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  • 1. <ul><li>ÍNDICE </li></ul><ul><li>RAZONES Y PROPORCIONES. </li></ul><ul><li>MAGNITUDES PROPORCIONALES. </li></ul><ul><li>PROPORCIONALIDAD COMPUESTA. </li></ul><ul><li>PROBLEMAS ARITMÉTICOS. </li></ul><ul><li>Siguiente </li></ul>
  • 2. 1. RAZÓN Y PROPORCIÓN <ul><li>Razón es el cociente de dos cantidades, . Al numerador lo llamamos antecedente y al denominador consecuente. </li></ul><ul><li>Proporción es la igualdad entre dos razones, . Se lee a es a b como c es a d. A a y d se les llama extremos y a b y c medios. Al tratarse de una igualdad entre fracciones se verifica que a·d = c·b. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 3. <ul><li>En una proporción la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual a cualquier razón de la proporción. </li></ul><ul><li>Ejemplo: . Luego . </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 4. <ul><li>Si en una proporción conocemos todos los términos menos uno, al desconocido los llamamos cuarto proporcional. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Calcula el cuarto proporcional, </li></ul><ul><li>x = 6 </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 5. <ul><li>Una proporción es continua cuando sus medios o sus extremos son iguales: </li></ul><ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Medio proporcional es el término igual de una proporción continua. En el ejemplo anterior el medio proporcional es 6. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 6. 2. MAGNITUDES PROPORCIONALES <ul><li>Dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de las cantidades correspondientes es constante. Dicho valor constante se llama constante de proporcionalidad directa. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Dos entradas de cine valen 14 euros. </li></ul><ul><li>Constante de </li></ul><ul><li>proporcionalidad </li></ul><ul><li>directa = 7 </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>Nº entradas 2 4 8 1 3 5 Precio(euros) 14 28 56 7 21 35
  • 7. <ul><li>Para resolver un problema de proporcionalidad directa utilizamos la regla de tres directa. </li></ul><ul><li>Ejemplo: 6 DVD´S de música valen 39 euros ¿Cuánto cuestan 10 de estos DVD´S? </li></ul><ul><li>Magnitud A Magnitud B </li></ul><ul><li>6 39 </li></ul><ul><li>10 X </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 8. <ul><li>Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de las cantidades correspondientes es constante. Dicho valor constante se llama constante de proporcionalidad inversa. </li></ul><ul><li>Ejemplo: 8 pintores pintan un edificio en 20 días . </li></ul><ul><li>Constante de </li></ul><ul><li>proporcionalidad </li></ul><ul><li>inversa = 160 </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>Nº de pintores 8 4 2 1 16 32 Nº días de trabajo 20 40 80 160 10 5
  • 9. <ul><li>Para resolver un problema de proporcionalidad inversa utilizamos la regla de tres inversa , que consiste en formar la proporción en la que la razón de las cantidades de la magnitud A están invertidas. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Tenemos pienso para alimentar a 10 conejos durante 40 días ¿A cuántos conejos podremos alimentar con el mismo pienso durante 50 días? </li></ul><ul><li>Magnitud A Magnitud B </li></ul><ul><li>10 40 </li></ul><ul><li>X 50 </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 10. 3. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA. <ul><li>La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen más de dos magnitudes que mantienen entre sí relaciones de proporcionalidad. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 11. <ul><li>Ejemplo: Un crucero por el Mediterráneo para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos de alojamiento y comida, 54.000 €. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>G = Gastos P = Nº de personas D = Nº de días 54000 € 200 personas 15 días 108000 € 400 personas 15 días 108000 € 200 personas 30 días 216000 € 400 personas 30 días 54000 € 100 personas 30 días
  • 12. <ul><li>Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta utilizamos la regla de tres compuesta, que consiste en: </li></ul><ul><li>a) Identificamos en primer lugar la magnitud en la que se encuentra la incógnita y estudiamos qué tipo de proporcionalidad se establece con las demás magnitudes. </li></ul><ul><li>b) Planteamos la proporción según sean las magnitudes directa o inversamente proporcionales, y se resuelve. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 13. <ul><li>Ejemplo: Si 18 máquinas mueven 1200 m 3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24 máquinas para mover 1600 m 3 de tierra? </li></ul><ul><li>y, despejando, x = 12 días </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 14. 4. PROBLEMAS ARITMÉTICOS <ul><li>REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES </li></ul><ul><li>Ejemplo: Un padre regala a sus dos hijos 1000 €. para que se los repartan de forma directamente proporcional a sus edades que son 8 y 12 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 15. <ul><li>Si llamamos x a la cantidad que corresponde al pequeño e y al mayor, x + y = 1.000. </li></ul><ul><li>Es una tabla de proporcionalidad directa por lo </li></ul><ul><li>que se cumple: , con la condición de que </li></ul><ul><li>x + y = 1000. </li></ul><ul><li>Se puede resolver utilizando la propiedad . En este caso: </li></ul><ul><li>Por lo tanto ý </li></ul><ul><li>El pequeño recibe 400 y el mayor 600. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>Edad Cantidad 8 x 12 y
  • 16. <ul><li>REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Reparte 4.200 € en partes inversamente proporcionales a 3 , 5 y 6. </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>La tabla es inversamente proporcional por lo que </li></ul><ul><li>sus productos son iguales: 3 · x = 5 · y = 6. z , es </li></ul><ul><li>decir: </li></ul><ul><li>se obtiene que x = 2 000 € , y = 1 200 € y z = 1 000 € . </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>a….. Le corresponde…… 3 x 5 y 6 z
  • 17. <ul><li>PROBLEMAS CON PORCENTAJES </li></ul><ul><li>Para calcular en qué se transforma una cantidad C cuando aumenta o disminuye en un p %, se multiplica dicha cantidad por el índice de variación : </li></ul><ul><li>a) (1 + p /100), si aumenta. </li></ul><ul><li>b) (1 − p /100), si disminuye. </li></ul><ul><li>Ejemplo: Un televisor cuesta 522 euros con el 16 % de IVA. ¿Cuánto cuesta sin IVA? </li></ul><ul><li>Solución: Índice de variación = 1 + 0.16 = 1.16. </li></ul><ul><li>Precio x 1.16 = 522, luego precio = 522/1.16 = 450 euros. </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 18. <ul><li>Para calcular aumentos o disminuciones porcentuales sucesivos, se multiplican los índices de variación: (1 + p/100) para los aumentos y (1 − p/100) para las disminuciones. </li></ul><ul><li>Ejemplo: A lo largo del año, la cifra de parados de una Comunidad ha ido variando según los siguientes aumentos y disminuciones porcentuales: </li></ul><ul><li>Si al comienzo del año había 380.000 parados en esa Comunidad, calcula los parados que hay al finalizar el año . </li></ul><ul><li>Anterior Siguiente </li></ul>
  • 19. <ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>Hallamos en primer lugar los sucesivos índices de variación: </li></ul><ul><li>Multiplicamos los sucesivos índices de variación: </li></ul><ul><li>1,02 ⋅ 1,03 ⋅ 1,04 ⋅ 0,98 ⋅ 0,99 ⋅ 0,97 ⋅ 0,95 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1,03 ⋅ 1,03 ⋅ 1,02 = 1,06 </li></ul><ul><li>El número de parados al finalizar el año será: 380.000 ⋅ 1,06 = 402.800 personas. </li></ul><ul><li>Anterior </li></ul>

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