Derivadas2

y= f ( x)

yA
A

xA
X

y= f ( x)

yA
A(x ,y )
A A

xA
X

B

y= f ( x)

yA
A(x ,y )
A A

xA xB
X

yB B

y= f ( x)

yA
A(x ,y )
A A

xA xB
X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

yA
A(x ,y )
A A

xA xB
X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

yA
A(x ,y )
A A

xA xB
xB - xA
X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

yA
A(x ,y )
A A

xA xB
x = xA - xB X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y B - yA
yA
A(x ,y )
A A

xA xB
x = xA - xB X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y = yB - yA
yA
A(x ,y )
A A

xA xB
x = xA - xB X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y = yB - yA
yA
A(x ,y )
A A

xA xB
x X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
yA
A(x ,y )
A A

xA xB
x X

yB B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
yA
A(x ,y )
A A

y
tg
x
xA xB
x X

yB = f (xB) B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
yA = f (xA)
A(x ,y )
A A

y
tg
x
xA xB = x A + x
x X

f (xB) B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
f (xA)
A(x ,y )
A A

y
tg
x
xA xB = x A + x
x X

f (xA + x) B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
f (xA)
A(x ,y )
A A

y
tg
x
xA xB = x A + x
x X

y f ( xA x) f ( x A ) f ( xA x) f ( xA )
tg
x xA x xA x

f (xA + x) B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
f (xA)
A(x ,y )
A A

y
tg
x
xA xA + x
x X

Moveremos el punto B hacia el A, a lo
largo de la función y = f(x)

Vamos a realizarlo, fíjate en :
- El cambio de la situación del punto
- La variación de posición de la recta
- El ángulo que la recta forma con el eje x

f (xA + x)
B(x ,y )
B B

y= f ( x)

y
f (xA)
A(x ,y )
A A

xA xA + x
x X

f ( xA+ Dx)
B(xB,yB)
f ( xA+ Dx)
B(xB,yB)

y= f ( x)

f (xA)
A(x ,y )
A A

xA+ Dx xA+ Dx
xA
X

tg
x xA x xA x

f (xA+ x)
y= f ( x)

y
y
f (xA)
A(x ,y )
A A

xA xA+ x
x X
x

¡¡ FIJATE !!

Cuando cambiamos el punto B:
¿Quien se esta haciendo
menor?
¿Quien esta
variando?
¡VOLVAMOS A LA IMAGEN!

tg
x xA x xA x
B 1

f (xA+ x) B
y= f ( x)

y
y
f (xA)
A(x ,y )
A A

xA xA+ x
x X
x

Se hacen menores los
incrementos de las
coordenadas, Dx e Dy
Varia el ángulo que forma la recta
con el eje x; en este caso
aumentando
PROSIGAMOS

Llamando Dx = h e Dy=f(x+h)-f(x)

B y= f ( x)
Dx1>Dx2>Dx
1

B 2

Dy1>Dy2>Dy f (xA+ x) B

y1
2
y
y
Se ve que:
x 0 f (xA)
(Dx tiende a cero)
A(x ,y )
A A

y 0
(Dy tiende a cero)

xA xA+ x
x
x
2
X
x1

Los ángulos a<m<b,son los formados por la recta y el eje Ox (parte +)

Cuando el punto B, de la función y=f(x), se
acerca a A:
0
1. x 0 y 0
2º.- El ángulo tomado es el formado
por la recta y la parte positiva del eje
Ox. En este caso:
tg a< tg m < tg b

tg
x xA x xA x

Y B1 y= f ( x)
B 2

y1
y2
f (x + x) B
A

y
f (x )
A

A(x ,y ) A A

x A x+ xA

x
x 2
X
x
1

tg
x xA x xA x
f (xA+ x) B

y
f (xA)
A(x ,y )A A

xA xA+ x
x

A

f (x )
A

A(x ,y )
A A

Cuando el punto B se confunde con A:
tg
x xA x xA x

Como
x 0 y 0

y 0
tg
x 0
Función (tgr) que NO se puede calcular al ser un valor indetermi-
nado, por lo tanto hay que hallar su límite

y f ( xA x) f ( xA )
tg lim x 0 lim x 0
x x

tangente geométrica
Y B1 y= f ( x)
Se toma Dx porque B
2

es la variable inde-
pendiente en la
función y= f(x) B 3

f (x + x) B
A

f (x ) A
A

y
x

x x+ x
A A

X
Al tender B a A, la cuerda que une los puntos, se transformará en la tangen-
te geométrica a la función en el punto A, cuyo ángulo, respecto a la zona
positiva del eje Ox, es r , y el valor de la tg r es la DERIVADA en el punto A.

3

f (x + x) B
A

f (x ) A A

y
x

x x+ x
A A

y f ( xA x) f ( xA )
tg lim x 0 lim x 0
x x

Cuando el punto B tiende a A, la secante que los
une se convierte en tangente geométrica
formando, con la parte positiva del eje Ox, un
ángulo r:
siendo r= arc tg r, calculando su:
dy y f ( xA x) f ( xA )
tg lim x 0 lim x 0
dx x x
Llamamos DERIVADA primera a la
tga, anotándola, también, como y’, por ello:
dy f (x x) f ( x)
y' tg lim x 0
dx x

dy y f (x x) f ( x)
y' tg lim x 0 lim x 0
dx x x
Hallar la primera derivada de la función y = 2x – 5, en el punxo x = 3

Primeramente hallaremos f ( x ) = 2x – 5 que para x = 3 y = f(3)=2.3 - 5
=1
Después f ( x + Dx ) = 2 ( x + Dx ) – 5 ; cambiando x por (x + Dx)

dy f (x x) f ( x) [2( x x) 5] [2 x 5]
dx x x
2x 2 x 5 2x 5 2 x
lim x 0 lim x 0 lim x 0 2 2
x x
El ángulo r que forma la tangente geométrica con la parte positiva del eje Ox, en el
punto x =3, es r = arc tg 2 = 63º26’6’’

La ecuación de la tangente geométrica , y – y1 = m ( x - x1 ) será, teniendo en
cuenta que x1 = 3 ; y1 = 1 y m = tgr = 2; y – 1 = 2 ( x – 3 ) o sea y = 2x - 5

SOLO, en la función de primer grado, y = ax + b, coincide la función (una recta) con la

dy y f (x x) f ( x)
dx x x
Hallar la primera derivada de la función y = -3x + 4, en el punto x = 8

Primeramente hallaremos f ( x ) = -3x + 4 que para x =5 y = f(5) = -3.5 + 4 = -
11
Después f ( x + Dx ) = -3 ( x + Dx ) + 4 ; cambiando x por (x + Dx)

dy f (x
x) f ( x) [ 3( x x) 4] [ 3 x 4]
dx x x
3x 3 x 4 3x 4 3 x
lim x 0 lim x 0 lim x 0 3 3
x x
El ángulo r que forma la tangente geométrica con la parte positiva del eje Ox, en el
punto x = 5, es r = arc tg (-3) = 108º26’6’’

La ecuación de la tangente geométrica , y – y1 = m ( x - x1 ) ; teniendo en
cuenta que x1 = 5 ; y1 = -11 y m = tgr = -3 ; y – (-11) = -3 ( x – 5 ) o sea
y = -3x + 4
SOLO, en la función de primer grado, y = ax + b, coincide la función (una recta) con la

RECUERDA
El ángulo r que forma la tangente geométrica con la parte positiva del eje Ox, en
el primer problema, es r = arc tg 2 = 63º26’6’’, ángulo menor de 90º, en el segundo
problema, es r = arc tg (-3) = 108º26’6’’, ángulo mayor de 90º

x f(x)=2x-5 y=2x-5 x f(x)=-3x+4
y=-3x+4
0 -5 0 4
1
Y Y -11
3 =5
10
8 º2
6'6
=6

''
3º 2

A(3,1)
6'6

(0,4)
''

X (parte X (parte X (parte X (parte
negativa) (0,-5)
positiva) negativa) positiva)
A(5,-11)

Si la derivada es positiva el ángulo que forma, la tangente geométrica con la parte positiva del
eje Ox, es menor que el ángulo recto, si es negativa forma un ángulo superior al recto

SEGUIMOS
Halla la primera derivada de la función y = 2x2 - 3x + 4, en los puntos
a) x en general; b) x = 1; c) x = -1
Sabemos que f ( x ) = 2x2 - 3x + 4 y que f ( x + Dx ) = 2 ( x + Dx ) 2- 3 (x + Dx)
+4
f (x x) f ( x) [2( x x) 2 3( x x) 4] [2 x 2 3 x 4]
y ' lim x 0 lim x 0
x x
2 x 2 4 x x 2( x) 2 3x 3 x 4 2 x 2 3 x 4 4x x 2 x2 3 x
lim x 0 lim x 0
x x
x 4x 2 x 3
lim x 0 lim x 0 4 x 2 x 3 4 x 2.0 3 4 x 3
x
El ángulo r que forma la tangente geométrica con la parte positiva del eje Ox, en
un punto general x es r = arc tg (4x - 3)
La ecuación de la tangente geométrica , y – y1 = m ( x - x1 ) ; con m = tgr = (4x - 3)

Para el punto x 1= 1 y1 = f(1)= 2 . 12 – 3 . 1 + 4 = 3 y’ = m = tg r= 4 . 1 – 3 = 1
Ecuac. de la tangente geométrica y – 3 = 1 . ( x – 1) Y y = x + 2 con =arctg 1 =
45º
Para el punto x 2= -1 y2 = f (-1)= 2 . (-1) 2– 3 . (-1) + 4 = 9 y’ = m = tg r= 4 . (-1) – 3
= -7
Ec. tangente geométrica y – 9 = -7 . ( x – (-1)) y = -7x +2 con r =arctg (-7)=

Y
y f ( x) 2 x 2 3x 4
y' = 4.x - 3
(-1,9)

Cuando x = 1 y' = 4.1 - 3 = 1
x f(x) tg = y'=1 = 45°
-1 9 (2,6)
98
0 4 °7
0'75 2'25 '4 Cuando x = -1 y' = 4.(-1) - 3 = -7
(0,4) 8'
1 3 '
tg = y'=-7 = 98°7'48''
2 6 (1,3)
45°

X (parte
y=x+2 positiva)
y = -7x + 2

FIJATE, en el punto (1 , 3) y’ = 1, valor POSITIVO, tg r>0 y r<90o; en el punto (-1,9) y’ =
-7, valor NEGATIVO,tg r<0 y r>90o, ¿habrá algún punto en donde y’= 0?

Y
(-1,9) y f ( x) 2 x 2 3x 4
y' = 4x - 3
x f(x)
Vértice,cuando y' = 0
-1 9
0 = 4x - 3
0 4
(2,6) x =0'75 f(x) = y =2'25
0'75 2'25 98
1 3 °7 Es el valor MÍNIMO
'4
2 6 (0,4) 8' que toma la función
'
y=2'25
(1,3)
tg =0 =0°
45°

y-2'25 = 0.(x - 0'75)
y-2'25 = 0
X (parte positiva) y=2'25
y=x+2
y = -7x + 2

RECUERDA, en el valor de x que hace tg r = y’ = 0, tendremos un MÍNIMO si en su entorno, a
la izquierda, las tg r tienen valores negativos, pasando a positivos, a la derecha

Detalle del punto en donde se encuentra el MÍNIMO y en donde tgr=0

y f ( x) 2 x 2 3x 4

(1,3) y=2'25
(0'75,2'25)

45°
RECUERDA, en el valor de x que hace tg r = y’ = 0, tendremos un MÍNIMO si en su entorno, a
la izquierda, las tg r tienen valores negativos, pasando a positivos, a la derecha

Halla la primera derivada de la función x = - 3t2 + 6t + 4, en los
puntos a) t general; b) t = 2; c) t = -1; d) en donde estará el mínimo
Sabemos que f ( t ) = - 3t2 + 6t + 4 y que f ( t + Dt ) = - 3 ( t + Dt ) 2+ 6 (t + Dt)
+4
f (t t ) f (t ) [ 3(t t ) 2 6(t t ) 4] [ 3t 2 6t 4]
x' lim t 0 lim t 0
t t
3t 2 6t t 6( t ) 2 6t 6 t 4 3t 2 6t 4 6t t 6( t ) 2 6 t
lim t 0 lim t 0
t t
t 6t 6 t 6
lim t 0 lim x 0 6t 6 t 6 6t 6.0 6 6t 6
t
El ángulo r que forma la tangente geométrica con la parte positiva del eje OX, en
un punto general es r = arc tg (- 6t + 6)
La ecuación de la tangente geométrica , y – y1 = m ( t - t1 ) ; con m = tgr = (- 6t + 6)

Para el punto t 1= 2 x1 = (-3) . 22 + 6 . 2 + 4 = 4 x’ = m = tg r= - 6 . 2 + 6 = - 6
Ec. tang. geométrica x – 4 = (- 6) . ( t – 2) Y x = - 6t + 16 con r = arctg(- 6) =
99º27’44’’
Para el punto t 2= - 1 x2 = (-3) . (-1) 2+ 6 . (-1) + 4 = -5 x’ = m = tg r= (- 6) . (-1) + 6
= 12
Ec. Tang. geométrica x + 5 = 12 . ( t – (-1)) Yx = 12t +7 con r =arctg 12 = 85º14’11’’
Habrá un ¿mínimo? cuando x’= 0 Y - 6t + 6 = 0Y t 3= 1 x3 = (-3) . 1 + 6 . 1 + 4 = 7
Ec. tangente geométrica x – 7 = 0. ( t – 1 ) y x = 7 con r = arctg 0 = 0º

Fijaros, además, cuando x’>0 la función crece, cuando x’ es negativa decrece

x x' = -6t + 6
x=7 (1,7)
x f(t)
f(x)
Vértice cuando x' = 0
1 7 0 = -6t + 6
2 4 t=1 f(t) = x = 7
x = 12t + 7
(2,4) 3 -5
(0,4)
0 4 Este valor es el MÁXIMO que
99
°2 -1 -5 toma la función
7'
44
'' Cuando t = 2 y' = (-6).2 + 6 = -6 -6
x' = (-6).2 + 6 =
85
85
°1
4
4''
11
1'

tg = x'= -6 = 99°27'44'' > 90°
''

t (parte
x f (t ) 3t 2 6t 4
positiva) Cuando t = -1
Cuando t = -1
x' = (-6).(-1) + 6 = 12
x' = (-6).(-1) + 6 = 12
tg = x'=12 = 85°14'11'' < 90°
tg = x'=12 = 85°14'11'' < 90°
Cuando t = 1 x' = (-6).(1) + 6 = 0
Cuando t = 1 x' = (-6).(1) + 6 = 0
(-1,-5) x - 7 = 0. ( t - 1) Recta x=7
(3,-5) x - 7 = 0. ( t - 1) Recta
= 0° x=7
tg = x'=0
x = (-6)t + 16
RECUERDA, calcula la x que hace tg r = y’ = 0, y habrá un MÁXIMO, si en su entor-no, a su
izquierda, y’= tg r tiene valores positivos, siendo negativos los de la derecha

RECAPITULANDO, se calcularán, como ecuación, los valores de x
que hacen que la primera derivada y’ sea nula ( y’=0).

Tendremos un MÁXIMO relativo cuando a la izquierda, de ese
valor, nos de la derivada, del punto elegido, valores positivos, pasando
a negativos, a su derecha.
Tendremos un MÍNIMO relativo cuando a la izquierda, de ese
valor, nos de la derivada, del punto elegido, valores
negativos, pasando a positivos, a su derecha.
EJEMPLO:
y = f (x)= 8x2 – 64 x + 12 su derivada es y’ = f’ (x) = 16x – 64
Para que y’ = 0 16x – 64 = 0 x=4
Valores a la izquierda xiz= 3 f’(xiz)= 16.3 – 64 = - 16
DECRECE
Valores a la derecha xdc= 5 f’(xdc ) = 16.5 – 64 = 16 CRECE

En la función y = x3 – 12 x +4 halla los puntos en donde existen máximos y mínimos
Sabiendo que f (x)= y ; f(x +Dx ) = (x +Dx)3 – 12 (x + Dx) +4
f (xx) f ( x) [(x x)3 12( x x) 4] [ x 3 12x 4]
y' f ' ( x) lim x 0 lim x 0
x x
x 3 3x 2 x 3x( x) 2 ( x)3 12x 12 x 4 x3 12x 4
lim x 0
x
3x 2 x 3x( x) 2 ( x)3 12 x x 3x 2 3x x ( x) 2 12
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 (3x 2 3x x ( x) 2 12) 3x 2 3x.0 02 12 3x 2 12
Para que y’ = 0 3x2 – 12 = 0 Soluciones : x1 = 2 x2= -
2
Valores de la primera derivada en el entorno de x1 = 2
A la izquierda x = 1 f’(1) = 3.12 – 12 = -9 (Negativo) DECRECE
A la derecha x = 3 f’(3) = 3.32 – 12 = 15 (Positivo) CRECE
La tg r varia de negativo a positivo, en el punto x1 = 2 ; y = f(2) =-12 hay un
MÍNIMO
Valores de la primera derivada en el entorno de x2 = -2
A la izquierda x = -3 f’(-3) = 3.(-3)2 – 12 = 15 (Positivo) CRECE

En la función x =3t3 – 9t2 + 5 halla los puntos en donde existen máximos y mínimos rela-
tivos.¿Que pasa en esos puntos?
Sabiendo que f (t)= x ; f(t +Dt ) = 3(t +Dt)3 – 9 (t + Dt) +5
f (t t) f (t ) [3(t t ) 3 9(t t ) 2 5] [3t 3 9t 5]
x' f ' (t ) lim t 0 lim t 0
t t
3[t 3 3t 2 t 3t ( t ) 2 ( t ) 3 ] 9[t 2 2t t t 2 ] 5 3t 3 9t 2 5
lim t 0
t
3t 3 9t 2 t 9t ( t ) 2 3( t ) 3 9t 2 18t t 9t 2 5 3t 3 9t 2 5
lim t 0
t
9t 2 t 9t ( t ) 2 3( t ) 3 18t t t (9t 2 9t ( t ) 3( t )2 18t )
lim t 0 lim t 0
t t
lim t 0 lim t 0 9t 2 9t ( t ) 3( t ) 2 18t 9t 2 9t.0 3.(0) 2 18t 9t 2 18t

Haremos que la derivada, la velocidad, se anule, calculando los puntos en que sucede:
f’ (t)=0 9t2 – 18t =0 Soluciones de la Ecuación : t1 = 0 t2 = 2
En el entorno de t1 = 0
A su izquierda, tomamos t =- 1 f’( -1 )= 9. (-1)2 – 18. (-1) = 27 CRECE
A su derecha, tomamos t=1 f’( 1 )= 9. 12 – 18. 1 = -9 DECRECE
Al pasar de Positivo a Negativo en el punto t1 = 0 y1 = 5, hay un MÁXIMO
En el entorno de x2 = 2
A su izquierda, tomamos t=1 f’( 1 )= 9. 12 – 18. 1= - 9 DECRECE
A su derecha, tomamos t= 3 f’( 3 )= 9. 32 – 18. 3 = 27 CRECE
Al pasar de Negativo a Positivo, en el punto t2 = 2 y2 = -7, hay un MÍNIMO

Cálculo de derivadas
Si cada vez que tenemos que hallar una derivada hubiese que utilizar el cálculo del
límite, aparte de tedioso, el tiempo perdido seria enorme. Hay que buscar sistemas ( se
llama sistematizar) para resolverla con prontitud y exactitud. Vamos a estudiar los casos
de las derivadas:

Derivada de la función constante
y=f(x)=K y+Dy = f ( x + Dx ) =
K
dy f (x x) f ( x) K K 0
y' f ' ( x) lim x 0 lim x 0 lim x 0 0
dx x x x

Es menor el valor cero que el infinitésimo Dx, por eso f’(x) = 0

EJEMPLOS:
y = 1875,6 y’= 0
y = 0’8 y’ = 0
y=p y’ = 0
f(x) = 238,3 y’ = 0
3
f(x) = y’ = 0
4

Derivada de la función de 1er Grado
y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

y'

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

y' f' x

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy
y' f' x

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy
y' f' x
dx

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy
y' f' x lim
dx x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x
y' f' x lim
dx x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x
y' f' x lim
dx x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x
y' f' x lim
dx x 0 x

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
lim
x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x
lim
x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x
lim
x 0 x

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x 0
lim
x 0 x

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x 0
lim
x 0 x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x 0
lim lim
x 0 x 0 x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x 0
lim lim 1
x 0 x 0 x 0

y=f(x)=x y+Dy = f ( x + Dx ) = x + Dx

dy f x x f x x x x
y' f' x lim lim
dx x 0 x x 0 x
x 0
lim lim 1 1
x 0 x 0 x 0

EJEMPLO:

y=x y’ = 1

Derivada de la función de 2º Grado
y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy
y' f ' ( x)
dx

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy
y' f ' ( x) lim x 0
dx

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
lim x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2
lim x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2
lim x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2
lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2 x2
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2 x2 2x x
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2 x 2 2 x x ( x) 2
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2x x
lim x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2
lim x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x 2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2
lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x 2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x 2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x 2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x 2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x 2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 2x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 2x x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 2x x 2x

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 2 x x 2x 0

y = f ( x ) = x2 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )2
dy f (x x) f ( x)
y ' f ' ( x) lim x 0
dx x
(x x) 2 x 2 x 2 2 x x ( x) 2 x2
lim x 0 lim x 0
x x
2 x x ( x) 2 x(2 x x)
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 2 x x 2x 0 2x

EJEMPLO: y = x2 y’ = 2x

Derivada de la función Raíz Cuadrada
y f ( x) x y y f (x x) x x
dy f (x x) f ( x)
y' f ' ( x) lim x 0
dx x

dy f (x x) f ( x) x x
dx x

dy f (x x) f ( x) x x x
dx x

dx x x

dx x x
lim x 0

y ' f ' ( x) lim x 0 lim x 0
dx x x
( x x x)
lim x 0
x

y ' f ' ( x) lim x 0 lim x 0
dx x x
( x x x )( x x
lim x 0
x( x x

y ' f ' ( x) lim x 0 lim x 0
dx x x
( x x x )( x x x)
lim x 0
x( x x x)

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
lim x 0

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x
lim x 0
x( x x x)

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x x
lim x 0
x( x x x)

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x x x
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x x x
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
1
lim x 0
x x x

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x x x
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
1 1
lim x 0
x x x x 0 x

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x x x
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
1 1 1
lim x 0
x x x x 0 x x x

dx x x
( x x x )( x x x) ( x x )2 ( x )2
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
x x x x
lim x 0 lim x 0
x( x x x) x( x x x)
1 1 1 1
lim x 0
x x x x 0 x x x 2 x

y = f ( x ) = x3 f ( x + Dx ) = ( x + Dx )3
dy f (x x) f ( x) (x x) 3 x 3 x 3 3 x 2 x 3 x( x) 2 ( x) 3 x3
y ' f ' ( x) lim x 0 lim x 0 lim x 0
dx x x x
3x 2 x 3x( x) 2 ( x) 3 x[3x 2 3x( x) ( x) 2 ]
lim x 0 lim x 0
x x
lim x 0 3x 2 3x( x) ( x) 2 3x 2 3x.0 (0) 2 3x 2

EJEMPLO: y = x3 y’ = 3x2

Derivada de la función Raíz Cúbica
3 3
f ( x) x f (x x) x x
dy f (x x) f ( x) 3
x x 3
x 3
x x 3
x 3
(x x) 2 3
x2 3
x x 3
x
lim x 0 lim x 0 lim x 0
dx x x 3
(x x) 2 3
x2 3
x x 3
x x
3 x x 3
x3 x x x
lim x 0 lim x 0
3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3
(x x) x x x x x x (x x) x x x x
x x 1
x 3
(x x) 2 3
x2 3
x x 3
x x 3
(x x) 2 3
x2 3
x x 3
x
1 1 1
1.
3
( x 0) 2 3
x2 3
x 0 3
x 3
x2 3
x2 3
x 3
x 33 x 2

Se trata, también, la función raíz cúbica como una función con exponente 1
3

Derivada de la función de Grado n (general)
y = f ( x ) = xn f ( x + Dx ) = ( x + Dx )n
n n n n 1 n n2 n n3 n n
n n
x x x x ( x) 2 x ( x) 3  x
dy f (x x) f ( x) (x x) x 0 1 2 3 n
y' f ' ( x) lim x 0 lim x 0 lim x 0
dx x x x
n.(n 1) n 2
n(n 1)(n 2) n 3 n.(n 1) n 2 n(n 1)(n 2) n 3
xn nxn 1
x x ( x) 2 x ( x) 3  x n nxn 1 x x ( x) 2 x ( x)3 
lim 2 2.3 lim x 0 2 2.3
x 0
x x
n.(n 1) n 2 n(n 1)(n 2) n 3
x[nxn 1 x ( x) x ( x) 2 ]
2 2.3 n.(n 1) n 2 n(n 1)(n 2) n 3
lim x 0 lim x 0 nxn 1 x ( x) x ( x) 2 
x 2 2.3
n 1 n.(n 1) n 2 n(n 1)(n 2) n 3 n.(n 1) n 2 n(n 1)(n 2) n 3 2
lim x 0 [ nx x ( x) x ( x) 2 ] nxn 1 x .0 x (0) ] n.x n 1
2 2.3 2 2.3

EJEMPLO:
a) y = x8 y’ = 8x8-1=8x7 c) y = x232 y’ = 232x232-1=8x231
b) y = x-5 y’ = -5x-5-1=-5x-6 d)y = x0´3 y’ = 0’3x0’3-1=0’3x-0’7
1 8 8 1 9 8
e) y x y' 8x 8x
x8 x9
5 5 2
7 5 7
5 7 1 5 5
5 5
f) y x x y' x x 2
7 7 5 75 x 2
7x

Derivada de la función Raíz e-nésima
1 1 1 n n 1
n n
1 n 1 1 n
1 n
1
f ( x) x x Utilizando la derivada de la potencia e nesim a y ' x x x n 1
n n n n
n.x
1
y'
nn x n 1

1 1 1 8 8 1 7
8 8
1 8 1 1 8
1 8
1 8
1 1
EJEMPLO: y x x y' x x x x 7
8 8 8 8 8 88 x 7
8.x
m m m n n m
n m n
m n 1 m n
m n
m m
y x x suele ser m n y' x x x n m
n n n n nn x n m
n.x

15 15 15 23 8
15 23 1 15 15 1 1 1
EJEMPLO: y 23
x15 x 23
y' x x 23
x 23
8
23 23 23 23 823 x 23 15
823 x8
8.x

Derivadas de funciones elementales

¿Como se derivará 8x5 – 3x4 + 8x – 5?. Fijate, ya sabemos como lo debemos hacer
de manera individual,en algunas funciones elementales, ahora tendremos que hacerlo
teniendo en cuenta las conexiones que no son mas que sumas, restas, multiplicaciones
y en su caso divisiones . Por eso vamos a calcular las de las operaciones elementales:

Derivada de la Suma de Funciones
y = f ( x ) = g(x) + h ( x f ( x + Dx ) = g (x + Dx) + h (x +
) Dx )
f (xx) f ( x) [ g ( x x) h( x x)] [ g ( x) h( x)]
y' lim x 0 lim x 0
x x
g ( x x ) h( x x ) g ( x ) h( x ) [ g ( x x) g ( x)] [h( x x)] h( x)]
lim x 0 lim x 0
x x
g ( x x) g ( x) h( x x)] h( x) g ( x x) g ( x) h( x x)] h( x)
lim x 0 lim x 0 lim x 0 g ' ( x ) h' ( x )
x x x x

La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada
función
EJEMPLOS:
a) y = x8 + x5 y’ = 8x7 + 5x4 b) y = x- 3 + x4 y’ = -3x-4 + 4x3
c) y = x-6 + x7 + x y’ =- 6x-7 + 7x6 + 1
d) y = 8 + x-3 + x y’ = 0+(-3)x-4 + 1 =-3x-4 + 1

Derivada de la Diferencia de Funciones
y=f(x)=g(x)-h( f ( x + Dx ) = g (x + Dx) – h (x + Dx
x) )
f (xx) f ( x) [ g ( x x) h( x x)] [ g ( x) h( x)]
y' lim x 0 lim x 0
x x
g ( x x ) h( x x ) g ( x ) h( x ) [ g ( x x) g ( x)] [h( x x)] h( x)]
lim x 0 lim x 0
x x
g ( x x) g ( x) h( x x)] h( x) g ( x x) g ( x) h( x x)] h( x)
lim x 0 lim x 0 lim x 0 g ' ( x ) h' ( x )
x x x x

La derivada de una diferencia de funciones es la resta de las derivadas de cada función

EJEMPLOS:
a) y = x9 - x12 y’ = 9x7 - 12x11 b) y = x- 5 – x3 y’ = -5x-6 - 3x2
c) y = x8 - x-7 - 0’35 y’ = 8x7 – (-7)x-8 - 0 = 8x7 + 7x-8
d) y = x122 - x-3 - x y’ = 122x121- (-3)x-4 + 1 = 122x121+3x-4

Derivada del Producto de Funciones
y = f ( x ) = g(x) . h ( x ) f ( x + Dx ) = g (x + Dx) . h (x + Dx
f (x x) f ( x) [g(x x).h( x
) x)] [ g ( x).h( x)] g(x x).h( x x) g ( x).h( x)
y' lim x 0 lim x 0 lim x 0
x x x
g(x x).h( x x) g ( x).h( x) g(x x).h( x) g(x x).h( x x)
lim x 0
x
g(x x).h( x x) g ( x).h( x) g(x x).h( x) g(x x).h( x x)
lim x 0
x
g(x x).h( x x) g ( x).h( x) g(x x).h( x x). g(x x).h( x x)
lim x 0
x
g(x x).h( x x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x)
lim x 0
x
g(x x).h( x
x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x)
lim x 0
x x
g(x x).h( x x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x)
lim x 0 lim x 0
x x
h( x x)[g ( x x). g ( x)] g ( x)[h( x x) h( x)] [g(x x). g ( x)]
lim x 0 lim x 0 lim x 0 h( x x).lim x 0
x x x
h( x x ) h( x )
g ( x).lim x 0 h( x 0).g ' ( x) g ( x).h' ( x) h( x).g ' ( x) g ( x).h' ( x)
x

La derivada de un producto de dos funciones es la suma del producto de la
derivada del primer factor por el otro sin derivar mas el de la derivada del segundo
factor por el primero sin derivar

y’ = f’ ( x ) = g’(x) . h ( x )+ h’(x) . g ( x
)
La derivada de un producto de dos funciones es la suma del producto de la
derivada del primer factor por el otro sin derivar mas el de la derivada del segundo
factor por el primero sin derivar

a) y = 8x5 y’= 0x5 + 8.5x4 =40x4 b) y = px-3 y’= 0x-3 + p.(-3)x-4 = -3px-
4

c) y = 4x2 - 20x - 7 y’= ( 0x2 + 2x) – (0x + 20.1) – 0=2x + 20
d) y = 3x3 + 5x2 - 6 y’= ( 0x3 + 3x2) – (0x2 + 5.2x) – 0= 3x2 + 10x
COROLARIO: La derivada de un producto de una constante por una función es
igual al producto de la constante por la derivada de la función.

y = f ( x ) = K . g(x) y’ = f’ ( x ) = K . g’(x)

y = 25x3 y’= 25.3x2 =75x2 b) y = 0’3x-5 y’= 0’3 .(-5)x-6 = -1’5x-6

¿ Y CUANDO EL PRODUCTO ES DE MAS DE DOS
FACTORES ?
y = f ( x ) = g(x) . h ( x ). r ( x ) haremos y = f ( x ) = g(x) . [h ( x ). r ( x ) ]
y’ = g’(x) .[ h ( x ). r ( x )]+ g(x) . [h ( x ). r ( x )]’=g’(x) . h ( x ). r ( x )+ g(x) . [h’( x ). r ( x
)]+

La derivada ). r’ un producto. de(varias( funciones. es la ). r ( x del producto x ). la ( x )
g(x) . [h ( x de ( x )]= g’(x) h x ). r x )+ g(x) h’( x suma ) + g(x) . h ( de r’ derivada
del primer factor por los otros, sin derivar, mas el de la derivada del segundo factor por
los otos, sin derivar, mas la del tercero por los otros y así hasta terminar las derivadas
de todos los factores. Sintetizando, es la suma de los productos obtenidos sustituyendo
un factor cualquiera por su derivada.

a) f ( x ) = x . ( x - 1 ). ( x - 8 ) f’ ( x ) = 1. ( x - 1 ). ( x - 8 ) + x . ( 1 - 0 ). ( x - 8 ) + x . ( x - 1 ). ( 1 - 0 )=
= ( x - 1 ). ( x - 8 ) + x . 1 . ( x - 8 ) + x . ( x - 1 ). 1 = ( x - 1 ). ( x - 8 ) + x . ( x - 8 ) + x . ( x - 1 )

b) f ( x ) = 9 x5 . ( x - 12 ). ( x + 3 ) f’ ( x ) = 0 . x5 ( x - 12 ) . ( x + 3 ) + 9.5x4 . ( x - 12 ). ( x + 3
)+
+ 9 x5 . ( 1 - 0 ). ( x + 3 ) + 9 x5 . ( x - 12 ). ( 1 + 0 )= 0 + 45x4 . ( x - 12 ). ( x + 3 ) + 9 x5.( x + 3 ) + 9 x5.( x -
12 )

c) f ( x ) = ( 7 x2 + x + 12 ). ( 3 - 4x -6x2 ). ( x2 - 5 ) f’ ( x ) = ( 14x + 1 + 0 ). ( 3 - 4x -6x2 ). ( x2 - 5 ) +
+ ( 7 x2 + x + 12 ). ( 0 - 4 - 12x ). ( x2 - 5 ) + ( 7 x2 + x + 12 ). ( 3 - 4x -6x2 ).( 2x - 0 )=
2 2 2 2

Derivada del Cociente de Funciones
g ( x) g(x x)
y f ( x) y f (x x)
h( x ) h( x x)
g(x x) g ( x) g(x x).h( x ) g ( x ).h( x x)
f (x x) f ( x) h( x x) h( x ) h( x).h( x x)
y ' lim x 0 lim x 0 lim x 0
x x x
g(x x).h( x) g ( x).h( x x) g(x x).h( x) g ( x).h( x x) g ( x).h( x) g ( x).h( x)
lim x 0 lim x 0
h( x).h( x x). x h( x).h( x x ). x
g(x x).h( x) g ( x).h( x) [ g ( x).h( x x) g ( x).h( x)] g(x x).h( x) g ( x).h( x)
lim x 0 lim x 0
h( x).h( x x). x h( x).h( x x). x
g ( x).h( x x) g ( x).h( x) h( x ) g(x x) g ( x)
lim x 0 lim x 0
h( x ).h( x x). x h( x).h( x x) x
g ( x) h( x x ) h( x ) h( x ) g(x x) g ( x)
h( x ).h( x x) x h( x ).h( x x) x
g ( x) h( x x ) h( x ) h( x ) g ( x)
lim x 0 lim x 0 g ' ( x) h' ( x )
h( x ).h( x x) x h( x ).h( x ) h( x).h( x)
g ' ( x).h( x ) g ( x ).h' ( x)
[ h( x )]2

La derivada de un cociente de funciones es la división entre la diferencia de los
productos de la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la
derivada del denominador por el numerador sin derivar partido por el denominador
elevado al cuadrado

Derivadas2

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