1. PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 71, 76 MATEMÁTICA II
TEMA II: INTEGRALES
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios del
cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si
bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler,
Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213
a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al
cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis
infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se
aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos
que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en
ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones
era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.
Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años
antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su
otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es,
además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue
el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y ÷ para denotar un
cociente, entre otras muchas más aportaciones.
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función
primitiva de  xf a otra función  xF cuya derivada sea  xf en dicho intervalo. Es decir,
   xfxF  para todo x de [a,b]. Así, por ejemplo:
 La función  xsen es una primitiva de  xcos puesto que     .cos xxsen 

 La función xln es una primitiva de
x
1
puesto que   .
1
ln
x
x 

 La derivada de
3
3
x
es ,3
3
1
3
22
3
xx
x








por lo cual
3
3
x
es una primitiva de .2
x
PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION
PRIMERA PROPIEDAD: Si  xF es una primitiva de  xf y C una constante cualquiera
(un número), la función  xF + C es otra primitiva de  xf .

2. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA II
DEMOSTRACIÓN: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la
suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
        .0 xfxfCxFCxF 


EJERCICIO: Encontrar tres primitivas de la función  xcos .
RESOLUCIÓN: Se sabe que  xsen es una primitiva de  xcos . Luego, tres primitivas de
 xcos son, por ejemplo,   ,3xsen    ,2lnxsen   .
3

xsen
SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas
primitivas.
DEMOSTRACIÓN: Si  xF es una primitiva de  xf , para cualquier constante C,
  CxF  es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como
valores se le quieran dar a C.
TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en una
constante. Esto es,  xF y  xG son primitivas de la función  xf , entonces
    .cteCxGxF 
DEMOSTRACIÓN: Hay que recordar que si una función  xf definida en un intervalo
cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función  xf es constante.
Es decir, si   0 xf , entonces   .Cxf  Pues bien, si  xF es una primitiva de  xf ,
   ;xfxF  y si  xG es otra primitiva de  xf , entonces también    ;xfxG  luego,
restando miembro a miembro,              ,0

 xfxfxGxFxGxF de donde se
deduce que     .CxGxF 
LA INTEGRAL INDEFINIDA
DEFINICIÓN: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxF
dx
d

en I, es decir, si    xfxF  para toda x en I, esto es:
  )()(')()( xfxFsisóloysícxFdxxf

3. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 MATEMÁTICA II
Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función  xf
obtenemos como resultado  xF ; si este resultado se deriva obtendremos como resultado al
integrando y además nos sirve como comprobación.
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de
integrales indefinidas.
 Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable:
  dxxfkdxxfk )()(
 Sean f y g son dos funciones integrables, entonces:
 
   
  


dxxgdxxfdxxgxfii
dxxgdxxfdxxgxfi
)()()()()
)()()()()
 Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la
constante de integración.
   cxkdxkdxk
REGLA DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.
 






 
cx
n
dxx nn 1
1
1
donde el exponente n es un número racional y n  -1
INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES
En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y
las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de
integración.

4. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 MATEMÁTICA II




cuduu
cuduu
sencos
cossen
  cuduu seclntan








cuuduu
cusenduu
cuduuu
cuduuu
tanseclnsec
lncot
csccotcsc
sectansec
  cuuduu cotcsclncsc




cuduu
cuduu
cotcsc
tansec
2
2






c
a
a
dua
cu
u
du
cedue
u
u
uu
ln
ln
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral
indefinida. Vamos unos ejemplos:
1. Calcular la siguiente integral indefinida  dxx3
5
PASO 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.
  dxxdxx 55 33
PASO 2: Para encontrar una antiderivada de x3
(o sea la primitiva) aplicamos la fórmula
siguiente:
cx
n
dxx nn







 

1
1
1
O sea que:
cxdxx 






 

133
13
1
55
PASO 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.
  cxdxx 43
4
5
5

5. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 MATEMÁTICA II
Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:
 
dx
cd
xcx
dx
d
4
4
5
4
5 144






 
Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al
integrando.
34
5
4
5
xcx
dx
d







NOTA: Recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos
refiriendo a la integral indefinida.
Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.
2. Calcula la integral indefinida    dxxxx 2543 35
y realiza la comprobación.
PASO 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la
suma o resta de las integrales, esto es:
      dxdxxdxxdxxdxxxx 25432543 3535
PASO 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de
una potencia, como se muestra a continuación:
      dxdxxdxxdxxdxxxx 25432543 3535
PASO 3: Se integra cada una de éstas.
































4
3
11
2
133
1
155
22
11
1
55
13
1
44
15
1
33
cxdx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
PASO 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc  .

6. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 MATEMÁTICA II
  cxxxxdxxxx  2
2
5
4
4
6
3
2543 24635
PASO 5: Finalmente se simplifica el resultado.
  cxxxxdxxxx  2
2
5
2
1
2543 24635
Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.
  02)2(
2
5
46
2
1
2
2
5
2
1 35246






 xxxcxxxx
dx
d
Simplificando se obtiene:
25432
2
5
2
1 35246






 xxxcxxxx
dx
d
Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.
3. Calcula la integral indefinida  dxxsen y realiza la comprobación.
PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:
  cxdxx cossen
PASO 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.
xxc
dx
d
x
dx
d
cx
dx
d
sen0sencos)(cos 
Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.
4. Calcula la integral indefinida  dxx
3
PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, perteneciente al caso en el
que .3a Por tanto:
 
Cdx
x
x
 3ln
3
3
PASO 2: Realiza la comprobación derivando el resultado.

7. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 MATEMÁTICA II
5. Probar la certeza de la igualdad
C
x
x
x
dx




 1
1
ln
2
1
1 2
Para lo cual basta demostrar que la derivada de la función C
x
x



1
1
ln
2
1
es .
1
1
2
x
EJERCICIOS:
a) Calcula la integral    dxxxx 4839 23
y realiza la comprobación.
b) Calcula la integral  dxxcos y realiza la comprobación.
c) Analiza con atención cada uno de las siguientes expresiones y calcula las integrales
aplicando el método de integración respectivo.
1.    dxxxxx 72 234
2.  





 dxxxx 8
5
6
2 23
3.  





 dxxx
2
3
4
1
3
2 2
4.    dxxx 304 23
5. 

dxx2 3
6.  dxx2
3
7.    dxxx 123
8.     dxxx 231
9.    dxxx 96 24
d) Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las
integrales trascendentes.
10.   dxxex
)2(
11.  dx
x
1
12.  dxxsec2 2
13. dxxcos5
14.  dx
x
3
sen
15.  dx
x3
8

8. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 MATEMÁTICA II
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de
pregunta Respuesta correcta
1.    cxxxxxdxxxxx 7
2
1
3
1
2
1
5
1
72 2345234
2.  





 cxxxdxxxx 23423
4
5
2
2
1
8
5
6
2
3. cxxxdxxx 





 2
3
8
1
9
2
2
3
4
1
3
2 232
4.   cxxxdxxx 30
3
4
4
1
)304( 3423
5.   
cxdxx 23
2
6. cxdxx  2
5
2
3
5
2
7.    cxxxdxxx 92
5
1
96 3524
8.    cxxxdxxx 22
3
3
2
12
9.     cxxxdxxx 2
2
1
231 23
10.    cxedxxe xx 2
2
11. cxdx
x
 ln
1
12.   cxtandxx 2sec2 2
13.   cxdxx sen5cos5

9. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 MATEMÁTICA II
14.   cxdx
x
cos
3
1
3
sen
15.   cxdx
x
ln
3
8
3
8
EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente:
Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f.
Entonces u = g(x).
    cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(
Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.
Evalúa la siguiente integral:    dxxx 42
PASO 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42
 xu , entonces la derivada de u es
dxxdu 2
PASO 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:
  
2
4 2
1
2 du
udxxx
Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxx
du
2
 .
PASO 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es,
2
1
se escribe fuera de la integral
por ser una constante.

10. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 MATEMÁTICA II
  
2
1
4 2
1
2
duudxxx
PASO 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:
 















c
u
duu
1
2
12
1
2
1
1
2
1
2
1
cucuc
u













 2
3
2
32
3
3
1
6
2
2
32
1
PASO 5: Se hace el cambio de variable de 42
 xu y se sustituye en el resultado:
     cxdxxx 2
3
22
4
3
1
4   cx 
32
4
3
1
Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método.
EJERCICIOS: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.
I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y
la solución.
1.    dxxx
432
5
2.    dxx
6
93
3.  

dx
e
e
x
x
21
4.    dxx
5
1
5.  dxxx cossen3
 

dx
x
x
9
3
2
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
dxx
du
dxxduxu 223
3
35 
     cxdxxx
53432
5
15
1
5
2 dx
du
dxduxu 
3
393

11. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 MATEMÁTICA II
     cxdxx
76
93
21
1
93
3
dxe
du
dxedueu xxx

2
221
 

cedx
e
e x
x
x
21ln
2
1
21
4
dxduxu  1
     cxdxx
65
1
6
1
1
5
dxxduxu cossen 
cxdxx 
43
sen
4
1
sen
6
dxx
du
dxxduxu
2
292

 

cxdx
x
x
9ln
2
3
9
3 2
2
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del
producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de
integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:
  )(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx 
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
  dxxuxvdxxvxuxvxu )(')()(')()()(
Despejando la primera integral tenemos:
  dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()()(')(
Sí dxxuduydxxvdv )(')('  , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la
forma siguiente:
  duvvudvu

12. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 MATEMÁTICA II
La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la
elección apropiada de u y dv, lo cual se consigue solamente con la práctica.
Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral:  dxxx cos
PASO 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu 
PASO 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados,
obteniendo:
  dxxdv cos , entonces cxv  sen
PASO 3: Los valores de vydvduu ,, se sustituyen en la fórmula, quedando de la
siguiente manera:
     dxxxxdxxx sensencos
La integral de   cxdxx cossen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se
obtiene el resultado.
  cxxxdxxx cossencos
Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.
EJERCICIOS: Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes
integrales.
1.  dxxx sen
2.  dxxln
3.  dxex x2
4.  dxxx cos4
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
xvdxxdvdxduxu cossen 
  cxxxdxxx coscossen

13. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 MATEMÁTICA II
2
xvdxdvdx
x
duxu 
1
ln
  cxxxdxx lnln
3
xx
evdxedvxdxduxu  22
  dxxeexdxex xxx
222
La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto
es:
xx
evedvdxduxu  1111 22
   cxxedxex xx
2222
4
xvdxxdvdxduxu sencos44 
  cxxxdxxx cos4sen4cos4
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Si el integrando contiene una expresión de la forma: a u u a o a u2 2 2 2 2 2
  ,
Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución
trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:
EJEMPLO: Resuelve la siguiente integral:   dxxI 2
25
SOLUCIÓN: El cambio a realizar en este tipo de integrales es tx sen5

14. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 MATEMÁTICA II
ttsensentxdttdx cos5)1(25)5(2525;.cos5 222

Entonces:
  .cos25.cos5.cos5 2
tdtdtttI (*)
Hacemos
 tdtI 2
1 cos y la resolvemos por partes:
dvdttut  .cos;cos ;
  tdttvdudtt sen.cos;.sen
    dttdtttdttttdttttI .coscos.sen)cos1(cos.sen.sencos.sen 222
1
Es decir, 11 cos. IttsetI  ; y por tanto,
2
cos.sen
1
ttt
I


Resultado que llevado a (*) nos da )cos.(
2
25
ttsentI  . Si deshacemos el cambio de
variable:
5
25
cosquesale,1cossenrelaciónladey;
5
sen
2
22 x
ttt
x
t


Finalmente queda: C
x
xxI 
5
arcsen
2
25
25
2
1 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halla el valor de la siguiente integral:
 
 dx
xa
a
I
22
2. Resuelve:
 
 dx
xx
I
2
67
1
3. Demostrar que  

Caxxdx
ax
2
2
ln
1
4. Resuelve 

 dx
x 4
2
2

15. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 MATEMÁTICA II
5. Resuelve: 
 2082
xx
dx
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1 Buscando el arco seno resulta: C
a
x
aI  arcsen.
2
Eliminamos el término en x haciendo el cambio .
2
b
tx 
Después buscamos el arco seno y se obtiene C
x
I 


4
3
arcsen
3 Hágase el cambio xtax 2
4 Cxx  4ln2 2
5
2
4
arctg
2
1 x
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El siguiente teorema enuncia el hecho notable de que ""G es una antiderivada de .f
Además muestra como se puede usar cualquier antiderivada para encontrar la integral
definida de .f
TEOREMA: Sea f una función continua en un intervalo cerrado  b,a
PARTE I: Sí se define G como:
 dttfxG
x
a
)()(
Para todo x en  b,a , entonces G es una antiderivada de f en  b,a .
PARTE II: Sí F es una antiderivada de f, entonces:
  )()()( aFbFdxxf
b
a

16. TEMA II: INTEGRALES
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 MATEMÁTICA II
“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton
(1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente
debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la
invención del Cálculo”1
EJEMPLO: Calcular    dxxxx 196 23
2
1
SOLUCIÓN: Se aplican las propiedades de la integral definida.
 
2
234234
2
1
2
1
22
1
32
1
42
1
2
1
22
1
32
1
4
2
1
2
1
2
2
1
3
2
1
23
2
1
4
17
1
2
9
3
6
4
1
2
2
36
3
48
4
16
)1(
2
)1(9
3
)1(6
4
1
)2(
2
)2(9
3
)2(6
4
2
2
9
3
6
42
9
3
6
4
196196
u
x
xxx
x
xxx
dxdxxdxxdxxdxxxx









   
EJERCICIO: Calcular       dxxsenxxx ln3
3
1
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Revisar en línea:
https://es.khanacademy.org/search?page_search_query=integrales
http://fooplot.com/?lang=es#W3sidHlwZSI6MCwiZXEiOiJ4XjIiLCJjb2xvciI6IiMwMDA
wMDAifSx7InR5cGUiOjEwMDB9XQ--
“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no
pensar.” Hipatia de Alejandría.
1
Cfr. Swokowski W. Earl “Introducción al Cálculo con Geometría Analítica”. Pág. 243.