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Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los
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Nota:
* Si “b” es un número real y m, n, p son enteros, entonces:
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12. Simplificar:
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B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)
Es el mayor de los grados absolutos de cada término.
Ejemplo:
Si F(x;y) = 2x2
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11. Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente
polinomio homogéneo:
P(x,y) = x3m+2n
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1. Reducir:
C = [ (m + n)2
– (m – n)2
]2
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D) 1 E) –1
2. Reducir:
M = ( ) ( )babababa −++−−+...
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Operación que se realiza entre polinomios y consiste en hallar
dos polinomios llamados cociente y residuo, conociendo o...
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+ + + − −
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A) 5 B) 3 C) x+2
D) x+1 E) x – 3
7. Calcular m + n + p; si la división deja ...
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±
±
m mx y
x y
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x; y bases iguales
m ∈ Z+
; m ≥ 2
DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES
CASO I: (para n=par o impar)
−
−
n nx...
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38 36 34 2
x x x ........ x 1
x x x ........ x 1
B + + + + +
+ + + + +
=
A) x 40
B) x 40
C) x 20
– 1
D) x 20...
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2. Factorizar:
x2
+ ax + x + xy + ay + y
3. ASPA SIMPLE
Forma general de polinomio a factorizar: m, n ∈ N
P(x,y) = Ax2n...
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A) (x-2y)2
B) (x+y)(x-y) C) x2
+y
D) (x+2y)2
E) N.A.
5. Halla la suma de los coeficientes de uno de los F.P. de
4(2x +1...
55
E =
c c cb b ba b b ab ab a a
a a a a
1
2
. . .
+− + − −
A) aa
B) a–1
C) aa–1
D) aa+1
E) –a
6. Simplificar:
E=
n n nnmn...
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es exacta, calcular:
2
2 2
b
a c+
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3/2 E) 4/3
5. Hallar: “m + n” si el t(25) del desarrollo de:
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  1. 1. 43 LEYES DE EXPONENTES: Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación. POTENCIACIÓN: Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente. Notación: a : base an = P n: exponente P: potencia Definiciones: Exponente natural an = n veces a si n a a a si n 1 . ... 2 =  ≥   1442443 Exponente cero Si a ≠ 0 se define: a0 = 1 Nota: * 00 no está definido Exponente negativo Si a ≠ 0 ∧ n ∈ N se define: a-n = n n aa 1 1  =  ÷   Nota: * 0– n no existe Teoremas: Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros positivos, entonces se cumple: 1. Multiplicación de bases iguales. an . am = am+n 2. División de bases iguales. m m n n b b b − = 3. Potencia de potencia. ( ) ( ) n m m m n n b b b. = = Nota: * m n .mnb b≠ 4. Potencia de una multiplicación. ( ) = n n n ab a b 5. Potencia de una división.
  2. 2. 44 n n n a a b b   = ÷   ; b ≠ 0 Nota: * Si “b” es un número real y m, n, p son enteros, entonces: zbbb yxm pnm === Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo RADICACIÓN EN ℜ: Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según: n b = r ⇔ rn = b n : índice (n ≥ 2 ; n ∈ N) b : radicando r : raíz n-ésima principal de b Teoremas: Si n a y n b existen, entonces se cumple: 1. Raíz de una multiplicación: n a n b = n ba 2. Raíz de una división: n n n a a bb = si b ≠ 0 3. Raíz de una radicación: n m nm b b . . = Exponente fraccionario: Si n m a existe en ℜ se define: m n n m a a= Ejercicios 1. Efectuar: P = 294 336 30.14.15 80.35.21 Rpta…………… 2. Ordenar en forma decreciente: A = 432 1 B = 413 2 C = 241 3 D = 123 4 E = 231 4 Rpta…………… 3. Simplificar: R= 23 21 7 7 7 7 1 1 (2) . (9) 2 . 4 4 2     + + ÷  ÷     Rpta…………… 4. Hallar el valor de “M”: M =         + b 2a 2 2 ÷         +2b a 2 2 Rpta…………… 5. Reducir: P = 5074 4 ( 2)− Rpta…………… 6. Calcular: A = 148 20 4 4 2 . 2 − − Rpta…………… 7. Hallar el valor de W: W = 11 21 2 4 2 4 9 4 9 8 −− −− − − − − − + + Rpta…………… 8. Hallar el valor de: n n n n 2 1 2 2 2 2 2 + − − + + Rpta…………… 9. Reducir la expresión: P = x sumandos x x 3 2 1 6 6 6 6 3 3+ + + + + + − 644474448 K A) 1 B) 3x C) 2,3x D) 3x+1 E) N.A. 10. Si x x x 2= , hallar: R = xx x x x3 + A) 64 B) 16 C) 256 D) 128 E) N.A. 11. Decir cuáles son falsas: I. 3a0 + 3b0 – 8(x + y)0 = 0 II. (5x0 – 5y0 + 1)–0 = 0 III. (15a0 – 11b0 – 4x0 )0 = 1 A) Solo I C) I y II E) Todas B) Solo II D) I y III
  3. 3. 45 12. Simplificar: E = n n n n n n 1 1 4 3 2 3 3 3 3 3 3 − + − − − + + + + A) 3 B) 3–3 C) 33 D) 3–5 E) 35 13. Calcular: ( ) 1 11 11 2 2 2 3 16 1 1 1 1 2 4 125 81 − − −− − − −           + +  ÷ ÷  ÷  ÷           A) 2 B) 1 C) 0 D) 4 E) 8 14. Si: x x 3 4 9 = hallar: F = 2 2 3x + x 3x x( )+ A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16 TAREA 1. Calcular: 121212 16 1 9 1 4 1 −−−−−−       +      +      =M A) 10 B) 8 C) 9 D) 2 E) 7 2. Si: 3= xx x ; calcular xxxx x + A) 27 B) 81 C) 9 D) 3 E) 1 3. Si aa = 2, hallar 1+aa a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Calcular: M = 55 255 2 112 + − ++ x xx A) –100 B) –10 C) –50 B) 5x E) 5–x 5. Reducir: ( ) ( )x yx x y x y x y 1 18 123 2 . 2 36 − + +        ÷  ÷        A) 3 B) 3 1 C) 2 D) 2 1 E) 6 TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica donde no están presentes las operaciones de adición y sustracción. Ejemplo: M(x,y) = –4 x5 y3 TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos serán semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales. Ejemplos: P(x;y) = 4x2 y7 y Q(x;y) = –2x2 y7 P(x;y) = 5x2 y3 y S(x;y) = 2xy7 M(x;y) = – 2 3 y x4 y N(x) = 2 3 y x2 POLINOMIO Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos. Ejemplos: P(x;y) = 5x3 y7 → (monomio) R(x;z) = 2x2 z + 5z5 → (binomio) F(x) = 3 – 5x + 3 x2 → (trinomio) GRADO DE UN MONOMIO A. Grado Relativo: Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable. Ejemplo: Sea P(x;y;z) = 5 x5 y3 z GR(x) = GR(y) = GR(z) = B. Grado Absoluto: Es la suma de los grados relativos. Ejemplo: Sea R(x;y;z) = 2x4 y5 z3 GA = GRADO DE UN POLINOMIO A. Grado Relativo: Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término. Ejemplo: Sea P(x,y) = 3x3 y5 – 7x2 y9 + 5x7 GR(x) = GR(y) = Exponentes Variables Coeficiente
  4. 4. 46 B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio) Es el mayor de los grados absolutos de cada término. Ejemplo: Si F(x;y) = 2x2 y3 – 7x6 y + 4x4 Polinomios Especiales POLINOMIO MÓNICO: Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le denomina mónico. Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x B(x) = 7 –2x2 +x3 C(x) = x POLINOMIO ORDENADO: Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente. Ejemplos: P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7 Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x. P(x,y,z) = 21xz4 – 34x5 y2 z + 41x7 y4 Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y, además es ordenado descendentemente respecto a z. POLINOMIO COMPLETO: Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero. Ejemplos: A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16 B(x,y) = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y además es completo, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad. POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad. Ejemplo: P(x,y) = 3x3 y12 + 23x8 y7 – 15x15 – 13y15 R(x) = 7xy3 + 8x2 y2 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros. Ejemplo: P(x) = (n – m) x2 + (p – q) x, si es idénticamente nulo: n – m = 0 ⇒ m = n p – q = 0 ⇒ p = q POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales. Ejemplo: p(x) = ax2 + bx + c q(x) = dx2 + ex + f Si: p(x) = q(x) Entonces: a = d ; b = e ; c = f EJERCICIOS 1. Hallar el valor de “b” para que el grado de: P(x,y) = (3abx3b+3 y2 ) sea 20 A) 5 B) 8 C) 10 D) 3 E) 12 2. Dado el monomio: M(x,y) = 4mn x2m+3n y5n–m Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente A) 2 B) 4 C) 8 D) 64 E) 16 3. Hallar el coeficiente de: M(x,y) = ba5b2a3b a yx2. 5 1 −+       Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. A) 4/625 C) 2/25 E) 16/25 B) 16/125 D) 8/625 4. Si: P(x–2) = x + 1 P(Q(x)) = 5x + 9 Indicar Q(3) A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23 5. Siendo: G(x) = x Además: P(x) + Q(x) = 2x2 + 8 P(x) – Q(x) = 8x Calcular: G(Q(P(0))) A) 1 B) 4 C) 8 D) 3 E) 5 6. Dado el polinomio: P(x) = x3 – 5x2 + 4x + 1 Hallar: P(2) + P(–1) A) 5 B) 9 C) –25 D) –16 E) –12 7. Si el polinomio: P(x;y) = 7xa+5 yb–1 + 3 xa+2 yb+1 – xa+3 yb+2 tiene GA = 16 y GR(x) = 12, hallar a – b A) 6 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3 8. Si Q = axb ya + bxa yb + x3 y4 . Es un polinomio homogéneo en “x” e “y”, la suma de sus coeficientes es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 13 9. El polinomio xa+b + xa ya–b + xb+2 y2 , es homogéneo. ¿De qué grado es? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 10. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y) = x2m – 4xm yn–1 – 3 y15–m , hallar el valor de: (m + n)2 – (m – n)2 A) 110 B) 120 C) 240 D) 115 E) N.A. 4 4 15 15 1515
  5. 5. 47 11. Determinar los valores de “m” y “n” en el siguiente polinomio homogéneo: P(x,y) = x3m+2n y4 + 3x2m–1 y–3n + 5x2m yn+7 A) 5, –2 C) 2, –5 C) N.A. D) 2, –5 E) –2, 5 12. Indicar la suma de coeficientes del polinomio: P(x)=(5x4 –3)n +(4x5 –3)n–1 +(7x3 –5)n–2 +5(x7 +1)n–2 (x–2) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) 0 13. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n Q(x) = (x + a)2 + nx + 2 Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a. A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16 14. En la siguiente expresión: + + + − − −  − −     a a a a ax x a a ax 2 3 2 2 1 1 1 2 2. 1 1 tiene el grado igual a 13, hallar a. A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) N.A. 15. Se definen: P(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Q(x) = 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6 halle: )17( )17( Q P E − = A) 0 B) –1 C) 1 D) 2 E) 17 TAREA 1. Siendo el polinomio: P(x) = x24 + 128x17 + 2x11 + 64x6 + 4x + 2 Hallar P(–2) A) 2 B) -6 C) 5 D) 8 E) 12 2. Sea el polinomio: P(2x – 1) = (5x – 1)m +(2x + 1)m – 2x + 1 ¿Qué valor toma “m” si se cumple en el polinomio que la suma de coeficientes y su término independiente suman: ( ) m m3 2 24 2+ + A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Indicar el valor de “a+b”, si el polinomio P(x) = (a3 –27)x2 + (b3 –7)x+5 Es lineal y mónico. A) 5 B) 4 C) 9 D) 11 E) 15 4. Si P(x+5) = 3x–2, calcular “m”, si P(2x+m) = 6x+7 A) 1 B) 3 C) 5 D) 8 E) 7 5. Se tiene: P(x + 2) = 3x + 8 Q(x – 1) = 5x + 3 Calcular: M = )1()1( 22)()( +−+ ++ xQxP xQxP A) x + 1 B) –4 C) –4x D) x – 1 E) – (x + 1) Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. PRINCIPALES IDENTIDADES: Trinomio cuadrado perfecto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 * Identidades de Legendre: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2 ) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Desarrollo de un binomio al cubo: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) Suma y diferencia de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2 ) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2 ) = a3 – b3 Multiplicación de binomios con término común: (x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab Desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) Desarrollo de un trinomio al cubo: (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c)(a+c) (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc Identidad trinómica (Argan´d): x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 IGUALDADES CONDICIONALES: Si: a + b + c = 0 , se cumple: I. a3 + b3 + c3 = 3abc II. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 EJERCICIOS
  6. 6. 48 1. Reducir: C = [ (m + n)2 – (m – n)2 ]2 – 16 m2 n2 A) mn B) m+n C) 0 D) 1 E) –1 2. Reducir: M = ( ) ( )babababa −++−−+ A) 2ª B) 0 C) 2a – 2b D) 2b E) 2a + 2b 3. Reducir: (x – 1)3 – x3 + 1 A) x B) x + 1 C) 2x D) 3x (1 – x) E) 3x 4. Reducir: W= b b a b b a2 2 2 2 .+ − − − ; a > 0 A) b B) a C) a D) b E) 0 5. Simplificar: R = (x + y + 1) (x + y – 1) – (x – y + 1) (x – y – 1) A) xy C) x + y E) 4xy B) 2xy D) x – y 6. Si a+ b = 1 y a2 + b2 = 3 hallar: P = (a + 1)(b + 1) A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 E) N.A. 7. Si: a+b = ab = 3 Calcular R = a(a + a2 + a3 ) + b(b + b2 + b3 ) A) 1 B) 2 C) –3 D) –6 E) N.A. 8. Reducir: A = x x x x x 3 2 ( 1)( 1) 3 ( 1)+ − + + + A) x B) x–1 C) x+1 D) –x E) 1 9. Si x + x 1 = 4, calcular: x x 3 3 1 + A) 26 B) 18 C) 52 D) 36 E) N.A. 10. Si: a + b = 4; ab = 3. hallar: W = a3 + b3 ; si a > b A) 64 B) 28 C) 26 D) –26 E) –27 11. Si x + y = a, x.y = b, hallar: x3 + y3 A) a3 B) a3 + 3ab C) N.A. D) a2 + 3ab E) a3 – 3ab 12. Efectuar: (x + y – 2z)2 – (x – y – 2z)2 A) –4xz – 4yz B) 4xy – 4xz E) N.A. D) 4xy – 8xz E) 4xy – 8yz 13. Si: a + b + c = 0, calcular: P = )cb()ca()ba( )cb()ca()ba( 333 +++ +++++ A) 1 B) 3 C) 1/3 D) 9 E) 1/9 14. Reducir: a b c b c a c a b a b c 2 2 2 2 2 2 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )+ − + + − + + − + + si se sabe que: a + b + c = 0 A) 1 B) 9 C) 16 D) 25 E) N.A. 15. Si: a + b + c = 0, calcular: E = + + + + a b c ab ac bc 2 2 2 A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) N.A. TAREA 1. Si: a+b = 2 y ab=3 Halla : a3 +b3 A) –1 B) 6 C) -8 D) –10 E) 26 2. Si: a+b = 3 y ab = 1 Halla : a2 -b2 A) 6 B) 3 5 C) 2 2 D) 4 5 E) 6 5 3. Si: a+b = 2 y ab=3 Halla : a3 +b3 A) –1 B) 6 C) -8 D) –10 E) 26 4. Si: a+b = 3 y ab = 1 Halla : a2 -b2 A) 6 B) 3 5 C) 2 2 D) 4 5 E) 6 5 5. Reduce : ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) K x x x x x x x x x x x x = + + + + − + +       + +       − + + + + 2 3 4 5 7 11 9 19 3 5 6 4 2 2 2 2 A) 1 B) 1/2 C) 0 D) –1 E) –1/2 DIVISIÓN ALGEBRAICA:
  7. 7. 49 Operación que se realiza entre polinomios y consiste en hallar dos polinomios llamados cociente y residuo, conociendo otros dos polinomios denominados dividendo y divisor que se encuentran ligados por la relación: D(x) = d(x).Q(x) + R(x) Donde: D(x): Dividendo d(x) : Divisor Q(x): Cociente R(x): Residuo o Resto GRADO DEL COCIENTE Q(x)° = D(x)° - d(x)° GRADO DEL RESIDUO R(x)° = d(x)° - 1 PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓN 1. MÉTODO DE HORNER: Ejemplo: Efectuar la siguiente división: 2x 2 x 54x 3 3x 4 2x ++ +++ Q(X)=……………………………. R(X)=……………………………… 2. MÉTODO DE RUFFINI Ejemplo: Efectuar la siguiente división: 13x 2x 2 x 3 5x 4 3x − +−++ Primer paso: Segundo paso: Q(X)=………………………….. R(X)=…………………………… OBSERVACIÓN: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir entre este valor. 3. TEOREMA DEL RESTO Se utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazado en el dividendo. OBSERVACIÓN: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio obtenido sea menor que el grado del divisor. Ejemplo: Calcular el resto en: 2x 92x 3 x − −+ Solución: X – 2 = 0 x = 2 Reemplazando “x” en D(x) R(x) = (2)3 + 2(2) – 9 R(x) = 3 EJERCICIOS 1. Calcular la suma de coeficientes del residuo de dividir: − − + − − − x x x x x x 4 3 2 2 4 5 2 3 1 2 1 A) – 27 B) 29 C) 21 D) 19 E) 11 2. Divide: + + + + + + + + x x x x x x x x 5 4 3 2 3 2 5 10 10 5 1 3 3 1 Indica el cociente: A) x2 -x-1 B) x2 +2x+1 C) x2 +1 D) x2 -2x-1 E) x2 +2x-1 3. Indica el cociente de: + + + + + − x x x x x x 5 4 6 3 2 3 3 2 1 A) x3 -3x-1 B) 3x2 +4x-1 C) 3x3 +2x2 +4x-1 D) 3x2 +2x-1 E) x3 +2x+1 4. Indica el cociente de: − + − + − x x x x x 6 11 2 3 2 4 3 2 A) 2x3 -x2 +x-1 B) x3 +x2 +x-3 C) 2x3 +x2 +3x-1 D) 2x3 -x2 +x-3 E) 2x3 +x2 +x-3 5. Halla el resto en : + + + + + + − x x x x x x x 10 7 6 4 3 3 2 3 4 5 1 1 A) 11x+1 B) 11x+3C) 11x+6 D) 10x+5 E) 11x+2 6. Calcula el resto en:
  8. 8. 50 + + + − − + x x x x x x 12 8 7 5 2 2 3 1 1 A) 5 B) 3 C) x+2 D) x+1 E) x – 3 7. Calcular m + n + p; si la división deja como resto: 2x2 + x – 5. − − + + + − + x x x mx nx p x x 5 4 3 2 3 2 3 2 3 3 2 1 A) 3 B) 2 C) – 1 D) 0 E) 10 8. Cuando el polinomio: 8x4 – Ax3 + Bx2 + Cx + D Se divide entre: 2x2 –x + 1; se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de 1 en 1 a partir del primer término y un residuo igual a 5x + 1. Hallar: A + B + C + D. A) 24 B) 21 C) 15 D) 12 E) 16 9. Hallar “m + n” en la división exacta: + + − + − x x mx x x n 5 4 3 3 1 A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) –1/3 10. Si a y b son mayores que cero. Calcular E = a + m, sabiendo que el resto de la división: − + + − − + x x ax x x x m 4 3 2 2 3 4 5 2 es R = 8x –2. A) 13 B) 3 C) 5 D) 10 E) 16 11. Calcular (A + B) para que el polinomio Ax4 + Bx3 + 1 sea divisible por (x – 1)2 A) 1 B) - 1 C) 2 D) – 2 E) 3 12. En la división: 4 3 2 2x 3 2x 12x 3 2x 2 2 x + − + − − . Calcular la suma de coeficientes del cociente. A) 6√2 B) 4√2 C) 3√2 D) – 1 E) - 6√2 13. Hallar el valor de “ANI” para que el polinomio: F(x) = x4 – 5x3 + Ax2 + Nx+ I; al dividirse entre: K(x) = (x – 1)3 deje un resto idénticamente nulo. A) 54 B) – 65 C) - 126 D) 145 E) – 24 14. En el siguiente esquema de Horner: 1 a 3 - 20 1 f p -7 b 3 4 c d e 7 -4 5 - 16 10 Determine: P = a + b + c + d + e + f A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 25 15. Hallar un polinomio P(x) de segundo grado divisible por (2x + 1); sabiendo además que su primer coeficiente es 4 y que al ser dividido por (x – 2) el resto es 5, reconocer el menor coeficiente de P(x). A) – 4 B) – 3 C) – 5 D) 4 E) 2 TAREA 1. Divide: 1x 21x3x6x5x2 234 + ++−− Indica el término lineal del cociente obtenido: A) 2x B) –7x C) x D) –2x E) –x 2. Divide : 2x 12x2x4 3 + +− Indica el residuo: A) 14 B) –16 C) -8 D) 6 E) 4 3. Divide: 1xx 3qx)3p(x 2 24 ++ ++−+ Halla (p+q) si la división es exacta. A) 1 B) –2 C) 2 D) –1 E) 8 4. Divide : 1x3 x1810x15x5x9 324 − −+−− Indica el término cuadrático del cociente: A) –8x2 B) –12x2 C) 4x2 D) –4x2 E) x2 5. Calcula el resto en: 1x 1xx3xxx2 2 57812 + −−+++ A) 5 B) 3 C) x+2 D) x+1 E) x – 3 CONCEPTO Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división. Condiciones que debe cumplir:
  9. 9. 51 ± ± m mx y x y Donde x; y bases iguales m ∈ Z+ ; m ≥ 2 DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES CASO I: (para n=par o impar) − − n nx y x y =……………………………………… CASOII: (para n=impar) + + n n x y x y =………………………………………… CASOIII: (para n=par) − + n n x y x y =……………………………………… CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N. De: ± ± m n p q x y x y se debe cumplir: = = m n r p q ; r ∈ Z+ =Donde r ……………………………………………… FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N. Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás. De la división: ± ± n n x y x y Tenemos: . ( ) − − = n k k kt signo x y 1 . Donde: tk → término del lugar k x → 1er. término del divisor. y → 2do. término del divisor. n → número de términos de q(x) NOTA:  ……………………………………………………………… ……………………………  ……………………………………………………………… …………………………. EJERCICIOS 1. Si la siguiente división: + + − − n n x y x y 3 1 5 8 2 4 es un C.N., determinar el valor de “n”. A) 5 B) 4 C) 2 D) 6 E) N.A. 2. Hallar el valor de “m” si la expresión: − − m x y x y 4 80 es un C.N. A) 10 B) 30 C) 40 D) 11 E) 20 3. Encontrar la relación que deben cumplir m, n, p y q para que − − m n p q x a x a es un C.N. A) mn = pq B) mq = np C) mp = nq D) m/q = n/p E) N.A. 4. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?. x8 + x6 + x4 + x2 + 1 A) + + x x 10 2 1 1 B) − − x x 8 1 1 C) − − x x 10 2 1 1 D) + + x x 10 2 1 1 E) N.A. 5. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?. x80 + x78 + x70 + ..... + x4 + x2 + 1 A) − − x x 80 2 1 1 B) − − x x 40 1 1 C) + + x x 80 1 1 D) − − x x 82 2 1 1 E) N.A. 6. Calcular el número de términos del C.N. 4n 12 4n 3 n 8 n 9 x y x y + − − − − − A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 7. Calcular el t11 en el C.N. m 507 3 m x y x y − − A) x6 y390 B) x8 y380 C) x4 y280 D) x9 y280 E) N.A. 8. Hallar el término independiente al efectuar: ( )10 x 2 1 x 3 + + + A) 2 B) 1 C) –1 D) – 2 E) N.A. 9. Calcular el término idéntico de: 48 36 4 3 x y x y − − ; y ; 56 14 4 x y x y − − A) x40 y B) x40 y2 C) x40 y3 D) x20 y2 E) N.A. 10. Simplificar: 14 12 10 2 6 4 2 x x x ...... x 1 x x x 1 y + + + + + + + + = A) x8 + 1 B) x8 – 1 C) x6 + 1 D) x6 – 1 E) x10 + 1 11. Simplificar:
  10. 10. 52 78 76 74 2 38 36 34 2 x x x ........ x 1 x x x ........ x 1 B + + + + + + + + + + = A) x 40 B) x 40 C) x 20 – 1 D) x 20 + 1 E) N.A. 12. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del cociente: 32 )3( 3636 + −+ x xx para x = - 1 A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256 13. Calcular: 9 8 7 2 9 8 7 2 9 9 9 ... 9 9 1 9 9 9 ..... 9 9 1 − + − − + − + + + + + + A) 0, 8 B) 0, 1 C) 0,9 D)1 E) 9 14. Si: q x 8 x 2 − − es una división notable exacta, calcular el valor numérico de: 39 38 37 2 35 30 25 10 5 q q q ........ q q 1 q q q ..... q q 1 M − + − − + − − + − − + − = A) 58 B) 59 C) 60 D) 61 E) 62 15. Hallar “K” si el décimo término del desarrollo: 3k 15k 5 x y x y − − tiene G.A. = 185 A) 20 B) 40 C) 50 D) 10 E) N.A. TAREA 1. Para qué valor de “n” la división: (xn+1 - y3n-4 ) ÷ (x – y2 ) Origina un C.N. Rpta………….. 2. Cuántos términos posee el cociente notable originado por: a ax y 2 8 91+ −  + ÷   ÷ (x2 + y) Rpta………….. 3. Hallar el grado absoluto del décimo primer término en el cociente notable que se obtiene al dividir. n n n x y x y 3 2 5 1 2 5 + − − − − A) 25 B) 30 C) 40 D) 60 E) 66 4. En el cociente notable generado por la división: 31 57203520 −+ −+ + + mm mm yx yx , determinar el, valor de “m” e indicar el número de términos. A) 2 ; 22 B) 4 ; 23 C) 6 ; 24 D) 8 ; 25 E) 10 ; 26 5. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable. ....... + x195 a140 – x190 a147 + ... A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 40 FACTORIZACIÓN Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. Multiplicación P(x) = x2 + 3x + 2 ≡ (x + 1) (x + 2) Factorización FACTOR PRIMO Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez. Nota ………………………………………………………………………… ………………………………………… Ejemplos:  P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6 Son factores primos de P(x):  P(x) = (x) (x + 2)6 (x – 1)2 Son factores primos de P(x). CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS 1. Factor Común Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente. Ejemplos: 1. Factorizar: P(x,y) = 2x2 y + 3xy2 + xy 2. Factorizar: A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2) 2. AGRUPACIÓN Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común. Ejemplos: 1. Factorizar: x2 + x + xy + y – xz – z
  11. 11. 53 2. Factorizar: x2 + ax + x + xy + ay + y 3. ASPA SIMPLE Forma general de polinomio a factorizar: m, n ∈ N P(x,y) = Ax2n + Bxn ym + Cy2m P(x) = Ax2n + Bxn + C Ejemplos: 1. Factorizar: 2x2 + 7xy + 6y2 2. Factorizar: (x + y)2 – 2 (x + y) + 1 3. Factorizar: (x + y)2 – 2 (x + y) + 1 TEOREMA Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal que: P(x) = n p x x f g( ) ( ) . I) Números factores primos = 2 II) Números factores algebraicos = (n + 1)(p + 1)–1 Ejemplo: Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4) I. Números factores primos = II. Números factores algebraicos = 4. ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F Ejemplos: ………………………………………………………………… ………………………………………………… * 20x2 + 22xy + 6y2 – 33x – 17y + 7 …. … … …. … … ………………………………………………………………… ………………………………………………… 5. ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E. 1. Ejemplos: Factorizar …………………………………………………………… ………………………………………………… 6. Método De Los Divisores Binómicos. Con éste método se busca uno o más factores binomios primos Consideraciones: 1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x). 2. Los demás factores se encuentran al efectuar: ( ) 0xx xP − 3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar: ceros Posibles ( ) ( )xPincipal deCoef.Divisores xde PT. indep.Divisores x Pr0= Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6 EJERCICIOS 1. Un factor primo de : m3 – mn2 + m2 n – n3 + m2 – n2 A) m + n + 2 B) m+1 C) n-1 D) m+n E) m-n+1 2. Factoriza r : mn+p + mn np + nm mp + nm+p y da un factor primo : A) mn + pn B) mn + np C) mp + nm D) mp + nm E) mp + np 3. Factorizar: x3 + x2 + x + 1 A) (x2 + 1)(x - 1) B) (x2 + 1)(x + 1) C) (x2 + 1)(1 - x) D) (1 + x)(1-x2 ) E) N.A. 4. Factorizar: x2 – 4xy + 4y2
  12. 12. 54 A) (x-2y)2 B) (x+y)(x-y) C) x2 +y D) (x+2y)2 E) N.A. 5. Halla la suma de los coeficientes de uno de los F.P. de 4(2x +1) (x +1) (2x+3) (x+ 2) - 3 A) 15 B) 17 C) -3 D) 5 E) -2 6. Cuántos factores primos tiene la expresión : xy6 – 5x2 y5 – 4x3 y4 + 20x4 y3 A) 10 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4 < 7. Halla la suma de coeficientes de los F.P. de : (x2 + 7x - 3)2 - 2(x2 + 7x) – 29 A) 10 B) -10 C) 7 D) -7 E) 8 8. Indicar el factor primo que tiene el mayor término independiente: 6x2 – 7xy – 3y2 + 14x – 10y + 8 A) 2x + y + 4 B) 3x + y + 4 C) 2x – 3y + 4 D) 3x – y – 4 E) 2x – 3y + 8 9. Factorizar: 23xy + 17(x + y) + 6(2x2 + 1)+5y2 Dar la suma de coeficientes de un factor primo A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 10. Indicar un factor de: 4x(x + 2) - 6y (y - 1) – 5xy A)2x + 3x – 2 B) x – 3y + 2 C) x – 2y + 2 D)4x – 2y +– 1 E) 4x + 3y + 2 11. Determinar el número de factores primos del M.C.M. de los polinomios: P(x) = x5 – x3 + x2 – 1 Q(x) = x6 – 1 Rpta………….. 12. Determinar el grado del M.C.M. de los polinomios: A(x) = x2 – 15x + 36 B(x) = x2 – 9 C(x) = x3 + 6x2 + 63x + 108 Rpta………….. 13. Hallar la suma de los coeficientes del M.C.D, de los polinomios: P(x) = x3 + x2 + x + 1 Q(x) = x3 + 3x2 + 5x + 3 Rpta………….. 14. Si los polinomios P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n R(x) = 2mx3 + 2nx2 + px – q admiten como M.C.D. a: 2x2 + 2x + 1. Hallar un divisor de R(x) Rpta………….. 15. Sea 2 2 2 2 P(x;y) a b x y 2(ax by)= − + − + − señale la suma de los términos independientes de sus factores irreductibles. A) a B) b C) 2a D) 2b E) a+b TAREA 1. Un factor primo de : m3 – mn2 + m2 n – n3 + m2 – n2 A) m + n + 2 B) m+1 C) n-1 D) m+n E) m-n+1 2. Cuántos factores primos tiene la expresión : xy6 – 5x2 y5 – 4x3 y4 + 20x4 y3 A) 10 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4 3. Cuántos factores primos tiene : L = 8x6 + 7x3 - 1 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3 4. Cuántos factores primos hay en : x6 - y6 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. Cuántos F.P. tiene : (a2 - b2 ) (x2 + 1) + 2(a2 - b2 )x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 PRÁCTICA Nª 1 1. Hallar x si x2/ 1 81 3   = ÷   A) –2 B) –1/2 C) –1 D) –3 E) N.A. 2. Resolver: x x3 2 (4 ) 1− − = . Una de las raíces es: A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 E) N.A. 3. Hallar el valor de x si x x a a a 23 4 31 . − = A) 1 B) –1 C) 4/7 D) 7/4 E) N.A. 4. Sabiendo que: A = n n n n n factores x x x x1 1 1 1 ( 2) . . .− − − − + L14444244443 B = n n n n n factores x x x x2 2 2 2 ( 1) . . .+ + + + − L14444244443 Hallar A / B A) – 1/2 B) – 1 C) ½ D) 1 E) 2 5. Simplificar:
  13. 13. 55 E = c c cb b ba b b ab ab a a a a a a 1 2 . . . +− + − − A) aa B) a–1 C) aa–1 D) aa+1 E) –a 6. Simplificar: E= n n nnmn m m m x x x x x x 1 2 2 3 . − K A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 7. .Simplificar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 15 3 2 6 5 9 . 3 . 9 3 . 27 K = A) 3 B) 3–1 C) 3 –3 D) √3 E) N.A. 8. Simplificar: 125 5 5 5 5 5. 5. 5. 5. 5.255K 5 − = A) 3125 B) 625 C) 25 D) 5 E) N.A. 9. Si sabemos que: ba 2= ; ab 5= Hallar: a 1 b 1 b aK a b + + = + A) 57 B) 60 C) 32 D) 55 E) 50 10. Siendo x ≠ 0 simplificar la siguiente expresión: E = xx x x xx x x x x x x x − −        A) x B) –x C) x2 D) 1/x E) xx 11. Calcular la sumatoria de los coeficientes del desarrollo del siguiente polinomio: P(x–1) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m – x2 + 4 ; m ∈ Z Sabiendo que es cuádruplo de su término independiente. A) 512 B) 256 C) 128 D) 32 E) ½ 12. Dado el polinomio ordenado y completo: + + − + ++ + + + − K b a a cx ax bx x abcb a a a a a c5 32 2 26 1 Hallar el término independiente. A) 13 B) 12 C) 10 D) 14 E) 11 13. Si el polinomio es idénticamente nulo, hallar “m.n” P(x,y) = (m+n)xy2 + 2x2 y – 18xy2 + (n–m)x2 y A) 70 B) 79 C) 81 D) 90 E) 80 14. Calcular: ab ab b si el polinomio: − + − − − = + + + + + 2a a 2 a 15 (a 1) 7 2a 1 b 1 (x)P 5 x 3x 5x ..... nx Donde: n ≠ 0 ∧ b > 0 ; es completo y ordenado, además tiene 4aa ; términos. A) 2 B) 3 C) 4 D) 16 E) 5 15. En el polinomio: P(x + 1) = (2x + 1)n + (x + 2)n – 128(2x + 3), donde “n” es impar, la suma de coeficientes y el T.I. suman 1 ; luego el valor de “n” es: A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) N.A. 16. Si: a2 + b2 + c2 = 49. Calcular: C = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 – (a + b + c)2 A) 5 B) 6 C) 7 D) 36 E) 49 17. Si: a = 3 2 + 5; b = 2 – 5 2 ; c = 2 2 – 7 Hallar:M = ( )ca b bc ac ab 4 2 2 24 (2 ) + + A) 4 B) 3 C) 7 D) 12 E) 1 18. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b)–1 calcular: E = a b a b b a a b 2 2 + + + + A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A 19. Si: A + B = 8 ; A.B = 2 Hallar: A6 + B6 < A) 8 B) –8 C) –16 D) 16 E) N.A. 20. Si: (a + b + c + d)2 = 4 (a + b) (c + d) calcular: M= a b a c d a c d d b b c + − − + + + − − A) 0 B) 1 C) –1 D) 3 E) –3 PRÁCTICA Nª 2 1. Al efectuar: (9x9 + x2 + x + 1) ÷ (x2 – x + 1), se obtiene un residuo: x + 9. determinar la suma de coeficientes de cociente. A)1 B)2 C) 3 D)4 E)5 2. Al dividir P(x) ÷ (2x + 3) se obtiene como resto 7, un cociente cuya suma de coeficientes es 2. Hallar el resto de dividir P(x) entre (x – 1). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E)19 3. En el esquema de Ruffini: Calcular: E = (e + h + q – r) a + b + c + d + m + n + p A) – 12 B) 2 C) – 2 D) 12 E) 13 4. Si la división: 3 2 2 2 (a b)x (b c)x (b c)x a b x n + + − + + + − + a b c e h n q 1 2 c d g m p a 8 d f 7 10 r
  14. 14. 56 es exacta, calcular: 2 2 2 b a c+ A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 3/2 E) 4/3 5. Hallar: “m + n” si el t(25) del desarrollo de: 129m 86n 3m 2n x a x a − − es x270 a288 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) N.A. 6. Simplificar: ( ) + + + − = + + + + + n n n n x x x x b b b b b b x B 2 1 2 3 1 1 1 .... A) (a – x) – 2 B) (a – x)– 1 C) ax D) a/x E) (a – x)2 7. Si al efectuar: − − − − x x x x 4 4 4 4 1 se encontró que: T(100) . T(200) . T(250)= 2-47 Determinar “x” A) 7 B) 7 3 C) 7 2 D) 2 E) 3 8. Simplificar:  + + + +  ÷  ÷+ + + + =  + + + +  ÷  ÷+ + + + +  x x x x x x M x x x x x x x 44 33 11 4 3 50 45 5 10 9 8 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 A)2 B)3 C)1 D)4 E)5 9. Calcular el resto de: pa pb 1 pc 2 pk p 1 p 1 p 2 p 3 x x x .......... x x x x ............ x 1 + + + − − − − + + + + + + + + + A) 1 B) X+1 C) p 2 x 1− + D) 0 E) NO SE 10. Si 2 2 2 2 2 P(x;y) a x 2abx b y b= + − + indique la suma de sus factores primos. A) 2by B) 2ax+bC) 2(ax+b) D) 2(bx+a) E) ax+b 11. Si 2F(x) x 2x 1= + − es factor del polinomio 4 3 3P(x) 4x 9x bx 3x a,= + + + − halle “ab” A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 12. Factorizar: 2 2 2 2b c a d 2ad 2bc+ − − + + dando uno de los factores A) b–c–a+d B) b–c-a C) b+c-a D) b+c–a –d E) b+c+a+d

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