1. Curso de Ingeniería Económica

2. Definición de Gradiente Uniforme
 Es un flujo de Caja que aumenta o disminuye de
manera uniforme. Es decir, el flujo de caja; ya sea
ingreso o desembolso, varia en la misma cantidad cada
año.
 El gradiente es la cantidad que aumenta o disminuye
en cada año.
 En el caso de un gradiente, los ingresos o desembolsos
del flujo de caja de fin de año son diferentes, de
manera que debe deducirse una nueva fórmula.
 Al desarrollar una formula para gradientes uniformes,
es conveniente suponer que el pago que ocurre al final
del año uno no involucra un gradiente sino mas bien
un pago base.

3. Definición de Gradiente Uniforme
 La primera cantidad de final de año se denominará
cantidad base.
 El gradiente es el cambio anual aritmético en la
magnitud de las entradas o desembolsos, el cual puede
ser positivo o negativo.
 El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como:
CFn = cantidad base + (n‐1)G

4. Definición de Gradiente Uniforme
 Ejemplo: Una empresa piensa obtener el próximo año
un rendimiento de USS 100,000 de la venta de un
producto. Sin embargo, se espera que las ventas
disminuyan uniformemente hasta un nivel de 47,500,
dentro de ocho años, por la entrada de la competencia.
Solución:
Cantidad base: US$ 100,000
Pérdida de ingresos en
ocho años:
100,000 ‐47,500 = US$ 52,500
Gradiente: = Pérdida /(n‐1)
= 52,500/(8‐1)
= US$ 7,500 por año.

5. Deducción de fórmulas de Gradiente
 Existen varias maneras por medio de las cuales se
puede deducir la formula del gradiente uniforme:
 Factor Valor Presente ‐ Pago Único (P/F, i%, n)
 Factor Cantidad Compuesta – Pago Único (F/P, i%, n)
 Cantidad Compuesta ‐ Serie Uniforme (F/A, i%, n)
 Serie Uniforme – Valor Presente (P/A, i%, n)
Para deducir la formula de gradiente usaremos la suma
de los valores presentes de los pagos únicos

6. 4G (n-1)G
(n-2)G
0 21 3 4 n-1 n5
G
2G
3G
P= G(P/F,i,2) + 2G(P/F,i,3) + 3G(P/F,i,4) + …
+(n-2)G(P/F,i,n‐1) + (n‐1)G (P/F,i,n)
Factorizando G
P= G[(P/F,i,2) + 2(P/F,i,3) + 3(P/F,i,4) + ….
+(n-2)(P/F,i,n‐1) + (n‐1)(P/F,i,n)]
reemplazando los símbolos dentro del corchete por la expresión
valor presente‐pago único (P/F)
Definición de Gradiente Uniforme

7. Definición de Gradiente Uniforme
P=G[
1
(1+i)2
+
2
(1+i)2
+
3
(1+i)2
+……+
n-2
(1+i)n-1
+
n-1
(1+i)n
]
Al multiplicar ambos lados por (1+i),
P (1+i) =G[
1
+
2
(1+i)2
+
3
(1+i)2
+……+
n-2
(1+i)n-1
+
n-1
(1+i)n
]
(1+i)
Restando ésta última ecuación de la anterior,
iP = G[
1
+
2
(1+i)2
+
3
(1+i)2
+……+
n-2
(1+i)n-1
+
n-1
(1+i)n
(1+i)
]‐G[ n
(1+i)n
]

8. Definición de Gradiente Uniforme
iP = G[
1
+
2
(1+i)2
+
3
(1+i)2
+……+
n-2
(1+i)n-1
+
n-1
(1+i)n
(1+i)
‐ G[ n
(1+i)n
]]
Ésta expresión es igual a aquella que se presenta con el factor
P/A por lo que la sustituimos por la expresión simplificada:
(1+i)n-1
i(1+i)n ‐
n
(1+i)n
P =
G
i
[ ]

9.  Con ésta formula se convierte un gradiente
aritmético G, sin incluir la cantidad base, para n
años, en un valor presente en el año cero.
P= G(P/G,i,n)
P
1 2 n
0
Definición de Gradiente Uniforme

10.  Por otro lado, la serie anual uniforme equivalente
(A) de un gradiente aritmético G, se calcula
multiplicando el valor presente del Gradiente
(P/G,i,n) por la expresión del factor (A/P,i,n).
A= G(P/G,i,n) (A/P,i,n)
Definición de Gradiente Uniforme
G
i
A=
(1+i)n-1
i(1+i)n ‐
n
(1+i)n[ ] (1+i)n - 1
i(1+i)n
[ ]
= G
n
[ 1
i ‐ ](1+i)n - 1
 La expresión entre corchetes se denomina Factor
de Gradiente Aritmético de una Serie Uniforme
y se identifica como (A/G,i,n)