = 20. Hallar: a . c + b A) 22 B) 64 C) 71 D) 60 E) 72 10.Si se cumple: 2 f e d 24 c b 3 a ==== Además: (*) a + b = 24 (*) 3 + f = c + d calcular: b + d + f A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60 CLAVES 1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 9. E 10. D Aritmética 9
  10. 10. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ... LUIGI GALVANI (1737 – 98) El científico italiano Luigi Galvani pasó la mayor parte de su vida estudiando la electricidad. Descubrió que las patas de una rana se contraían cuando se conectaban a una barra de hierro mediante unas pinzas de hojalata. Creía que los músculos de la rana contenían electricidad, lo que denominó electricidad animal. Otro científico italiano, Alessandro Volta (1745–1827), cuestionó esta idea. Éste creía que los dos metales habían reaccionado y habían producido electricidad. Ninguna de las dos teorías era completamente correcta. Galvani llevó a cabo experimentos con cargas eléctricas. El instrumento para medir la corriente eléctrica se llamó galvanómetro en su honor. TEMA: PROMEDIOS Aritmética10
  11. 11. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ……...... ≤ an ↓ ↓ MENOR VALOR ≤ PROMEDIO ≤ MAYOR VALOR TIPOS DE PROMEDIO Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA ) O simplemente promedio . datosdeNúmero datosdeSuma MA = . • Dar la MA de: 7; 13 y 4 Resolución 3 4137 ++ = 8 OJO: SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS ⇒ . S = n . MA (“n” números) . Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG ) . n datoslosdeoductoPrMG = . n: número de datos • Dar la MG de: 5; 15 y 45 Resolución Aritmética 11
  12. 12. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 1545.15.53 = Promedio Armónico o Media Armónica ( MH ) . datoslosdeInversadeSuma datosdeNúmero MH = . • Dar la MH de: 6; 2 y 3 Resolución 3 3 1 2 1 6 1 3 = ++  Consideraciones importantes • Para 2 cantidades “a” y “b” . 2 ba MA + = . . abMG = . . ba ab2 b 1 a 1 2 MH + = + = . • Dado: 0 < a1 ≤ a2 ≤ a3 ……….…. ≤ an Aritmética12
  13. 13. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Se verifica que: . PROMEDIOOPROMEDI MENORMAYOR 0MHMGMAan ⇓⇓ >≥≥≥ . • Si todos los valores son iguales MHMGMA == • Para cantidades “a” y “b” . MH.MAMG 2 = . . )MGMA(4 )ba( MGMA 2 + − =− .  LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10 ⇒ 6 3 1053 MA = ++ = Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10: omedioPr Nuevo =  VARIACIÓN INICIAL PROMEDIO 3 47 3 1053 − + ++ = 7 IMPORTANTE Aritmética 13
  14. 14. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO       +      =      promedio deliaciónvar inical promedio promedio nuevo Donde: Aritmética14
  15. 15. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO promedio deliaciónvar = datosdeNúmero uyemindis sequetotal aumenta sequetotal       −      Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios) • Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio? Resolución: NOTAS PESOS TOTAL 11 2 11 x 2 17 1 17 x 1 13 3 13 x 3 6 78 La nota promedio será: Aritmética 15 + +
  16. 16. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 13 6 78 312 3.131.172.11 == ++ ++ En general: . n321 nn332211 P..........PPP Pa..........PaPaPa PP +++ ++++ = . Donde: an : enésimo de las notas, precios, … etc Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Se tienen los siguientes números –18, -16, -14, -11, 0, 0, 14, 10, 16, 22. luego, de las siguientes proposiciones cuáles son correctas I. La media de los valores absolutos de los números negativos es mayor que el promedio total. II. La media de los valores positivos es 10,333....... III. La media de los números positivos es mayor que la media de los valores absolutos de los números negativos IV. La media de los números positivos es mayor que el valor absoluto de la media de los números negativos V. Los dos ceros no afectan a la media de los números Rpta. I, II y III 2. La nota promedio de un examen es “P” el profesor decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio Aritmética16
  17. 17. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio? Rpta. P + 3 2 3. Se tiene 4 números. A la añadir el promedio de 3 de ellos al número restante, se obtiene los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma de los 4 números es igual a: Rpta. 45 4. Para un curso de Química se tiene alumnos de primera matrícula y alumnos de segunda matrícula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matrícula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de segunda matrícula? Rpta. 40% 5. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. Y se agrega una cuarta al promedio, disminuye en 2. se puede afirmar que: I. La edad del cuarto es mayor que el promedio II. La edad del cuarto es menor que el promedio III. Por lo menos una persona es mayor que el cuarto Rpta. II y III 6. El promedio de 50 números es 62,1: se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía el promedio? Rpta. 4,9 7. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 si el peso promedio de ambas clases combinadas es Aritmética 17
  18. 18. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? Rpta. 64 8. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números? Rpta. 14 9. El promedio de 50 números es 62,1: se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varía el promedio? Rpta. 4,9 10.El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? Rpta. 64 11.El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18 ¿Cuál es el promedio geométrico de los 40 números? Rpta. 14 12.El mayor de dos números enteros es 40 y el menor promedio es 30. hallar la diferencia de los números Rpta. 40 13.El promedio geométrico de 4 números enteros diferentes es 2 2 . ¿Cuál es el promedio aritmético de estos números? Rpta. 3.75 14.Hallar dos números enteros cuyo producto es 600 Aritmética18
  19. 19. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO sabiendo que la media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos. Dar como respuesta el número menor. Rpta. 20 12.La media armónica de 36 números es 36. ¿Cuál es la media armónica de sus tercias? Rpta. 12 13.El promedio de las edades de “n” alumnos es “m” años. Si a la cuarta parte de los alumnos se le cambia con alumnos que tienen 2 años más cada uno y a la otra cuarta parte se le cambia con alumnos que tienen 1 año más cada uno, entonces el nuevo promedio aumentará en: Rpta. 0.75 14.El promedio de un conjunto de valores es “P” si se eliminan 31 números cuya suma es 527 el promedio de los restantes sigue siendo “P” ¿Cuánto deberán sumar 7 números de tal manera que agregando a los que habían inicialmente tengan como media aritmética a P? Rpta. 119 15.La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699, la media aritmética de otros 200 números pares de tres cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no consideramos? Rpta. 949 Aritmética 19
  20. 20. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Aritmética20
  21. 21. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón A) 15 B) 16,2 C) 15,2 D) 15,1 E) 16,1 2. El promedio de las edades de cinco personas res 48. si ninguna de ellas tiene más de 56 años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener una de ellas? A) 16 años B) 18 años C) 19 años D) 21 años E) 24 años 3. Se tiene 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos si ninguno pesa menos de 48 kg.? A) 168 kg B) 169 kg C) 170 kg D) 171 kg E) 172 kg 4. La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. el número de dichos números puede ser: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. Se tiene 100 números cuyo promedio es 18,5. A los primeros 20 números se les aumenta 3 unidades a cada uno, a los siguientes 50 números se les aumenta 8 unidades a cada uno y a los restantes números se les disminuye 2 unidades a cada uno. Calcular el nuevo promedio de los números que se obtiene. A) 23 B) 22,5 C) 20,5 D) 22 E) 21 6. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Aritmética 21
  22. 22. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Calcular cuántas personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el promedio de los restantes sea de 20 años. A) 10 B) 11 C) 20 D) 25 E) 15 7. La media aritmética de 15 impares de 2 cifras es 25 y de otros 15 impares también de 2 cifras es 75. ¿Cuál es la media aritmética de los impares de 2 cifras no considerados? A) 75 B) 60 C) 65 D) 55 E) 35 8. Hallar la media aritmética de 2, 4, 6, 8, 10 A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 9. Si: P. A = (2, 4, a) = 4 P. A = (8, b, 12) = 10 Hallar la media aritmética de: a y b A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 10.Dados los números 12, 18 y 27. Calcular el error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico. A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 0,3 E) 1,3 Aritmética22
  23. 23. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO CLAVES 1. C 2. E 3. A 4. C 5. B 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B Aritmética 23
  24. 24. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO “DEMUESTRA TUS CONOCIMIENTOS” 1. ¿Cuál es el número que excede a la medida armónica de su mitad y su quinta parte es 50? Rpta. 2. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es 6. hallar la diferencia de dichos números. Rpta. 3. ¿Cuál es la medida aritmética de 2 números, si su media geométrica es 12 y su media armónica es 4? Rpta. 4. La media armónica de 2 números es 5, mientras que la media aritmética es 20. hallar la media geométrica Rpta. 5. Hallar n, si el promedio armónico de: 1, 1/2, 1/3, ....1/n, es 1/9 Rpta. 6. Si la MH y la MA de dos cantidades están en la relación de 4 a 9. ¿En que relación se encuentra la MG y la MH? Rpta. 7. La MH de 20 números es 18 y de otros 30 números diferentes entre si y de los anteriores es 54. hallar la MH de los 50 números. Rpta. 16. El mayor promedio de 2 números es 100, mientras que su menor promedio es 36. Hallar la diferencia de dichos números. Rpta. Aritmética24
  25. 25. 30 COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 8. La MA de 4 enteros impares positivos diferentes entre si, es 6. ¿Cuánto puede ser como máximo el mayor de los números? Rpta. 9. La MA de los cuadrados de los “n” primeros números naturales es 231/6. Hallar “n” Rpta. 12.Si la MH de dos números naturales es a MG de los mismos como 12 es a 13. hallar la diferencia de los números, si la suma es 117. Rpta. 10.La MH de 3 cantidades es 1/5 y la MH de otras 5 cantidades es 1/3. ¿Cuál es la MH de las 8 cantidades juntas? Rpta. 11.La MH y MA de dos enteros, están en la relación de 48 es a 49, hallar los números, comprendiendo entre 41 y 47. Rpta. 14.La MA de 3 números es 14, la MG es par e igual a uno de ellos y la MH 72/7. hallar el menor de los números. Rpta. 15.La diferencia de cuadrados de 2 números es 144, además sus promedios, armónico y aritmético son entre si como 15 es a 16. hallar su MG Rpta. 17.La MG de 2 números es 6 2 , sabiendo que su MH y MA son dos enteros consecutivos, hallar dichos números pero sumados Rpta. 18. En un aula del “Manuel Scorza” de 60 alumnos, el promedio de notas en Aritmética 25
  26. 26. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO aritmética es 12, si 20 de ellos tienen un promedio de 18. ¿Cuál es el promedio de notas de los 40 restantes? Rpta. 19. El promedio de 5 números es 85. Se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15. hallar el sexto número. Rpta. 20. En un salón de clase, “a” alumnos tienen 14 años, “b” alumnos tienen 11 años y “c” alumnos tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12 años. Hallar “a” Rpta. 21. El promedio aritmético de los cuadrados de 2 números consecutivos es 380,5. hallar el menor de ellos. Rpta. 22. Un estudiante de ha obtenido 13, 14, 16, 12 y “a” en sus 5 exámenes, además el último tiene doble peso que los otros. Determine el valor de “a” si el promedio ponderado es 13,5 Rpta. 23. El promedio de 50 números es 30. si se retiren 4 números cuyo promedio es 48. ¿En cuánto disminuye el promedio? Rpta. 24. El promedio de las edades de 5 hombres es 28 años, además ninguno de ellos es menor de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? Rpta. 25. La suma de 2 números es 18 y sus promedios aritmético y armónico son consecutivos hallar la diferencia de dichos números. Rpta. 26.El doble del promedio aritmético de 2 números es igual al cuadrado de su promedio geométrico, más 1. Aritmética26
  27. 27. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO si uno de los números es 120. ¿Cuál es el otro? Rpta. 27.El promedio armónico de 40 números es 16 y el de otros 30 números es 12. Halle el promedio armónico de los 70 números. Rpta. 28.El promedio armónico de 3 números es 180/27, uno de los números es 5 y el promedio geométrico de los otros 2 números es 6. dar como respuesta el menor de estos 3 números. Rpta. 29.El promedio geométrico de 2 números es 12 y la suma de sus promedios, aritmético y armónico es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números? Rpta. Aritmética 27
  28. 28. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ... LA CARRERA PROFESIONAL DE QUÍMICA El químico realiza experimentos y análisis químicos para determinar la composición, propiedades y posibles transformaciones de la materia, mediante el uso de modernas técnicas experimentales. El químico realiza labores de control de calidad, aseguramiento de calidad, gerencia laboratorios de calidad e investigación en industrias tales como: farmacéutica, metalúrgica, de alimentos, petroquímica, cerámica, del cemento, plásticos, colorantes y otros. Ámbito de trabajo: Laboratorios de control de calidad e investigación en las diferentes industrias químicas y en centros de educación. Aritmética28
  29. 29. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial,.....etc. CANTIDAD (Valor): Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. MAGNITUD CANTIDAD Longitud 2km Tiempo 7 días # de obreros 12 obreros RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Ejemplo Ilustrativo: • Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá: Aritmética 29
  30. 30. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ⇒ (Costo total) DP (# de libros) Se observo: En General: Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante. OJO: DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2 MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO, NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE) SI: . “A” DP “B” ↔ ( ) ( ) tetanconsk Bdevalor Adevalor →= . Interpretación Geométrica Aritmética30
  31. 31. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO IMPORTANTE: I) LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS II) EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE. III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B” VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn SE VERIFICA: k b a ... b a b a b a n n 3 3 2 2 1 1 ===== IV) SI TENEMOS QUE “A” DP “B” . F(x) = mx . m: pendiente (constante) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) Ejemplo ilustrativo: • Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá: Aritmética 31
  32. 32. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ⇒ (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60 Constante En general: Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante. . A I.P.B ↔ (valor de A)(valor de B) = cte . Interpretación Geométrica Aritmética32
  33. 33. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO IMPORTANTE: I) LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA. II) EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE. III) LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ: . ( ) x m xF = . M : CONSTANTE       curvalabajo gulotanrecdelárea IV) SI TENEMOS QUE “A” I.P “B” VALORES CORRESPONDIENTES MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an MAGNITUD B b1 B2 …… bn SE VERIFICA: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k Propiedades de las Magnitudes A. Para 2 magnitudes A y B se cumple: 1.    ⇔ ⇔ A.P.IBB.P.IA* A.P.DBB.P.DA* Aritmética 33
  34. 34. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 2.     ⇔ ⇔ nn nn B.P.IAB.P.IA* B.P.DAB.P.DA* 3.       ⇔ ⇔ B 1 .P.DAB.P.IA* B 1 .P.IA.B.P.DA* B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante) ⇒ A D. P. (B . C) C.B A ∴ = cte Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E        E.P.DA D.P.AA C.P.IA B.P.DA ⇒ . Cte E.D.B C.A = . OJO: CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES. Aplicaciones comunes: Aritmética34
  35. 35. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO • (N° de obreros) DP (obra) • (N° de obreros) IP (eficiencia) • (N° de obreros) IP (N° de días) • (N° de obreros) IP (horas diarias) • (velocidades) IP (Tiempo) • (N° de obreros) D P (Dificultad) • (N° de dientes) I P (N° de vueltas) Aritmética 35
  36. 36. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO . tetanncos )dificultad)(obra( )ientodimren( días de# díapor Horas obreros de# =                         . Aritmética36
  37. 37. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inveramente proporcional a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75km cuesta S/. 45000. ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? Rpta. 45 000 2. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concatenados. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en rev/min. Rpta. 20 3. En una joyería se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional cuadrado de su peso y que la constante de proporcionalidad es la misma para todos los diamantes. Un diamante que cuesta 360000 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas entonces podemos afirmar que: Rpta. Se perdió 160 000 dólares 4. Se sabe que: A.D.P. B2 (cuando “C” no varía) A.I.P C (cuando “B” no varía) Si el valor de B disminuye en sus 2/5 y su correspondiente valor de “C” disminuye en sus 9/25. ¿En cuánto varía el valor de A, respecto a su valor anterior? Rpta. 20 11 5. Dos veteranos de una guerra tienen concebidas sendas de pensiones, que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del Aritmética 37
  38. 38. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y sus pensiones están en la razón de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo? Rpta. 25 6. El nivel de polución del aire en una cierta ciudad, varía D.P con el cuadrado de la población, son el número de e I.P fábricas y con la raíz cuadrada del área de parques y jardines. Si los incrementos de población, número de fábricas y áreas verdes son 20%, 30% y 44% respectivamente. ¿En qué porcentaje se incrementará la polución? Rpta. 17% 7. Las magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones Con C = constante A 1 8 27 64 B 1 0,5 0,3... 0.25 Con B = constante A 1 2 3 4 C 0,25 1 2,25 4 Si cuando: A = 4 y B = 9, C es 16 Hallar A cuando B = 3 y C = 4 Rpta. 54 8. En la siguiente gráfica A y B son magnitudes que se relacionan en forma proporcional Hallar el área de la región sombreada Rpta. 3 9. Por defectos del fenómeno del niño, la temperatura promedio en el actual verano Aritmética38
  39. 39. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO es media vez más que la del verano anterior (año pasado). Si la producción agrícola es I.P al cuadrado de la temperatura, ¿cuál es la producción del presente año, si el año anterior fue de 3600 toneladas? Rpta. 1600 11. De un estudio efectuando en el departamento de logístico de una guarnición militar, se encontro que la cantidad de víveres (en kg.) para un batallón es IP al número de soldados y DP al cuadrado del números de bajas de una guerra. Si se sabe que en una guerra, 1000 kg de víveres sirven para 500 soldados con un número de bajas de 10. ¿Qué cantidad de víveres serán necesarios para 1000 soldados, si se proyectan 50 bajas? Rpta. 1250 10. En una agencia de turismo se ha notado que el número de turistas que viajan a un determinado lugar varía DP a la capacidad de cada ómnibus, al número de horas de trabajo de éstos, a la velocidad que utilizan y el número de ómnibus que se utilizan e IP a la distancia que debe recorrer. Se sabe que 1 ómnibus de 20 pasajeros puede llevar 180 pasajeros en 80 horas de trabajo recorriendo 60km/h cuando van hacia un lugar ubicado a 200km, de la agencia. Se ha edificado un hotel a 360km de la agencia, con una capacidad de 5000 huéspedes. ¿Cuántos ómnibus con capacidad para 30 pasajeros serán necesarios para que en 60 horas de trabajo usando una velocidad de 20 km/h pueda cubrir el 90% de la capacidad de dicho hotel? Rpta. 45 Aritmética 39
  40. 40. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 12. La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales; la producción de una fábrica respecto al número de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experimentados y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar. ¿Cuál sería su producción de 60 obreros experimentados; en segundo lugar, cuántos obreros nuevos fueron necesarios para producir con ellos 1760 artículos? Rpta. 1560; 80 13. Según la ley de Boyle, la presión es inversamente proporcional ala volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%? Rpta. 3 14.Si dos cantidades P y Q son inversamente proporcionales con constante de proporcionales a k. ¿cuánto vale k si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de P y 1/Q vale 6? Rpta. 7/5 15.Se sabe que un cuerpo que cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9.80 m en 1 . 4 seg. Determinar la profundidad del pozo. Si se sabe que al soltar la piedra esta llega al fondo en dos segundos Rpta. 20 Aritmética40
  41. 41. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. La magnitud A es D.P. a la magnitud B cuando A = 51; B = 3. hallar el valor que toma B, cuando A = 34 A) 19 B) 2 C) 5 D) 13 E) 17 2. Para abrir una zanja de 200 m de largo se emplearon cierto número de obreros, si la zanja fuese 150 m, más larga, se necesitarían 9 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearon? A) 12 B) 9 C) 21 D) 13 E) 18 3. Del siguiente gráfico de magnitudes proporcionales. Calcular a + b A) 10 B) 43 C) 64 D) 46 E) 34 4. Si se cumple que F (12) = 18 Calcular: S = F (5) + F (1) Sabiendo que F(x) es una función de proporcionalidad directa A) 7 B) 8 C) 71 D) 2 E) 9 5. La magnitud A es I.P a B además cuando A es igual a 6 entonces B es igual a 16. Hallar b cuando A es igual a 4 A) 16 B) 36 C) 24 D) 12 E) 18 6. Un grupo de vacas tienen alimento para 15 días, pero si hubiesen 2 vacas más, los alimentos sólo durarían 12 días. ¿Cuántas vacas tiene? A) 8 B) 10 C) 6 D) 12 E) 15 Aritmética 41
  42. 42. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 7. Según el gráfico A es IP a B. Hallar a + b A) 48 B) 112 C) 56 D) 94 E) 80 8. Se ha comprobado experimentar que una magnitud “A” es directamente proporcional a otra “B”. por ejemplo cuando “B” vale 4, “A” toma el valor de 2,4. hallar el valor de “B” que hace que “A” valga 48. A) 10 B) 100 C) 20 D) 40 E) 80 9. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo? A) 14 B) 12 C) 15 D) 21 E) 18 10.Se tienen dos poleas unidades mediante una faja de trasmisión tal como indica la figura. ¿Cuántas vueltas dará la segunda cuando la primera de 30 vueltas? A) 22½ vueltas B) 40 vueltas C) 60 vueltas D) 20 vueltas E) 30 vueltas Aritmética42
  43. 43. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO HAY GRANDES HOMBRES QUE HACEN A LOS DEMÁS SENTIRSE PEQUEÑOS. PERO LA VERDADERA GRANDEZA CONSISTE EN HACER QUE TODOS SE SIENTAN GRANDES. CHARLES DICKENS CLAVES 1. B 2. C 3. D 4. E 5. B 6. A 7. B 8. E 9. E 10. A Aritmética 43
  44. 44. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ... LA CARRERA PROFESIONAL DE CIENCIAS BIOLÓGICAS El biólogo, con mención en Zoología, Botánica e Hidrobiología y Pesquería estudia los organismos vivos y sus interrelaciones considerando los aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, ecológicos, taxonómicos, etc. Investiga en laboratorios y en condiciones naturales la estructura genética, fisiología, ecología y otros aspectos fundamentales de las plantas, animales, y los recursos pesqueros. Participa en la evaluación, conservación, mejoramiento, control biológico y aprovechamiento racional de los recursos naturales renovables. Ámbito de Trabajo: Centros de investigación y producción, centros superiores de enseñanza, laboratorios y servicios biológicos especializados, asesoramiento en materia de recursos naturales, ecología y conservación. Aritmética44
  45. 45. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO TEMA: REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE oporcionalPr partoRe         Compuesto* inverso Directo Simple* COMO UNA APLICACIÓN DE PROPORCIONALIDAD CONSISTE EN REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES DIRECTAS O INVERSAMENTE PROPORCIONALES A CIERTAS CANTIDADES LLAMADOS “ÍNDICE” Problema General: • Repartir “N” en partes P1 P2 P3........... Pn que sean D.P a a1 a2 a3 a4 ................. an. Determinar cada una de las partes Partes P1 P2 P3............... Pn Indices a1 a2 a3 a4............ an Condición P1 P2 P3............... Pn D. P a1 a2 a3 a4 ............ an . k a P ........... a P a P a P n n 3 3 2 2 1 1 ==== . k (constante de proporcionalidad) Propiedad: Aritmética 45
  46. 46. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO k = n321 n321 a..........aaa P...........PPP +++ +++ o . S N k = . Donde S1 = Suma de índices N = Cantidad a repartir Luego: P1 = a1k P2 = a2k P3 = a3k   Pn = ank Ejemplos: 1. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12 D.P 25 12 7 6 750      . 30 25 750 k == . Luego: 6(30) = 180 7(30) = 210 12(30) = 360 2. Repartir 450 en partes I.P a los números 3; 6 y 8 Aritmética46
  47. 47. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO . 30 15 450 k == . Luego: 8(30) = 240 4(30) = 120 3(30) = 90 3. Repartir 648 en forma D. P a los números 4 y 6; y a la vez en forma I.P a los números 3 y 9 . 108 6 648 k == . Luego: 4(108) = 432 2(108) = 296 Aritmética 47
  48. 48. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Repartir 1491 en 3 partes de manera que la primera tenga 2/3 más que la segunda y la segunda 2/5 más que la tercera. Una de dichas partes es: Rpta. 735 2. Se reparte una cantidad proporcionalmente 1; 2; 3 y 4 pero luego se decide hacerlo proporcionalmente a 2; 3; 4 y 6 motivo por el cual una de la partes disminuye 170 unidades. ¿Cuánto le corresponde al cuarto? Rpta. 2040 3. El número 7200 se reparte directamente proporcional a 175y112,63 . ¿Cuál es el producto de las cifras que conforman la mayor parte obtenida? Rpta. 0 4. Dividir 18500 D.P a los números 347 ; 349 y 350 . Dar como respuesta la suma de las cifras de la mayor parte Rpta. 9 5. La suma de 3 números es 2832 y sus cuadrados son proporcionales a los números 98 1 y 50 1 ; 8 1 . ¿cuál es la suma de cifras del mayor número? Rpta. 15 6. A y B tiene 80 y 55 bizcochuelos respectivamente. Llega C hambriento y se reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales, luego de comérselos; “C” le entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto de más recibe A con respecto a B? Rpta. 20 Aritmética48
  49. 49. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 7. Se reparte 180 kilogramos, de un producto entre 5 personas, según una progresión aritmética, donde la suma de los dos primeros términos resulta ser la quinta parte de la suma de los tres términos. ¿Cuánto kilogramos reciben la primera y la quinta persona juntas? Rpta. 72 8. Tres ciclistas deben correr una misma distancia y se ponen de acuerdo para repartirse $ 94 500 en forma D.P a sus velocidades. Efectuando el recorrido resulta que el primero tardó 3 horas, el segundo 5 horas, y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el más veloz? Rpta. 45 000 9. Se hizo un reparto I.P a ciertos números obteniéndose 18 000; 14 400 y 12 000. Si el reparto hubiera a los mismos números una de las partes sería: Rpta. 17 760 10. Se desea repartir una cierta cantidad (N3 - N) en razón directa a los números: 2; 4; 6; 8; 10 ...... (2N). Si la menor de las partes obtenidas es (N + 7). Hallar N. Rpta. 9 11. Repartir 9900 en tres parte A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 2 Y B es a C como 5 es a 4. Dar como respuesta la suma de cifras de la mayor parte obtenida Rpta. 9 12. Se reparten “N” en partes D.P a los números: 24; 15 y 20 e I.P a los números 40; Aritmética 49
  50. 50. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 24; 25. se obtiene que entre las 2 primeras exceden a la tercera en 765. indicar la suma de cifras de “N” Rpta. 18 13. Repartir 25038 en partes I.P alas inversas de 154 ; 452 y 753 . dar como respuesta la parte menor Rpta. 108 14. A; B y C poseen un campo siendo sus partes proporcionales a los números 4; 2; 5 y 1,5. “A” vende la mitad de su parte a “C” y este vende 100 m2 a “B” así las partes de “B” y “C” son iguales. ¿Cuántos m2 poseía “A” al principio? Rpta. 800 15. La repartir $ 5700 entre 3 personas; B y C se hace el reparto proporcionales a 3 números consecutivos crecientes. ¿Luego del reparto se tiene que 1/5 de lo que le tocó a B más lo que le tocó a “A” y hacen lo que le tocó a “C”. ¿Cuánto le toco a esta última persona? Rpta. 2090 Aritmética50
  51. 51. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Un profesor decidió premiar a sus 3 mejores alumnos regalándoles S/. 9200 en forma directamente proporcional al números de problemas que resuelven de la guía. El primero resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el tercero 14. Indicar cuánto le tocó al segundo. A) 3000 B) 3400 C) 2800 D) 3500 E) 4000 2. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12; y dar como respuesta la menor parte. A) 360 B) 270 C) 210 D) 180 E) 150 3. Repartir 594 en forma I.P a los números 2; 3; 6 y 10; y dar como respuesta la mayor parte. A) 64 B) 90 C) 180 D) 360 E) 270 4. Repartir 940 en 3 partes que sean proporcionales a los números 4 3 y 8 3 ; 6 5 e indicar el valor de la parte intermedia A) 400 B) 360 C) 210 D) 180 E) 240 5. Repartir 648 en forma D.P a 4 y 6 a la vez en forma I.P a 3 y 9. dar como respuesta la parte menor A) 432 B) 360 C) 240 D) 216 E) 200 6. Tres obreros A, B trabajan 10; 12 y 15 días respectivamente en una obra. Si en total ganaron 1330 dólares. ¿Cuánto ganó B si el jornal de los obreros están en la relación de 4; 5 y 6? A) 420 B) 280 C) 360 D) 430 E) 450 Aritmética 51
  52. 52. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 7. Dividir el número 3024 D.P a tres números de manera que el primero y el segundo están en la relación de 3 a 4 y el segundo con el tercero en la relación de 5 a 7. Indicar la mayor cifra del mayor de los números. A) 4 B) 6 C) 7 D) 5 E) 9 8. Repartir 3430 D.P a los números 228 , 229 y 230 . Indicar como respuesta la parte intermedia A) 960 B) 940 C) 850 D) 980 E) 290 9. Descomponer 529 en tres partes que sean D.P a los números 2 1 y 5 2 ; 4 1 . Dar como respuesta la mayor de dichas partes A) 115 B) 184 C) 230 D) 460 E) 320 10.Repartir 2040 proporcionalmente a los números 5/8; 0,6 y 0,05. indicar la mayor parte. A) 1000 B) 1020 C) 920 D) 720 E) 960 Aritmética52
  53. 53. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PARA TENER UNA IDEA DE LO QUE ES LA PACIENCIA, BASTA CON OBSERVAR A UN NIÑO QUE APRENDE A CAMINAR. SE CAE, VUELVE A CAER, UNA Y OTRA VEZ, Y SIN EMBARGO SIGUE ENSAYANDO ¿, MEJORANDO HASTA QUE UN DÍA CAMINA SIN CAERSE. ¡QUÉ NO PODRÍA LOGRAR LA PERSONA ADULTA SI TUVIERA LA PACIENCIA DEL NIÑO Y SU CONCENTRACIÓN EN LOS FINES QUE SON IMPORTANTES PARA ÉL! ERICH FROMM CLAVES 1. A 2. D 3. E 4. D 5. D 6. A 7. A 8. D 9. C 10. A Aritmética 53
  54. 54. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ¿SABÍAS QUÉ... LA CARRERA PROFESIONAL DE CIENCIAS FÍSICAS El físico estudia fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales de la tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacita para dedicarse a una carrera en investigación científica y actividad profesional en física del medio ambiente, física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y finanzas. Aritmética54
  55. 55. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO TEMA: REGLA DE TRES Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad. REGLA DE TRES SIMPLE Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos: Regla de Tres Simple Directamente proporcional Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente proporcionales y x es un valor desconocido de la magnitud B. . 1 2 1 a a .bx = . EJEMPLO: 1. Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarán en terminar 15 obreros? Resolución: 15 30 .20x = x = 40 días Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y x es un valor desconocido de la magnitud B. Aritmética 55
  56. 56. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO . 2 1 1 a a .bx = . EJEMPLO: 1. Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica. ¿Que sucede con la cuadrilla? Resolución: 1 4 .hx = x = 4 h REGLA DE TRES COMPUESTA Resulta de comprar más de 2 magnitudes, donde la magnitud que tiene el valor desconocido se compara con las demás. Así podemos tener: ⇒ . 2 1 1 2 2 1 1 2 1 e e . c c . b b . a a .dx = . EJEMPLO: 1. Una cuadrilla de 30 dólares hacen una obra de 20m2 en 20 días trabajando 6h/d. ¿Cuántos obreros se aumentarán, si se hace una obra de 600m2 en 15 días trabajando 4h/d? Aritmética56
  57. 57. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO → x + 30 = 30 . 200 600 . 4 6 . 15 20 → x + 30 = 180 → x = 150 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorre un trayecto yendo a 90km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60km/h? Resolución I Yendo a: 90km/h tarda 8 horas Yendo a: 60km/h tarda x horas La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo que se indica por I colocada encima de la columna de la velocidades. Por tanto: 860 90 x = ; de donde: x = 60 8.90 = 12 Rpta. . x = 12 horas . Problema 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable? Resolución D 12m cuestan S/. 42. Si: 16m cuestan S/. x El costo es directamente proporcional al número de metros lo que se indica por la letra D encima de la columna metros. Aritmética 57
  58. 58. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Por tanto: x 42 16 12 = ; donde: x = 12 16.42 = 56 soles Rpta. . x = 56 soles . Problema 3: Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14. ¿Cuántos obreros hay que añadir para que la obre se termine en 8 días? Resolución Sea: x = # de obreros que hay que añadir para que la obra se termine en 8 días. I Luego: Si: 20 obreros 14 días (20 + x) obreros 8 días El número de obreros es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir a más obreros menos días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días. Por tanto: 20 20 8 14 x+ = ; donde: 20 + x = 8 14.20 20 + x = 35 Rpta . x = 15 obreros . Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración? Resolución: Sea: x = # de corderos que debe vender I Luego: Si: 640 corderos 65 días Aritmética58
  59. 59. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO (640 - x) corderos (65 + 15) = días = 80 días El número de corderos es inversamente proporcional al número de días. (Quiere decir que a menos corderos tendrán para más días), lo que se indica por la letra I encima de la columna días. Por tanto: 340 640 80 65 x− = ; de donde: 640 - x = 85 65.640 640 – x = 520 Rpta. . x = 120 corderos . Problema 5:Manuel y Sara recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la razón 21 15 . La velocidad de Manuel es de 56km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara? Resolución: I Tiempos velocidades Manuel : 15 56km/h ⇒ Sara : 21 x km/h Por tanto: 5621 15 x = ; de donde: x = 21 56.15 = 40 Rpta. . x = 40 km/h . Aritmética 59 El tiempo es inversamente proporcional a la velocidad (Quiere decir a mayor velocidad menos tiempo); lo que se indica por la letra I encima de la columna tiempo.
  60. 60. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Problema 6 DOS RUEDAS CUYOS DIÁMETROS, SON 1,5CM Y 2,4M ESTÁN MOVIDAS POR UNA CORREA, CUANDO LA MENOR DÁ 220 REVOLUCIONES. ¿CUÁNTAS REVOLUCIONES DÁ LA MAYOR? Resolución: I 1,5 m 220 Rev. 2,4 m x Rev • Los diámetros son inversamente proporcionales al número de revoluciones. (Quiere decir que a menor diámetro la rueda dará más vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra I encima de la columna metros. Por tanto: 2204,2 5,1 x = ; de donde: x = 4,2 220.5,1 Rpta . x = 137,5 rev . Aritmética60
  61. 61. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12cm de arista habrá construido? Resolución: LA RELACIÓN QUE DEBEMOS TENER PRESENTE, ES ENTRE EL VOLUMEN Y EL TIEMPO; PUESTO QUE NATALY CONSTRUYE UN CUBO; VEAMOS: Para construir este cubo de 4 cm de arista demora 6 horas, o sea: En 6 horas → (4cm)3 . . . . (1) Luego: Sea “x” número de horas que demoraría en construir un cubo de 12 cm de arista. O sea: en x horas → (12 cm)3 ...... (2) D De las expresiones (1) y (2); obtenemos: En 6 horas (4cm)3 En x horas (12 cm)3 Tiempos Volúmenes • Los volúmenes son directamente proporcionales a los tiempos (Quiere decir que a más volumen, más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna volúmenes. Por tanto: 3 3 )12( )4(6 cm cm x = ; de donde: x = x = 6 . (27) ∴ . x = 162 horas . Aritmética 61
  62. 62. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Entonces: En 54 horas habrá hecho: Rpta. Después de 54 horas de trabajo, del cubo de 12cm de arita habrá construido un 1/3. Problema 8: 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8 días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se entregará la obra? Resolución: ANALIZANDO EL PROBLEMA LLEGAMOS A LA CONCLUSIÓN QUE LUEGO DEL OCTAVO DÍA LOS 12 OBREROS TENDRÍAN 21 DÍAS PARA COMPLETAR LA OBRA. PERO COMO SON SÓLO 7 OBREROS AHORA EN CUÁNTOS DÍAS MÁS TERMINARÁN LA OBRA. Luego: I Si: 12 obreros 21 días ⇒ 7 obreros x días Por tanto: 217 12 x = de donde : x = 7 21.12 = 36 ⇒ ∴ . x = 36 días . Los 7 obreros que quedan demorarán 36 días en terminar la obra (Tiempo total empleado por Aritmética62 El número de obreros es inversamente proporcional al tiempo (Quiere decir a menos obreros más tiempo); lo que se indica por la letra I encima de la columna obreros.
  63. 63. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO los 7 obreros en hacer la obra) = 8 + 36 = . 44 días . El retraso será: 44 días - 29 días = 15 días Rpta. . La obra se entregará con un retraso de 15 días . Problema 9: Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de Rozamiento Matemático en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin harán la misma tarea? Resolución: • Del enunciado del problema , planteamos: rapidez10 Total 1rapidez:Franklin 3rapidez:Miguel 6rapidez:Percy =      SI: I Entre los tres: 10 rapidez 16 días Entre Miguel 4 rapidez x días y Franklin La rapidez es inversamente proporcional al tiempo (quiere decir que a menos rapidez más tiempo). Lo que se indica por la letra I de la columna rapidez. Aritmética 63
  64. 64. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Por tanto: 164 10 x = ; de donde: x = 4 16.10 = 40 ⇒ ∴ . x = 40 días . Rpta. . Miguel con Franklin, harán la misma tarea en 40 días . Problema 10: Sabiendo que un venado atado a una cuerda de 3m de largo, tarda 5 días en comerse todo el pasto a su alcance. ¿Cuánto tardaría si la cuerda fuera 6m? Resolución: Analizando el problema, llegamos a la conclusión que el buey al comer el pasto que está a su alcance determina un circulo (área del circulo (πr2 ) Luego: D Áreas Tiempos π (3m)2 5 días π (6m)2 x días • Las áreas son directamente proporcionales a los tiempos. (quiere decir que a más área más tiempo). Lo que se indica por la letra D encima de la columna áreas Por tanto: xm m 5 )6( )3( 2 2 = π π ; de donde: x = 5 ⇒ ∴ . x = 20 días . Aritmética64
  65. 65. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Rpta. Si la cuerda fuera de 6m, el buey tardaría 20 días en comerse todo el pasto que esta a su alcance PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Veinte obreros tienen provisiones para 40 días. Si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzarán las provisiones? Rpta. 80 2. ¿Cuantos pares de medias podré comprar con S/. 800 si cada media cuesta S/. 4? Rpta. 100 3. El conejo salta 3 veces en 2s. ¿Cuánto tardará en saltar 126 veces? Rpta. 84 4. La tercera parte de un trabajo realizo en 5 días, lo que me falta lo termino en: Rpta. 10 5. Si: A = obras, B = días, C = eficiencia, D = obreros, ¿cuál es la alternativa correcta? a. D y C son DP b. A y B son IP c. C y B son DP d. A y D son IP e. C y D son IP 6. El kilogramo de yuca cuesta S/. 2 ¿Cuánto costará 7kg de yuca de igual calidad? Rpta. S/. 14 Aritmética 65
  66. 66. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 7. Un móvil a velocidad constante recorre unos 400m en 8s. ¿cuántos metros recorrerá 20s? Rpta. 1000m 8. En 1/3 día se consume 2/7 de la carga de una pila. ¿Cuánto de carga se consumirá en 7/12 de día? Rpta. ½ 9. Los 2/7 de una obra los realizó en 18 días. ¿En cuántos días podré terminar los que falta? Rpta. 45 días 10. 4 polos en un cordel se secan en 4min. ¿Cuánto demorarán en secarse 8 polos? Rpta. 4 min 11. 40 obreros tienen provisiones para 60 días, si se retiran 10 obreros. ¿Para cuántos días alcanzaran las provisiones? Rpta. 80 12. 5 obreros hacen una obra en 8 días, 32 obreros. ¿En cuantos días harán la misma obra? Rpta. 5/4 días 11.Un par de zapatillas cuesta S/. 160. ¿Cuánto costarán 12 zapatillas? Rpta. S/. 960 12.En un cubo de aristas 2m se puede almacenar 200kg de arroz ¿Cuántos kilogramos más de arroz se almacenan en un cubo de arista 3m? Rpta. 475 13.Sabiendo que 10 campesinos siembran terreno cuadrado de 15m de lado en 12 días Aritmética66
  67. 67. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ¿en que tiempo 20 campesinos sembrarán un terreno de 30m de lado? Rpta. 24 Aritmética 67
  68. 68. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Dos panes cuestan S/. 0,20 ¿cuánto costarán 4 panes? A) S/. 0, 10 B) S/. 0,20 C) S/. 0, 30 D) S/. 0,40 E) S/. 0,40 2. Si un móvil que viaja a velocidad constante en 5 horas recorre 600km. ¿Qué distancia recorrerá al cabo de 8 horas? A) 840km B) 960km C) 690km D) 900km E) 720km 3. Catorce obreros hacen una misma obra en 9 días ¿Cuántos obreros harán la misma obra en 7 días? A) 15 B) 18 C) 17 D) 16 E) 14 4. Un obrero limpia 5 tubos en 20 minutos. ¿En cuántos minutos limpiará 20 tubos? A) 40 B) 60 C) 80 D) 90 E) 30 5. En 16 días se consume 1/8 de la carga de una batería. ¿Cuántos se consumirá en 48 días? A) 3/5 B) 2/7 C) 3/8 D) 1/8 E) 1/5 6. Sabiendo que 5 soldados fuman 5 cigarrillos en 5 min. ¿En que tiempo 6 soldados fumarán 6 cigarrillos? A) 1min B) 2min C) 3min D) 4min E) 5min 7. Para terminar la reparación de un pozo en 8 días se necesitan 15 obreros ¿Cuántos obreros más se necesitan si se quiere terminar en 5 días? A) 8 B) 7 C) 9 D) 5 E) 10 8. Un hombre puede leer un libro de “p” páginas en “d” Aritmética68
  69. 69. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO días. ¿Cuántos días se demorará en leer “L” libros de “S” páginas cada uno? A) d, L. S B) S.L.d P C) L.S D) P S.L.d E) p. L. S 9. Veinte trabajadores pueden hacer una zanja de 40m de profundidad en 24 días, 36 trabajadores en 18 días, ¿Qué profundidad cavarán? A) 50 B) 52 C) 53 D) 54 E) 51 10.Trabajando 10h/d, durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serán necesarias para mantener trabajando 9h/d durante 25 días a 3 hornos más? A) 100 B) 120 C) 153 D) 160 E) 140 Aritmética 69
  70. 70. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO UN NIÑO SIEMPRE PUEDE ENSEÑAR TRES COSAS A UN ADULTO; A ALEGRARSE SIN MOTIVO, A ESTAR SIEMPRE OCUPADO CON ALGO Y A SABER EXIGIR CON TODAS SUS FUERZAS AQUELLO QUE DESEA PAUL COELHO CLAVES 1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. E 7. C 8. D 9. D 10. B Aritmética70
  71. 71. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO TEMA: REGLA DE INTERÉS INTERÉS Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta. Interés (I) : Crédito, renta (anual) Capital (C) : Dinero, acciones, propiedades, etc. Tiempo (T) : Año, meses, días OBSERVACIONES: EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL QUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés. OBSERVACIONES: POR EJEMPLO, TENEMOS: 3 % MENSUAL ≡ 36% ANUAL 12% BIMENSUAL ≡ 72% ANUAL 10% QUINCENAL ≡ 240% ANUAL Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Asi: . M = C + 1 . Fórmulas para calcular el interés simple: . 1 = 100 t.r.C , “t” en años . . 1 = 1200 t.r.C , “t” meses . Aritmética 71
  72. 72. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO . 1 = 1200 t.r.C , “t” en días. . Ejemplo: Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene? Resolución: C = S/. 4000 r = 12% semestral ≡ 24 % anual t = 15 meses I = 1200 t.r..C = 1200 15.24.4000 = 1200 Y como M = C + I M = 4000 + 1200 M = 5200 SE ATREVIDO Y VALIENTE. CUANDO VUELVAS LA VISTA ATRÁS, LAMENTARÁS MÁS LAS COSAS QUE NO HAYAS HECHOS QUE AQUELLAS QUE HICISTE. MARDEN Aritmética72
  73. 73. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Qué interés un capital de S/. 3000 impuestos al 20% en 5 meses? Rpta. S/. 250 2. ¿Que interés produce S/. 120000 en 2 meses y 10 días al 16% cuatrimestral? Rpta. S/. 11200 3. ¿Cuál es la capital que al 4% anual y durante 10 meses ha producido interés de S/. 12? Rpta. S/. 360 4. ¿En cuánto se convierte un capital de S/. 3000 que fue impuesto al 3% bimestral durante 2 años? Rpta. S/. 4080 5. Los 5/7 de un capital colocado al 3% produce anualmente S/. 420 más que el resto colocado al 4% ¿Cuál es el capital? Rpta. S/. 42000 6. ¿A qué porcentaje anual se ha impuesto un capital de S/. 80000 que en 10 años se ha triplicado? Rpta. 20% 7. ¿Que tiempo ha estado impuesto S/. 500 para que al 2% anual se haya convertido en S/. 600? Rpta. 10 años 8. Un capital prestado a una cierta tasa produce un determinado interés anual. Si el capital fuese S/. 2000 mayor, el interés aumentaría en S/. 4000. Determinar la tasa. Rpta. 20% Aritmética 73
  74. 74. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 9. Tres hermanos Isidoro, Fortunato y Guillermo depositan en un banco 600; 1000 y 800 soles respectivamente. Al cobrar sus intereses, Fortunato recibe 100 soles más que Isidoro. ¿Cuánto le corresponde a Guillermo? Rpta. 200 soles 10. El menor de 2 capitales se coloca al 20% de interés simple durante 3 años y el otro al 25% durante 2 años, siendo la relación de montos, en ese orden de 4 es a 5. determinar el mayor capital, sabiendo que la suma de ambos capitales es 4200 Rpta. 2400 11. Se coloca S/. 1000 al 5% durante un cierto número de años y el capital se duplica. Si colocamos los S/. 1000 al 5% durante un tiempo que es 8 años mayor que el anterior, ¿Qué interés producirá? Rpta. S/. 1400 12. Los intereses generados por dos capitales en el mismo tiempo, con tasa del 13% bimestral 91% semestral respectivamente se encuentra en la misma relación que 11 y 19. Si la diferencia de dichos capitales es 600. calcular la suma de ellos. Rpta. 4020 13. ¿Durante 2/3 cuánto tiempo se debe colocar un capital al 60% semestral para que el monto sea el 180% del capital? Rpta. 8 meses 14. El capital de Walter es el 10% del capital de Juan. ¿A qué tasa deberá imponer Walter su capital para que después de 10 años el monto obtenido por él sea el 20% del monto obtenido por Juan que presta su dinero al 5% durante el mismo tiempo? Rpta. 20% Aritmética74
  75. 75. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO 15. Una persona tiene S/. 16000 que presta al 5% trimestral y otra S/. 20000 que presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuanto tiempo los montos serán iguales? Rpta. 20 años Aritmética 75
  76. 76. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar el interés anual de S/. 1580 al 20% A) S/. 815 B) S/. 518 C) S/. 316 D) 613 E) S/. 340 2. Un capital prestado a una cierta tasa produce un determinado interés anual. Si el capital fuese S/. 60000 mayor, el interés aumentaría en S/. 1800. Determinar la tasa A) 3% B) 4% C) 5% D) 6% E) 7% 3. Calcular el interés generado por depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses A) S/. 120 B) S/. 150 C) S/. 180 D) S/. 210 E) S/. 240 4. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 5% de interés anual, si los intereses producido alcanzan al 60% del valor del capital? A) 1 año B) 10 años C) 12 años D) 6 años E) 9 años 5. ¿En cuánto años un capital impuesto al 8% produce un interés igual a 2/3 del monto? A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 26 6. ¿En cuánto se convertirán S/. 84 000 al 1,5% mensual durante 18 días? A) S/. 88765 B) S/ 82756 C) S/. 83756 D) S/.85756 E) S/. 84756 7. Una persona deposita hoy cierto capital interés simple. Aritmética76
  77. 77. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO Luego de 2 meses del monto será S/. 3600 y 3 meses después a este primer tiempo será S/. 4350. ¿Cuál es el capital depositado hoy? A) S/. 3100 B) S/. 3050 C) S/. 3000 D) S/. 3150 E) S/. 3250 8. Determine las tasas equivalentes I. 5% mensual II. 10% bimestral III. 2,5% quincenal IV. 30% semestral A) I y II B) II y IV C) III y I D) I; II y III E) I; II: III y IV 9. Un capital impuesto a un interés simple durante 7 meses, produjo un monto de S/. 41040. si el mismo capital se hubiera impuesto a la mismas tasa de interés por 10 meses el monto resultaría S/. 43200. Hallar la tasa A) 6% B) 12% C) 18% D) 24% E) 30% 10.Si un capital se triplicase y la tasa de interés fuera la mitad, el interés en el mismo sería S/. 840 más ¿Cuál fue el interés original? A) S/. 1480 B) S/. 1580 C) S/. 1680 D) S/. 1780 E) S/. 1880 DEBEN SABER, AMIGOS MÍOS, QUE UNA DE LAS FUENTES MÁS PURAS DE LA FELICIDAD, LA TIENEN EN SU CASA, ENTRE LA FAMILIA, ENTRE SUS MUEBLES, ENTRE SUS LIBROS. W. STEVENS Aritmética 77
  78. 78. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO CLAVES 1. C 2. A 3. E 4. C 5. D 6. E 7. A 8. E 9. D 10. C Aritmética78
  79. 79. COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO ÍNDICE PÁG. RAZONES Y PROPORCIONES 7 PROMEDIOS 17 MAGNITUDES PROPORCIONALES 33 REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE 48 REGLA DE TRES 57 REGLA DE INTERÉS 72 Aritmética 79

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