Sistemas de partículas y rotación

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Sistemas de partículas y rotación

  1. 1. Sistema de partículas y sólido rígido. <ul><li>Definición y clasificación de sistemas de partículas. </li></ul><ul><li>Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. </li></ul><ul><li>Momento angular de un sistema de partículas. Variación temporal del momento angular. </li></ul><ul><li>Cinemática del sólido rígido. </li></ul><ul><li>Movimiento de traslación de un sólido rígido. </li></ul><ul><li>Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. </li></ul><ul><li>Movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido. Movimiento de rodadura. </li></ul><ul><li>Condiciones de equilibrio. </li></ul><ul><li>Energía cinética de un sólido rígido. </li></ul><ul><li>Energía total de un sólido rígido. </li></ul>
  2. 2. Definición y clasificación de los sistemas de partículas. <ul><li>¿Qué es un sistema de partículas? </li></ul><ul><li>Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como agregados de partículas que interaccionan . </li></ul><ul><li>Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y considera las dimensiones del objeto en estudio. </li></ul><ul><li>Clasificación de los sistemas de partículas. </li></ul>Discretos nº finito de partículas Continuos distribución continua de materia Deformables Rígidos Cambia distancia No cambia Deformables Rígidos Cambia forma No cambia
  3. 3. Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. <ul><li>Centro de masa (CM) </li></ul><ul><li>Para un sistema de partículas discreto el CM es un punto cuya posición, velocidad y aceleración vienen dadas por </li></ul><ul><li>Se puede colocar un sistema de referencia en el CM llamado sistema C ( SC ), distinto del sistema inercial donde se encuentra el observador que se llama sistema laboratorio o sistema L ( SL ). </li></ul>SL SC
  4. 4. <ul><li>Para un sistema de partículas continuo la posición, velocidad y aceleración del CM vienen dadas por </li></ul>Centro de masa de algunos sistemas de partículas continuos Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.
  5. 5. <ul><li>Momento lineal de un sistema de partículas </li></ul><ul><li>Para un sistema de partículas discreto se define el momento lineal del sistema como </li></ul><ul><li>Para un sistema de referencia colocado en el CM del sistema de partículas ( sistema C ) el CM está en reposo (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el sistema C el momento lineal del sistema es nulo . </li></ul>Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. Como Para sistema C Sistema C Sistema de referencia de momento nulo
  6. 6. <ul><li>Fuerzas internas y fuerzas externas </li></ul><ul><li>Sistema S </li></ul><ul><li>Fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema S </li></ul><ul><li>Para el sistema S se puede demostrar que </li></ul><ul><li>Si el sistema S se encuentra aislado </li></ul>Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. S S’ Fuerzas externas Fuerzas internas Como El CM de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema y estuviera sujeto a la fuerza externa resultante. El CM de un sistema de partículas aislados se mueve con velocidad constante en relación con cualquier sistema de referencia inercial.
  7. 7. Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a fuerzas externas Trayectoria del CM de un sistema de partículas aislado Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas.
  8. 8. Momento angular de un sistema de partículas. <ul><li>Para un sistema de dos partículas el momento angular del sistema respecto de un punto O se define como </li></ul><ul><li>Y el momento de las fuerzas externas respecto de un punto O se define como </li></ul><ul><li>Para el sistema de partículas se puede demostrar que </li></ul><ul><li>Si no hay fuerzas externas , o la suma de sus momentos respecto al punto O es nula , entonces </li></ul>
  9. 9. Cinemática del sólido rígido. <ul><li>Un sólido rígido puede presentar los siguientes movimientos </li></ul><ul><li>Movimiento de traslación </li></ul><ul><li>Movimiento de rotación (alrededor de un eje) </li></ul>Todas las partículas describen trayectorias paralelas. En un instante dado todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad y aceleración . Todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea llamada eje de rotación . En un instante dado todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad y aceleración angular .
  10. 10. <ul><li>Movimiento general </li></ul>Rotación Este movimiento siempre puede considerarse como una combinación de una traslación y una rotación . Cinemática del sólido rígido. Traslación
  11. 11. Movimiento de traslación de un sólido rígido. <ul><li>Como todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad y aceleración, el estudio del movimiento de traslación del sólido se puede llevar a cabo analizando el movimiento de su CM . </li></ul><ul><li>El movimiento del CM viene dado por </li></ul><ul><li>Por tanto, tomando el CM y usando los métodos explicados en el tema anterior para la dinámica de la partícula, se puede analizar el movimiento de traslación del sólido rígido . </li></ul><ul><li>Ecuación del movimiento para la traslación de un sólido rígido. </li></ul>Traslación
  12. 12. Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. <ul><li>Momento angular y momento de inercia. </li></ul><ul><li>Considérese una placa delgada sólida que rota alrededor de un eje de rotación fijo. </li></ul><ul><li>El momento angular del elemento A i de la placa respecto O es </li></ul><ul><li>El momento angular de toda la placa respecto al punto O es </li></ul><ul><li>Definiendo el momento de inercia para el eje ZZ’ que pasa por O como </li></ul>Ecuación vectorial . El momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular para un sólido plano. A i Como la velocidad angular es la misma para todos los puntos del sólido se tiene Z Z’ R i O
  13. 13. <ul><li>Considérese ahora un sólido rígido de forma arbitraria rotando alrededor de un eje fijo. </li></ul><ul><li>El momento angular del punto A i del sólido respecto a O es </li></ul><ul><li>El momento angular total del sólido respecto al punto O es </li></ul><ul><li>Sin embargo para cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que existen al menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el momento angular es paralelo al eje de rotación . </li></ul><ul><li>Estos son los tres ejes principales de inercia ( X O , Y O , Z O ) y sus correspondientes momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia ( I 1 , I 2 , I 3 ). Si el eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumple </li></ul>Ecuación escalar . Válida independientemente de la forma del cuerpo. <ul><li>No obstante se cumple siempre que la componente del momento angular a lo largo del eje de rotación Z es </li></ul>Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. Z’ Z R i A i El momento angular del punto tiene una dirección distinta a la velocidad angular . Es perpendicular a y . El momento angular total del sólido puede tener una dirección distinta a la de Válida cuando el sólido gira alrededor de un eje principal de inercia. O
  14. 14. <ul><li>Cuando el cuerpo posee algún tipo de simetría , los ejes principales coinciden con los ejes de simetría . </li></ul><ul><li>Dos teoremas importantes relacionados con el cálculo del momento de inercia son: </li></ul>Teorema de Steiner Teorema de los ejes paralelos Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. X O Y O Z O X O Y O Z O X O Y O Zº O X Z O Y Z’ X’ CM Y’ x CM y CM d d X Z O Y
  15. 15. <ul><li>Hemos visto que el momento de inercia para un sistema de partículas discreto se define </li></ul><ul><li>Para un objeto continuo el sumatorio anterior se reemplaza por una integral </li></ul>Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. Cilindro R L R L a b c Paralelepípedo a b a b Placa rectangular Varilla delgada L Disco R R R Esfera R Anillo
  16. 16. <ul><li>El momento de las fuerzas exteriores para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia que pasa por O se expresa </li></ul><ul><li>Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido que gira en torno a un eje fijo (que es principal de inercia). </li></ul>Rotación en torno a un eje Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. Como es principal Z’ Z O
  17. 17. Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura. <ul><li>Ecuaciones del movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido. </li></ul><ul><li>Para un sólido rígido que se traslada y que gira alrededor de un eje que pasa por su CM , las ecuaciones del movimiento son </li></ul><ul><li>Tipos de movimientos de un sólido rígido de forma cilíndrica que se mueve sobre una superficie plana </li></ul><ul><li>El cilindro desliza </li></ul><ul><li>Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad para cualquier instante de tiempo. </li></ul><ul><li>El cilindro tiene un movimiento de traslación . </li></ul><ul><li>El mismo punto del sólido permanece en todo momento en contacto con la superficie. </li></ul>Traslación Rotación en torno a un eje S CM P P
  18. 18. <ul><li>El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura. </li></ul><ul><li>Un punto distinto del sólido en cada instante permanece en contacto con la superficie verificándose. </li></ul>R <ul><li>El cilindro tiene un movimiento de traslación y rotación combinados. </li></ul>Traslación Rotación + <ul><li>La velocidad del punto de contacto con la superficie es nula . </li></ul><ul><li>Si existe fuerza de rozamiento ésta es estática . </li></ul>Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura. CM P P  S CM S CM CM
  19. 19. <ul><li>El cilindro rueda y desliza. </li></ul><ul><li>Al rodar y deslizar en este caso se tiene que </li></ul><ul><li>El cilindro tiene un movimiento de traslación y rotación combinados, pero la velocidad del punto de contacto no es nula. </li></ul><ul><li>Si existe fuerza de rozamiento ésta es dinámica . </li></ul>Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura.
  20. 20. Condiciones de equilibrio. <ul><li>Para el equilibrio de un sólido rígido es necesario considerar el equilibrio con respecto tanto a la traslación como a la rotación . Las condiciones han de ser: </li></ul><ul><li>Esta situación implica que </li></ul><ul><li>Por tanto, para que un sólido rígido en equilibrio esté quieto , es necesario que en el instante inicial se encuentre en reposo . </li></ul>Equilibrio de traslación Equilibrio de rotación
  21. 21. Energía cinética de un sólido rígido. <ul><li>Sea un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo . </li></ul><ul><li>Como las partículas del sólido describen un movimiento circular alrededor del eje , su energía cinética será </li></ul><ul><li>Sea un sólido rígido que tiene un movimiento de traslación . </li></ul><ul><li>Como todas las partículas del sólido se mueven con idéntica velocidad, que será igual a la de su CM y su energía cinética será </li></ul>Rotación en torno a un eje Z’ Z O R i A i Como Traslación
  22. 22. <ul><li>Sea un sólido rígido que gira alrededor de un eje que pasa por su CM y al mismo tiempo tiene un movimiento de traslación respecto a un observador inercial. </li></ul><ul><li>La energía cinética respecto a un observador inercial es </li></ul><ul><li>Y como el único movimiento de las partículas respecto a un eje que pasa por el CM es de rotación, la energía cinética interna será de rotación y por tanto </li></ul>Energía cinética de un sólido rígido. CM O
  23. 23. Energía total de un sólido rígido. <ul><li>Para un sólido rígido ya que es indeformable y la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen no varía con el tiempo, se tiene que su energía potencial interna es constante y por tanto, </li></ul><ul><li>De este modo, la energía total para un sólido rígido se reduce a </li></ul><ul><li>Para un sólido rígido que rueda sin deslizar sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento ésta es estática , se tiene que, </li></ul><ul><li>Para un sólido rígido que rueda y desliza sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento ésta es dinámica , se tiene que, </li></ul>Y si tiene un movimiento de traslación y rotación combinados.

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