República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Vice Rectorado Académico
Escuela de Mecánica
Participante:
Juni...
La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para
un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o
superfi...
INTERPOLACIÓN POLINÓMICA INTERPOLACIÓN LINEAL
Cuando se tienen dos puntos,
éstos pueden ser unidos con
una línea recta. Do...
POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE
Para construir un polinomio de grado menor o igual que
n que pase por los n+1 puntos, d...
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la
función desconocida se puede establecer u...
La diferenciación e integración de funciones son
operaciones matemáticas importantes. Existen técnicas que
permiten expres...
El cálculo de la derivada de una función puede ser un
proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición
analític...
En análisis numérico la integración numérica constituye una
amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de u...
Este tema en primera instancia pretende profundizar
como resolver una ecuación diferencial de primer orden, una
vez que se...
Error Absoluto
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Error porcentual
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El método de Runge-Kutta
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Juniorzabala 20.178.647. Análisis Númerico

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Análisis numérico, Unidad IV, V VI

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Juniorzabala 20.178.647. Análisis Númerico

  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Universidad Fermín Toro Vice Rectorado Académico Escuela de Mecánica Participante: Junior Zabala 20.178.647
  2. 2. La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación. En este texto se discute exclusivamente la interpolación, aunque la idea es similar. PRECAUCION: El uso indiscriminado ´ de extrapolación no es recomendable, siempre tratar con cuidado. Existe un sin número de métodos de interpolación, incluyendo la interpolación lineal, polinómica, y la spline, que se discutirán más adelante.
  3. 3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA INTERPOLACIÓN LINEAL Cuando se tienen dos puntos, éstos pueden ser unidos con una línea recta. Dos puntos cualquiera en un plano (x0, y0) and (x1, y1), donde x0 6= x1, determinan un polinomio de primer grado en x, donde la función pasa por ambos puntos. Una generalización de lo anterior sugiere que dados N puntos en un plano (xk, yk) con k = 1, 2,3…N y distintos xk, existe un único polinomio en x de grado menor a N cuya función pasa por todos los puntos. La interpolación lineal es el método más simple en uso hoy. Es el método usado por los programas de generación de graficas, donde se interpola con líneas rectas entre una serie de puntos que el usuario quiere graficar. La idea básica es conectar los 2 puntos dados en xi, es decir (x0, y0) y (x1, y1). La función interpolante es una línea recta entre los dos puntos. Para cualquier punto entre los dos valores de x0 y x1 se debe seguir la ecuación de la línea.
  4. 4. POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos, donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio.
  5. 5. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo): TABLA DE DIFERENCIAS
  6. 6. La diferenciación e integración de funciones son operaciones matemáticas importantes. Existen técnicas que permiten expresar la derivada o la integral de una función, la cual no es conocida como una expresión explícita en x, sino sólo como una tabulación de valores. Cuando la función sea conocida explícitamente, las computadoras no pueden ser programadas con rapidez para integrar analíticamente una función arbitraria; y casi todas las integraciones ejecutadas en una computadora, deben utilizar técnicas numéricas.
  7. 7. El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas. Fórmulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" está dada en términos del límite
  8. 8. En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones también se utilizan. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
  9. 9. Este tema en primera instancia pretende profundizar como resolver una ecuación diferencial de primer orden, una vez que se conoce un punto por el que pasa la curva solución. Antes de tratar de resolver un problema de valor inicial, nos gustaría saber si existe una solución única. Una ecuacion diferencial es una ecuacion en la que interviene una función incógnita y una o varias de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones aparece en el estudio de numerosos fenómenos físicos y químicos: desintegración radiactiva, crecimiento de poblaciones, reacciones químicas, problemas gravitatorios, etc.
  10. 10. Error Absoluto que viene dado por: Error Relativo que viene dado por: Error porcentual viene dado por:
  11. 11. El método de Runge-Kutta Método de Euler y Euler Modificado Método De La Serie De Taylor

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