1. INGENIERÍA ECONÓMICA

2. MODULO II
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• Relación prestamista - prestatario.
• Formas de pago de un préstamo.
• Pago único.
• Serie uniforme.
• Amortización constante.

3. MODULO II
FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• Serie gradiente.
• Serie gradiente porcentual.
• Equivalencias para formas de pago.

4. RELACIÓN
PRESTAMISTA - PRESTATARIO
• Prestamista: persona natural o jurídica
que concede dinero en préstamo.
• Prestatario: persona que recibe dinero
en préstamo.
Elementos de un préstamo:
 Magnitud o monto.
 Valor de la tasa de interés.
 Plazo.

5. RELACIÓN
PRESTAMISTA - PRESTATARIO
 Forma de pago.
 Garantía o fiador.
 Requisitos de capacidad de pago.
 Periodo de gracia: tiempo durante el cual se
pueden pagar únicamente los intereses o
también puede ser el tiempo durante el cual
los intereses se capitalizan, pero no hay
desembolso alguno por el prestatario.

6.  Amortización del préstamo original: toda
cuota o pago de un préstamo la podemos
descomponer en dos partes: una
correspondiente a la disminución o abono
que hagamos al préstamo original, la otra
será el componente de interés. La
amortización nunca será negativa y cuando
no hay amortización se entenderá que toda
la cuota corresponde a intereses.
RELACIÓN
PRESTAMISTA - PRESTATARIO

7. FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE UNIFORME:
Se hace un préstamo a
una tasa de interés por
periodo y se paga en
cuotas exactamente
iguales.
P
A A A A A
0
1 2 3 4 n

8. FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE DE PAGOS DE
AMORTIZACIÓN
CONSTANTE:
El préstamo se paga en
cuotas periódicas de las
cuales el contenido de
amortización del
principal siempre es
igual.
A2
An
A3
P
1 2 3 n
A1
0

9. FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE GRADIENTE:
El préstamo de paga en
cuotas que pueden
aumentar o disminuir un
monto uniforme cada
periodo (sucesión
aritmética).
1 2 n
A1
A2
An
P
3
A3
0

10. FORMAS DE PAGO DE UN
PRÉSTAMO
• SERIE GRADIENTE
PORCENTUAL:
El préstamo se paga en
cuotas que pueden
aumentar o disminuir un
porcentaje cada periodo
(sucesión geométrica).
A1
A2
An
P
1 2 n
0

11. PAGO ÚNICO
F = P(1+i)n
P
F
1 2 n
0

12. PAGO ÚNICO
Demostración de la formula de valor
futuro, donde:
P: préstamo
i: tasa de interés
n: plazo
F: pago único
SK: saldo o deuda al final de cualquier
período K
Total intereses: I = Total pagado-Total prestado
I = F-P (1)

13. PAGO ÚNICO
FIN DE
PERÍODO
INTERESES DEL PERÍODO
SALDO AL FINAL
DEL PERÍODO
0 0 P
1 i.P P + iP = P(1. + i)
2 i.P(1+i)
P(1 + i) + iP(1 + i)
= p(1 + i)2
3 IP(1 + i)2 P(1 + i)2
+ iP(1 + i)2
= P(1 + i)3
-- -- --
-- -- --
-- -- --
K -- Sk = P(1 + i)k
(2)
-- -- --
-- -- --
-- -- --
n -- F = P(1 + i)n
(3)

14. PAGO ÚNICO
EJEMPLO:
Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una
entidad que reconoce el 1% efectivo mensual.
¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el
saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?
Valor futuro: F = P(1+i)n (3)
Para tablas: F = P(F/P,i,n) (3´)
Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86
Saldo: Sk = P(1+i)k (2)
Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01

15. SERIE UNIFORME
P
A A A A A
0
1 2 3 4 n
A = P *
i (1+i)n
(1+i)n -1

16. SERIE UNIFORME
Demostración de las fórmulas para serie
uniforme, donde:
A: cuota uniforme.
ak: abono o parte de la cuota que amortiza la
deuda.
Ik: parte de la cuota que cubre intereses.
Pk: valor presente equivalente a la cuota del
periodo k.

17. SERIE UNIFORME
P será equivalente a los pagos efectuados
considerando la tasa i, ello implica que P será
igual a la suma de los valores presentes de las
cuotas.
Pk = A * (1+i)-k según formula (3)
P =  Pk por principio N°2
P =  A * (1+i)-k
P = A *  (1+i)-k
P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*)
P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)

18. SERIE UNIFORME
Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja
A.
A = P *
i (1+i)n (4)
(1+i)n -1
El factor de P en la formula (4) para uso de
tablas se identificará así: (A/P,i,n)
Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)

19. SERIE UNIFORME
Despejando P de (4) tendremos:
Para las tablas:
P = A * (P/A,i,n) (4’’’)
(1+i)n - 1
i (1+i)n
P = A * (4’’)

20. P
1 2
........ ...
3 4
SK
k+1 n
K PAGADAS
(n-k)
PENDIENTES
0
k
A A AA A A A A
SERIE UNIFORME
Saldo o deuda:

21. SERIE UNIFORME
Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk
será el valor presente de las (n-k) restantes.
Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)
Sk = A
(1+i)n-k -1
i (1+i)n-k (5)

22. SERIE UNIFORME
En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y
que parte corresponde a intereses?
ak = Sk-1 - Sk (6)
Ik = i  S(k-1) (7)
Ik= A- ak

23. Comportamiento del saldo (Sk) para
la forma de pago serie uniforme
0 1 2 3 4 . . . n
k
Sk
P
En una serie uniforme el comportamiento del
saldo es decreciente siendo cero en el periodo
n.

24. SERIE UNIFORME
Ejemplo:
Se hace un préstamo de un millón de
pesos al 0.5% de interés mensual
efectivo para pagarlo en cuotas iguales de
fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota
mensual?
Solución:
P
A A A A A
0
1 2 3 24

25. SERIE UNIFORME
A =1000000
0.005 (1+0.005)24
(1+0.005)24 -1
= $44.320,61
•Resolver el ejemplo anterior si el trabajador
paga a principio de mes.
Solución:
Se debe transladar el préstamo a un periodo
antes con la formula de pago único y luego
aplicamos la formula de A.

26. SERIE UNIFORME
P
0
0´ 1 2 3 4 23 24
A A A A A
F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87
A = 1000000
0.005 (1+0.005)23
(1+0.005)23 -1
= $ 44.100

27. SERIE UNIFORME
•Cuál es la deuda del trabajador en el
ejemplo después de haber pagado la cuota
19.
Solución:
S19
$1000.000
1 2 3
.......
24
19 PAGADAS
(24-19)
0
19
A A A A A A A A
i:0.5%

28. SERIE UNIFORME
S19 = 44.320,61
(1+0.005)24-19 -1
0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399
• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al
capiltal y que parte es interés?
Solución:
a19 = S18 – S19
S18 = 44.320,61
(1+0.005)24-18 -1
0.005 (1+0.005)6
= $261.331,35

29. a19=$43.013,9
I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66
•Para ese trabajador ¿cuál es el total de
intereses pagados?
Solución:
I = total de intereses pagados – total pagado
I= n  A-P = $63.644,40
SERIE UNIFORME

30. CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
A: Ahorro
A A A A
......
F = ?
0 1 2 3 n Periodos
Interés = i

31. CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Dados A, i y n se deberá calcular F.
F: será el valor futuro en n equivalente al valor
presente de la serie uniforme.
F = P (1+i)n aplicando (3)
Pero:
(1+i)n - 1
i (1+i)n
P = A aplicando (4’’)

32. CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
(1+i)n - 1
i (1+i)n
F = A * (1+i)n
Entonces:
(1+i)n - 1
i
F = A * (8)
Para el uso de tablas:
F = A * (F/A, i, n) (8´)

33. CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Ejemplo:
Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al
principio de mes en una entidad que le
reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace
durante 5 años.
¿ Cual es el valor acumulado al final del
ultimo mes?

34. CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
0´ 0 1 2 59 60 meses
200.000
F = ?
i = 2% ef. mensual

35. CAPITALIZADORAS
UNA APLICACIÓN DE LA SERIE
UNIFORME
Solución:
F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el
mes 59.
F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60)
F59 = 200.000 (114.051539)
F59 = 22’810.307,8
F = F59 (1.02)1
F = (22’810.307,8) (1.02)
F = 23’266.513,96

36. AMORTIZACIÓN CONSTANTE
1 2 3 n
A2
An
A3
P
A1
0
Ak= i  P +1 - (k - 1) P
n n

37. AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Demostración de la formulas para
amortización constante, donde:
Ak: cuota al final del periodo k.
Sk: saldo después de pagar la cuota Ak.
Como su nombre lo indica, en esta forma de
pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:
a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)

38. AMORTIZACIÓN CONSTANTE
A1 = i  P + (P/n)
Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n)
S1 = P 1 - 1
n
A2 = i  S1 + (P/n) i  P 1 - +1
n
P
n
S2 = P - = P 1 - 2
n
2P
n
Entonces:

39. AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Ak = i  P 1 - +(k-1)
n
P
n
Sk = P 1 - k
n
Ik = i  P 1 - (k-1)
n
(10)
(11)
(12)

40. AMORTIZACIÓN CONSTANTE
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de un millón de
pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se
paga en 10 cuotas mensuales de
amortización constante,¿cuál es el valor
de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es
el saldo una vez pagada la tercera cuota?

41. AMORTIZACIÓN CONSTANTE
A3= 0.031000000 1 - +(3 - 1) 1000000
10 10
A3=124.000
S3 = 1000000 1 - = 70000003
10
A1=0.031000000 1 - +(1- 1) 1000000
10 10
A1=130.000
Solución:

42. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
1 2 3 n
A1
A2
An
P
A3
0
AK = A1 + (K - 1)*g
















1)1(
1
1)1(
)1(
1 nn
n
i
n
i
g
i
ii
PA

43. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Esta forma de pago se compone por la suma de dos
series, una que se comporta de manera uniforme y otra
que sufre un cambio aritmético para cada periodo.
Demostración de la formula para serie
gradiente, donde:
g : aumento aritmético de la cuota.
Ak seria:
A1 = A1
A2 = A1 + g
A3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g
AK = A1 + (k - 1)  g (en funciòn de A1) (13)

44. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
La parte gradiente
se transforma en una
serie equivalente
uniforme que se
llama Ag, entonces,
la serie gradiente
original será
equivalente a la
suma de las dos
series uniformes.
At=A1+Ag (14)
A1:serie parte uniforme.
Ag:serie uniforme equivalente a parte
gradiente.
At :serie uniforme total equivalente a la serie
gradiente original.
P
1 2 3 n-1 n
. . .
. . .
0 A1
+
Ag

45. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Ag se halla llevando cada uno de los
aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y
sumandolos, después esta sumatoria se
distribuye en una serie uniforme y se
obtendría:








1)1(
1
ng
i
n
i
gA
Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)
(15)

46. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
De (14) tenemos: A1= At - Ag
Por tabla seria:
A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n) (16’)
(16)















1)1(
1
1)1(
)1(
1 nn
n
i
n
i
g
i
ii
PA

47. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Para uso de tablas:
P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’)















1)1(
1
1)1(
)1(
1 nn
n
i
n
i
gA
i
ii
P (17)
Partiendo de (16) se obtiene:

48. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k
cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en
An. Sk será el valor presente en k de esas
cuotas pendientes.
P Sk = ?
n - k
Pendiente
s1 2 3 4 k k-1
k pagados Ak
0
Ak + 1
An
.
.
.
.
.
.

49. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Utilizando (17) con "A1" = Ak+1
Y remplazando en (13) tenemos:
Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde
"A1" = A1 + kg
De lo anterior:
),,/(
),,/(1
kniPA
knigAggkA
Sk


 (18)

50. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una
tasa de interés anual del 30% para pagarlo
en 5 cuotas anuales que se incrementan
200 pesos . Cuàl es el valor de la primera
y la ùltima cuota?

51. Solución:
A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5)
A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031)
A1 =112.519
A5 = A1 + (5 - 1)*$200
A5 =112.519+ 4*$200
A5 = 912.519
SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

52. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
•Para los datos del ejemplo, calcular el
saldo despuès de pagada la tercera cuota.
Solución:
P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519
)35%,30,/(
)35%,30,/(2002003519.112
3



PA
gA
S
S3 = 1.088,05

53. SERIE GRADIENTE
(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
PARA LA SERIE GRADIENTE
DECRECIENTE SE UTILIZAN
LAS MISMAS FÓRMULAS QUE
EN LA CRECIENTE, PERO SE
REEMPLAZA g POR -g.

54. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Ak = A1 (1+ ig)k-1
A1
A2
An
P
1 2 n-1 n
0
An-1

55. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Demostración de la formula para serie
gradiente porcentual, donde:
ig :incremento porcentual en las cuotas.
A1 = A1
A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig)
A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2
A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3
Ak = A1 (1+ ig)k-1 (en función de A1) (19)

56. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos:
Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k




nk
k
kPP
1
pero Pk = Ak (1+i)-k





nk
k
kk
g iiAP
1
1
1 )1()1(
Para obtener Al se debe llevar el valor de cada
cuota al presente (Pk) y después realizar la
sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

57. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Expandiendo la sumatoria:
P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)
+ (1+iG)n-1 (1+i)-n (1*)
Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1
tendremos:
P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)2 (1+i)-3 +...+
(1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)n (1+i)-n-1 (2*)





nk
k
kk
g iiAP
1
1
1 )1()1(

58. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
El factor del corchete solo será válido para
iig, pues el denominador no puede ser cero.
























 n
g
g
i
i
ii
PA
1
1
1
1 (20)
Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar
para obtener:

59. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

























g
n
g
ii
i
i
AP
1
1
1
1
(20’)
iig
De la fórmula (20) podemos despejar P:
Partiendo de esta fórmula se puede hallar
Sk.

60. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
P
A1
A2 Ak Ak+1
An
Sk = ?
Pendientes
n-k cuotas
1 2 k k+1 n
0
k Pagadas
El saldo (Sk) será el valor presente en k de
las cuotas pendientes (n-k).

61. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando
en (19) tenemos:
Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde
"A1" = A1(1+ig)k
De lo anterior:


























g
kn
g
k
gk
ii
i
i
iAS
1
1
1
)1(1 (18)
iig

62. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Ejemplo:
Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5
años para pagarlo en 5 cuotas que se van
incrementando el 20% anual. Si la tasa
de interés anual es del 30%, ¿cuál es el
valor de la primera y ultima cuota?.

63. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
Solución:
19.303$
3.01
2.01
1
2.03.0
000.1 51 
























A
A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69

64. SERIE GRADIENTE PORCENTUAL
(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)
•Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una
vez pagada la tercera cuota?
Solución:
ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19
018,775$
2.03.0
3.01
2.01
1
)2.01(19,303
35
3
3 


























S

65. Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

66. Análisis de los tres intervalos.
Intervalo I:
El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P
No hay amortización: ak = 0
La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik
La cuota es inferior a los intereses generados
en el período: Ak = Ik < i. Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

67. Intervalo II:
El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1
No hay amortización: ak = 0
La cuota es intereses: Ik = Ak
La cuota paga intereses acumulados e
intereses del período: Ak = Ik > i  Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

68. Intervalo III:
El saldo es decreciente pero inferior a P:
P > Sk-1 > Sk
Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk
Los intereses contenidos en la cuota son:
Ik = Ak - ak
Como no se pagan intereses acumulados,
entonces: Ik = i  Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

69. Cuando eventualmente se pase del intervalo
II al intervalo III:
Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización
contenida en Ak será: ak = P - Sk
Recordemos que se amortiza sólo lo que
abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak
No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik
Comportamiento del saldo (SK) para las formas
de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

70. EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE
PAGO