Pressão hidrostática em um ponto

HIDROSTÁTICA HIDROSTÁTICA

1° Semestre 2003

Prof. Henrique Mariano Costa do Amaral
Universidade Estadual do Maranhão 1
Prof. Henrique Mariano

HIDROSTÁTICA Tópicos
•Pressão Hidrostática
•Pressão em um Ponto
•Manômetros
•Força Hidrostática em Superfícies Submersas
•Flutuação

2

HIDROSTÁTICA

3

HIDROSTÁTICA

HIDROSTÁTICA

4

PRESSÃO EM UM PONTO
Devemos investigar a relação entre a
HIDROSTÁTICA

tensão em qualquer interface em um
ponto com as tensões sobre um
conjunto de interfaces ortogonais
nesse mesmo ponto.
Pela 2ª lei de Newton, tem-se

∑F z =0
∑F y =0
Levando a essas expressões os valores indicados na figura ao lado:
δ xδ yδ z
∑F y = p yδ xδ z − psδ xδ s sin θ = ρ .
2
ay
δ xδ yδ z δ xδ yδ z
∑ Fz = pzδ xδ y − psδ xδ s cos θ − γ
2
=ρ
2
az
δy
p y − ps = ρ a y
2
SIMPLIFICANDO essas expressões, tem-se δz
p z − ps = ( ρ a z + γ ) 5
2

Como estar-se interessado num ponto, pode-se fazer δ x → 0; δ y → 0; δ z → 0
logo:
py = p s = pz
HIDROSTÁTICA

Como a escolha de θ foi arbitrária, pode-se dizer que as tensões ou pressões em
um ponto de um fluido em repouso é independente da direção. Este resultado é
chamado de Lei de Pascal:
ps = pz = p y ⇒ σ nn = σ zz = σ yy
A lei de Pascal não se aplica quando o fluido não é
contínuo, conforme mostrado na figura a seguir:

6

Ver-se-á agora como varia a pressão, ponto-a-ponto, numa quantidade de fluido
que não apresenta tensões de cisalhamento.
HIDROSTÁTICA

Seja o elemento de fluido em repouso mostrado na figura ao lado, onde atua
forças superficiais, devido a pressão, e forças de campo como o peso W do
elemento.
As arestas do cubo elementar são respectivamente δ x; δ y; δ z nas direções x, y,
z. A força resultante na direção y é dada por:

 ∂p δ y   ∂p δ y 
δ Fy =  p −  δ xδ z −  p +  δ xδ z
 ∂y 2   ∂y 2 
∂p
⇒ δ Fy = − δ xδ yδ z
∂y

7

Similarmente tem-se
HIDROSTÁTICA

∂p
δ Fz = − δ xδ yδ z
∂z
∂p
δ Fx = − δ xδ yδ z
∂x

8

Como a força superficial é um campo vetorial, a força
resultante é:
HIDROSTÁTICA

δ Fs = δ Fx i + δ Fy j + δ Fk k
 ∂p ∂p ∂p 
δ Fs = −  i + j + k  δ xδ yδ z
 ∂x ∂y ∂z 
∂ ∂ ∂
O operador ∂ x i + ∂ y j + ∂ z k é um
operador vetorial chamado gradiente e é
representado pelo símbolo ∇ (nabla) ou pela
abreviatura grad. Assim tem-se:
δ Fs = −∇pδ xδ yδ z
9

δ Fs = −∇pδ xδ yδ z
HIDROSTÁTICA

ou ainda δ Fs
= −∇p
δ xδ yδ z
Considerando que o peso do elemento de fluido é

−δ Wk = −γ (δ xδ yδ z ) k
dado por:

onde o sinal negativo (-) indica que a força aponta
para baixo, no sentido contrário ao do eixo z.
10

Aplicando-se a 2ª lei de Newton no elemento de fluido
HIDROSTÁTICA

mostrado anteriormente, tem-se:

∑ δ F = δ m.a → ∑ δ F = δ F − δ Wk = δ ma
s

→ −∇pδ xδ yδ z − γ .δ xδ yδ zk = ρ .δ xδ yδ za
ou ainda
−∇p − γ k = ρ a
que é a equação geral do movimento para o caso de
fluidos que não apresentam tensões de cisalhamento.
11

Em um fluido em repouso, temos que a
HIDROSTÁTICA

aceleração é nula, isto é, a=0. Então a equação do
movimento se transforma em:

−∇p − γ k = 0
∂p ∂p ∂p
Pela lei de Pascal, tem-se que ∂x = 0; ∂y = 0; ∂z = −γ
que levando à equação acima tem-se:
dp
= −γ
dz 12

dp
= −γ
HIDROSTÁTICA

dz
Esta equação indica que o gradiente de pressão na
direção vertical é negativo, ou seja, a pressão
diminui quando o ponto é considerado mais acima,
num fluido em repouso. Esta equação é válida
qualquer que seja a expressão para γ.

13

No caso de fluido
incompressíveis sabe-se
HIDROSTÁTICA

que o peso específico γ de
um fluido varia conforme
a variação de sua massa
específica, ρ, e da
aceleração da gravidade g.
Como g não tem grandes
variações nas aplicações
corriqueiras de
engenharia, resta a análise
de p. 14

Assim, se na equação
HIDROSTÁTICA

fizermos a integração com p
variando de p1 ate p2 quando
z varia de z1 até z2, tem-se
p2 z2

∫ dp =−γ ∫ dz ⇒( p − p ) =−γ ( z − z )
p1 z1
2 1 2 1

como h=z2-z1 tem-se:

p1 − p2 = γ h
15

p1 − p2 = γ h
HIDROSTÁTICA

A equação acima mostra que a pressão num fluido
incompressível em repouso varia linearmente com a
profundidade; esse tipo de distribuição de pressão é
chamado de hidrostática. Reescrevendo da seguinte
forma p − p
h= 1 2
γ
verifica-se que h (denominada de carga) é interpretado
como a altura da coluna de fluido de peso específico γ
necessário para provocar a diferença de pressão p1- p2.
16

HIDROSTÁTICA PRESSÃO EM UM PONTO

Exemplo: a diferença de pressão de
69kPa pode ser especificada como
uma carga de 7,04 m de coluna d´água
(γ = 9,8 kN/m3) ou 519 mm de Hg
(mercúrio = γ = 133 kN/m3)

17

Note-se que com isso a uma mesma
HIDROSTÁTICA

profundidade a pressão é a mesma, qualquer
que seja a posição no plano x-y. Assim é
conveniente, quando trabalha-se com
fluidos, utilizar como pressão de referência
a pressão na superfície livre p0, assim a
pressão a qualquer profundidade é:
p = γ h + p0
18

p = γ h + p0
HIDROSTÁTICA

Exemplo: A manometria é uma técnica de medição de
pressão. O tipo mais simples de manômetro é o tubo em
U. Aplicando a equação, usando o esquema ao lado
como orientação tem-se:
pB = pA +γ Ad1 = pC = patm +γHgd2
A C
como queremos medir a pressão
interna ao bulbo pA, então tem-se: B

p A = patm + γ Hg d 2 − γ A d1
19

p A = patm + γ Hg d 2 − γ A d1
HIDROSTÁTICA

A
C
Se a pressão que queremos
medir é a pressão relativa, B

fazemos na expressão
acima patm = 0 e escreve-se:

p A = γ Hg d 2 − γ A d1
20

No caso de fluido compressível – os gases
HIDROSTÁTICA

em geral – é necessário considerar na
integração da equação de pressão, a variação
do peso específico do fluido. No entanto, o
γar ao nível do mar e a 15ºC é de 12 N/m3,
enquanto o peso especifico da água nas
mesmas condições é de γágua=9,8 kN/m3.
Vê-se assim, que o gradiente de pressão na
direção vertical é pequeno devido ao peso
específico (γ) dos gases serem baixos. 21

caso de fluido compressível
HIDROSTÁTICA

Nos casos onde a variação da altura é muito
grande, da ordem de milhares de metros,
deve-se levar em consideração a variação do
peso especifico dos gases.

22

caso de fluido compressível
Como a equação de estado para um gás perfeito é:
HIDROSTÁTICA

p = ρ RT ∴γ = ρg
dp
e a equação da pressão é dada pela expressão = −γ
tem-se: dz
dp pg dp g dz
=− → =−
dz RT p RT
onde R é a constante universal dos gases, T é a
temperatura do gás em Kelvin (K) . Podemos analisar
dois caso; no primeiro T é constante, independe da
altura onde se encontra o ponto de análise; o segundo
caso é quando T varia linearmente com a altitude.
23

Sendo T=T0 = constante no intervalo de z1 a z2, tem-se:
HIDROSTÁTICA

 dp 
p2 z2 z2
 g dz  g
∫  p  = − ∫  R T  = − RT0
p1   z1  
∫ dz
z1

p2 g
ln =− ( z2 − z1 )
p1 RT0
que produz a equação que relaciona a pressão e altura
numa camada isotérmica (temperatura constante e
igual a T0) de um gás perfeito:
 g 
p 2 = p1 e x p  − (z2 − z 1 )
 R T0 
24

Agora, se a temperatura na camada de gás variar
linearmente com a altitude, segunda a equação do tipo:
HIDROSTÁTICA

T = T0 + cz ∴c = constante
 dp  2  g dz  g 2 dz
p2 z z
dT
∫  p  = −z∫  R T  = − R ∫ T ∴dT = cdz →dz = c
p1   1  z1

então
 dp  g  T2 
p2 T2
g dT p2
∫  p  = − Rc T∫ T →ln p1 = − Rc ln T1 
p1    
1

donde se conclui que a relação entre pressão e altura no
caso da temperatura variar com a altitude é: −g
 T2  Rc
onde T1=T0+cz1 e T2=T0+cz2, e T deve p2 = p1  
ser usada em graus absolutos (Kelvin).  T1 
25

Exemplo:
HIDROSTÁTICA

Num tanque de gasolina de um posto, há
infiltração de água. Sabendo-se que a densidade
da gasolina é de 0,68, determine a pressão na
interface gasolina-água e no fundo do tanque. O
tanque tem o esquema mostrado na figura.

26

Exemplo:
HIDROSTÁTICA

Solução: Vamos usar a expressão,
isto é,
γ gasolina
p1 = p0 + γ z ∴ d = = 0, 68 ⇒ γ gasolina = 0, 68γ agua
γ agua
p1 = patm + d γ agua h = patm + 0, 68*9800*5 = patm + 33320 Pa
onde p1 é a pressão na interface gasolina-água. Se
considerar patm a pressão p1 é dita pressão absoluta, se patm
= 0 a pressão é dita relativa. A pressão p2 no fundo do
tanque será então igual a pressão da interface gasolina-
água acrescida da carga devido a altura da água, assim:
p2 = p1 + γ agua h2 = 33320 + 9800*1 = 43120 Pa 27

Exemplo:
HIDROSTÁTICA

O Empire State Building de Nova York, com seus
381 m é um dos edifícios mais alto do ocidente.
Estime a relação entre as pressões no topo e na
base do edifício, admitindo o ar incompressível e
γ=12,01 N/m3, a uma temperatura a 15ºC.
Solução: Considerando o ar incompressível,
tem-se p = γ h + p0
sendo h = h2-h1 e p1 = patm = 101,3 kPa, logo
p2 γ ( h2 − h1 ) 12, 01( 381 − 0 )
= 1− = 1− = 0,955
p1 p1 1, 013 ×10 5
28

Agora vamos considerar o ar
HIDROSTÁTICA

compressível, então devemos aplicar a
expressão :
 g   g   
− ( z2 − z1 )  p1 − ( z2 − z1 )  −
9,8
 286,9×288 ( 381− 0 )
p2 = p1e  RT0 
→ =e  RT0 
=e  
= 0, 956
p2

Como se vê, a variação é muito
pequena, da ordem de 0,1%

29

ATMOSFERA PADRÃO
Atmosfera padrão é a atmosfera ideal
HIDROSTÁTICA

terrestre e foi avaliada numa latitude média
com uma condição ambiental média anual de
modo que se pudesse ter um padrão em todo o
globo terrestre, para facilitar o projeto de
aviões, foguetes, mísseis, e outros artefatos
espaciais. Uma das organizações responsável
por essa medição, a American National
Standard Institute – ANSI, estabeleceu o
quadro publicado à pagina 42 do livro do
Bruce Munson.
30

ATMOSFERA PADRÃO
Dessa maneira é possível integrar a
HIDROSTÁTICA

equação pg dp g dz
dp = − dz → =−
RT p R T
no intervalo de 0 até 11 km de altura,
onde a distribuição de temperatura é dado
por T = T0 - βz onde T0 é a temperatura
média ao nível do mar (z=0) e β é a taxa
de decaimento da temperatura, que na
média é 6,5x10-3 K/m.
31

ATMOSFERA PADRÃO
Levando esses
pg dp g dz
dados à equação dp = − dz → =−
HIDROSTÁTICA

RT p RT
e integrando
obtém-se: g
 β z  Rβ
p = p0  1 −  1 atm = 101,33 kPa
 T0  = 14,696 psi
= 29,92 in Hg
= 33,94 ft H2O

onde p0 é a pressão absoluta em z=0, e R =
286,9 J/kg.K.
32

ATMOSFERA PADRÃO
As propriedades da atmosfera padrão
HIDROSTÁTICA

americana (válida em todo seu território
americano, em média) são:
•Temperatura média = 288,15K = 15ºC
•Pressão ao nível do mar = 101,33 kPa(abs)
•Massa específica do ar = 1,225 kg/m3
•Peso específico do ar =12,014 N/m3
•Viscosidade = 1 atm = 101,33 kPa
-5 N.s/m2 = 14,696 psi
1,789x10 = 29,92 in Hg
= 33,94 ft H2O
33

MEDIÇÕES DE PRESSÃO
A pressão é uma característica importante do campo de escoamento;
ela é designada em termos absolutos e relativos. As primeiras são
HIDROSTÁTICA

relativas ao vácuo perfeito, enquanto as segundas são medidas em
relação a pressão atmosférica local. No gráfico ao lado vê-se um
esquema sobre o assunto. Note que as diferenças de pressões são
independentes do referencial.

A medição da pressão atmosférica é normalmente realizada com um
barômetro de mercúrio; assim: patm = γHgh + pvapor 34

MEDIÇÕES DE PRESSÃO
Exemplo:
HIDROSTÁTICA

A água de um certo lago está a 10ºC e sua profundidade
máxima é de 40 m . Se a pressão barométrica no local é
598 mm Hg, qual a pressão absoluta no fundo do lago.
Solução: Este é um exemplo de aplicação direta da
equação patm = γHgh + pvapor :
 kN  kN
p0 = γ Hg h = 133 3  ( 0,598m ) = 79,5 2
 m  m

como γágua,10ºC=9,804 kN/m3 tem-se:
p = p0 + γ agua ,10º C h = 472kPa(abs )

35

MANOMETRIA
Como já foi visto, a monometria é uma
HIDROSTÁTICA

aplicação direta da teoria já exposta. Será
visto e estudado diversos tipos – os mais
comuns e básicos – de manômetros.

36

MANOMETRIA
Tubos Piezométrico
HIDROSTÁTICA

Conforme esquematizado ao lado é um tubo em L
invertido ligado a um recipiente fechado, no qual
queremos medir a pressão; no tubo, evidentemente, tem
um fluido manométrico, em geral o mercúrio (Hg), cuja
densidade é bastante elevada, comparativamente com os
demais fluidos usados corriqueiramente. Assim a equação
que devemos usar para efetuar a medida é:

p = p0 + γ h
onde γ é o peso específico
do fluido no tubo. 37

MANOMETRIA
Tubos em U
Este tipo de manômetro e aquele esquematizado ao lado.
HIDROSTÁTICA

Neste tipo o peso do liquido na perna mais longa do U
(medido a partir do nível do mesmo fluido na perna mais
curta do U) deve ser igual a pressão no recipiente
acrescido da pressão devido a altura D1 do fluido (igual
ao contido no recipiente). Dessa forma a equação que rege
este tipo de manômetro é:

p A = γ 2 D2 − γ 1 D1
38

MANOMETRIA
Tubos Inclinados
HIDROSTÁTICA

Se γA e γB forem gases e γm,
o fluido manométrico, for o
mercúrio, então os dois
primeiros têm pesos
específicos desprezíveis em
relação ao último; nesse caso
tem-se: pA + γ A D1 − γ m D2 sinθ − γ B D3 = pB
pA − pB = −γ A D1 + γ m D2 sin θ + γ B D3
ou seja, a leitura da carga D2 será:
pA − pB = γ m D2 sinθ 39

MANOMETRIA
Tubos Inclinados
HIDROSTÁTICA

Este tipo de manômetro são destinados a medição
de pequenas variações de pressão em sistemas com
gases. Eles têm o esquema apresentado ao lado.
Onde o fluido manométrico fica entre dois outros
fluidos A e B contidos em dois recipientes
diferentes, entre os quais deseja-se medir a
diferença de pressão. Para determinar a equação
que rege este tipo de manômetro, fazemos o
balanço de pressão da seguinte forma:
p A − pB
pA − pB = γ m D2 sinθ D2 =
γ m sin θ 40

MANOMETRIA
Exemplos:
HIDROSTÁTICA

1-Qual é a pressão indicada no manômetro C se as pressões
indicadas são pA = 45 psi e pB = 20 psi ? A pressão barométrica é
30,55” no Hg.

Em MathCad a
solução é dada por:
Dados as pressoes manométricas pa, pb e patm, calcular pc para o device mostrado na figura:

pa := 45 ⋅ psi pb := 20 ⋅ psi patm := 30.55⋅ in_Hg
pA := pa + patm
pB := pA pBv := pB − pb pC := pBv pc := pC − patm
5 -1 -2
pc = 1.724× 10 kg m s

41

2 – Um tanque nas dimensões indicadas
contém fluido cuja densidade é 2,96.
Pergunta-se:
HIDROSTÁTICA

a – com a disposição indicada na figura,
determine as pressões manométricas em A e
B.
b – qual o peso do fluido contido no tanque?
c – se a pressão barométrica for 14,6 psia, a
válvula do tanque está aberta ou fechada? 42

Solução
Lembramos que densidade é
γ
dado por S =
γH 0
HIDROSTÁTICA

2
desprezando a carga de
pressão do vapor, tem-se:
p A + γ H 2O  ( 2 '+ 3 ' ) 2, 69 + 2 '.13, 6 + 1'.1 + 3 '.13, 6  = 0
 
⇒ p A = 22, 5 psi
logo pB = p A + γ H O .S .2 ' ∴ 2' = altura do fluido no tanque
2

pB = 22,5 +
62,4
144
lbf 62, 4 lbf
.2,69.2 ' ∴γ H 2O = 62, 4 2 =
in 144 ft 2
→ pB = 25, 2 psi
b – W = γ.V = γH2o.S.V = (62,4).(2,69).(2.4.4) = 5,92 lbf
c – Se a válvula estivesse aberta, o manômetro em A marcaria 0
(zero). Logo o registro está fechado. 43

MANOMETRIA
Na figura ao lado vê-se um esquema de um dispositivo usado para medir vasão
em volume. O bocal convergente serve para criar um diferença de pressão pA – pB
HIDROSTÁTICA

no escoamento, que permite avaliar a vazão pela expressão
Q = k ( p A − pB )
1
2
onde k é uma constante que depende das
dimensões do bocal e do tubo. Assim a pressão
será:
p5 = p4 p1 = pA - γ1h1
p2 = p1
p3 = p2
p4 = p3 - γ2h2
pB=p5 + γ1(h1+h2)
somando tudo , tem-se
pA – pB = h2 (γ2 - γ1)
Vê-se com isso que nesse dispositivo, a diferença de pressão
depende apenas da altura do líquido manométrico (h2)
44

FORÇA
HIDROSTÁTICA

HIDROSTÁTICA
NUMA
SUPERFÍCIE
PLANA
45

FORÇA HIDROSTÁTICA
NUMA SUPERFÍCIE PLANA
HIDROSTÁTICA

Neste tópico estar-se
interessado em
determinar a força
hidrostática resultante
FR sobre o plano
inclinado representado
ao lado. Para se
estudar esse problema
consideremos o fluido
incompressível e que a
superfície submersa
está em equilíbrio
estático. 46

FORÇA HIDROSTÁTICA
NUMA SUPERFÍCIE PLANA
HIDROSTÁTICA

Para simplificar o
entendimento, vamos
fazer o plano y-z
coincidir com o plano da
superfície submersa e o
eixo x perpendicular a
esse plano. Além disso a
superfície do líquido está
em contato com a
atmosfera. Se o plano dF = pdA ∴ p = γ h
submerso fizer um
ângulo θ com o plano da → dF = γ hdA ∴ h = y sin θ
superfície livre, tem-se: → dF = γ y sin θ dA 47

FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA
SUPERFÍCIE PLANA
integrando a
FR = γ sin θ ∫ ydA
HIDROSTÁTICA

última
A
expressão
acima tem-se: FR = γ sin θ yA

onde y é a coordenada do centróide e y sinθ
é a profundidade h do centróide em
relação a superfície submersa.

48

SUPERFÍCIE PLANA
FR = γ sin θ ∫ ydA
HIDROSTÁTICA

A

FR = γ sin θ yA

Pela expressão anterior vê-se que a
resultante FR depende de γ, A e h . Se γ é
a pressão pc no centróide, então

FR = pc A 49

SUPERFÍCIE PLANA
Analisando a equação FR = pc A pode-se imaginar que FR passa pelo
HIDROSTÁTICA

centróide. Isso seria verdadeiro se a superfície não estivesse
inclinada em relação a superfície do fluido.
Porém, no caso mais geral, a superfície submersa forma
um ângulo θ com a superfície do fluido, onde o “prisma
de pressão” é linearmente variável, e a resultante desse
prisma passa, obrigatoriamente, pelo seu centro de
gravidade e é perpendicular à superfície submersa, uma
vez que não há nenhuma força de cisalhamento
presente.
Nesse caso, o centróide do plano inclinado está deslocado da posição do
centróide do plano horizontal devido a variação da pressão com a profundidade.
Assim, o ponto de aplicação da força resultante será o seu centro de pressão, que
indicamos na figura por CP. Para determina-la, faz-se:
M FR = M p 50

SUPERFÍCIE PLANA
isto é, o momento de FR em relação ao CP (centro de pressão) será igual ao
HIDROSTÁTICA

momento das forças distribuídas em torno do eixo dos x. Logo
FR . ycp = ∫ p. ydA = ∫ γ y 2 sin θ dA
A A

mas FR = pc A = γ hA = γ y sin θ . A

assim γ y sin θ . A. ycp = γ sin θ ∫ y 2 dA
A

∫ y dA
2
onde
A
é o momento de inércia em torno do eixo dos x, da
superfície submersa, ou seja Ixx; dessa forma tem-se:
I xx
yAy p = I xx ycp =
yA

51

SUPERFÍCIE PLANA
Se fizermos uma transformação, como uma translação de eixo, (do
HIDROSTÁTICA

eixo x) de modo que ele passe pelo centróide da superfície
submersa, pode-se utilizar o “teorema dos eixos paralelos”
(aprendido lá na mecânica), de modo que se tenha: I xx = I ε ,ε + Ay 2
I ε ,ε
Levando essa expressão em tem-se: ycp = y +
yA
Fazendo agora o momento em relação ao eixo
dos y, tem-se:
FR .xcp = ∫ x. p.dA = γ sin θ ∫ xydA
A A

onde A
∫ xydA é o momento de inércia Ixy . Procedendo de maneira similar
como fizemos acima, tem-se
I xy I ε .η
xcp = ∴ I xy = I ε ,η + x . y . A xcp = x +
yA yA 52

SUPERFÍCIE PLANA
Xc – distância do CF a
Xo - distância do CG a Ia – momento de inércia K2 – quadrado do raio
Figura borda superior da figura,
HIDROSTÁTICA
borda superior da Figura em relação ao eixo de giração relativo ao
quando a superfície da
horizontal Baricêntrico eixo horizontal
água coincide com o
baricêntrico
mesmo

a ba 3 a2 2
a
2 12 12 3
a æ b + 2B ö
÷ a 3 éê ( B + b) + 2 Bb ùú a éê 2 Bb ùú a æ 3B + b ö
2

ç
ç ÷ ê1 + ç
ç ÷
÷
÷ 36 êê ú 2ú
÷
3ç b+ B ø
è ë
B+b úû 18 êë ( B + b) úû 2 ç 2B + b ø
è
2 ba 3 a2 3
a a
3 36 18 4
pr 4 pr 2
r 4 4
5
4
r

0,4244r 0,10978r 4 0, 06987r 2 0,5891r
Note que quando um dos eixo do centróide for um eixo de simetria da 53
superfície submersa, Ie,h se anula e xcp = x

SUPERFÍCIE PLANA
1.Uma comporta retangular de dreno se abre por pressão hidrostática. Se a
HIDROSTÁTICA

comporta pesa W toneladas por pé de profundidade, qual a carga H necessária
para abri-la. Resolver analiticamente, depois numericamente.

54

Solução SUPERFÍCIE PLANA
Seja uma profundidade unitária; a força resultante é
HIDROSTÁTICA

FR = γ hA = γ . y sin θ . A
atuando no centro de pressão da
comporta, que está localizado em:
I ε ,ε
y p = y ´+
yA
Para que haja equilíbrio é necessário que o momento
provocado por W seja igual ao momento provocado por
FR; assim
W . x = FR . ycp W . x = γ .h. A. ycp = γ . y sinθ . A. ycp

 I ε ,ε   Iε ,ε 
W . x = γ . y sin θ . A.  y´+ W . x = γ .sin θ . A.  y´ y +
 yA    A   55

SUPERFÍCIE PLANA
 I 
Desta última expressão ( W . x = γ .sin θ . A.  y´ y + ε ,ε  ) pode-se tirar o
HIDROSTÁTICA

 A 
valor de y, isto é:
W .x I ε ,ε
= yy´+
γ .sin θ . A A 1  W .x 
y=  − I ε ,ε 
→y=
W .x
−
I ε ,ε y´ A  γ .sin θ 
y´.γ .sin θ . A y´ A
Mas a carga ou altura H que estamos procurando é:
l
H = h + sin θ ∴ h = y sin θ
logo pode-se escrever: 2
 l
H =  y +  sin θ
 2 56

SUPERFÍCIE PLANA
Agora, aplicando os valores numéricos indicados na figura acima,
que são:
HIDROSTÁTICA

l = 10 [ft] = 10 [ft] x 0,3048 [m/ft] = 3,048 [m];
A = 3,048 [m] x 1 [m] = 3,048 [m2]; y´= l/2 = 1,524 [m];
W = 25 [ton] = 25[ton] x 1000[kgf/ton] x 9,8[N/kgf] = 245.000[N] ;
X = y cos q = 1,524.cos 45° = 1,524.0, 707 = 1,0775[ m ]
bh = .1.(3,048) = 2,3597 éêë m 4 ùúû g = 9800 éêë N m 3 ùúû
1 3 1
I ee =
3
e
12 12
Substituindo esses valores na expressão de y e H, tem-se:
1  245000 × 1,077468 
y= − 2,359737216  = 7,6941[ m ]
1,524 × 3,048  9800 × 0,707
 

H = ( 7,6941+1,524 ) 0,707
H = 6,5172 [ m ] 57

SUPERFÍCIE PLANA
HIDROSTÁTICA

58

SUPERFÍCIE PLANA
2.Uma barragem, figura ao lado,
HIDROSTÁTICA

mantém água por uma comporta em
L. Desprezando o peso da comporta,
determine o momento T0 sobre o eixo
de apoio por unidade de
comprimento.
Solução
O momento T0 no eixo de apoio da comporta será igual a soma dos
momentos provocados pelas resultantes da pressão hidrostática na
vertical e na horizontal. Na vertical a resultante é 1 γ R aplicada a 2/3
2

2
do nível do reservatório; a pressão horizontal tem resultante igual a
.γ R 2 e é aplicada no meio da largura R da comporta

59

SUPERFÍCIE PLANA
HIDROSTÁTICA

Assim tem-se:
R R
T0 = F1. + F2 .
3 2
1 2 R 2 R
T0 = γ R . + γ R .
2 3 2
1 3 1 3 2 3
T0 = γ R + γ R = γ R 60
6 2 3

SUPERFÍCIE CURVA
3. No exemplo anterior, se substituirmos a
HIDROSTÁTICA

comporta em L por uma outra cilíndrica
de raio R, calcule o peso do cilindro por
unidade de comprimento, se o seu contato
com a parede não tiver contato.

61

Solução
SUPERFÍCIE CURVA
Pode-se, esquematicamente, estabelecer
HIDROSTÁTICA

que as forças que atuam no cilindro são: a
força que atua acima do quadrante 2 (F3), a
força lateral no quadrante 2 (F1) e a força
sobre a superfície dos quadrantes 3 e 4.
Assim, calculando F1 tem-se:
1 1 2
F1 = g R.R = g R
2 2
F2 é a força resultante sobre a metade
inferior da superfície cilíndrica, e é igual
ao peso do fluido “imaginário” acima dela.
Assim tem-se:
pR2 2æ ö
ç2 + p ÷
F2 = g . + g .2 R.R = g R ç ÷
2 ç
è 2÷ø 62

SUPERFÍCIE CURVA
F3 é a força vertical sobre o quadrante
HIDROSTÁTICA

2, que é devido ao peso da água acima
dele:
pR2 2æ ö
ç1 + p ÷
F3 = g R - g
2
= gR ç
ç ÷
÷
4 è 4ø
Para que haja equilíbrio é
necessário que
æ 3p ÷
ö
ç1 + ÷
W = F2 - F3 = g R ç 2
ç
è 4÷
ø

63

SUPERFÍCIE PLANA
4. Determinar o empuxo e o seu ponto de
HIDROSTÁTICA

aplicação no triangulo da figura ao lado,
estando o seu vértice a 0,30m abaixo da
superfície da água e supondo desconhecidos
todos os elementos necessários àquele
cálculo.

64

SUPERFÍCIE PLANA
Solução
HIDROSTÁTICA

A área da superfície é:
a a 2 a
A = ò ydz = ò
bz bx ab
= =
0 0
a a 0
2

O momento da área em relação ao eixo que passa pelo
vértice superior da superfície triangular é:
a a 3 a
M = ò ydz. z = ò
2
bz bz ba 2
dz = =
0 0
a 3a 0
3
A coordenada z0 do centro de
M 2a
gravidade é z0 = =
A 3 65

SUPERFÍCIE PLANA
O momento de inércia em relação ao eixo que passa
HIDROSTÁTICA

pelo vértice superior da superfície triangular é:
a a

I = ò ydz. z 2 = ò
bz 3 ba 3
dz =
0 0
a 4
O momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico é:
ba ç 2a ö
æ ÷
3 2
ba ba 3
= I - Az0 =
2
- ç ÷ =
è ÷
2ç3ø
I CG
4 36
O quadrado do raio de giração é dado por:
2
I CG a
k =
2
=
A 18 66

SUPERFÍCIE PLANA
A ordenada hCG que determina a profundidade do
HIDROSTÁTICA

centro de gravidade é igual a ordenada z0
adicionado a profundidade do topo da superfície

hCG = e + z0
submersa e, assim:

A ordenada do centro de empuxo ou centróide é
igual a: 2
k
hC = hCG +
hCG
67

SUPERFÍCIE PLANA
Então o empuxo sobre a superfície submersa é:
HIDROSTÁTICA

E = g .hC . A
A ordenada yC do centro de empuxo pode ser
calculada pela proporcionalidade yC está para b 2
assim como hC - e está para a , logo:

hC - e b æ hC - e ö
÷
Þ yC = ç
yC
=
b2 a 2èç a ÷
ç ÷
ø
68

SUPERFÍCIE PLANA
A solução numérica será feita no
HIDROSTÁTICA

MathCad:
a := 0.9 b := 0.6 e := 0.3 γ := 9800
2
a⋅b b⋅a
A := A = 0.27 M := M = 0.162
2 3
3
M b⋅a
z0 := z0 = 0.6 I := I = 0.109
A 4
2 Ig
Ig := I − A ⋅ z0 Ig = 0.012 k2 := k2 = 0.045
A
k2
hcg := e + z0 hcg = 0.9 hc := hcg + hc = 0.95
hcg

3 b ( hc − e )
E := γ ⋅ hc ⋅ A E = 2.514 × 10 yc := ⋅ yc = 0.217 69
2 a

SUPERFÍCIE PLANA
Por esses exemplos acima, vê-se que numa superfície
HIDROSTÁTICA

curva submersa a força horizontal sobre ela é a soma
vetorial das forças das duas áreas projetadas em planos
ortogonais e que a força vertical sobre ela é igual ao peso
do fluido, real ou imaginário, acima da superfície.

Conseqüentemente, a força resultante FR é a soma
FR = ( FH ) + ( FV )
2 2
vetorial de FH e FV, cujo módulo é dado por
e cuja linha de ação passa pelo centro de gravidade da
massa de fluido contido no volume e seu ponto de
aplicação pode ser achado somando os momentos em
relação a um eixo apropriado.
70

SUPERFÍCIE CURVA
•A pressão numa superfície curva (já
HIDROSTÁTICA

calculada no exercício 3 anterior)
deve ser sempre calculada pela
integração das equações gerais já
deduzidas
•Entretanto é fácil verificar (pela
figura ao lado) que devido ao
equilíbrio estático as componentes
da resultante podem ser calculadas
pelas projeções da superfície curva
sobre superfícies planas nas direções
das componentes. 71

SUPERFÍCIE CURVA
•A componente Horizontal da
HIDROSTÁTICA

força na superfície curva é igual
a força no plano formado pela
projeção da superfície curva
sobre o plano vertical normal à
componente.
•A componente Vertical da força
de pressão é igual ao peso da
coluna de fluido existente acima
da superfície curva acrescida da
pressão atmosférica.
72

HIDROSTÁTICA

EMPUXO,
FLUTUAÇÃO E
ESTABILIDADE
73

EMPUXO, FLUTUAÇÃO E
ESTABILIDADE
Esse estudo baseia-se no Princípio de
HIDROSTÁTICA

Arquimedes (físico e matemático grego, 287-
212 A.C.) que diz o seguinte:
“o empuxo sobre um corpo
submerso é igual ao peso do líquido
deslocado”.

74

ESTABILIDADE
Seja então um corpo de forma arbitrária de volume V
HIDROSTÁTICA

(visto de frente na figura abaixo); para efeito de estudos
vamos envolve-lo num paralelepípedo. As forças F1, F2,
F3, e F4 são forças exercidas pelo fluido nas superfícies
planas do paralelepípedo; W é o peso do fluido contido
na paralelepípedo (área hachurada) e FB é a força de
corpo ou seja a força que o corpo exerce sobre o fluido.
Vê-se logo, pela figura, que F3 = F4 e que elas se anulam.
As demais forças, para terem equilíbrio, estão sujeitas a

åF =0
Assim
FB = F2 - F1 -W
75

ESTABILIDADE
Em geral se um corpo é abandonado num
meio líquido, podem ocorrer três casos:
HIDROSTÁTICA

1-se o peso do corpo é maior que o
empuxo, o corpo afunda até encontrar um
obstáculo;
2-se o peso e o empuxo são iguais, o corpo
fica em equilíbrio qualquer que seja a
profundidade em que se encontra;
3-se o peso for menor que o empuxo, o
corpo é impelido até a superfície, da qual
emerge, ficando mergulhada uma porção V
do seu volume, chamado de volume de
carena, tal que multiplicado pelo peso
específico do líquido é igual ao peso do
corpo, isto é, satisfaz a equação abaixo. 76

ESTABILIDADE
Considerando-se o fluido incompressível e de peso
HIDROSTÁTICA

específico constante, tem-se:
F2 - F1 = g (h2 - h1 ) A
onde A é uma das faces horizontais do
paralelepípedo. Logo:
FB = g (h2 - h1 ) A - g éë(h2 - h1 ) A-V ùû

FB = gV Volume do
corpo
que é a expressão que rege o Princípio de Arquimedes.
77

ESTABILIDADE
Para se achar a linha de ação do empuxo (lembre-se que o
HIDROSTÁTICA

empuxo age de baixo para cima), acha-se a soma dos
momentos em relação ao eixo vertical passando pela
borda esquerda do paralelepípedo: FB . yc = F2 . y1 - F1 . y1 -W . y2
Substituindo os valores conhecidos das forças que agem,
tem-se: V . y = V . y - (V -V ). y
c P 1 P 2

donde VP é o volume do paralelepípedo, VP= (h2-h1)A. Da
expressão acima, pode-se tirar o valor de yc, a coordenada
y do centróide do volume V: V y - (V -V ) y
yc =
p 1 p 2

V
Os resultados acima são válidos para os corpos que flutuam se o
peso específico do fluido acima da superfície do líquido é muito
pequeno comparado com o do líquido onde o corpo flutua. 78

ESTABILIDADE
Uma outra forma de determinar yc é tomarmos elementos
HIDROSTÁTICA

de volume dV, então: gVyc = g ò ydV
ò
vol
ydV
ou ainda yc = vol
V
Para um corpo flutuando em dois ou mais fluidos
imiscíveis, a força de empuxo é a soma dos pesos parciais
deslocados FB = g1V1 + g 2V2 +K
e nesse caso a linha de ação não passa pelo centróide do
volume deslocado pelo corpo, mas deve ser determinado
considerando cada segmento de volume deslocado
g1 ò ydV1 + g 2 ò ydV2 + K
yc =
g1V1 + g 2V2 + K 79

ESTABILIDADE
Exemplos:
HIDROSTÁTICA

1 - O uso de hidrômetro para
medir o γ de líquidos. Se o
hidrômetro desloca um volume V
quando flutuando na água e a
seção transversal da haste é “a”,
tem-se:
V d -1
gV = d .g (V - a.Vz ) ®Vz =
a d
onde d = densidade do líquido onde o hidrômetro está
mergulhado.
80

ESTABILIDADE
2. Um balde vazio, cuja espessura das
HIDROSTÁTICA

paredes e peso podem ser considerados
desprezíveis, é forçado para dentro da
água inicialmente com a extremidade
aberta, até uma profundidade H. Qual a
força necessária para mantê-lo nessa
posição, admitindo que o ar no interior
do balde permanece com a temperatura
constante?
Solução:
É obvio que a força de flutuação é igual ao peso do
pd
líquido deslocado. 2
FB = gV = g . h1
4
81

ESTABILIDADE
Para determinar h1, sabe-se que o processo é isotérmico,
HIDROSTÁTICA

logo pV = p V onde V é o volume de ar no balde:
1 1
pd 2 pd 2
patm . h= p h1 (1)
4 4
onde p é a pressão no ar dentro do balde submerso. Como
o ar dentro do balde está em equilíbrio com a água na
superfície interna do balde, tem-se:
p = patm + g é H - (h - h1 )ù (2)
ë û
Agora tem-se 3 equações e três incógnitas: FB , h1 e p.
Levando (2) em (1) obtém-se:
p h = { p + g éë H - (h - h )ùû} h
atm atm 1 1

patmh = patmh1 + g Hh1 - g (h - h1 ) h1
g h12 + ( patm + g H - g H ) h1 - patm h = 0
82

Resolvendo esta última equação, através do MathCad,
obtém-se:
   1  
  
 1  2 2  2 
⋅  −patm− γ ⋅ H + γ ⋅ h + ( patm + 2 ⋅ patm⋅ γ ⋅ H + 2 ⋅ γ ⋅ patm⋅ h + γ ⋅ H − 2 ⋅ γ ⋅ H ⋅ h + γ ⋅ h )
2 2 2
 
2
( 2 ⋅ γ)
γ ⋅ h1 + ( patm+ γ ⋅ H − γ ⋅ h) ⋅ h1 − patm⋅ h 0 solve, h1 →  
HIDROSTÁTICA
2
   1  
 1  


⋅  −patm− γ ⋅ H + γ ⋅ h − ( patm2 + 2 ⋅ patm⋅ γ ⋅ H + 2 ⋅ γ ⋅ patm⋅ h + γ2 ⋅ H2 − 2 ⋅ γ2 ⋅ H⋅ h + γ2 ⋅ h2)  2  
 
 ( 2 ⋅ γ) 
Como se vê, é possível duas soluções. Veja a seguir um exemplo numérico:
Dando alguns valores numéricos para as variáveis. Sejam
N N
γ := 9800 ⋅ patm := 101.33 ⋅ H := 1 ⋅ m h := 0.4 ⋅ m d := 0.3 ⋅ m
3 2
m m

  1
 
 2 2  2
⋅  − patm − γ ⋅ H + γ ⋅ h + ( patm + 2 ⋅ patm ⋅ γ ⋅ H + 2 ⋅ γ ⋅ patm ⋅ h + γ ⋅ H − 2 ⋅ γ ⋅ H ⋅ h + γ ⋅ h )
1 2 2 2 2
x1 := 
(2 ⋅ γ)

  1
 
 2 2  2
⋅  − patm − γ ⋅ H + γ ⋅ h − ( patm + 2 ⋅ patm ⋅ γ ⋅ H + 2 ⋅ γ ⋅ patm ⋅ h + γ ⋅ H − 2 ⋅ γ ⋅ H ⋅ h + γ ⋅ h )
1 2 2 2 2
x2 := 
(2 ⋅ γ)

−3
x1 = 6.703 × 10 m x2 = − 0.617 m

portanto o valor de h1 é igual ao valor de x1 83

HIDROSTÁTICA

ESTABILIDADE
DE CORPOS
FLUTUANTES
84

ESTABILIDADE DE CORPOS
FLUTUANTES
Para que um corpo, total ou
HIDROSTÁTICA

parcialmente imerso, esteja
em equilíbrio, além da
condição de igualdade do
peso e do empuxo, é
necessário que o seu centro
de gravidade e o centro de
gravidade (CG) do líquido
deslocado (centro de carena -
CF) estejam sobre a mesma
vertical. Em qualquer caso,
o equilíbrio é estável se o
centro de gravidade do corpo
está abaixo do centro de
carena.
85

FLUTUANTES
Na figura ao lado,
HIDROSTÁTICA

MR = momento de
restauração;
MI = momento de
instabilidade;
W = peso;
E = empuxo;
CG = centro de
gravidade;
CF = centro de carena
ou centro de flutuação. 86

FLUTUANTES
HIDROSTÁTICA

No caso de corpos flutuantes, as
condições de equilíbrio são mais
complicadas. O equilíbrio é estável
sempre sempre que CG estivar abaixo do
centro de carena – CF. Entretanto, pode
ocorrer também o inverso, isto é, o
centro de gravidade do corpo estar
acima do centro de carena, e o equilíbrio
ser estável.
Vamos agora ao problema da estabilidade de
navios.
87

FLUTUANTES
HIDROSTÁTICA

M

88

FLUTUANTES
Dando-se um pequeno deslocamento dq em torno
HIDROSTÁTICA

de sua linha de centro y. Como mostrado na figura
ao lado o CF passa do ponto B para B´. O centro
de gravidade CG permanece, pois com dq uma
quantidade de água foi deslocado no lado direito e
outra é deixada no lado esquerdo. Essas
quantidades de fluidos geram uma dF de cada lado,
provocando um momento de restauração m. Assim
a força total de flutuação para a configuração
inclinada é FB´ em B´ que é estaticamente
equivalente a FB em B mais o momento m.
89

FLUTUANTES
HIDROSTÁTICA

Logo a distancia entre as linhas de atuação
de FB e FB´ , d, pode ser determinada
igualando os momentos dos dois membros
dos dois sistemas em relação a um eixo
paralelo a y e passando por B´:
m m
-d.FB + m = 0 ® d = =
FB W
onde W é o peso do
navio.
90

FLUTUANTES
HIDROSTÁTICA

A linha de ação de FB´ intercepta a linha de centro da
seção transversal em M, sendo que a distancia MB=l1
pode ser calculada como d
l1 =
sin d.q
Se M estiver acima do centro de gravidade CG, a força de
flutuação FB´ e o peso W formam um momento
“dextrógiro” e o navio é estável.
Para achar l1 e d precisamos de m. Para isso sejam os
elementos de volume dV do fluido recém-deslocado; para
um dq pequeno tem-se:
dV = x.dq.dA
91

FLUTUANTES
HIDROSTÁTICA

A cada dV pode-se associar um df de valor
g xdq.dA
O momento m desse conjugado (df a
esquerda ¯, e a direita -) pode ser calculado
tomando o momento em relação a y:
m = ò g . x .dq.dA = g .dq ò x dA =g .dq. I yy
2 2

onde Iyy é o momento de inércia de área A
em relação ao eixo y. 92

FLUTUANTES
Levando esse resultado na expressão de d,
HIDROSTÁTICA

tem-se:
m g .dq. I yy d g .dq. I yy dq
d= = ® l1 = = lim =1
W W sin dq W .sin dq dq®0 sin dq
g . I yy
logo l1 =
W
mas l1 = MB = l + MG => MG = MB – l = l1
– l onde MG = l1 – l é chamada de altura
metacêntrica. Logo se MG > 0 → navio é
estável. 93

FLUTUANTES
EXEMPLO
HIDROSTÁTICA

Uma barcaça tem forma de um
paralelepípedo retangular com dimensões
10m x 25m x 3m. Ele pesa 25MN quando
carregada e tem o centro de gravidade a 3,5m
do fundo. Achar a altura metacêntrica para
uma rotação em torno do centro longitudinal
e determinar quando é estável. Se a barcaça
inclina-se 5º em relação ao eixo dos y, qual o
momento restaurador?
94

FLUTUANTES
Solução:
HIDROSTÁTICA

Primeiro deve-se achar o CF
da barcaça. Ela desloca um
volume de fluido de 10m x
25m x d, onde d = calado =
parte submersa da barcaça:
gV = 2,5MN = 9.8 x10 x80 x 25 xd ® d = 1, 27m
3

Como a área submersa é retangular o centro de flutuação é
igual ao centróide da área, e está no centro geométrico da
figura, logo está a d/2 do fundo. Logo l, a distância entre o
d
CG e o CF é: l = 3,5 - = 3,5 - 0,64 = 2,86m 95
Prof. Henrique Mariano 2

FLUTUANTES
HIDROSTÁTICA

A altura metacêntrica é
1
g . I yy 9800 x 25 x103
MG = -l = 12
6
- 2,86 » 0,82 - 2,86 = -2,04 m
W 25 x10
Como MG < 0 → barcaça é instável.
O momento restaurador para uma
rotação de 5º em torno de seu eixo
longitudinal, é dado por:
5° x 2p 25 x103
m = g .dq. I yy = 9,8 x103 x x = 1,78 x106 N .m
360° 12
96

VARIAÇÃO DA
HIDROSTÁTICA

PRESSÃO NUM
FLUIDO EM
MOVIMENTO DE
CORPO RÍGIDO
97

VARIAÇÃO DA PRESSÃO NUM FLUIDO EM
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
A equação do movimento (para as condições indicadas) é
-Ñp - g k = ra
HIDROSTÁTICA

% %
para fluidos que estão em repouso ou
movimento sem apresentar tensões de
cisalhamento[1]. Se o centro de rotação é o
eixo O e sua velocidade de translação á V0 a w
velocidade de um ponto arbitrário P sobre o
corpo é dado por: V = V0 + ? × r0
Derivando, obtém-se a forma mais geral da aceleração
de um corpo rígido: dV0 d?
a= + ? × ( ? × r0 ) + × r0
dt dt
[1] Um movimento de fluido que não apresenta tensão de cisalhamento é aquele em que a massa do
fluido é submetida a um movimento de corpo rígido. 98

VARIAÇÃO DA PRESSÃO EM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
dV0 d?
a= + ? × ( ? × r0 ) + × r0
HIDROSTÁTICA

dt dt

O primeiro termo do 2° membro
representa a aceleração de translação; o
segundo termo é a aceleração
centrípeta, cuja direção é de P para o w
eixo de rotação, perpendicularmente; e
o terceiro termo é a aceleração linear,
devido às variações da velocidade
angular.
é dV0 ù
+ ? ´(? ´ r0 ) +
d?
-Ñp - g k = r a = r ê ´ r0 ú
% % êë dt dt úû
99

VARIAÇÃO DA PRESSÃO EM MOVIMENTO
DE CORPO RÍGIDO
Como visto anteriormente, a equação do movimento é
HIDROSTÁTICA

-Ñp - g k = ra
% %
para fluidos que estão em repouso ou movimento sem
apresentar tensões de cisalhamento. Considerando um
sistema de coordenadas cartesianas retangulares, então o
desmembramento da equação acima é:
¶p
- = rax
¶x
¶p
- = ra y
¶y
¶p
- = g + raz
¶z 100

MOVIMENTO LINEAR
HIDROSTÁTICA

Seja um movimento retilíneo e uniformemente acelerado de um
recipiente aberto que contem líquido. Como ax = 0, segue que o
gradiente de pressão na direção x é nulo. Logo
¶p ¶p
- = ra y ;e na direçao z: - = r ( g + az )
¶y ¶z
diferença de pressão entre dois
pontos próximos, localizados em (y,
z) e em (y+dy z+dz) pode ser
¶p ¶p
expresso por:
dp = dy + ¶z
¶y ¶z
substituindo os valores das derivadas parciais, tem-se:
dp = -ra y dy - r ( g + a z ) dz 101

HIDROSTÁTICA

Ao longo das linhas isóbaras, dp = 0, logo:
dz ay
=-
dy g + az
isto é, a superfície livre do liquido faz um ângulo a+q com
o plano do fundo do recipiente.
dy a y cos a
= tan q = -
dx a y sin a + g
Se o recipiente em questão estiver subindo um plano
inclinado de um ângulo a, a expressão torna-se (provar
como exercício).
102

EXEMPLOS
HIDROSTÁTICA

1. Calcule a quantidade de água derramada de um tanque com as
dimensões 1,20x3,60x1,80 m que está inicialmente cheio, quando
sofre uma aceleração de 3 m/s2
Solução: dz ay 3
= tan q = - =- » 0,306
dy g + az 9,8

mas geometricamente a tangente do
angulo é igual a z dividido pelo
comprimento do recipiente, logo:
z
= 0,306 Þ z = 3, 60 * 0, 306 @ 1,10m
3, 60
1
logo o volume de líquido Vderramado = Vd = z.bl
derramado pode ser calculado da 2
1
seguinte forma: Vd = x1,10 x 3,60 x1,80 = 0, 3564m 3
2 103

2. Um tubo em
HIDROSTÁTICA

U fechado em
uma de suas
extremidades
(veja figura)
contém água.
Ao ser
acelerado a 9,8
m/s2 , quais as
pressões em A e
B? 104

Solução:
HIDROSTÁTICA

dz ay
Sabe-se que tan q = dy = - g + a,
z
mas como az = 0 e ay = g = 9,8
m/s2 implica que
tan q = -1 Þ q = 45º
Como o espaço livre na extremidade fechada é 0,30m (1,20m -
0,90m) este é totalmente preenchido. A altura que o líquido subiria
se houvesse um tubo virtual prolongado na extremidade fechada
seria: z = 1, 20 x tan q = 1, 20 x1 = 1, 20m , tomando como linha base
o ponto para onde baixou o liquido na extremidade aberta. Isto nos
diz que se houvesse tubo prolongando-se do lado fechado, o
liquido subiria até uma altura de 1,80m. Assim a pressão em B é:
kN
pB = g hB = 9800 x 0,30 = 2,94 A pressão em A, será:
m2
kN
p A = g hA = 9800 x(1,80 - 0,30) = 14,7 105
Prof. Henrique Mariano m2

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