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Proporcionalidad

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    Tema 4 Tema 4 Presentation Transcript

      • ÍNDICE
      • RAZONES Y PROPORCIONES.
      • MAGNITUDES PROPORCIONALES.
      • PROPORCIONALIDAD COMPUESTA.
      • PROBLEMAS ARITMÉTICOS.
      • Siguiente
    • 1. RAZÓN Y PROPORCIÓN
      • Razón es el cociente de dos cantidades, . Al numerador lo llamamos antecedente y al denominador consecuente.
      • Proporción es la igualdad entre dos razones, . Se lee a es a b como c es a d. A a y d se les llama extremos y a b y c medios. Al tratarse de una igualdad entre fracciones se verifica que a·d = c·b.
      • Anterior Siguiente
      • En una proporción la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual a cualquier razón de la proporción.
      • Ejemplo: . Luego .
      • Anterior Siguiente
      • Si en una proporción conocemos todos los términos menos uno, al desconocido los llamamos cuarto proporcional.
      • Ejemplo: Calcula el cuarto proporcional,
      • x = 6
      • Anterior Siguiente
      • Una proporción es continua cuando sus medios o sus extremos son iguales:
      • Ejemplo:
      • Medio proporcional es el término igual de una proporción continua. En el ejemplo anterior el medio proporcional es 6.
      • Anterior Siguiente
    • 2. MAGNITUDES PROPORCIONALES
      • Dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de las cantidades correspondientes es constante. Dicho valor constante se llama constante de proporcionalidad directa.
      • Ejemplo: Dos entradas de cine valen 14 euros.
      • Constante de
      • proporcionalidad
      • directa = 7
      • Anterior Siguiente
      Nº entradas 2 4 8 1 3 5 Precio(euros) 14 28 56 7 21 35
      • Para resolver un problema de proporcionalidad directa utilizamos la regla de tres directa.
      • Ejemplo: 6 DVD´S de música valen 39 euros ¿Cuánto cuestan 10 de estos DVD´S?
      • Magnitud A Magnitud B
      • 6 39
      • 10 X
      • Anterior Siguiente
      • Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de las cantidades correspondientes es constante. Dicho valor constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
      • Ejemplo: 8 pintores pintan un edificio en 20 días .
      • Constante de
      • proporcionalidad
      • inversa = 160
      • Anterior Siguiente
      Nº de pintores 8 4 2 1 16 32 Nº días de trabajo 20 40 80 160 10 5
      • Para resolver un problema de proporcionalidad inversa utilizamos la regla de tres inversa , que consiste en formar la proporción en la que la razón de las cantidades de la magnitud A están invertidas.
      • Ejemplo: Tenemos pienso para alimentar a 10 conejos durante 40 días ¿A cuántos conejos podremos alimentar con el mismo pienso durante 50 días?
      • Magnitud A Magnitud B
      • 10 40
      • X 50
      • Anterior Siguiente
    • 3. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA.
      • La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen más de dos magnitudes que mantienen entre sí relaciones de proporcionalidad.
      • Anterior Siguiente
      • Ejemplo: Un crucero por el Mediterráneo para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos de alojamiento y comida, 54.000 €.
      • Anterior Siguiente
      G = Gastos P = Nº de personas D = Nº de días 54000 € 200 personas 15 días 108000 € 400 personas 15 días 108000 € 200 personas 30 días 216000 € 400 personas 30 días 54000 € 100 personas 30 días
      • Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta utilizamos la regla de tres compuesta, que consiste en:
      • a) Identificamos en primer lugar la magnitud en la que se encuentra la incógnita y estudiamos qué tipo de proporcionalidad se establece con las demás magnitudes.
      • b) Planteamos la proporción según sean las magnitudes directa o inversamente proporcionales, y se resuelve.
      • Anterior Siguiente
      • Ejemplo: Si 18 máquinas mueven 1200 m 3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24 máquinas para mover 1600 m 3 de tierra?
      • y, despejando, x = 12 días
      • Anterior Siguiente
    • 4. PROBLEMAS ARITMÉTICOS
      • REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
      • Ejemplo: Un padre regala a sus dos hijos 1000 €. para que se los repartan de forma directamente proporcional a sus edades que son 8 y 12 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?.
      • Anterior Siguiente
      • Si llamamos x a la cantidad que corresponde al pequeño e y al mayor, x + y = 1.000.
      • Es una tabla de proporcionalidad directa por lo
      • que se cumple: , con la condición de que
      • x + y = 1000.
      • Se puede resolver utilizando la propiedad . En este caso:
      • Por lo tanto ý
      • El pequeño recibe 400 y el mayor 600.
      • Anterior Siguiente
      Edad Cantidad 8 x 12 y
      • REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES.
      • Ejemplo: Reparte 4.200 € en partes inversamente proporcionales a 3 , 5 y 6.
      • Solución:
      • La tabla es inversamente proporcional por lo que
      • sus productos son iguales: 3 · x = 5 · y = 6. z , es
      • decir:
      • se obtiene que x = 2 000 € , y = 1 200 € y z = 1 000 € .
      • Anterior Siguiente
      a….. Le corresponde…… 3 x 5 y 6 z
      • PROBLEMAS CON PORCENTAJES
      • Para calcular en qué se transforma una cantidad C cuando aumenta o disminuye en un p %, se multiplica dicha cantidad por el índice de variación :
      • a) (1 + p /100), si aumenta.
      • b) (1 − p /100), si disminuye.
      • Ejemplo: Un televisor cuesta 522 euros con el 16 % de IVA. ¿Cuánto cuesta sin IVA?
      • Solución: Índice de variación = 1 + 0.16 = 1.16.
      • Precio x 1.16 = 522, luego precio = 522/1.16 = 450 euros.
      • Anterior Siguiente
      • Para calcular aumentos o disminuciones porcentuales sucesivos, se multiplican los índices de variación: (1 + p/100) para los aumentos y (1 − p/100) para las disminuciones.
      • Ejemplo: A lo largo del año, la cifra de parados de una Comunidad ha ido variando según los siguientes aumentos y disminuciones porcentuales:
      • Si al comienzo del año había 380.000 parados en esa Comunidad, calcula los parados que hay al finalizar el año .
      • Anterior Siguiente
      • Solución:
      • Hallamos en primer lugar los sucesivos índices de variación:
      • Multiplicamos los sucesivos índices de variación:
      • 1,02 ⋅ 1,03 ⋅ 1,04 ⋅ 0,98 ⋅ 0,99 ⋅ 0,97 ⋅ 0,95 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1,03 ⋅ 1,03 ⋅ 1,02 = 1,06
      • El número de parados al finalizar el año será: 380.000 ⋅ 1,06 = 402.800 personas.
      • Anterior