Crecimiento Asintótico de una
Función ƒ(x) y su relación con el
rendimiento de la programación
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•  Sean X y Y dos conjuntos de números
reales.
•  Una función “ƒ” de una variable real “X” de
X a Y es una correspondencia...
•  Al conjunto “X” se le llama dominio de “ƒ”.
•  El valor {y} se le llama “imagen” de {x} por f y se denota
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•  Una función X a Y es “Inyectiva” si a cada valor
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•  La variable {x} es la variable
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•  La variable {y} es la variable dependiente.
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Funciones
Con dominio Explícito
Función Implícita y Explícita
•  Una relación entre 2 conjuntos “X” y “Y” es
un conjunto de pares ordenados de la
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•  Los puntos de la gráfica están dados por
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al dominio de ƒ.
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•  Funciones Algebraicas (polinómicas,
radicales, racionales)
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•  n: es el grado de la función
•  ai: es el coeficiente y an es el coeficiente
dominante
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•  Grado Cero (constante)
•  Grado Uno (Lineal)
•  Grado Dos (Cuadrática)
•  Grado Tres (Cúbica)
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•  Se da por la combinación de 2 funciones
•  Sean f y g dos funciones.
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Composición ƒ * g
Notación “Big O”
Para la determinación del
crecimiento en algoritmos
programados
•  Se usa para representar consumo a través
del tiempo (recursos, memoria, etc)
•  Permite cuantificar rendimientos de
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Comportamiento Asintótico
Posibles Comportamientos
De una función
•  Para una determinada función g(n) se
denota
•  g(n) define los límites asintóticos de la
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•  Existen funci...
Notación
Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
•  Una función cuadrática por
tanto es para a>0
•  Es más, para cualquier polinomio
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•  La notación define los límites para el
peor y el mejor caso
•  “Big - O”, define solamente el límite del
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Notación “Big - O”
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•  La notación “Big Omega” funciona
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Para 2 funciones
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TEOREMA para ambos límites
•  O – Notación: f(n) puede alcanzar el límite
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•  ω – Notación es a Ω – Notación como o –
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•  “ω” denota por tanto la tendencia al límite
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Relación entre las Notaciones
Tendencias
Análisis de Código Fuente
Ejemplo 1
Análisis de Código Fuente
Ejemplo 2
Análisis de Código Fuente
Ejemplo 3
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Mejor y Peor Caso
Órdenes de Complejidad
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Notacion Asintotica

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Notacion Asintotica

  1. 1. Crecimiento Asintótico de una Función ƒ(x) y su relación con el rendimiento de la programación Ing. Juan Ignacio Zamora MSc | Ulacit 2012.
  2. 2. •  Sean X y Y dos conjuntos de números reales. •  Una función “ƒ” de una variable real “X” de X a Y es una correspondencia que asigna a cada numero {x} de X a un numero {y} de Y Función Real de Una Variable Real
  3. 3. •  Al conjunto “X” se le llama dominio de “ƒ”. •  El valor {y} se le llama “imagen” de {x} por f y se denota por ƒ(x). –  X = { 1, 2, 3 ….. n} –  Y = {… 1, 2, 3, …} •  El recorrido “ƒ” se denomina como el subconjunto de “Y” formado por todas las imágenes de los números de “X” Función Real de Una Variable Real
  4. 4. Dominio  de  {x}   Recorrido   y  =  ƒ(x)     ƒ Y X = {1,2,3} Y = {1,2,3,4} Recorrido  de   una  Función  
  5. 5. •  Una función X a Y es “Inyectiva” si a cada valor {y} perteneciente al recorrido le corresponde exactamente un valor del dominio. •  Se dice que una función es “Suprayectiva” o “Biyectiva” si su recorrido es todo “Y” •  Sobreyectiva: para cada imagen (y) existe un elemento en el dominio. Dominio y Pertenencia Pre   Imagen   {dominio}   Imagen   {codominio}  
  6. 6. •  La variable {x} es la variable independiente. •  La variable {y} es la variable dependiente. – Podemos decir que el área “A” de un círculo está en función de su radio y denota como Variables Involucradas y su relación…
  7. 7. Funciones Con dominio Explícito
  8. 8. Función Implícita y Explícita
  9. 9. •  Una relación entre 2 conjuntos “X” y “Y” es un conjunto de pares ordenados de la forma (x , y) donde {x} es un elemento de “X” y {y} es un elemento de “Y”. Notación de Funciones
  10. 10. •  Los puntos de la gráfica están dados por los puntos (x, ƒ(x) ), donde {x} pertenece al dominio de ƒ. – {x} : es la distancia al eje Y – ƒ(x) : es la distancia al eje X Gráfica de una Función El término ƒ(x) fue definido por el matemático Leohnard Euler
  11. 11. •  Funciones Algebraicas (polinómicas, radicales, racionales) •  Funciones Trigonométricas (sen, cos, tan) •  Exponenciales y Logarítmicas Funciones Elementales Y su clasificación
  12. 12. •  n: es el grado de la función •  ai: es el coeficiente y an es el coeficiente dominante •  a0: es el término constante Grado de una Función Y sus componentes
  13. 13. •  Grado Cero (constante) •  Grado Uno (Lineal) •  Grado Dos (Cuadrática) •  Grado Tres (Cúbica) Grados de una Función Coeficiente Dominante
  14. 14. •  Se da por la combinación de 2 funciones •  Sean f y g dos funciones. – La combinación dada por f * g(x) = f(g(x)) – El dominio de f * g es el conjunto de todos los {x} del dominio de {g} tales que el dominio de g(x) pertenece a “f”…. Función Compuesta
  15. 15. Dominio de la Función Compuesta {x}   g(x)   f(g(x))   ƒ g Dominio f Dominio g ƒ * g
  16. 16. •  La composición ƒ * g suele ser distinta a la composición g *ƒ – f(x) = 2x – 3 – g(x) = cos x Composición ƒ * g
  17. 17. Notación “Big O” Para la determinación del crecimiento en algoritmos programados
  18. 18. •  Se usa para representar consumo a través del tiempo (recursos, memoria, etc) •  Permite cuantificar rendimientos de funciones con base a su estructura •  Define la correlacion del crecimiento del tiempo de ejecución de un algoritmo en función de las operaciones a ejecutar. Notación Asintótica
  19. 19. Comportamiento Asintótico
  20. 20. Posibles Comportamientos De una función
  21. 21. •  Para una determinada función g(n) se denota •  g(n) define los límites asintóticos de la función ƒ(n). •  Existen funciones asintóticas positivas y asintóticas no negativas para valores grandes de n. •  Por tanto es asintótica no negativa Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
  22. 22. Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
  23. 23. •  Una función cuadrática por tanto es para a>0 •  Es más, para cualquier polinomio •  Como una constante es un polinomio grado cero Notación Cuando existe el peor y el mejor rendimiento
  24. 24. •  La notación define los límites para el peor y el mejor caso •  “Big - O”, define solamente el límite del peor caso. – Regla: – O(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c positiva y 0 <= f(n) <= cg(n) para todo n0 >= n } Notación “Big - O” El peor caso
  25. 25. Notación “Big - O” El peor caso Demostración
  26. 26. •  La notación “Big Omega” funciona inversamente al “Big O” al identificar el límite inferior de rendimiento. – Regla: – Ω(cg(n)) = { f(n) donde existe una constante c positiva y 0 <= cg(n) <= f(n) para todo n0 >= n } Notación “Big - Omega” Ω” El mejor caso
  27. 27. Para 2 funciones Tenemos que Sí y solo sí Notación TEOREMA para ambos límites
  28. 28. •  O – Notación: f(n) puede alcanzar el límite superior… •  o – Notación (“little o”): f(n) tiende al tratar de alcanzar el límite, pero no llega. Otras Notaciones Little – o : cuando tiende al límite superior
  29. 29. •  ω – Notación es a Ω – Notación como o – Notación es a O Notación. •  “ω” denota por tanto la tendencia al límite inferior, pero no lo alcanza. f(n) = ω(cg(n)) Otras Notaciones Little – omega ω : cuando tiende al límite inferior
  30. 30. Relación entre las Notaciones Tendencias
  31. 31. Análisis de Código Fuente Ejemplo 1
  32. 32. Análisis de Código Fuente Ejemplo 2
  33. 33. Análisis de Código Fuente Ejemplo 3
  34. 34. Ejemplo 4 Mejor y Peor Caso
  35. 35. Órdenes de Complejidad Tiempos Aproximados de Resolución ( n muy grande)

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