Vetores

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG
Vetores
Vetores no Espaço
Espaço vetorial
Subespaço vetorial
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Álgebra Linear e Geometria Analítica
Engenharia
Profª. Alessandra S. F. Misiak
Cascavel – 2008

Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG
Espaço Vetorial
Vetor no Plano
1 - O VETOR
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:
• comprimento (denominado módulo)
• direção
• sentido (de A para B)
1. A direção é a da reta que contém o segmento.
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
3. O módulo é o comprimento do segmento.
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os
segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.
Ou ainda, um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo
sentido e mesmo módulo (intensidade).
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe.
Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo:
Para facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito u . Todas as representações de letras em negrito neste
Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 2

arquivo, representarão vetores. O módulo do vetor u, será indicado simplesmente por u, ou seja, a mesma letra indicativa do vetor,
sem o negrito.
1.1 - O VETOR OPOSTO
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , de sentido oposto.
1.2 - O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:
| u | = u = 1.
1.3 - O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0
2 - A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo θ com o eixo r.
Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a
ux = u . cosθ. Observe que se θ = 90º, teremos cosθ = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.
3 - A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES
Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.
Grassmann (matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de
vetor u .
Assim, pode-se escrever:
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A

Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos permitirá a simplificação na resolução de questões,
conforme veremos na seqüência.
4 - UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:
Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:
P = O + u
u = P - O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte,
O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y).
Substituindo acima, vem:
u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).
Portanto,
u = (x, y)
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u, conforme convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à
origem O, será dado por:
5 - UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS
Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:
i=(1,0) e j=(0,1)
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo
dos x e o versor j no eixo dos y , conforme figura abaixo:

O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2
, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que um vetor u = (x, y), pode ser escrito univocamente como:
u = x.i + y.j
Analogamente, se em vez do plano R2
, estivéssemos trabalhando no espaço R3
, poderíamos considerar os versores i, j e k,
respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3
.
O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:
6 - OPERAÇÕES COM VETORES
6.1 Adição
Dados dois vetores u e v, define-se o vetor soma u + v, conforme indicado nas figuras abaixo.
Regra do triângulo Regra do paralelogramo
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)

6.2 Diferença de vetores
Considerando-se a existência do vetor oposto -v, podemos definir a diferença u - v, como sendo igual à soma u + ( -v ) .
Veja a figura abaixo:
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v-w = (a-c,b-d)
6.3 Produto por escalar
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:
k.v = (ka,kb)
6.4 Produto interno de vetores
Dados dois vetores u e v, define-se o produto interno desses vetores como segue:
u . v = u . v . cos β onde u e v são os módulos dos vetores e β o ângulo formado entre eles.
Da definição acima, infere-se imediatamente que:
a) se dois vetores são paralelos, (β = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.
b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois neste caso,
β = 0º e cos 0º = 1 ∴ u.u = u.u.1 = u2
c) se dois vetores são perpendiculares, (β = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo.
d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.
e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.
6.4.1 - CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v .
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j
Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos:
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0
Daí, fazendo as substituições, vem:
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd
Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou
homônimas.
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido
por:
v.w = a.c + b.d
Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por:
v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56
O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:
v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0
Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)
Já sabemos que: u.v = u.v.cosβ = ac + bd
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:
Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.
Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos.
Achado o co-seno, o ângulo estará determinado.
Para concluir, vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.
1 - Dados os vetores no plano R2
, u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar:
a) o vetor soma u + v
b) o módulo do vetor u + v
c) o vetor diferença u - v
d) o vetor 3 u - 2 v

e) o produto interno u.v
f) o ângulo formado pelos vetores u e v
SOLUÇÃO:
a) Temos: u = (2, -5) e v = (1 ,1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 j
b) | u + v| = 2 2
3 4+ = 25 = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).
c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 j
d) 3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j
e) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3
f) conforme visto acima, teremos que calcular os módulos de u e de v .
Vem:
u = ( )
22
2 5 4 25 29+ − = + = e v = 2 2
1 1 2+ =
Logo, como
ac bd 2.1 ( 5).1 3
cos 0,3939
uv 29. 2 58
+ + − −
β = = = = − Então, o ângulo β será igual aproximadamente a 113,19738º , obtido numa
calculadora científica. ( 1
cos−
)

Vetores no espaço
Vetores no espaço R³
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2
e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços
euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.
Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção,
mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um
segmento de reta desta família (representante).
O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³,
razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).
Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por
exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:
v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)
Soma de vetores
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:
v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)
Diferença de vetores
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:
v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)
Produto de vetor por escalar
Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:
k.v = (ka,kb,kc)
Módulo de um vetor e vetores unitários
O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por: 2 2 2
v x y z= + +
Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.
Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.
i = (1,0,0);j = (0,1,0);k = (0,0,1)
Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como
combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k
Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu
módulo, isto é:
u = v / |v|
Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:
w = k v
As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:
vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)
Produto escalar
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:
v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:
v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:
v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0
Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:
v.w = |v| |w| cos(t)
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do
que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.
cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)
Vetores ortogonais
Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.
Produto vetorial
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o
vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =
Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do
"determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.
u × v = = (-3,6,-3)
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que
está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.
Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que
contém os dois vetores v e w.
Exercícios:
1. Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.
2. Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v=(3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes
vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.
3. Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) e v.w.
4. Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo, quando é reto e quando é raso.
5. Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos
matemáticos.
6. Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta
situação.
Espaço Vetorial
Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e
uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:
1. Quaisquer que sejam u,v,w V:
(u+v)+w = u+(v+w)
2. Existe 0 V (elemento nulo) tal que para todo v V:
0 + v = v
3. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que
v+(–v)=0
4. Quaisquer que sejam u,v V, segue que
u+v=v+u
5. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:
k.(v+w) = k.v + k.w
6. Para quaisquer k,m K e todo v V:
(k+m).v = k.v + m.v

7. Para quaisquer k,m K e qualquer v V:
(km).v = k(m.v)
8. Para qualquer v V tem-se que
1.v = v
9. Quaisquer que sejam u,v, V:
u+v V
10. Para qualquer k K e todo v V:
(k.v) V
Propriedades em um espaço vetorial
Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
1. Para todo k K segue que k.0=0.
2. O vetor nulo 0 é único.
3. Para todo v V tem-se que 0.v=0.
4. Para cada v V o vetor oposto –v V é único.
5. Seja k K e v V. Se k.v=0 então k=0 ou v=0.
6. Se v+u=v+w para u,v,w V, então u=w.
7. Quaisquer que sejam v,w V, existe um único u V tal que v+u=w.
8. Para todo k K e para todo v V segue que:
(–k).v = –(k.v) = k.(–v)
9. Para todo k K e para todo v V segue que
(–k)(–v) = kv
10. Se k1,k2,…,kn K e v V, então:
(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv
11. Se k K e v1,v2,…,vn V, então:
k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn
Exemplos de espaços vetoriais
1. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial complexo sobre o corpo R dos números reais com as
operações de adição e multiplicação de C.
2. O conjunto V=M(m,n) das matrizes reais mxn com soma e produto por escalar usuais.
3. O conjunto dos vetores do espaço ( ){ }3
1 2 3, , ; iV R x x x x= = ∈¡
Subexemplo:
1) u=(1,2,2) e v=(1,1,1), prove que é espaço vetorial.
2)
(2,2) : , , ,
1 1 0 1
2 0 2 1
a b
V M a b c d
c d
v u
   
= = ∈  
   
−   
= =   
   
¡
prove que é espaço vetorial.
Exercícios:
1) Mostre com um sub exemplo que:
( ){ }11 12 1
n
) (1, ) , ,..., :
) ; onde P e´ o conjunto de polinomios com coeficientes reais, de grau menorou igual a n ( incluindo o zero).
n ij
n
a V M n a a a a
b V P
= = ∈
=
¡

Subespaço Vetorial
Às vezes é necessário detectar dentro de um espaço vetorial V subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais menores.
Tais conjuntos são chamados subespaços de V. Isto acontece por exemplo em V= 2
R , o plano, onde W é uma reta deste plano, que
passa pela origem.
Para mostrar que V é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V
ou usar uma das duas caracterizações seguintes:
Caracterização de subespaço vetorial
Teorema I: Seja V um espaço vetorial, um subconjunto W, não vazio. W é um subespaço vetorial de V se:
1. Se v,w S, então v+w W.
2. Se k K e v W, então k.v W
3. . O vetor nulo de V pertence ao conjunto W.
Observação:
1)Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não
existe possibilidade de dúvida.
2) Todo espaço vetorial admite pelo menos 2 subespaços ( que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo
vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
Exemplos de subespaços vetoriais
1. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.
2. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.
3. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².
4. Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. O conjunto
H = {x=(x1,x2,…,xn)t
Rn
: A.x = 0}
é um subespaço (hiperplano) de Rn
.
5. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n é um subespaço de Mm×n(K), o espaço vetorial das matrizes com m
linhas e n colunas com elementos de um corpo K, se n<m.
6. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R).
7. O conjunto An(R) das matrizes anti-simétricas é um subespaço de Mn(R).
8. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.
9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.
10. O conjunto P={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.
11. O conjunto Q={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.
12. O conjunto C(R)={f:R R: f é contínua} é um subespaço de F(R,R).
13. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço
de P[R].
14. O conjunto P0 de todas as funções polinomiais com coeficientes reais e o grau exatamente igual a 3 não é um
subespaço de P[R].
15. O conjunto F'={f:(a,b) R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) R}.
16. O conjunto C[A]={X Mn(R): AX=XA} das matrizes que comutam com A, é um subespaço de Mn(R).

Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos
subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços
com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.
Exercícios:
1) Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 da forma
1
0
a a
b
+ 
 
 
. W é um subespaço 22M ?
2) Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 com determinante 0. W é um subespaço de 22M ?
3) Seja w o conjunto das matrizes simétricas nxn. Prove que W é um subespaço de nxnM .
4) W=
2
a
a
a
 
 − 
  
. Prove que W é um subespaço de V= 3
R .
Combinações lineares
Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de "novos vetores" a partir de um conjunto pré fixado
de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R3
o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo
v = a.u, onde a ∈ R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é
"criado" por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u "gera" a reta que o contém., sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R3
pode ser escrito na forma
v = ai + bj + ck
onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos vetores i, j, k. Esse conceito, como veremos a
seguir, não se restringe ao R2
ou R3
.
Definição.
Sejam v1, v2, ..., vn vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a1, a2, ..., an números reais. Então todo vetor vÎ V da forma
v = a1v1 + a2v2 + ... + an vn
é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn.
Exemplo. Em R3
, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u1 = (– 1, 2, 4) e u2 = (5, – 3, 1), pois:
(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1).¨
Exemplo. Em M23,
de forma que o vetor
é uma combinação linear dos vetores do conjunto e também de
.¨
Esse exemplo mostra que um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear de diferentes conjuntos de vetores.

Exemplo. Em Pn, qualquer polinômio pode ser escrito como combinação linear dos monômios 1, x, x2
, ..., xn
. Esclarecendo e
particularizando: em P3, o polinômio p(x) = – 3 + 4x2
é uma combinação de 1, x, x2
, x3
, pois:
– 3 + 4x2
= – 3.1 + 0.x + 4.x2
+ 0.x3
Observamos aqui que qualquer polinômio p(x) = a + bx + cx2
+ dx3
em P3 é obtido através de uma combinação linear dos vetores do
conjunto {1, x, x2
, x3
} pois:
a + bx + cx2
+ dx3
= a.1 + b.x + c.x2
+ d.x3
Já o polinômio q(x) = 2 + 3x + x2
+ 2x3
+ 4x4
não é uma combinação linear dos vetores 1, x, x2
, x3
. Dizemos, neste caso, que o
polinômio q(x) não pertence ao subespaço gerado pelos vetores 1, x, x2
e x3
. Isto nos leva à seguinte definição.
1.3.5 Definição.
Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial V é dito gerador de V se todo vetor em V pode ser escrito como
combinação linear desses vetores. Ou seja, para todo v ∈ V, existem escalares a1, a2, ..., an, tais que
v = a1v1 + a2v2 + .. + anvn
Usa-se a notação V = [v1, v2, ..., vn], que se lê "V é gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn."
Uma vez que todo subespaço de um espaço vetorial V é também um espaço vetorial, a definição acima se extende a todos os
subespaços vetoriais de V.
Exemplo: O vetor v=(3,-2,1) R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem
escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que
(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)
Exercício: Determinar escalares p,q,r R tal que:
(1,2,3) = p(1,0,0) +q(1,1,0) +r(1,1,1)
Dependência e Independência Linear
Definição.
Sejam v1, v2, ..., vn, vetores de um espaço vetorial V. Diz-se que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (l.i.), ou que os
vetores v1, v2, ..., vn são l.i., se a equação
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0
implica que a1 = a2 = ... = an = 0. No caso em que a igualdade se verifique para algum ai ¹ 0 diz-se que {v1, v2, ..., vn} é linearmente
dependente (l.d.), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são l.d.
Observações.
Dois vetores u e v são l.d. se e somente se um é múltiplo escalar do outro.
Por exemplo, os vetores (– 1, 1, 2) e (2, – 2, 4) são l.d. pois
(2, – 2, – 4) = – 2(– 1, 1, 2).
Três vetores em R3
são l.d. se e somente se são coplanares .
Ou seja,

(u, v, w) =
Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 3), v = (– 2, 1 ,– 3) e w = (1, 0, 1) são l.d. pois
Observemos que os elementos k11, k23 e k32 não podem ser zerados, de forma que as linhas 1, 2 e 3 não se anulam.
Exemplos:
1) Em P2, o conjunto { }2 2 2
1 ;1 3 ,1 3x x x x x x+ + − + + − é LD, pois
2 2 2
2(1 0 (1 3 ) 1 3x x x x x x+ + − − + = + −
2) Em M22, considere:
1 1 1 1 2 0
, ,
0 1 1 0 1 1
A B C
−     
= = =     
     
A+B=C, portanto o conjunto é LD.
3) Em P2, determine se o conjunto { }2 2
1 , ,1x x x x+ + + é LI.
Exercícios
1. Escreva w como combinação linear de v1, v2 e v3:
a) v1 = (1, 1); v2 = (– 1, 1); v3 = (3, 0) e w = (1, – 4)
b) v1 = (1, 2); v2 = (– 2, 3); v3 = (5, 4) e w = (– 4, 1)
c) v1 = (2, 1, –5); v2 = (– 1, 3, 0); v3 = (2, – 6, 4) e w = (9, – 6, –13)
2. Escreva cada um dos vetores abaixo como combinação linear de
a) A = b) B =
3. Seja o subespaço W de M32 gerado por O vetor pertence a W ?
4. Mostre que os polinômios 1 – t3
, (1 – t)2
, 1 – t, e 1 geram o espaço dos polinômios de grau £ 3.
5. Determine se os seguintes conjuntos de vetores são li ou ld. Para os que forem l.d, escreva um vetor como combinação linear dos
outros:
a) {(1, 2), (– 1, – 3)}; em R2
b) {(– 3, 2), (1, 10), (4, – 5)}; em R2
c) {(2, – 1, 4), (4, – 2, 8)}; em R3
d) {(4, 2, 1), (2, 6, – 5), (1, – 2, 3)}; em R3

e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}; em R3
f) {(1, – 2, 1, 1), (3, 0, 2, – 2), (0, 4, – 1, – 1), (5, 0, 3, – 1)}; em
R4
g) {1 – t, 1 + t, t2
}; em P2
h) {t, t2
– t, t3
– t}; em P3
i) {2t, t3
– 3, 1 + t – 4t3
, t2
+ 18t – 9}; em P3
j) {3t + 1, 3t2
+ 1, 2t2
+ t + 1}; em P3
l) ; em M22.
m) ; em M22.
6. Para que valores de a os vetores (1, 2, 3), (2, – 1, 4) e (3, a , 4) são l.d. ?

CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: Geometria Analítica e Álgebra Linear
PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak
LISTA DE EXERCÍCIO –Vetores
1. Dados os vetores u = 2i - 3j, v = i - j e w = -2i + j, determinar:
a) 2u - v
b) v - u + 2w
c) 0.5u - 2v -w
2. Dados os vetores u=(1,-1), v=(-3,4) e w=(8,-6) calcular:
a) | u |
b) | 2u - w|
c) v/|v|
3. Dados os vetores u = (2,-3, -1) e v = ( 1, -1, 4) calcular: (Obs: O ponto representa Produto Escalar)
a) 2u. (-v)
b) (u+3v).(v-2u)
c) (u+v).(u-v)
4. Dados os vetores u = (1,2,-3), v = (2,0,-1) e w = (3,1,0), determinar o vetor x tal que x.u = -16, x.v = 0 e x.w = 3.
5. Determinar o ângulo entre os vetores
a) u = (2,-1,-1) e v = (-1,-1,2)
b) u = (1,-2,1) e v = (-1,1,0)
6. Determinar o valor de a, para que seja 45 o ângulo entre os vetores u = (2,1) e v = (1,a)
7. Dados u = (3,-1,-2), v = (2,4,-1) e w = (-1,0,1) determinar:
a) | u x u |
b) (u x v) x ( v x u )
c) u x (v x w)
d) (u x v) . v
OBS: x representa Produto Vetorial
Respostas:
1.
a)(3,-5)
b)(-5,4)
c) (1, -0.5)
2.
a) 2
b) 2 13
c) (-3/5, 4/5)
3.
a) -2
b) 21
c) -4
4. x = (2,-3,4)
5.
a) 120
b) 150
6. 3 ou -(1/3)
7.
a) 0
b) (0,0,0)
c) (-6,-20,1)
d) 0

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