S
O(n lg n)
Ing. Juan Ignacio Zamora M. MS.c
Facultad de Ingenierías
Licenciatura en Ingeniería Informática con Énfasis e...
Funciones Exponenciales
S  Una función exponencial es la que tiene por criterio
S  Tal que b > 0 y b <> 1. “b” se llama ...
Funciones Logarítmicas
S  La función logarítmica es la inversa de la exponencial y viceversa.
S  Se denota por
S  El lo...
Propiedades de los Logaritmos
logb x = y ⇔ by
= x
logb f (x) = logb g(x)⇔ f (x) = g(x)
logb 1= 0
logb b =1
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Solución de
Recurrencias
Método de Substitución e
Inducción Matemática
Arboles de Recursión
“Master Method”
Featuring à Merge Sort
S  Por Ejemplo Merge-Sort tiene un tiempo asintótico de
S  T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n)
S  aT(n...
El Método de Substitución
S  Paso 1: Adivine cual puede ser la forma de la solución*
S  Paso 2: Utilizar inducción matem...
Árbol de Recurrencias
4.4 The recursion-tree method for solving recurrences 89
…
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(c)(b)(a)
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“Master Method”
S  Es una receta de cocina para para resolver recurrencias que
concuerden con la forma T(n) = aT(n/b) + f...
Uso de “Master Method”
S  Consideremos un tiempo T(n) = 9T(n/3) + n
S  Decimos que:
S  a = 9, b = 3, f(n) = n
S  Otro ...
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O(nlogn) Analisis

  1. 1. S O(n lg n) Ing. Juan Ignacio Zamora M. MS.c Facultad de Ingenierías Licenciatura en Ingeniería Informática con Énfasis en Desarrollo de Software Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnología
  2. 2. Funciones Exponenciales S  Una función exponencial es la que tiene por criterio S  Tal que b > 0 y b <> 1. “b” se llama base y su exponente es la variable independiente S  Características S  Biyectiva y continua S  Asintótica al eje x (NO corta el eje x) S  Si b > 1, es estrictamente creciente S  Si 0 < b < , es estrictamente decreciente f (x) = bx
  3. 3. Funciones Logarítmicas S  La función logarítmica es la inversa de la exponencial y viceversa. S  Se denota por S  El logaritmo de un numero negativo no esta definido asi tampoco como el logaritmo de cero, dado que el dominio esta contenido en S  Características S  Asintótica al eje Y (NO Corta el eje Y) S  Si b > 1, la función es estrictamente creciente S  Si 0 < b < 1, entonces es decreciente f (x) = logb ⇔ bx = y R+
  4. 4. Propiedades de los Logaritmos logb x = y ⇔ by = x logb f (x) = logb g(x)⇔ f (x) = g(x) logb 1= 0 logb b =1 logb xy = logb x + logb y logb x y = logb x −logb y logb xn = nlogb x blogb x = x logb xn = 1 2 logb x = logb x n logb a = loga logb logb a = 1 loga b
  5. 5. Solución de Recurrencias Método de Substitución e Inducción Matemática Arboles de Recursión “Master Method”
  6. 6. Featuring à Merge Sort S  Por Ejemplo Merge-Sort tiene un tiempo asintótico de S  T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n) S  aT(n/b) : representa el tamaño de cada sub problema (conquistar) S  D(n) : representa el tiempo que toma dividir S  C(n) : representa el tiempo que toma combinar S  Dado que en Merge Sort D(n) = O(1), no se incluye y C(n) = O(n) por tanto T(n) = c n =1 2T(n / 2)+cn n >1 ! " # $# % & # '#
  7. 7. El Método de Substitución S  Paso 1: Adivine cual puede ser la forma de la solución* S  Paso 2: Utilizar inducción matemática para probar que nuestra teoría era correcta (prueba). S  Dada una recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n S  Establecemos que T(n) = O(n lg n) S  c > 0, c = 1 S  m = n/2 T( n 2!" #$) ≤ c n 2!" #$lg n 2!" #$ T(n) ≤ 2(c n 2!" #$lg( n 2!" #$))+ n T(n) ≤ cnlg(n / 2)+ n T(n) = cnlgn −cnlg2 + n T(n) = cnlgn −cn + n T(n) ≤ cnlgn
  8. 8. Árbol de Recurrencias 4.4 The recursion-tree method for solving recurrences 89 … … (c)(b)(a) T .n/ cn2 cn2 cn2 T n 4 T n 4 T n 4 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 cn2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 3 16 cn2 3 16 2 cn2 log4 n T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/ ‚.nlog4 3 / 4.4 The recursion-tree method for solving recurrences 89 … … (d) (c)(b)(a) T .n/ cn2 cn2 cn2 T n 4 T n 4 T n 4 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 T n 16 cn2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 4 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 c n 16 2 3 16 cn2 3 16 2 cn2 log4 n nlog4 3 T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/T .1/ ‚.nlog4 3 / Total: O.n2 / T(n) = 3T(n / 4)+cn2
  9. 9. “Master Method” S  Es una receta de cocina para para resolver recurrencias que concuerden con la forma T(n) = aT(n/b) + f(n) donde a y b > 1. S  El “Master Method” se basa en 3 casos: f (n) = O(nlogb a−∈ ) ∈> 0 T(n) = O(nlogb a ) f (n) = Θ(nlogb a ) T(n) = O(nlogb a lgn) f (n) = Ω(nlogb a+∈ ) e > 0 af (n / b) ≤ cf (n) T(n) = Θ( f (n))
  10. 10. Uso de “Master Method” S  Consideremos un tiempo T(n) = 9T(n/3) + n S  Decimos que: S  a = 9, b = 3, f(n) = n S  Otro ejemplo: T(n) = T(2n/3) + 1 S  a = 1, b = 3/2, f(n) = 1 nlogb a = nlog3 9 = Θ(n2 ) O(nlog3 9−ε ) ε =1 T(n) = Θ(n2 ) nlogb a = nlog3/21 = n0 =1 f (n) = Θ(nlogb a ) = Θ(1) T(n) = Θ(lgn)

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