1. GEOMETRÍA PLANA
INTRODUCCIÓN
CONCEPTOS PRIMITIVOS DE LA GEOMETRÍA:
(PUNTO, LÍNEA Y PLANO)
PUNTOS
• Tendremos conjuntos de puntos que llamaremos; Espacio, línea,
plano, que caracterizaremos mediante axiomas llamados de
incidencia.
• Punto, línea y plano son conceptos primitivos y por lo tanto no se
definen.
Tomaremos primero un conjunto que contenga a todos los
conjuntos, es decir un universo relativo que llamaremos:
ESPACIO
• Lo designaremos por la letra E. Simbolizaremos por letras
mayúsculas, A, B, C, D,..... a los elementos del espacio que serán
llamados puntos.
El segundo ente primitivo lo llamamos:
PLANO
• Es un subconjunto del espacio E que simbolizaremos por la letra
P. Al conjunto de todas los planos lo simbolizaremos con Π
Π = { P1, P2, P3,.....} = { líneas }
El tercer concepto primitivo lo llamaremos:
LÍNEA RECTA
• Subconjunto del espacio E, lo simbolizaremos con la letra L. Al
conjunto de todas las líneas lo simbolizaremos con Λ
Λ = { L1, L2, L3,.....} = { líneas }
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2. • Podemos dar una idea, mediante un diagrama de lo que
aproximadamente son líneas rectas y planos:
L
• Línea recta
I I
A B Una figura geométrica de
una línea recta, se extiende
indefinidamente en ambas
Línea recta: L direcciones.
Si un punto A ∈ L, podemos decir que A esta en L o que L pasa por
A.
Definición:
Dos o más puntos son colineales si están en una misma recta.
Postulado:
Existen a lo menos dos puntos en una línea.
Postulado que se puede enunciar:
1. Por dos puntos cualesquiera dados, sólo puede pasar una línea
que los contenga.
2. Por dos puntos dados pasa exactamente una línea.
Este postulado o axioma caracteriza la línea y se puede enunciar
formalmente como:
∀ A,B en E, A ≠ B ⇒ ∃ : L tal que A,B en L
suu
r
que se denota por : L = AB
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3. Dos subconjuntos importantes de una línea recta:
• Trazo
A Sea L una línea y A, B
B
son dos puntos de L,
I I L
A ≠ B, entonces A y B
determinan lo que se
llama trazo o segmento.
I I AB Trazo o segmento es la unión
A B de los dos puntos A y B y el
conjunto de todos los puntos
de L que quedan entre A y B.
Trazo: AB Se denota por AB
La longitud del trazo AB se
denota por el número real
AB.
I I I • Rayo
C A B uuu
r
Un rayo, AB , es un
uuu
r
I I AB subconjunto de una recta
que contiene un punto A
A B dado y todos los puntos
uuur que están en el mismo
AC I I
lado de A, como B.
C A
El rayo se denota por un
uuu
r uuur punto terminal y otros
Rayo : AB y AC
puntos que pertenece al
rayo, colocando el punto
terminal primero.
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4. • Plano
Una figura geométrica de un
plano que se extiende
indefinidamente en todas las
direcciones.
P
Como por ejemplo puede ser
Plano: P el piso de un cuarto que
forma parte del plano, pero
no es el plano, sino una
parte muy pequeña de él.
Si una línea L ⊆ P, diremos que L esta en P
Si un punto A ∈ P, podemos decir que A esta en P
Definición :
Puntos coplanares son los que se encuentran en un mismo plano.
AXIOMAS O POSTULADOS
1. Existen a lo menos cuatro puntos no coplanares en el espacio E
2. Existen a lo menos tres puntos no colineales en un plano.
3. Dados dos puntos del espacio E, existe una única línea que los
contiene.
4. Dado tres puntos no colineales, existe un único plano que los
contiene.
5. Dados dos puntos en un plano, la línea que los contiene esta
completamente contenido en ese plano.
6. Si dos planos distintos se interceptan, su intersección es una
línea.
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5. ÁNGULO
Un ángulo es la unión de dos rayos que no están en la misma recta y tienen
el mismo extremo. Un ángulo esta formado por los puntos que se hallan en
los rayos, y porrningún otro punto.
uuu uuur
Si los rayos AB y AC forman un ángulo entonces estos rayos se llaman
lados del ángulo y el punto común A, vértice del ángulo.
El símbolo para el ángulo es ∠ o .
Un ángulo se puede designar por medio de: la letra del vértice ( A ), una
letra griega colocada entre los dos rayos y cerca del vértice ( α ),tres
letras mayúsculas, colocando la letra del vértice entre las otras dos (
BAC).
Ejemplos de ángulos
B
B B
α
A
C A
A C C
Medida de un ángulo
Los ángulos se miden
por medio de la cantidad
B de rotación.
B m( BAC) = 90O La notación para la
m( BAC)
medida de un ángulo
A BAC es m( BAC ) .
C A C Veremos tres sistemas
de medición de ángulos
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6. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Sistema sexagesimal
La unidad es el grado (sexagesimal ) que es el ángulo del centro de
1
una circunferencia ( ) que subtiende un arco igual a de la .
360
Como submúltiplos están los minutos y los segundos
(sexagesimal).
Es decir se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada
una de estas partes constituyen un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que
corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60")
correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.
( En las calculadoras aparece como Deg)
Sistema circular
La unidad es el radian, que es el ángulo del centro de una que
subtiende un arco de longitud igual al radio de la . Se usan
múltiplos y submúltiplos decimales del radian.
Long. arco de circunferencia
Ángulo en radianes =
Radio de la circunferencia
El perímetro de una circunferencia de radio r es de 2 π r entonces
el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es
2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en
grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia:
o
180
1 radian = ≈ 57,29º
π
En las aplicaciones físicas es mucho mas práctico y directo que
trabajar con grados.
( En las calculadoras aparece como Rad)
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7. Conversión entre grados y radianes:
Para cambiar de radianes a grados, multiplique el número de
o
180
radianes por
π
π
Para cambiar de grados a radianes, multiplique por
180o
Sistema centesimal
La unidad es el grado centesimal, que es el ángulo del centro de
1
una circunferencia y que subtiende un arco igual a de la .
400
Como submúltiplos están los minutos y segundos centesimales :
, , ,,
1 g = 100 , 1 = 100
( En las calculadoras aparece como Grad)
Clasificación de los ángulos.
Según la medida de sus ángulos.
Es un ángulo cuya
medida está entre 0o
y 90o.
B
Ángulo agudo m( BAC)
0 < m( BAC) < 90
o o
A
C
Es un ángulo que
mide 90o.
El símbolo cuadrado B
en el vértice indica
m ( BAC) =90O
Ángulo recto que es un ángulo
recto.
A C
m( BAC) = 90o
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8. Es un ángulo que
mide más de 90o pero
menos de 180o
Ángulo obtuso B
90o < m( BAC) < 180o
A C
Un ángulo cóncavo es el que mide menos de 180º
Por lo tanto el ángulo agudo, recto y obtuso son ángulos cóncavos
Es el que mide 180o
Los lados de un
ángulo extendido I I I
Ángulo extendido están en la misma B A
línea recta, pero no
se debe confundir con
una línea recta.
Es el que mide más
de180o y menos de
Ángulo convexo 360o C A
B
180o < m( ACB) < 360o
I I
Ángulo completo Es el que mide 360o B A
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9. Tipos de Pares de ángulos
Son dos ángulos que
tienen el mismo
vértice y un lado en
común.
En la figura :vértice D
Ángulos Adyacentes A, ry el lado común es
uuu B
AB
A
C
m ( BAC ) + m ( DAB )
= m ( DAC )
Dos ángulos son B E
opuestos por el vértice
si sus lados forman
pares de rayos A
Ángulos opuestos por C D
opuestos y sus
el vértice
medidas son iguales.
m ( BAC ) = m ( EAD )
m ( BAE ) = m ( CAD )
Son dos ángulos cuyas Complementarios adyacentes
medidas suman 90o
β
α
m ( α ) + m ( β ) = 90 o
Ángulos Complementarios no adyacentes
complementarios
A cualquiera de los dos
ángulos
complementarios se le β
denomina como el α
complemento del otro.
Son dos ángulos cuyas
medidas suman 180o
m ( α ) + m ( β ) = 180o
Ángulos
β α
suplementarios A cualquiera de los dos
ángulos
suplementarios se le
denomina como el
suplemento del otro.
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10. Es un par de ángulos
con un lado común tal
que la unión de los
otros dos lados es una
Par lineal de ángulos recta .
Postulado: Si dos β α
ángulos forman un par
lineal son
suplementarios.
m ( α ) + m ( β ) = 180o
Líneas Perpendiculares, paralelas y transversal
uuu
r uuur
Si AB y AC forman un ángulo recto,
suu
r suur C
entonces las líneas AB y AC se dice
que son suu
perpendiculares y se
r suu r
A B
escribe AB ⊥ AC
Dos rectas son paralelas si están en A B
el r suu plano y no se intersecan
suumismo
r
AB CD C D
E
Una transversal a dos o más líneas
es aquella que las corta. A B
suu
r
En suu figura EF es una transversal
lar suu r
C D
F
de AB y CD
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11. Rectas cortadas por una secante.
Ángulos que se forman.
E B
2 1
A 3 4
6 5
C 7 8 D
F
Ángulos internos Son los ángulos 3, 4, 5, 6
Ángulos externos Son los ángulos 1, 2, 7, 8
Los ángulos alternos interiores son dos ángulos
interiores con diferentes vértices en lados opuestos
de la transversal
Los ángulos alternos exteriores son dos ángulos
Ángulos alternos interiores con diferentes vértices en lados opuestos
de la transversal
Alternos internos: 4 y 6 , 3 y 5
Alternos internos: 1 y 7 , 2 y 8
Los ángulos correspondientes están en el
mismo lado de la transversal. Uno de los
Ángulos ángulos es un ángulo exterior, el otro es un
correspondientes ángulo interior.
3 y 7, 1y 5,
4 y 8, 2 y 6
Son dos ángulos internos, o dos externos, situados en
un mismo semiplano respecto a la secante.
Ángulos conjugados Conjugados internos: 3 y 6 , 4 y 5
Conjugados internos: 1 y 8 , 2 y 7
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12. Rectas paralelas cortadas por una secante.
Ángulos que se forman.
E
2 1
A 3 4 B
6 5
C 7 8 D
F
Los ángulos alternos entre paralelas son iguales
Ángulos alternos alternos internos: m 4 = m 6 , m 3 = m 5
alternos externos: m 1 = m 7 , m 2 = m 8
Los ángulos correspondientes entre paralelas
Ángulos son iguales.
correspondientes m 3 = m 7 ,m 1 =m 5 ,
m 4 = m 8 ,m 2 =m 6
Los ángulos conjugados entre paralelas son
suplementarios.
Conjugados internos: m 3 + m 6 = 180o ,
Ángulos conjugados m 4 + m 5 = 180o
Conjugados internos: m 1 + m 8 = 180o
m 2 + m 7 = 180o
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13. POLÍGONOS
Se denomina poligonal a una línea
quebrada.
Una poligonal puede ser:
1. Convexa toda la poligonal
pertenece al mismo semi
plano
2. Cóncava no toda la poligonal
pertenece al mismo semi
plano
Se denomina polígono a la porción
del plano limitado por una línea
poligonal. P
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14. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
POR LA MANERA QUE ESTAN FORMADOS
Polígonos convexos: están
formados por una poligonal
convexa cerrada.
Todos los ángulos interiores
miden menos de 180o
Polígonos cóncavos: están
formados por una poligonal
cóncava cerrada.
Tienen por lo menos un ángulo
interior mayor que 180o
Polígonos irregulares: son los
que tienen sus lados y sus
ángulos interiores desiguales.
Polígonos regulares: son los
que tienen sus lados y sus
ángulos interiores iguales.
Polígonos inscrito en una
circunferencia es el que tiene
todos sus vértices sobre ella.
Polígonos circunscrito en una
circunferencia es el que tiene
todos sus lados tangente a la
circunferencia.
En todo polígono regular se puede inscribir o circunscribir una
circunferencia.
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15. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
NÚMERO DE EJEMPLO DE
LADOS
NOMBRE
FIGURA
3 • Triángulo
4 • Cuadrilátero
5 • Pentágono
• Hexágono o
6
Exágono
• Heptágono o
7
Eptágono
8 • Octágono
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16. Complete la tabla con las figuras que faltan y concluya
• Nonágono o
9
Eneágono
10 • Decágono
11 • Endecágono
12 • Dodecágono
15 • Pentadecágono
20 • Icoságono
n • ------------?
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17. ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR DE N LADOS
Ángulo central: es el ángulo que
se forma al dibujar dos radios α
hacia dos vértices sucesivos.
360o
m( α ) =
n
Ángulo interno
(n − 2 )180o
α
m( α) =
n
Ángulo externo
360o
m( α ) =
n α
PARA CUALQUIER POLÍGONO
Número de diagonales Suma de ángulos internos
El número de diagonales de La suma de los ángulos internos
cualquier polígono está dado está dado por:
por:
n(n − 3 ) (n − 2)180o
2
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18. TRIÁNGULOS
C
• Triángulo sean A, B y C γ
tres puntos no colineales
entonces la unión de los
b a
segmentos AB, BC y AC se
denomina triángulo y se
α β
denota por ∆ ABC.
A c B
Elementos del triángulo
- Vértices: Son los puntos A, B y C.
- Lados : Son los segmentos AB, BC y AC
- Ángulos: α, β y γ
Elementos Secundarios del Triángulo
• Altura de un triángulo : es C
un trazo perpendicular desde
un vértice del triángulo a la hc
línea que contiene al lado b a
opuesto. O •
En un triángulo hay tres
alturas ha , hb y hc. ha hb
El punto O donde concurren
las tres alturas se denomina A c B
Ortocentro.
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19. • Transversal de gravedad
de un triángulo : es un trazo
cuyos extremos son en un C
vértice del triángulo y el punto
medio del lado opuesto.
Las transversales las tc
designaremos t a , t b y t c.
T
El punto T donde concurren •
las tres transversales se
ta tb
denomina Centro de
Gravedad del triángulo. A B
• Bisectriz : es un trazo que
dividen cada ángulo interno C
por la mitad.
Las bisectrices las
bc
designaremos b a , b b y b c.
El punto I donde concurren
las tres bisectrices se I
denomina Incentro y es el
centro de una circunferencia bb
ba
inscrita.
A B
• Mediatriz de un trazo , es la
línea perpendicular al trazo en
su punto medio. En todo
triangulo podemos trazar tres sb
sa
simetrales o mediatrices, que B
se intercepta en un solo punto
(B), se denomina
circuncentro
sc
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20. • Medianas: un triángulo tiene
tres medianas, que son los
segmentos que se obtienen al
unir los puntos medios de dos
lados de un triángulo.
Cada mediana de un triángulo
es paralela al lado opuesto de
ella.
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21. TRIGONOMETRIA
Introducción
En trigonometría plana se estudian propiedades y algunas aplicaciones de un
cierto tipo de funciones de en llamadas las Funciones Trigonométricas,
que son fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.
Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo están basadas en el
Teorema de Thales aplicado a la figura.
,,
B
,
B
B
α
A , ,,
C C C
Que establece:
, , ,, ,, , ,,
BC BC B C AB AB AB
= ,
= ,,
= − − − −− = k1 = , ,
= ,, ,,
= − − − − − = k4
AB AB AB BC BC B C
, ,, , ,,
AC AC AC AB AB AB
= ,
= ,
= − − − − − = k2 = ,
= ,,
= − − − − − = k5
AB AB AB AC AC AC
, , ,, ,, , ,,
BC BC B C AC AC AC
= ,
= ,,
= − − − − − = k3 = , ,
= ,, ,,
= − − − − − = k6
AC AC AC BC BC B C
Obteniéndose de este modo seis razones distintas: k1,k2,.......k6.
Los valores de estas razones varían solo si varia el.
Son funciones del α llamadas “Las Funciones Trigonométricas del α “.
Para encontrar los seis valores de las razones para un mismo α es necesario
considerar únicamente uno de los triángulos rectángulos de la figura anterior.
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22. Las seis funciones trigonométricas.
Definición 1: En el ∆ ABC de la figura:
B
α
A C
Se definen:
longitud cateto opuesto a α BC
La Función Seno del α: sen α = =
longitud de la hipotenusa AB
longitud cateto adyacente a α AC
La Función Coseno del α: cos α = =
longitud de la hipotenusa AB
longitud cateto opuesto a α BC
La Función Tangente del α: tan α = =
longitud cateto adyacente α AC
longitud cateto adyacente a α AC
La Función cotangente del α : cot α = =
longitud cateo opuesto a α BC
longitud de la hipotenusa AB
La Función Secante del α: sec α = =
longitud cateto adyacente a α AC
longitud de la hipotenusa AB
La Función Cosecante del α: csc α = =
longitud cateto opuesto a α BC
Las funciones trigonométricas de un α son cuocientes (razones) de trazos:
números reales asociados al α . Cuando α cambia, cambian todos los
valores de esas razones.
Dado que un cateto es siempre menor que la hipotenusa resulta:
sen α <1 cos α <1
sec α >1 csc α >1
La tg α y la cot α pueden tomar cualquier valor positivo ( α es agudo)
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23. Observaciones:
Con una regla y un transportador es posible calcular, haciendo un dibujo,
aproximadamente las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.
Para los ángulos de 30o, 45o y 60o las funciones trigonométricas de esos
ángulos pueden ser estudiadas geométricamente dadas las características
geométricas de los ∆ en que aparecen.
D C
C
O
30 2
2
3 1
O
60
A 1 B
A B
1
α sen α cos α tan α cot α sec α csc α
1 3 1
30O
2 2 3
1 1
45O 1
2 2
3 1
60O 3
2 2
Complete la tabla.
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24. Relaciones entre las funciones trigonométricas.
1.- De las definiciones dadas se desprende que para un mismo α
1 1 1 sen α cos α
cot α = sec α = csc α = tg α = cot α =
tg α cos α sen α cos α sen α
sen2α + cos2α = 1 tg2α + 1 = sec2 α cot2α + 1 = csc 2α
Observación: para anotar las potencias de las funciones trigonométricas, se
usa la notación senn α en lugar de (sen α )n. Lo mismo ocurre para las 5
restantes funciones.
2.- En las parejas:
sen α , cos α
tg α , cot α
sec α , csc α
cada una de ellas se llama la cofunción de la otra y de la figura
B
β = 90o - α
α
A C
Se obtiene la función de un ángulo es igual a la cofunción de su complemento.
sen α = cos (90o - α )
cos α = sen (90o - α )
tan α = cot (90o - α )
cot α = tg (90o - α )
sec α = csc (90o - α )
csc α = sec (90o - α )
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25. Identidades trigonométricas
Son igualdades que contienen diversas combinaciones de funciones trigonométricas y
que mediante reemplazos adecuados se llega a hacer ver que ambos miembros son
idénticos.
sec α tg α
Ejemplo 1: Demostrar la identidad − =1
cos α cot α
Cambiando todas las funciones a expresiones que solo contienen senos y
cosenos obtenemos:
1 sen α
cos α cos α 1 sen2 α 1− sen2 α 1− sen2 α
− = − = = =1
cos α cos α cos2 α cos2 α cos2 α cos2 α
sen α
tg α + cos α
Ejemplo 2: Demostrar la identidad = sec α + cot α
sen α
Solución:
sen α
tg α cos α cos α cos α 1
+ = + = + cot α = sec α + cot α
sen α sen α sen α sen α cos α
Las funciones trigonométricas inversas.
Definición: La función inversa de sen α = a es α = arc sen (a)
α es el arco seno de a
De manera análoga:
(cos α = a) ⇔ ( α =arccos a)
(tan α = a) ⇔ ( α =arctan a)
(cot α = a) ⇔ ( α =arccot a)
(sec α = a) ⇔ ( α =arcsec a)
(csc α = a) ⇔ ( α =arccsc a)
También, en lugar de α = arc sen a se anota α = sen-1 a y del mismo
modo para las restantes funciones.
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26. Generalización de las funciones trigonométricas
Se trata de generalizar las funciones trigonométricas de modo que sean
aplicables a ángulos de cualquier magnitud.
Para ello se necesita previamente, generalizar el concepto de ángulo.
Si en el ángulo AOB se mantiene fijo el lado OB y se hace girar OA en torno
de O, de acuerdo a los desplazamientos de OA obtendremos ángulos agudos,
rectos, obtusos,...
A
O α B
Pero este concepto de ángulo se generaliza de acuerdo a las siguientes
convenciones:
Todos los ángulos se medirán a partir del lado fijo OB.
Giro positivo de OA. Giro contrario al movimiento de los punteros de un reloj.
Da origen a ángulos Positivos.
Giro negativo de OA giro siguiendo el movimiento de los punteros de un reloj.
Da origen a ángulos negativos.
O α B
α< 0 A
Se permite que OA gire mas de una o más vueltas completas en uno u otro
sentido, que generara ángulos de la forma : α = k ⋅ 360o ± β con k ∈ . Cada
valor de k representa entonces una vuelta completa en uno u otro sentido de
acuerdo a su signo.
De lo dicho se desprende que existen ángulos de cualquier magnitud:
positivos, negativos y cero.
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27. GENERALIZACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
La circunferencia trigonométrica permite generalizar las funciones
trigonométricas a ángulos de cualquier magnitud manteniéndose las
definiciones dadas para las funciones de ángulos agudos y las relaciones que
ligan esas funciones.
Para ello, se considera en el plano cartesiano una de radio r = 1 centrada
en el origen: la circunferencia trigonométrica.
y
1
P
•
α
x
-1 O 1
-1
Si el punto P se mueve sobre la , el radio OP forma un ángulo α con el semi
eje positivo OX.
OX : lado fijo del α
OX : lado fijo del α
Los ángulos determinados por los ejes coordenados 0o, 90o, 180o, 270o, 360o
se llaman ángulos limites.
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28. I) FUNCION SENO
La función seno del α se define como la ordenada del punto P:
sen α = QP
y
1
P
•
α
x
-1 O Q 1
-1
El valor de la función sen α corresponde numéricamente a la longitud de
QP donde quiera que se encuentre P (sobre la trigonométrica).
1. Es una función acotada ∀ α : -1 ≤ sen α ≤ 1 o sen α ≤ 1
2. Valores de los ángulos limites.
sen 0o = 1
sen 90o = 0
sen 180o = -1
sen 270o = 0
sen 360o = 1
3. Los signos de la ordenada de P dan los signos de la función sen α de
acuerdo al cuadrante en que queda P.
+ +
- -
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29. 4. Es una función periódica (sus valores se van repitiendo). Cada vez
que se completa una o más vueltas en uno u otro sentido: periodo 360o
o 2 π rad.
sen ( α + k 360o ) = sen α o sen ( α + k 360o ) = sen α
k∈ , k representa una vuelta completa.
5. Consideraciones geometricas llevan a: sen (- α ) = - sen α propiedad
que se expresa diciendo que la función sen α es una función impar.
6. Su representación gráfica es:
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30. II)LA FUNCION COSENO
La función coseno del α se define como la abscisa del punto P:
cos α = OQ
y
P
α
x
O Q
El valor de la función cos α corresponde numéricamente a la longitud de
OQ donde quiera que se encuentre P (sobre la trigonometrica).
1. Es una función acotada ∀ α : -1 ≤ cos α ≤ 1 o cos α ≤ 1
2. Valores de los ángulos limites.
cos 0o = 1
cos 90o = 0
cos 180o = -1
cos 270o = 0
cos 360o = 1
3. Los signos de la abscisa de P dan los signos de la función cos α de
acuerdo al cuadrante en que queda P.
- +
- +
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31. 4. Es una función periódica (sus valores se van repitiendo). Cada vez
que se completa una o más vueltas en uno u otro sentido: periodo 360o
o 2 π rad.
cos ( α + k 360o ) = cos α o cos ( α + k 360o ) = cos α k∈
k representa una vuelta completa.
5. Consideraciones geométricas llevan a: cos (- α ) = cos α propiedad que
se expresa diciendo que la función cos α es una función par.
6. Su representación gráfica es:
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32. III) LA FUNCION TANGENTE
Para definir la función tg α es necesario trazar una tangente a la
trigonometrica en el punto (1,0) y prolongar OP en uno u otro sentido
hasta que la corte en M.
La tangente del α se define como la ordenada del punto M.
tg α = QM
y
M
P
α x
O Q
El valor de la función tg α corresponde numéricamente a la longitud de
MP.
1. No es una función acotada tg α puede tomar cualquier valor en
2. Valores de los ángulos limites.
tan 0o = 0
tan 90o = ∃
/
tan 180o = 0
tan 270o = ∃
/
tan 360o = 0
3. Los signos de la tan α de acuerdo al cuadrante
- +
+ -
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33. 4. Función periódica periodo 180o o π rad.
tan ( α + k 180o ) = tan α o tan ( α + k π ) = tan α k∈
5. Función impar tan (- α ) = - tan α
6. Su representación gráfica es:
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34. Funciones de ángulos compuestos.
Teorema: ∀ α
sen( α + β ) = sen α cos β + sen β cos α
sen( α − β ) = sen α cos β - sen β cos α
cos( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β
cos( α − β ) = cos α cos β +sen α sen β
tg α + tg β
tg ( α + β ) =
1 − tg α tg β
tg α − tg β
tg ( α − β ) =
1 + tg α tg β
cot α cot β − 1
cot ( α + β ) =
cot β + cot α
cot α cot β + 1
cot ( α − β ) =
cot β − cot α
Funciones de múltiplos y submúltiplos de un ángulo
Teorema: ∀ α :
sen 2 α = 2 sen α cos α
cos 2 α = cos2 α - sen2 α
= 2cos2 α - 1
= 1 – 2 sen2 α
2 tg α
tg 2 α =
1 − tg2 α
sen 3 α = 3 sen α - 4 sen 3 α
cos 3 α = 4 cos3 α - 3 cos α
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35. Teorema:
α α
sen α = 2 sen cos
2 2
α α
cos α = cos2 - sen2
2 2
α
= 2 cos2 -1
2
α
= 1 – 2 sen2
2
Teorema:
1 − cos 2α
sen α = ±
2
1 + cos 2α
cos α = ±
2
1 − cos 2α
tg α =±
1 + cos 2α
Suma de funciones homónimas
Teorema: ∀ α, β
α +β α −β
sen α + sen β = 2 sen cos
2 2
α +β α −β
sen α − sen β = 2 cos sen
2 2
α +β α −β
cos α + cos β = 2 cos cos
2 2
α +β α −β
cos α − cos β = − 2 sen sen
2 2
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36. Ecuaciones trigonometricas
Son ecuaciones (o sistemas de ecuaciones) donde la variable o incógnita figura
en el argumento de las funciones trigonometricas. Resolverla es encontrar los
conjuntos de ángulos que la satisfacen.
Conviene representar aproximadamente la situación en la circunferencia
trigonometrica para encontrar esos conjuntos.
y
Ejemplo 1:
1
Resolver sen x =
2 o o
150 30
o
R) Solución principal x = 30 .
x
 x = 30o + k 360o

La solución general : 
o o
 x = 150 + k 360

y
Ejemplo 2:
Resolver tan x = 2
R) Solución principal 63o 63o
x
La solución general : x = 63 o
+ k 180 o
(k ∈ )
Ejemplo 3:
Resolver : sen ( 2 x ) tg ( x ) = 1
R)
2 sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) = 1
1
sen ( x ) cos ( x ) tg ( x ) =
2
1
sen2 ( x ) =
2
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37. 1
sen ( x ) = ±
2
arcsen ( 0,5 ) = 45º
x1 = 45º + 360º k (k∈ )
x2 = 135º + 360º k (k∈ )
 1 
arcsen  –  = – 45º
 2 
 
x3 = 225º + 360º k (k∈ )
x4 = 315º + 360º k (k∈ )
Solución general: x = 45º + 90º k ( k ∈ )
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS C
Teorema de los senos
γ
a b c
= = = 2r
sen α sen β sen γ
α β
A B
r
Teorema del coseno (Teorema general de Pitágoras)
C
En todo triangulo
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
γ
b a
b = a + c – 2ac cos β
2 2 2
c2= a2 + b2 – 2ab cos γ α β
A B
c
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38. INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA PLANA
1-. INTRODUCCION.
La Geometría Analítica tiene por objeto el estudio de las relaciones que
existen entre las curvas y las ecuaciones que las representan, estableciendo
las correspondencias que existen entre las propiedades geométricas de esas
curvas y las características de sus ecuaciones.
2-. GENERALIDADES.
Las representaciones gráficas, características de las curvas, relaciones entre
puntos, puntos y curvas, rectas y puntos,......se estudiarán en el Plano
Cartesiano, cuyos Ejes Coordenados serán perpendiculares: Sistema
Ortogonal.
Este sistema Cartesiano Ortogonal, esta formado por dos rectas
perpendiculares que se cortan. El punto en que se cortan : Origen . La recta
horizontal es la recta numérica orientada de izquierda a derecha. La recta
vertical es la recta numérica orientada de abajo hacia arriba. Ambas rectas
se cortan en el punto correspondiente al 0. Se pueden usar escalas
diferentes para ambos ejes.
El eje horizontal: Eje de las Abscisas, Eje de las x o Eje OX.
El eje vertical: Eje de las Ordenadas, Eje de las y o Eje OY.
Un punto queda caracterizado o determinado por sus coordenadas. Si A
(xA,yA), la abscisa de A es xA y su ordenada es yA, existiendo una
correspondencia biunívoca entre par ordenado de números reales y punto
del plano cartesiano.
y
yA •A
x
xA
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39. Los ejes OX y OY dividen al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes
numerados como se indica en la figura.
y
II I
x
O
III IV
REPRESENTACION GRAFICA EN GENERAL
Utilizaremos el plano cartesiano para representar: puntos, relaciones y
funciones. Estas últimas las denotaremos y = f (x) o f (x,y) = 0.
Un punto P (xp, yp) pertenece o está sobre la curva de ecuación y = f (x) si y
sólo si las coordenadas del punto P satisfacen ( o verifican ) la ecuación
y = f (x)
Ej.- El punto P (0,1) pertenece a la curva y = x2 + 1 ya que 1 = 02 + 1. En
cambio el punto (1,1) no está sobre la curva.
Para representarlas en forma aproximada, seguiremos las normas:
1. Determinar el dominio (Regla del Máximo Dominio ) y el recorrido cuando
sea posible.
2. Determinar los puntos en que la curva corta a los ejes coordenados:
Con x = 0 : las ordenadas de los puntos en
que la curva y = f (x) corta al eje OY.
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40. Con y = 0 : las abscisas de los puntos en que
la curva y = f (x) corta al eje OX.
3. Determinar si la curva tiene simetrías respecto de los ejes coordenados o
del origen :
1) La curva y = f (x) tiene Simetría Axial
respecto del eje:
a) OY, si y sólo si al cambiar en la ecuación
de la curva x por - x, ésta ecuación no
cambia
b) OX, si y sólo si al cambiar en la ecuación
de la curva y por -y, ésta ecuación no
cambia
2) La curva y = f (x) tiene Simetría Central
respecto del origen O, si al cambiar x por
-x , e y por -y en la ecuación, ésta no
cambia.
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41. 4. De acuerdo al dominio y simetrías ( si las hay) construir una tabla de
valores (conjunto de pares ordenados pertenecientes a la relación) para
comenzar a bosquejar la curva. De acuerdo a ésta tabla se escogen las
escalas para los ejes coordenados.
5. Se representan gráficamente los puntos, agregando nuevas parejas a la
tabla de valores si es necesario. Se unen los puntos encontrados
(interpolan) con una curva "suave".
Intersección de dos curvas:
Los puntos de intersección de dos curvas de ecuaciones y = f (x) , y = g (x) se
encuentran resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones.
 y = f(x)

 y = g( x )
Cada solución del sistema da las coordenadas de cada punto de intersección.
Si el sistema no tiene solución : las curvas no se cortan.
3-. RELACIONES ENTRE PUNTOS
Distancia entre dos puntos
Las distancias en geometría analítica se consideran siempre mayores o iguales
a 0, pero nunca negativas.
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42. Teorema.- La distancia entre los puntos A(xA,yA), B(xB,yB) es:
y
( x A − xB ) + ( y A − yB )
2 2
d=
B
yB
d
A
yA
x
O xA xB
Si el segmento que une los puntos es paralelo (o coincidente)
con uno de los ejes coordenados, su distancia puede calcularse como:
d = Abscisa Mayor - Abscisa Menor, si es paralelo a OX.
d = Ordenada Mayor - Ordenada Menor , si es paralelo a OY.
Punto de división
Punto de división : es el que divide a un segmento en una relación dada.
Sea P(x,y) un tercer punto que divida al segmento en la relación
y
P1 P
=r
P P2 P2
y2
P
y
P1
y1
x
O x1 x x2
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43. Como P1P y PP2 son del mismo sentido la relación es positiva.
En caso contrario la relación es negativa.
Teniendo en cuenta los triángulos semejantes
x − x1 y − y1
r= r=
x2 − x y2 − y
despejando x despejando y
r ⋅ ( x 2 − x ) = x − x1 r ⋅ ( y 2 − y ) = y − y1
r ⋅ x 2 − r ⋅ x = x − x1 r ⋅ y 2 − r ⋅ y = y − y1
r ⋅ x 2 + x1 = r ⋅ x + x r ⋅ y 2 + y1 = r ⋅ y + y
r ⋅ x 2 + x1 = x ⋅ ( r + 1) r ⋅ y 2 + y1 = y ⋅ ( r + 1)
x1 + r ⋅ x 2 y1 + r ⋅ y 2
x= y=
1+ r 1+ r
Si P(x,y) es el punto medio del segmento P1 P2, r = 1, entonces :
son las coordenadas del punto medio
x1 + x 2 y1 + y 2
x= y=
2 2
Area de un triángulo.
Las áreas en geometria analitica son siempre mayores o iguales a 0.
Teorema.- El área de triángulo de vértices P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3) es
igual al valor absoluto de:
x1 y1 1
1
⋅ x2 y2 1
2
x3 y3 1
observaciones -.
Para calcular él área de un polígono, se descompone en triángulos parciales
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44. Tres puntos están alineados o en línea recta ( colineales sí el triángulo que
x1 y1 1
x2 y2 1 =0
x3 y3 1
ellos forman tiene área 0, sus coordenadas deben cumplir:
4-. LA LÍNEA RECTA.
a) Ecuación General de una Línea Recta.
Teorema-. Toda ecuación de las formas:
a x + b y + c = 0 ; a,b ∈ − {0}
x= k o {( x,y ) / x = k ∀ y}
y= k o {( x,y ) / y = k ∀ x}
2
Tiene por representación grafica en a una línea recta, y reciprocamente.
En el primer caso: la ecuación representa a una recta oblícua respecto de
los ejes coordenados.
En el segundo caso : una recta paralela al eje OY.
En el tercer caso : una recta paralela al eje OX.
y y y
x x x
O O O
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45. b) Ecuación Principal de una Línea Recta.
Se obtiene al despejar la variable y en la ecuación ax + by + c = 0.
La ecuación que se obtiene es de la forma y = mx + n , con m, n ∈ .
Teorema.- En y = mx + n:
m = tg ∝ , donde ∝ es el ángulo que forma la recta con el eje OX medido
desde OX.
n : Ordenada del punto en que la recta corta al eje OY.
m : Coeficiente angular, Pendiente o Inclinación de la recta.
n : Coeficiente de posición.
Rectas Paralelas y Perpendiculares.
Teorema .- 1) Dos o más rectas son paralelas si solo si sus pendientes son
iguales
2) La recta y = m 1 x + n1 es perpendicular a la recta
y = m 2 x + n2, si sólo si:
c) Ecuación de una recta que pasa por dos puntos
Teorema.- La ecuación de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:
y − y1 x − x1
=
y1 − y 2 x1 − x 2
siempre que la recta P1P2 no sea paralela a uno de los ejes
coordenados.
Observación .- La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1), P2(x2,y2) es:
y1 − y 2
m=
x1 − x 2
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46. d) Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene dirección m.
Teorema.- La ecuación de la recta que pasa por P1(x1,y1) y tiene dirección
m es: y - y 1= m ( x- x1)
5-. LA CIRCUNFERENCIA.
Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos
variables. Pero, no toda ecuación de este tipo representa siempre una
circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto.
Una circunferencia queda determinada si se conocen su centro y radio.
La ecuación de la circunferencia de centro (h,k) y radio r es:
( x - h )2 + ( y - k )2 = r2
Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma:
x2 + y2 = r2
Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
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47. Donde el centro es el punto:
 D E
− 2 , − 2 
 
El radio r es :
1
r= D2 + E2 − 4F
2
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48. SECCIONES CONICAS
INTRODUCCION.
,
Dada una recta L fija en el espacio y una recta L
,
que la corta en un punto P. Si se hace girar L en el L ,
, L
espacio manteniendo P y el ángulo α que L forma
,
con L, L genera una superficie llamada un Cono
Completo de Revolución ( dos conos huecos α
P
unidos).
L : Eje del cono
,
L : Generatriz del cono.
P : Vértice cúspide del cono.
Definición: se llaman secciones cónicas, a las curvas que se obtienen al
interceptar (seccionar) un Cono Completo de Revolución con un plano.
Desde el punto de vista geométrico, hay tres maneras esencialmente
diferentes de seccionar el cono, lo que da origen a tres tipos o tres familias de
las secciones cónicas:
1) La Familia Elipse : Las elipses se obtienen cuando el plano al cortar el
cono corta a todas las generatrices, la que origina curvas cerradas
ubicadas cada una de ellas a un lado del vértice del cono. La
circunferencia es un caso especial de la elipse: cuando el plano es
perpendicular al eje del cono.
2) La Familia Parábola: las parábolas se obtienen al cortar el cono con
un plano paralelo a una generatriz. Se originan curvas abiertas ubicadas
cada una de ellas a un solo lado del vértice del cono.
3) La Familia Hipérbola: las hipérbolas se obtienen al cortar el cono con
un plano paralelo al eje del cono. Son curvas abiertas compuestas de
dos ramas, cada una de ellas ubicadas a distinto lado del vértice del
cono.
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49. Elipse Parábola Hipérbola
Observación :
Estas curvas aparecen frecuentemente en las restantes ciencias. Ej. : las
orbitas de los planetas, satélites artificiales, orbitas en átomos, ... son elipses.
Las trayectorias de los cohetes, cometas, proyectiles, ....son parábolas. En
choques de partículas elementales en física muchas trayectorias son
hipérbolas,....etc.
LAS SECCIONES CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS.
Definición: El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un
punto y una recta fijos es constante recibe el nombre de sección cónica o
simplemente cónica.
El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación
constante excentricidad que, se representa por la letra e.
Si e < 1 la cónica se llama elipse.
Si e = 1 la cónica se llama parábola.
Si e > 1 la cónica se llama hipérbola.
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50. LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancia a dos
puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.
y
y
P
P
a a
′
b
V V x x
F′ O F F′ c F
a a
D′ D
Sean los dos puntos fijos F( c, 0) y F ′ (-c,0) y 2a la suma constante .
Consideremos un punto genérico P(x,y) que pertenezca al lugar.
Entonces: F ′P + P F = 2a
Resolviendo esta ecuación se llega a :
x2 y2
+ 2 =1
a2 b
Como esta ecuación contiene potencias pares de x e y, la curva es simétrica
con respecto a los ejes de coordenadas x e y, y con respecto al origen. El
punto O es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje
menor.
Si los focos fueran los puntos de coordenadas (0,c) y (0,-c), el eje mayor
estaría sobre el eje y, con lo que la ecuación resulta de la forma :
x2 y2
+ 2 =1
b2 a
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51. La excentricidad es:
c a2 − b2
e= =
a a
Las ecuaciones de las directrices son:
a a
x+ =0 x− =0
e e
Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices son:
a a
y+ =0 y− =0
e e
Se denomina lado recto de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor por
uno de sus focos. Su longitud es :
2b2
a
Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices.
Si el centro de la elipse es el punto (h,k) y el eje mayor tiene la dirección del
eje x, la ecuación de la elipse es de la forma:
( x − h) (y −k)
2 2
+ =1
a2 b2
O bien si el eje mayor es paralelo al eje y es de la forma:
( x − h) (y −k)
2 2
+ =1
b2 a2
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52. PARÁBOLA.
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a
un punto dado y a una recta dada (que pasa por el punto dado ) son iguales.
P(x,y)
M
C
O F(a,0)
D
C′
PF
Donde =1
PM
Resolviendo esta ecuación se llega a : y2 = 4ax
La cuerda CC′ que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado
recto. La longitud del lado recto es 4 a.
Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación toma la forma:
y2 = - 4 ax
Si el foco pertenece al eje y, la forma de la ecuación es:
x2 = + 4ay o x2 = - 4ay
Si el centro de la parábola es el punto (h,k) sus ecuaciones son:
( y - k )2 = 4 a( x - h ) o ( y - k )2 = -4 a( x - h )
( x - h )2 = 4 a( y - k ) o ( x - h )2 = -4 a( y - k )
Que desarrolladas adquieren la forma :
x = ay2 + by + c o y = ax2 + bx + c
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53. LA HIPERBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancia a
los puntos fijos F(c,o) y F (-c, 0) es constante e igual a 2 a
B(0,b)
b c
′ A(a,0)
A
F′(-c,0) O a F(c,0)
B′
F′P - PF = 2 a
Resolviendo esta ecuación se obtiene:
x2 y2
− =1
a2 b2
Si los focos fueran (0,c) y (0, -c), la ecuación sería de la forma:
y2 x2
− =1
a2 b2
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54. La expresión general de centro en el origen y cuyos focos estén sobre los ejes
coordenados es:
Ax 2 − B y 2 = ± 1,
correspondiendo el signo mas cuando los focos pertenezcan al eje x.
La curva es simétrica con respecto a los ejes x e y y con respecto al origen.
A A′ eje real de longitud 2 a
B B′ eje imaginario de longitud 2 b.
c a2 + b2
La excentricidad es: e = =
a a
Las ecuaciones de las directrices son:
a
x= ± cuando los focos están sobre el eje x,
e
a
y= ± cuando los focos están sobre el eje y.
e
2b2
La longitud del lado recto es:
a
Las ecuaciones de las asíntotas son:
b
y= ± x cuando el eje real es x,
a
a
y= ± x cuando el eje real es y
b
Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (h,k).
Si el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es:
( x −h ) ( y −k)
2 2
− = 1
a2 b2
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55. Si el eje real es paralelo al eje x, la ecuación de la hipérbola es:
( y −h ) ( x −k)
2 2
− =1
a2 b2
Las ecuaciones de las asíntotas son:
b
y −k = ± ( x − h ) si el eje real es paralelo al eje x
a
a
y −k = ± ( x − h ) si el eje real es paralelo al eje y
b
La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los
coordenadas x e y es: Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0. Siendo A y B del mismo
signo.
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56. GUIA DE EJERCICIOS N°1
1-. Realice la gráfica de las siguientes funciones:
 x 3 si x ≤ 0

a) f(x) = − 3 j) f(x) =  2x si 0 < x < 5

 −2x + 20 si x ≥ 5
b) f(x) = 2x 2 k) f(x) = ln x
c) f(x) = x 3 l) f(x) = e x
d) f(x) = −3x − 6 m) x = 2y
x
4
e) f(x) = x + 5x + 6
2
n) f(x) =  
5
f ) f(x) = 3x − 6 o) f(x) = 2sen2 x
x+2
g) f(x) = p) f(x) = sen3x
x −3
2
h) f(x) = q) f(x ) = cos 2x
3x + 1
2x + 3 si x < 0

i) f(x) =  x 2 + 3 si 0 ≤ x < 2 r) f(x) = 2cos x
 7 si x ≥ 2

2-. Hallar la distancia entre:
a) (-2,3) y (5,1)
b) (6, -1) y (-4, -3)
3-. Demostrar que los puntos A (3,8), B (-11,3), C (-8, -2) son los vértices de
un triángulo isósceles.
4-. Demostrar que los puntos A (7,5), B (2,3), C (6, -7) son los vértices de un triángulo
rectángulo. Hallar el área del triángulo rectángulo.
5-. Demostrar que tres puntos dados son colineales : A (-3, -2), B (5,2),
C (9,4).
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57. 6-. Determinar un punto que equidiste de los puntos A (1,7), B (8,6),
C (7, -1)
7-. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y) que divida al segmento
determinado por Q (1.7) y R (6, -3) en la relación r=2/3.
8-. Hallar las coordenadas de un punto P (x, y ) que divida al segmento
determinado por Q (-2, 1) y R (3, -4) en la relación r = -8/3.
9-. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro Q (-4, 1) es R
(2, 6). Hallar las coordenadas P(x, y) del otro extremo.
10-. Hallar dos puntos Q y R que dividan al segmento que une A (3, -1) con B
(9, 7) en tres partes iguales.
11-. Hallar las coordenadas del extremo C (x, y) del segmento que une este
punto con A (2, -2) sabiendo que el punto B (-4,1) está situado a una
distancia de A a las tres quintas partes de la longitud total del segmento.
12-. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto P (x, y) llamado
baricentro, situado de los vértices a 2/3 de la distancia dé cada uno de
ellos al punto medio del lado opuesto. Hallar las coordenadas del
baricentro de un triángulo cuyos vértices tienen de coordenadas A(xA, yA),
B (xB, yB), C (xC, yC).
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58. GUIA DE EJERCICIOS N°2
1. Hallar la ecuación de las rectas que pasan por los puntos:
a) (2, -3) y (4, 2). Sol. 5x - 2y - 16 = 0.
b) (0, 0) y (5, -3). Sol. 3x + 5y = 0.
c) (5, -3) y (5, 2). Sol. x - 5 = 0.
d) (-5, 2) y (3, 2). Sol. y - 2 = 0.
2. En el triángulo de vértices A(-5, 6), B(-1, -4) y C(3, 2), hallar,
a) las ecuaciones de sus medianas,
Sol. 7x + 6y - 1 = 0, x+1=0 x - 6y + 9= 0.
b) el punto de intersección de las mismas. Sol. (-1, 4/3).
3. a) Hallar las ecuaciones de las alturas del triángulo del Problema 3.
Sol. 2x + 3y - 8 = 0, 2x - y - 2 = 0, 2x - 5y + 4 = 0.
b) Hallar el punto de intersección de dichas alturas.
sol. (7/4, 3/2)
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa
en el origen es el doble que la ordenada en el origen.
Sol. x + 2y - 8 = 0.
5. Hallar el valor del parámetro K para que la recta de ecuación
2x + 3Ky - 13 = 0 pase por el punto (-2, 4). Sol. K = 17/12.
6. Hallar la ecuación de la perpendicular a la recta 2x + 7y - 3 = 0 en su
punto de intersección con 3x - 2y + 8 = 0. Sol. 7x - 2y + 16 = 0
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las
rectas 3x - 5y + 9 = 0 y 4x + 7y - 28 = 0 y cumple la condición siguiente:
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59. a) Pasa por el punto (-3, -5).
b) Pasa por el punto (4, 2).
c) Es paralela a la recta 2x + 3y - 5 = 0.
d) Es perpendicular a la recta 4x + 5y - 20 = 0
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60. GUIA DE EJERCICIOS N°3
1-. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (5, -2) y que pasa
por (-1,5).que tiene por diámetro el trazo que une (-3,5) y (7,-3). que
pasa por (4,5), (3,-2), (1,-4).
2-. Determinar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus
rectum de la parábola 3y2 =8x.
3-. Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto ( 6, - −2 ) y
directriz la recta x - 2 = 0. Hallar la longitud del lado recto.
4-. Determinar la ecuación de la parábola de vértice el punto (3,2) y foco
(5,2).
5-. Dada la elipse 9x2 + 16y2 = 576 hallar el semi eje mayor, el semi eje
menor, la excentricidad, las coordenadas de los focos, las ecuaciones de
las directrices y la longitud del lado recto.
6-. Determinar la ecuación de la elipse de centro el origen, foco en el punto
(0,3) y semi eje mayor igual a 5.
7-. Hallar la ecuación de elipse de centro el origen, eje mayor sobre el eje x y
que pase por los puntos (4,3) y (6,2).
8-. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al
punto (4,0) es igual a la mitad de la correspondiente a la recta x - 16 = 0.
9-. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya suma
de distancias a los puntos fijos (4,2) y (-2,2) sea igual a 8.
10-. Calcular la ecuación de hipérbola de vértices (±6,0) y asíntotas y = ± 2 x.
11-. Un punto se mueve de modo que la suma a los puntos (4,2), (-2,2) es de
8 unidades. Encontrar la ecuación de la cónica descrita por el punto e
identificarla.
12-. Identificar 3y2 –8x = 0 . Encontrar excentricidad y directriz.
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