1. “Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento Año escolar
de Nuestra Diversidad” 2012
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
2 2 2
a = b + c + 2bm
¿QUÉ SIGNIFICA RELACIONES
MÉTRICAS? a, b, c: son lados
m: proyección de AB
sobre AC
Se llama relación métrica entre varios Ejemplo: Hallar: “x”
segmentos, a la relación que existe entre sus
longitudes con una misma unidad.
x
4
1. TEOREMA DE EUCLIDES
120º
1er Caso: si: α < 90º
3
B
_________________________________________
c a _________________________________________
_________________________________________
α
A C _________________________________________
m
b
2. TEOREMA DE LA MEDIANA
2 2 2
a = b + c – 2bm
B
a, b, c: son lados
c a
m: proyección o sombra de AB
sobre AC
.
x
Ejemplo: Hallar: “x”
A M C
b
5 x b2
2x2 + = c2 + a 2
2
53º
a, b, c: son lados
8 x: mediana relativa
2do Caso: si: α > 90º
B
a
c
α
C
A
m b

2. “Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento Año escolar
de Nuestra Diversidad” 2012
4. CALCULO DE LA BISECTRIZ INTERIOR
PROFE, NO ENTIENDO,
HAGA UN EJEMPLO B
α α
c a
x
Hallar: “x”
A C
m n
4 5
x
2
x =c x a–m.n
6
_________________________________________ x: Bisectriz
_________________________________________ c y a: Lados
_________________________________________ m y n: Segmentos determinados por la Bisectriz
_________________________________________
_________________________________________
Ejemplo:
3. TEOREMA DE HERÓN
(Para calcular alturas)
Hallar: “x”
B
a α α
c
h b 6 8
b
b x
A C
b
3 4
2
h = . p(p −a)(p −b)(p −c)
b
Resuelve los siguientes ejemplos
h: Altura relativa a AC = b
• Calcule “x” en cada caso:
b: Lado relativo a la altura
p: Semiperímetro
1.
Calculo de P 5 x
Mira:
4 6 37º
Si:
6
8
4 +6 +8
p= =9 2.
2
Ejemplo: Hallar: “h” x
5
127º
14 15
h
2
14

3. “Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento Año escolar
de Nuestra Diversidad” 2012
3.
4. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
interior ; por un punto “M” de
AF
, se AC
2 4 traza una paralela a que corta en “N” a AB
. Hallar la distancia de “N” a
AF
; AN = AB
x 4 5
y AM = 5.
3 a) 3 b) 2 c) 5
d) 4 e) 3,5
4.
5. En un trapecio de lados no paralelos 13 y 15,
hallar la altura del trapecio si las bases miden 6
4 5 y 20.
x
a) 10 b) 12 c) 11
d) 9 e) 13
7
6. Calcular: BH; AB = 4, BC = 3, AC = 2
B
5. 3
a) 4
15
4
6 15
b)
x 2
6
α
α c) 15
9 d) 2 15
H
e) 13 A C
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
7. En un triángulo de lados 5, 6 y 7. Hallar la altura
intermedia.
1. En un triángulo ABC de lados 6, 8 y 9, se desea
hallar la proyección del lado menor sobre el lado a) 5
b) 6
c) 2
mayor. d) 3 e) 2 6
a) 19/15 b) 19/16 c) 20/13
8. Hallar el lado del rombo.
d) 21/12 e) 22/13 2 2
Si: AM + MD = 10
M
2. Dado un triángulo ABC, se cumple: B C
a) 1
a 2 = 2 +2 −
b c bc 2
b) 2
Hallar: m∢ A; si: BC = a c) 3
AC = b
d) 4
AB = c
e) 5 A D
a) 30º b) 37º c) 45º
2 2
d) 53º e) 60º 9. Hallar: AE + EB
2 2
3. Los lados de un triángulo ABC: AB = 5, BC = 4 y a) R + r E
AC = 2; calcular la proyección de sobre
BC
b) 2(R + r )
2 2
O B
AC
. 2 2
c) 3(R + r )
A r R
a) 3/4 b) 5/4 c) 2/5 3 2
d) (R + r2 ) R
d) 3/5 e) 2/3 2

4. “Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento Año escolar
de Nuestra Diversidad” 2012
2 2
e) 2R + r
10. Hallar: “x”
TAREA DOMICILIARIA
a) 31
3
b) 29 5
c) 33 1. Hallar: “x”
d) 41
7 x a) 21
e) x
4
37
b) 19
c) 17
11. En un trapecio isósceles ABCD de bases: 60
BC y AD
; se traza la mediana: MN
(M d) 5
en AB
y N en CD
). e) 4 5
Hallar: “MN”.
Si: CM = 6, MD = 8 y CD = 12 2. En un triángulo de lados 2, 3 y 4 calcular la
proyección del menor lado sobre el lado
intermedio.
a) 7
b) 2 7
c)
3 7
a) 1 b) 1/2 c) 2/3
d) 14
e) 2 14
d) 3/2 e) 4/3
12. En un triángulo ABC, se desea hallar la 3. Hallar: “x”
proyección de la mediana AM
sobre AC
conociendo que AB = 5, AC = 7 y BC = 8. a) 3 2
x
b) 3 3
a) 27/7 b) 16/7 c) 18/7 c) 6 5
d) 21/11 e) 23/11 d) 3 5 143º
e) 3 6
2
13. Hallar la bisectriz BD
en un triángulo ABC; AB
= 6, BC = 8, AC = 7. 4. En un triángulo ABC; AB = c; BC = a y AC = b
2 2 2
Hallar: m ∢ A; si se cumple: a = b + c – bc
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7 a) 60º b) 120º c) 45º
d) 30º e) 135º
14. Hallar: (a x b)
5. Hallar la mayor altura de un triángulo de lados:
6
a) 182 2, 6 y 6.
b) 192
a
8 a) 30
b) 35
c)
c) 172
α 12
d) 162 34
α
e) 100 d) 6 e) 5
b
15. Hallar: 6. Hallar: “h”
a) 3 2 a) 2
α α
b) 3 6 b) 3 6
4 3
c) 2 x c) 4
d) 2 d) 14
e) 4
e) 14
3
5 3 5

5. “Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento Año escolar
de Nuestra Diversidad” 2012
101 102
7. Hallar “h” a) b) c)
2 2
a) 3 103
2
b) 4 4 5
c) 5 h
5 104 105
d) e)
2 2
d) 5
e) 10
5
13. Hallar la bisectriz interior intermedia en un
triángulo de lados 6, 7 y 8.
8. En un triángulo de lados 7, 8 y 9, hallar la
menor altura.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
8 5 8 5
a) b) c)
3 7
5
14. Hallar: “x”
d) 2 5
e) 8 5
a) 3 3
2 2 b) 3 2 12
9. Hallar: (AM + MD ). En el rombo de perímetro 8. 5
c) 3
a) 10 B C x
d) 4 α
M
b) 5 e) 5 α
c) 15 10
d) 20 15. Hallar: “x”
e) 30 A D
a) 5
α α
10. Hallar: “x” b) 2 2
6
4
c) 4 x
a) 7 d) 1
b) 8 7 24
e) 3 2
x
c) 9 2
d) 10,5
e) 12,5 25
11. Hallar: “MN”; MP = 2, MQ = 3, PQ = 4
P
N
M Q
5 5 3
a) b) c)
2 3 2
2 1
d) e)
3 2
12. En un triángulo de lados 6, 7 y 8, calcular la
menor mediana.