Interacción gravitatoria

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Interacción gravitatoria

  1. 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
  2. 2. INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1.- ANTECEDENTES HISTÓRICOS: DE ARISTÓTELES A KEPLER. 2.- LEYES DE KEPLER. 3.- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. 4.- CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO: EL CAMPO GRAVITATORIO. 5.- FUERZAS CONSERVATIVAS. CONCEPTO DE ENERGÍA POTENCIAL. 6.- ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. 7.- CONCEPTO DE POTENCIAL. 8.- REPRESENTACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO. 9.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. 10.- APLICACIÓN DEL MODELO NEWTONIANO AL MOVIMIENTO DE PLANETAS. Tiempo aproximado: 14 sesiones de clase
  3. 3. 47 Tuc: A Great Globular Cluster of Stars
  4. 4.  Jupiter And Family
  5. 5. Mentira
  6. 6. Variación del campo gravitatorio enla superficie terrestre (zona rojamayor valor)
  7. 7.  Video
  8. 8. DE ARISTÓTELES A KEPLER Desde la más remota antigüedad el hombre se ha ido preguntado el porqué de muchos fenómenos que observó en el mundo físico de su entorno, y para darse contestación los interpretaba en términos de teorías que encontraban más o menos confirmación en posteriores observaciones hechas con mayor minuciosidad o con detalles no tenidos en cuenta hasta el momento.  Quizá uno de los procesos más representativos de esta historia es el que ha tenido lugar buscando la interpretación de dos fenómenos considerados inicialmente como independientes: la caída de los cuerpos hacia la Tierra y el movimiento de los astros en el firmamento.
  9. 9.  Para interpretar la tendencia de todos los cuerpos a caer sobre la Tierra no hubo, hasta el siglo XVII, ningún intento efectivo de explicarlo.. Sin embargo, para interpretar o describir el movimiento de los astros o movimiento planetario se emitieron, ya desde las primitivas civilizaciones, las más diversas opiniones.  Aristóteles  En la obra de Aristóteles (384-322 a. de C.), surgió la primera de las creencias que encontró gran eco durante muchos siglos, consistente en suponer que la Tierra era el centro del Universo y cuantos astros hay en el mismo poseían movimiento de rotación alrededor de ella (sistema geocéntrico).
  10. 10.  En el siglo III a. de C. Aristarco de Samos expuso la primera teoría heliocéntrica, Pero los pensadores de su época no aceptaron su teoría, y crearon una serie de argumentos para refutarla. Aristarco  En el sigo II, astrónomos como Hiparco de Nicea y, sobre todo, Claudio Ptolomeo, fueron formulando diferentes modificaciones para hacer desaparecer parte de las dificultades que razonablemente aparecían en el sistema geocéntrico. Hiparco
  11. 11.  Ptolomeo elaboró la teoría de los epiciclos consistente en considerar a cada astro girando periódicamente en una órbita circular cuyo centro, a su vez, describía un círculo mayor alrededor de la Tierra originando una trayectoria epicíclica.  El sistema de Ptolomeo era un buen sistema que se mantuvo desde el siglo II hasta el siglo XVI. grabado del siglo XVI
  12. 12.  Nicolás Copérnico (1437-1543), describió el Universo como una gran esfera en donde se encontraban las estrellas, a las que consideraba fijas, y dentro, en sucesivas esferas, los planetas conocidos (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) y en el centro, el Sol  Nicolás Copérnico
  13. 13.  El gran impulso que llevó al conocimiento de la constitución del Universo se debe al astrónomo Tycho Brahe (1546-1601), quien realizó una cantidad enorme de medidas con una precisión casi increíble.  Tycho Brahe  Instrumentos  Johannes Kepler  Kepler (1561-1630) estableció sus teorías y leyes, buscando una interpretación matemática a las medidas obtenidas por Tycho Brahe Galileo (1564-1642) cuyas aportaciones, con el estudio del movimiento y sus observaciones con el telescopio, fueron decisivas para la aceptación de la teoría de Copérnico.  Galileo Galilei
  14. 14. LEYES DE KEPLER Primera Ley: Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos. La elipse es una curva cerrada que posee un eje mayor, un eje menor, un centro y dos focos. Matemáticamente es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Para indicar el “achatamiento” de una elipse se define un número que se llama excentricidad, igual al cociente entre la distancia del foco al centro de la elipse y el semieje (mitad del eje) mayor. Las órbitas de los planetas del sistema  dibujar elipse solar tienen la mayoría excentricidades menores de 0,1 y sólo en el caso de Plutón es de 0,25. Esta ley acaba definitivamente con el mito que atribuía al círculo la condición de trayectoria perfecta y pura.
  15. 15.  Segunda Ley: Al moverse el planeta en su órbita, el radio-vector, línea que une el Sol con el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. Segunda Ley de Kepler  Esta ley acaba también con otro mito ancestral, el de la uniformidad del movimiento. Tercera Ley: El cociente entre el cuadrado del periodo (tiempo que emplea el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol) y el cubo del radio medio de su órbita es la misma cantidad para todos los planetas 2 T cte 3 R  3ª Ley  Las leyes de Kepler
  16. 16. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Newton (1642-1727) propuso la existencia de una fuerza de atracción entre éstos y el Sol, fuerza que varía en forma inversa al cuadrado de la distancia que los separa. M m F G 2 r Ley de la Gravitación Universal: Todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que los separa y dirigida según la línea que une el centro de ambos cuerpos.  M m  F G ur 2 r
  17. 17.  La primera medición fiable de la constante G fue realizada por Cavendish en 1798 utilizando una balanza de torsión. El valor aceptado actualmente es: G = 6,67 · 10-11 N·m2/kg2 y este valor no depende del medio donde están colocadas las masas.  Experimento de Cavendish
  18. 18.  S.1 a) Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de la Luna. Explique por qué los tiempos de caída serían distintos y calcule su relación. b) Calcule la altura que alcanzará un cuerpo que es lanzado verticalmente en la superficie lunar con una velocidad de 40 m s- 1. MT = 81 ML ; RT = (11/3) RL ; g = 10 m s - 2
  19. 19.  S.2 Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El peso de un cuerpo en la superficie de un planeta cuya masa fuera la mitad que la de la Tierra sería la mitad de su peso en la superficie de la Tierra. b) El estado de “ingravidez” de los astronautas en el interior de las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierra se debe a que la fuerza que ejerce la Tierra sobre ellos es nula.
  20. 20.  S.3 a) Analice las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) ¿Cómo se ve afectada la interacción gravitatoria descrita en el apartado anterior si en las proximidades de las dos masas se coloca una tercera masa, también puntual? Haga un esquema de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre la tercera masa.
  21. 21. CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO: CAMPO GRAVITATORIO Cada punto del espacio alrededor de la masa M(el diagrama de la figura debe imaginarse en el espacio y no como imagen plana) está dotado de cierta propiedad, creada por éste, que hace que, al colocar allí un segundo cuerpo, actúe sobre él una fuerza. A esa propiedad la denominamos campo. Matemáticamente no hay ninguna dificultad para definir el concepto de campo. Si queremos determinar el campo gravitatorio creado por una masa M en puntos situados a su alrededor, colocamos una masa “m” en dichos puntos y medimos la fuerza que actúa sobre dicha masa.
  22. 22.  De acuerdo con la ley de Newton para la gravitación y teniendo en cuenta el carácter vectorial la fuerza sobre “m” será:  M m  F G ur 2 r siendo “ur” un vector unitario (vector de módulo la unidad) en la dirección de la línea que une ambas masas y dirigido de M a m. De ahí el signo negativo de la fuerza que actúa sobre m. Se define ahora la intensidad del campo gravitatorio creado por M como la fuerza que se ejerce en cada punto sobre la unidad de masa, al colocarla en dicho punto:   F M  g G ur 2 m r Las unidades de campo gravitatorio en el S.I. son N/kg o bien m/s2.
  23. 23.  Al colocar en los alrededores de M una masa m, la fuerza que aparece sobre ésta será:   F m g Conocido el vector g en cada punto podemos prescindir de la masa que lo crea, puesto que sus efectos se sustituyen por los que produce el campo. El campo es, por tanto, un vector cuyo módulo en cada punto del espacio representa la fuerza que se ejerce sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Para referirse al vector intensidad de campo gravitatorio, se utilizan expresiones tales como vector campo, intensidad del campo o simplemente campo gravitatorio.
  24. 24. Del análisis de la expresión del vector campo se deduce: Que el vector campo está siempre dirigido hacia la masa que lo crea, siendo como consecuencia un campo central y vectorial. Que la fuerza ejercida por un campo gravitatorio sobre la unidad de masa en cada punto viene determinada por la aceleración que experimenta ésta colocada en dicho punto. Que el módulo de g, cuyo valor es G · M/r2, es independiente de la masa del objeto y solamente depende de r, puesto que G es constante y también se supone que lo es M. Que el campo gravitatorio no puede apantallarse ya que el valor de G es el mismo para todos los medios (vacío, aire, agua, etc.) Cuando haya más de una masa creando el campo, podemos suponer que cada uno de esos cuerpos crea un campo individual en el punto considerado; el campo resultante en ese punto será la suma vectorial de los campos individuales. Esta propiedad es lo que se conoce como principio de superposición.De ese modo, el campo resultante en un punto, será:      g g1 g2 g3 ..... Σgi
  25. 25. -Campo gravitatorio terrestre La definición de campo puede aplicarse al campo gravitatorio creado por la Tierra. La Tierra crea a su alrededor cierta propiedad, denominada campo gravitatorio, que hace que, al colocar un cuerpo en sus proximidades actúe sobre él una fuerza de atracción. Suponiendo que la Tierra es esférica y homogénea, el campo creado por ella en un punto exterior es el mismo que crearía una masa puntual cuya masa fuese la misma que la de la Tierra, aproximadamente 5,98·1024 kg, colocada en el centro de la esfera. Esto que dicho así parece fácil, le costó a Newton un esfuerzo considerable que no hubiera sido posible sin el desarrollo del cálculo diferencial En un punto de la superficie terrestre, cuyo radio medio es 6370 km, el módulo del campo gravitatorio, g0, toma un valor: MT g0 G 9,8 N/kg 2 RT que conocemos también con el nombre de aceleración de la gravedad, por corresponder su unidad con la de una aceleración.
  26. 26.  Este valor se modifica al elevarnos sobre la superficie o al profundizar en el interior de la Tierra. - Cuando nos elevamos una distancia h sobre la superficie de la Tierra, el módulo del campo gravitatorio en ese nuevo punto será: MT g G  Viaje por el 2 RT h interior de la Tierra - Puede demostrarse que el campo gravitatorio creado por una corteza esférica hueca es nulo en su interior. - Por tanto al profundizar en el interior de la Tierra el campo gravitatorio disminuye, ya que solo hay que tener en cuenta la masa y el radio de la esfera maciza que hay debajo del punto dónde queremos calcular el campo. M 4 rg G Si lo expresamos en función de la g G 2 RT h densidad de la Tierra, supuesta constante 3 El peso de los cuerpos es un caso particular de la ley de la gravitación universal. Como sabemos, hemos llamado peso de un cuerpo a la fuerza con la que este es atraído por la Tierra, y viene dado por la expresión F = m · g, donde g representa la intensidad del campo gravitatorio terrestre. Como g depende de la altura, el peso variará en función de ésta.
  27. 27.  S.4 a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre un cuerpo de 1000 kg, situado en el punto medio entre la Tierra y la Luna y calcule el valor de la fuerza resultante. La distancia desde el centro de la Tierra hasta el de la Luna es 3,84·108 m. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra se encuentra el punto, entre la Tierra y la Luna, en el que el campo gravitatorio es nulo? G = 6,67·10 –11 N m2 kg –2 ; M T = 5,98·1024 kg ; M L = 7,35·1022 kg
  28. 28.  S.5 a) Determine la densidad media de la Tierra. b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio terrestre se reduce a la tercera parte? G = 6,67 ·10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km ; g = 10 m s-2
  29. 29.  S.6 Si por alguna causa la Tierra redujese su radio a la mitad manteniendo su masa, razone cómo se modificarían: a) La intensidad del campo gravitatorio en su superficie. b) Su órbita alrededor del Sol.
  30. 30. FUERZAS CONSERVATIVAS CONCEPTO DE ENERGÍA POTENCIAL Hemos visto que las fuerzas que tienen la propiedad de devolver el trabajo que se realiza para vencerlas se denominan fuerzas conservativas. Como sabemos, las fuerzas conservativas realizan un trabajo negativo durante parte del trayecto (cuando utilizamos otra fuerza para vencerlas) y un trabajo positivo cuando se deja libre al cuerpo y este vuelve a su posición original. Ambos trabajos son iguales, de modo que si tenemos en cuenta la totalidad del trayecto, el trabajo total realizado por la fuerza conservativa es nulo. Ello nos sirve para definir el concepto de fuerza conservativa: Una fuerza es conservativa si es nulo el trabajo total que realiza cuando el cuerpo sobre el que actúa describe una trayectoria cerrada. Cuando la trayectoria es cerrada, suele incorporarse un círculo al símbolo de la integral, en el cálculo del trabajo. De ese modo, matemáticamente, una fuerza es conservativa, si:   W F dr 0
  31. 31.  La definición de fuerza conservativa que hemos formulado es equivalente a otra, cuyo significado físico es muy importante: El trabajo que realiza una fuerza conservativa cuando el cuerpo sobre el que actúa se traslada de una posición a otra, es independiente del camino seguido y sólo es función de la posición inicial y final. Considera que un cuerpo se traslada desde A hasta B por cierto camino y regresa a A por otro cualquiera, como se indica en la figura. Sea W el trabajo realizado al desplazarse el objeto de A a B. Dado que F es conservativa, el trabajo necesario para volver de B a A ha de ser -W, sea cual sea el camino utilizado pues el trabajo total ha de ser nulo. No importa, por tanto, el camino seguido, sino simplemente los puntos inicial y final. De ese modo, el trabajo que realiza una fuerza conservativa cuando un cuerpo se traslada de un punto A a otro B, puede expresarse como diferencia de dos valores distintos de cierta función, que depende únicamente de los puntos inicial y final del trayecto: Fconservativa WA,B = f(B) - f(A)
  32. 32.  Esta última propiedad nos va a permitir definir el término energía potencial asociado a fuerzas conservativas. Supongamos que un cuerpo se desplaza desde un punto A hasta un punto B y sobre él actúa cierta fuerza conservativa. Definiremos la energía potencial como una función, que depende únicamente de la posición, de modo que su incremento sea igual al trabajo realizado por la fuerza conservativa, pero de signo opuesto. EP = EP(B) - EP (A) = -W F cons A-B Muchas de las fuerzas presentes en la naturaleza (gravitatoria, eléctrica, elástica, etc.) son conservativas, por lo que puede definirse para cada una de ellas una energía potencial asociada.
  33. 33. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Vamos a estudiar, en primer lugar, la energía potencial gravitatoria asociada a dos partículas cualesquiera.  Consideremos un cuerpo de masa m, situado alrededor de otro de masa M. Sobre él actúa la fuerza que viene dada por la ley de Newton de la gravitación. Coloquemos el sistema de referencia sobre la masa M, tal como se indica en la figura:  Supongamos que el cuerpo, originalmente en la posición A, se traslada hasta la posición B. Por tratarse de una fuerza conservativa, no importa el camino seguido para ir desde A hasta B, por lo que, por comodidad, elegimos la trayectoria que se indica en la figura, que consta de un tramo (A-P) en dirección radial y otro tramo (P-B) constituido por un segmento de circunferencia, en la que todos los puntos se encuentran a la misma distancia de M.
  34. 34.  En estas condiciones, calculemos el trabajo que realiza la fuerza F cuando el cuerpo se desplaza desde A hasta P: P   P WA P F dr F dr cos A A Sustituyendo el valor del módulo de la fuerza F = G ·M·m/r2 y teniendo en cuenta = 180º, la expresión anterior queda: P M m WA P G 2 dr A ry resolviendo la integral, como G , M y m son constante, resulta: P M m M m M m WA P G de donde WA P G G r A rP rAdonde rP y rA son las respectivas distancias de P y A, hasta la masa M. En el tramo P-B, el módulo de la fuerza es siempre el mismo, por encontrarse en todos los puntos a la misma distancia de M. Asimismo, ésta es un todo momento perpendicular al desplazamiento, por lo que el trabajo efectuado por la fuerza en ese tramo es nulo: WP B = 0
  35. 35.  De este modo, el trabajo total realizado al desplazarse desde A hasta B, será: M m M m WA B WA P WP B G G rB rA donde se ha sustituido rP por rB, por ser estos iguales. La energía potencial gravitatoria se define de modo que: M m M m EP E P (B) E P (A ) WA B G G rB rA Por tanto, para cualquier punto X, situado a una distancia rX de M, la función energía potencial gravitatoria viene dada por la expresión: M m E P (X ) G rx La unidad de la energía potencial en el S.I. es el julio.
  36. 36.  De la expresión anterior se deducen las siguientes consecuencias: - Que a cada posición relativa de dos masas corresponde una energía potencial. - Que la energía potencial gravitatoria es siempre negativa. El sentido físico de este signo menos es el siguiente: Según hemos visto, si el trabajo realizado por una fuerza conservativa es positivo, este trabajo es igual a la disminución de la energía potencial. Por consiguiente, a medida que la fuerza gravitatoria realiza el trabajo de aproximación de dos masas, la energía potencial disminuye. Si inicialmente la energía potencial era cero, forzosamente al final del desplazamiento será negativa. - Que cuando dos cuerpos se aproximan, la energía potencial disminuye. El trabajo de aproximación lo realiza la fuerza gravitatoria a costa de la energía potencial. - Que cuando separamos dos masas hay que aplicar una fuerza exterior al sistema. Esta fuerza realiza un trabajo que se emplea en aumentar la energía potencial, la cual tomará su valor máximo en el infinito. - Que la energía asociada a un sistema formado por más de dos partículas se obtiene sumando las energías correspondientes a los sistemas que se pueden formar con las partículas dadas tomadas dos a dos.
  37. 37. Una vez obtenida la expresión que nos da la energía potencial en forma general, debemos establecer dos puntualizaciones importantes: a) la primera referida al origen de energía potencial, y b) la segunda referente a dónde se almacena esta energía. a) Respecto a la primera cuestión, debemos preguntarnos en qué punto se anula la energía potencial gravitatoria. De acuerdo con las expresiones obtenidas, la energía potencial sólo puede ser nula en puntos infinitamente alejados (rX = ). Este resultado supone implícitamente que la energía potencial es nula en el infinito, lo que equivale a afirmar que cuerpos infinitamente alejados entre sí, no interaccionan. No obstante, el origen para la energía potencial puede ser arbitrariamente asignado al punto que se desee; ello sólo supone introducir una constante en la definición de energía potencial. Esto no influye en los cálculos de EP , ya que: EP = EP(B) - EP (A) y por tanto, el hecho de incluir una constante en la expresión de la energía potencial para un punto no altera los resultados, porque calculamos diferencias.
  38. 38.  b) Respecto a dónde se almacena la energía potencial, hay que señalar que en física son muy comunes expresiones como la siguiente: “ Un cuerpo situado a cierta altura sobre la superficie de la Tierra, tiene cierta energía potencial.” Ello hace que nos preguntemos si la energía potencial es una propiedad del cuerpo. Sin embargo, basta con observar las expresiones obtenidas para darnos cuenta de que en modo alguno es la energía potencial una característica propia del cuerpo considerado, puesto que además de la masa del cuerpo considerado, aparece la masa del cuerpo con el que interacciona. La energía potencial se debe a la interacción que tiene lugar entre los cuerpos y no pertenece a ninguno de los dos cuerpos; es del sistema formado por ambos. No tiene sentido hablar de la energía potencial asociada a un cuerpo aislado, ya que el término energía potencial se asocia a las fuerzas conservativas que actúan sobre el cuerpo, lo que supone una interacción entre cuerpos. Lo que ocurre es que, en numerosas ocasiones, estamos interesados en lo que sucede a un único cuerpo, sin tener en cuenta lo que ocurre con el resto del universo. En esos casos podemos afirmar que la energía potencial la tiene el cuerpo considerado, como ocurre en la frase que hemos enunciado antes
  39. 39. - Energía potencial gravitatoria terrestre Estudiemos ahora la energía asociada a un sistema particular: el formado por la Tierra y un cuerpo cualquiera. Las fórmulas obtenidas anteriormente son aplicables aquí haciendo M = MT (masa de la Tierra) y m (masa del cuerpo). Cuando un cuerpo se encuentra a una distancia h sobre la superficie de la Tierra la expresión de la energía potencial quedará como: MT m EP G RT h) siendo RT el radio de la Tierra.
  40. 40.  S.7 En dos vértices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan las masas m1=100 g y m2 = 300 g. a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa en el centro del cuadrado y calcule la fuerza que actúa sobre una masa m =10 g situada en dicho punto. b) Calcule el trabajo realizado al desplazar la masa de 10 g desde el centro del cuadrado hasta uno de los vértices no ocupados por las otras dos masas. G = 6,67 · 10 - 11 N m 2 kg – 2
  41. 41.  S.8 En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme de intensidad g, representado en la figura por sus líneas de campo. a ) Razona el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al B y desde el B al C. b) Analiza las analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio terrestre. A g d B C d
  42. 42.  S.9 a) El origen elegido habitualmente para la energía potencial gravitatoria lleva a que ésta tome valores negativos. ¿Por qué la energía potencial gravitatoria terrestre, en las proximidades de la superficie de la Tierra, toma valores positivos e iguales a mgh? b) Discuta la siguiente afirmación: “Puesto que el valor de g disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, la energía potencial mgh disminuye con la altura sobre el suelo”.
  43. 43.  S.10 a) La energía potencial de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio producido por otro cuerpo de masa m’ depende de la distancia entre ambos. ¿Aumenta o disminuye dicha energía potencial al alejar los dos cuerpos? ¿Por qué? b) ¿Qué mide la variación de energía potencial del cuerpo de masa m al desplazarse desde una posición A hasta otra B? Razone la respuesta.
  44. 44. CONCEPTO DE POTENCIAL Supongamos que cierta masa M se encuentra en una región del espacio. La existencia de M hace que, al situar una masa m a una distancia r de M, adquiera cierta energía potencial: M m EP G r Podemos suponer que M “crea” a su alrededor, en cada punto del espacio, cierta propiedad, a la que denominamos potencial gravitatorio (Vg). El potencial gravitatorio en un punto lo definiremos como la energía potencial por unidad de masa y es la energía potencial que adquiriría la unidad de masa al situarla en dicho punto: EP M Vg G m rLa unidad del potencial gravitatorio en el S.I. es el Julio/kg.
  45. 45. - Significado físico del potencial Consideremos el desplazamiento que tiene lugar desde un punto A hasta un A punto B. B El trabajo que realizan las fuerzas del campo por unidad de masa desde a A hasta B, teniendo en cuenta la definición de potencial, viene dado por la expresión: WA B Ep WA B V V m m m Por tanto, la diferencia de potencial gravitatorio entre dos puntos es igual y de signo contrario al trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa desde el punto A al punto B
  46. 46.  Si suponemos que el punto A está suficientemente alejado y aceptamos que la energía potencial es nula cuando las masas están infinitamente alejadas, queda: W B W B V ( VB V ) ( VB 0) VB VB m m El potencial en un punto es igual y de signo contrario al trabajo, que realiza la fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa desde el infinito, donde se supone que el campo es nulo, hasta el punto considerado. Cuando una masa se traslada por sí misma, disminuye su energía potencial, por lo que esta se mueve hacia potenciales cada vez menores. En general, en ausencia de fuerzas exteriores al campo considerado, los cuerpos se trasladan por sí mismos disminuyendo su energía potencial.
  47. 47. - Desplazamiento de masas en un campo de potencial Cuando se conoce el valor del campo en un punto del espacio, podemos predecir lo que ocurrirá con un cuerpo al colocarlo en dicho punto, ya que, conocido el valor del campo, podemos establecer el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza que actuará sobre un cuerpo al situarlo en dicho punto. En cambio, si únicamente conocemos el valor del potencial en un punto no podremos decir que ocurrirá con un cuerpo al colocarlo en dicho punto. La situación se modifica si se conoce el valor del potencial en dos o más puntos próximos, ya que entonces podremos saber, al colocar el cuerpo en esa posición, hacia dónde se moverá espontáneamente, pues lo hará de modo que disminuya su energía potencial. Podemos describir, por tanto, qué sucederá con un cuerpo al colocarlo en cierta región del espacio si conocemos las variaciones que se producen en el potencial al desplazarnos de un punto a otro de esa región.
  48. 48.  En los puntos A, B y C de la figura, el potencial gravitatorio es tal que VC VA VB. C A B m V C = -3 J/kg V A = -5 J/kg V B = -7 J/kg  Si colocamos una masa en el punto A, ésta se moverá por sí misma de modo que disminuya su energía potencial.  Al ser la energía potencial gravitatoria siempre negativa, la masa se moverá hacia el punto B. Por tanto, podemos afirmar que el campo gravitatorio en el punto A, está dirigido hacia B, por lo que la fuerza que actúa sobre la masa apunta hacia dicho punto.  Siempre que entre dos puntos del espacio exista una diferencia de potencial, podremos afirmar que en esa región existe un campo.  En cambio si la diferencia de potencial es cero el campo entre esos dos puntos será nulo.
  49. 49. - Relación entre el campo y el potencial Para cada punto del espacio alrededor de M, tenemos: - un valor para el campo gravitatorio (g) que nos proporciona la fuerza que actúa sobre una masa m colocada en dicho punto - y un valor para el potencial gravitatorio (Vg) que nos permite conocer la energía potencial que adquiere m al situarse allí. La relación matemática que existe entre campo y potencial es idéntica a la que relaciona la fuerza con la energía potencial:  EP F    Vg dr g dr m m
  50. 50.  S.11 Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. a) Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razone si la partícula se acerca o se aleja de M. b) Explique las transformaciones energéticas de la partícula durante el desplazamiento indicado y escriba su expresión. ¿Qué cambios cabría esperar si la partícula fuera de A a B siguiendo una trayectoria no rectilínea?
  51. 51.  S.12 a) Explique qué son fuerzas conservativas. Ponga algunos ejemplos de fuerzas conservativas y no conservativas. b) Un campo uniforme es aquél cuya intensidad es la misma en todos los puntos. ¿Tiene el mismo valor su potencial en todos los puntos? Razone la respuesta.
  52. 52. REPRESENTACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO Sea una masa puntual M. El campo gravitatorio que crea la masa es un campo radial, dirigido siempre hacia ella. Una forma de representar la dirección del campo consiste en dibujar una serie de líneas dirigidas hacia la masa (En realidad este diagrama debe imaginarse en el espacio y no como figura plana). Pero aun así, esas líneas no indican el módulo del campo en cada punto. Como además existen infinitos puntos alrededor de M, no sabríamos cuantas líneas trazar. No obstante, el razonamiento que sigue puede sugerirnos cómo representar las variaciones que se producen en la intensidad del campo en cierta región del espacio.
  53. 53.  Supón que rodeamos la masa que crea el campo con dos superficies esféricas, como se muestra en la figura siguiente. Si establecemos como norma el dibujar un número fijo de líneas, con un espaciado regular entre ellas y de forma simétrica respecto a la masa M. Observamos que la “densidad de líneas” (número de líneas por unidad de superficie) es mayor en la superficie S1 que en S2, al igual que sucede con el valor del campo, que es más intenso en los punto de S1 que en los de S2. número de líneas y la superficie esfera = 4 · · R2densidad superficie de la esfera para la superficie S1, la densidad d1:  para S2 nº de líneas nº de líneas d1 d2 2 2 4 π R1 4 π R2 cuanto mayor es el radio, menor será la densidad de líneas, puesto que el nº de líneas dibujadas y (4 · ) son constantes. La densidad de líneas decrece con el cuadrado de la distancia, al igual que el módulo del campo gravitatorio.
  54. 54.  Podemos obtener así una imagen del campo que crea la masa M: la dirección y sentido del mismo nos lo indica la forma de las líneas, mientras que la intensidad nos la indica lo “apretadas” que se encuentren esas líneas en una región determinada. El vector campo es siempre tangente a las líneas dibujadas Estas líneas que hemos dibujado las denominamos líneas de fuerza. Las líneas de fuerza del campo coinciden con la trayectoria que seguiría una masa que, partiendo del reposo, fuese abandonada libremente a la acción del campo.  La introducción del concepto de campo y su representación mediante líneas de campo, resultará muy útil para establecer analogías entre las distintas interacciones conocidas.
  55. 55. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES La representación de un campo conservativo por medio de líneas de fuerza puede completarse muy eficazmente con la introducción de las superficies equipotenciales. Como su nombre indica, una superficie equipotencial es aquella en la que todos sus puntos se encuentran al mismo potencial; la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera es nula V=0 Para trasladar un cuerpo de un punto a otro a lo largo de una superficie equipotencial no hay que realizar trabajo, ya que: WF WF m ΔV aplicada campo Si V = 0 WF m ΔV m 0 0 aplicada
  56. 56.  Las superficies equipotenciales suelen representarse a intervalos fijos de diferencia de potencial, por ejemplo, cada 5 J/kg, de modo que su mayor o menor proximidad indicará una mayor o menor intensidad del campo. Cuando únicamente tememos una masa M que crea un potencial, las superficies equipotenciales son esferas que rodean a la masa M y todos los puntos de esa superficie estarán al mismo potencial. Estas superficies equipotenciales son esferas concéntricas de radio diferente, pero adoptando el convenio de trazarlas a intervalos de potencial regulares, se observa que no están igualmente espaciadas. Al situar un cuerpo en un punto de la superficie, no realiza trabajo al desplazarse por ella, y por tanto, mantiene constante su energía. Los satélites situados en una órbita estacionaria: se desplazan sobre una superficie equipotencial y no consumen energía. Cuando existen varias masas, las superficies equipotenciales dejan de ser esféricas y adoptan otras formas. Lóbulo de Roche
  57. 57.  De la definición de superficie equipotencial se deriva una consecuencia muy importante: el vector campo es perpendicular, en todo punto, a la superficie equipotencial. En efecto, cuando un cuerpo se traslada desde un punto A a un punto B, a lo largo de una superficie equipotencial, el trabajo realizado por la fuerza del campo es: B   WF F dr grav A Si este trabajo es siempre nulo, el vector fuerza ha de ser necesariamente perpendicular ( = 90º) en todo punto al vector desplazamiento, para que cos = 0. Como el vector fuerza tiene siempre la misma dirección que el vector campo y el vector desplazamiento es siempre tangente a la superficie, obtenemos la conclusión: En todo punto de una superficie equipotencial el vector campo es perpendicular a la misma. Esta propiedad permite conocer la dirección del campo si se conocen las superficies equipotenciales, y viceversa.
  58. 58.  E.1 Pág 44 Dos masa puntuales de 10 kg cada una están en las posiciones (5,0) y (-5,0). Una tercera masa de 0,1 kg se deja en libertad y con velocidad nula en el (0,10). Calcula: a) La aceleración que actúa sobre la masa en las posiciones A (0,10) y B (0,0). b) La velocidad de la masa de 0,1 kg en (0,0). G = 6,67 · 10 - 11 N m 2 kg – 2
  59. 59. APLICACIÓN DEL MODELO NEWTONIANO AL MOVIMIENTO DE SATÉLITES - Velocidad orbital de un satélite Para que un satélite de masa m, situado a una distancia r del centro de la Tierra, gire en una órbita circular alrededor de la misma, debe estar sometido a una fuerza centrípeta. Esta fuerza centrípeta la suministra la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite. M m Fg G Puesto que la fuerza que actúa sobre él es: r 2 2 v Igualando esta expresión con la de la fuerza centrípeta : Fc m r 2 Fg Fc M m v G 2 m r r Donde M y m son las masas de la Tierra y del satélite respectivamente y r el radio de la órbita, medido desde el centro de la Tierra.
  60. 60.  De la expresión anterior se deduce la velocidad con que gira el satélite en su órbita. M m v 2 G M G 2 m v r r r O bien poniendo r = RT + h, siendo RT el radio de la Tierra y h la altura sobre la superficie terrestre G M v R T h Aunque la expresión está deducida para la Tierra sería válida para cualquier planeta sin más que cambiar los valores de M y RT.
  61. 61.  S.13 La misión Cassini a Saturno-Titán comenzó en 1997 con el lanzamiento de la nave desde Cabo Cañaveral y culminó el pasado 14 de enero de 2005, al posarse con éxito la cápsula Huygens sobre la superficie de Titán, el mayor satélite de Saturno, más grande que nuestra Luna e incluso más que el planeta Mercurio. a) Admitiendo que Titán se mueve alrededor de Saturno describiendo una órbita circular de 1,2·109 m de radio, calcule su velocidad y periodo orbital. b) ¿Cuál es la relación entre el peso de un objeto en la superficie de Titán y en la superficie de la Tierra? G = 6,67·10 –11 N m2 kg –2 ; MSaturno= 5,7·1026 kg ; MTitán= 1,3·1023 kg ; RTitán= 2,6·106 m ; g = 10 m s –2
  62. 62.  S.14 Demuestre, razonadamente, las siguientes afirmaciones: a) una órbita de radio R de un satélite le corresponde una velocidad orbital v característica; b) la masa M de un planeta puede calcularse a partir de la masa m y del radio orbital R de uno de sus satélites.
  63. 63.  S.15 Suponga que la masa de la Tierra se duplicara. a) Calcule razonadamente el nuevo periodo orbital de la Luna suponiendo que su radio orbital permaneciera constante. b) Si, además de duplicarse la masa terrestre, se duplicara su radio, ¿cuál sería el valor de g en la superficie terrestre? G = 6,67·10 -11 N m2 kg -2 ; MT = 6 ·1024 kg ; RT = 6370 km ; Rorbital Luna = 3,84·108 m
  64. 64. - Energía mecánica de un satélite La energía total de un satélite, situado en una órbita a una distancia “r” del centro de la Tierra, es la suma de su energía cinética y potencial. 1 2 M m Em m v G 2 r Como la velocidad de un satélite situado en esa órbita ya la hemos calculado: G M v r podemos sustituir y la expresión de la energía mecánica queda: 1 G M M m Em m G 2 r r y restando 1 M m Em G 2 r El signo negativo, obtenido para la energía total del satélite, nos indica que constituye un sistema “ligado” a la Tierra, ya que por sí mismo nunca podrá escapar de la atracción terrestre.
  65. 65. - Cambio de órbita de un satélite Para una órbita estacionaria la energía mecánica del satélite es constante. Por consiguiente, si queremos que un satélite cambie de una órbita r1 a otra distinta r2, habrá que realizar un trabajo equivalente a la diferencia entre las energías mecánicas correspondientes. 1 M m 1 M m W Em Em G G f i 2 r2 2 r1 De dónde: 1 1 1 W G M m 2 r1 r2 Si r2 r1 W 0 y si r2 r1 W 0 Basura espacial Video del universo conocido
  66. 66.  S.16 Un meteorito colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión? b) Si cae a la Tierra, haz un análisis energético del proceso de caída. ¿Con qué velocidad llega a la superficie terrestre? ¿Dependerá esa velocidad de la trayectoria seguida? Razona las respuestas. G = 6,67 10 -11 N m2/kg2 ; RT = 6400 km ; MT = 6 1024 kg
  67. 67.  S.17 Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto radio. a) ¿Cuál de los dos se moverá a mayor velocidad? b) ¿Cuál de los dos tendrá mayor energía mecánica? Razone las respuestas.
  68. 68.  S.18 Un satélite artificial de 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su energía mecánica. b) Determine el período de la órbita. g = 10 m s – 2 ; RT = 6,4 · 10 6 m
  69. 69.  S.19 Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le imprime la velocidad necesaria. Se desprecia la fricción con el aire. a) Explique los cambios energéticos del objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza una altura h y calcule su energía mecánica a una altura de 1000 m. b) ¿Qué velocidad inicial sería necesaria para que alcanzara dicha altura? MT = 6 · 10 24 kg ; G = 6,67 · 10 - 11 N m 2 kg - 2 ; RT = 6,4 · 10 6 m
  70. 70.  S.20 La nave espacial Apolo 11 orbitó alrededor de la Luna con un período de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 1,8 · 106 m. Suponiendo que su órbita fue circular y que la Luna es una esfera uniforme: a) Determine la masa de la Luna y la velocidad orbital de la nave; b) ¿Cómo se vería afectada la velocidad orbital si la masa de la nave espacial se hiciese el doble? Razone la respuesta. G = 6,67 · 10 - 11 N m 2 kg - 2
  71. 71.  S.21 Los satélites meteorológicos son un medio para obtener información sobre el estado del tiempo atmosférico. Uno de estos satélites, de 250 kg, gira alrededor de la Tierra a una altura de 1000 km en una órbita circular. a) Calcule la energía mecánica del satélite. b) Si disminuyera el radio de la órbita, ¿aumentaría la energía potencial del satélite? Justifique la respuesta. G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; RT = 6400 km ; MT = 6,0·1024 kg
  72. 72.  S.22 Un satélite del sistema de posicionamiento GPS, de 1200 kg, se encuentra en una órbita circular de radio 3 RT. a) Calcule la variación que ha experimentado el peso del satélite respecto del que tenía en la superficie terrestre. b) Determine la velocidad orbital del satélite y razone si la órbita descrita es geoestacionaria. G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6,0·1024 kg ; RT = 6400 km
  73. 73.  S.23 Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita geoestacionaria con una velocidad de 3,1·103 m s-1. a) Explique qué significa órbita geostacionaria y determine el radio de la órbita indicada. b) Determine el peso del satélite en dicha órbita. G = 6,67·10-11 N m2 kg-2 ; MT = 6,0·1024 kg ; RT = 6400 km
  74. 74.  S.24 a) ¿Se cumple siempre que el aumento o disminución de la energía cinética de una partícula es igual a la disminución o aumento, respectivamente, de su energía potencial? Justifique la respuesta. b) Un satélite está en órbita circular alrededor de la Tierra. Razone si la energía potencial, la energía cinética y la energía total del satélite son mayor, menor o igual que las de otro satélite que sigue una órbita, también circular, pero de menor radio.
  75. 75. - Velocidad de escape de un cohete Para conseguir que un cuerpo lanzado desde la superficie terrestre salga del campo gravitatorio habrá que comunicarle una gran velocidad. A medida que el cuerpo se aleja de la Tierra aumenta su energía potencial (recuerda que ésta es siempre negativa y cero en el infinito) a costa de su energía cinética, de manera que la energía mecánica (suma de energía cinética y potencial) se conserve, ya que nos movemos venciendo una fuerza conservativa. Se llama velocidad de escape a la velocidad que permite al cuerpo “escapar” de la atracción terrestre. Ello requiere que la energía total sea como mínimo nula Para calcular la velocidad de escape aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica: Em 0 Em Em sup erficie1 2 M m 2 G M m v G 0 v escape2 R R siendo M y R la masa y el radio del planeta
  76. 76.  Observa que la velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que se lanza. Por ejemplo, una nave espacial necesita la misma velocidad de escape que una molécula. Lo que difiere es la cantidad de energía que requieren para acelerar la masa a la velocidad de escape. Mientras más masivo sea un objeto más energía requerirá para alcanzar la velocidad de escape La velocidad de escape también sería independiente de la dirección del lanzamiento. En la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es alrededor de 11,2 km/s. Sin embargo, a una altitud en el «espacio» de unos 9.000 km, la velocidad es un poco menor a 7,1 km/s.
  77. 77.  Por otra parte, la velocidad de escape en relación con la superficie de un cuerpo en rotación depende de la dirección en la que viaja el objeto que escapa. Por ejemplo, dado que la velocidad de rotación de la Tierra es 465 m/s en el ecuador, un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador hacia el este requiere de una velocidad inicial de unos 10,735 km/s en relación a la Tierra para escapar; mientras que otro, que es lanzado tangencialmente también desde el ecuador, pero en dirección al oeste requiere de una velocidad inicial de unos 11,665 km/s en relación a la Tierra. La velocidad superficial disminuye con el coseno de la latitud geográfica, de modo que las instalaciones de lanzamiento espacial suelen estar ubicadas, en lo posible, lo más cerca al ecuador; por ejemplo, Cabo Cañaveral en Florida, Estados Unidos, y en el Centro Espacial de la Guinea Europea, a sólo 5 del ecuador desde la Guayana Francesa. Por último, es importante no confundir la velocidad de escape planetaria o lunar con la potencia de un vehículo (como un cohete) para poder salir de una órbita. La velocidad de escape sólo se aplica a los objetos que no tienen propulsión o empuje. Un objeto poderoso, como un cohete, podrá despegarse de la gravedad de la Tierra a cualquier velocidad. Pero al acabarse su combustible, sólo podrá seguir escapándose si su velocidad es mayor o igual a la de escape local en esa posición.
  78. 78.  S.25 La masa de Marte es 9 veces menor que la de la Tierra y su diámetro es 0,5 veces el diámetro terrestre. a) Determine la velocidad de escape en Marte y explique su significado. b) ¿Cuál sería la altura máxima alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba, desde la superficie de Marte, con una velocidad de 720 km h -1? g = 10 m s −2 RT = 6370 km
  79. 79.  S.26 a) Considere un punto situado a una determinada altura sobre la superficie terrestre. ¿Qué velocidad es mayor en ese punto, la orbital o la de escape? b) A medida que aumenta la distancia de un cuerpo a la superficie de la Tierra disminuye la fuerza con que es atraído por ella. ¿Significa eso que también disminuye su energía potencial? Razone las respuestas.
  80. 80. - Otras consecuencia de la teoría de la gravitación Newton aplicó la ley de la gravitación universal a una gran variedad de problemas. - De dicha ley dedujo las tres leyes empíricas de Kepler. - Después estudió las mareas y explicó sus desplazamientos en virtud de la fuerza de gravitación que ejerce la Luna sobre la Tierra y los océanos. El Sol también produce una fuerza de marea sobre los océanos, pero esta fuerza es más débil que la de la Luna. Mareas
  81. 81.  Newton también analizó las pequeñas perturbaciones de las órbitas planetarias. Estas ligeras desviaciones de los planetas sobre sus trayectorias elípticas teóricas se explicaban por las pequeñas interacciones gravitatorias existentes entre los mismos planetas. Posteriormente, esta teoría de las perturbaciones condujo al descubrimiento de un nuevo planeta. En el siglo XIX se conocían siete planetas. De ellos, seis se comportaban correctamente, pero el séptimo, Urano, no seguía exactamente la órbita prevista, a pesar de tener en cuenta las perturbaciones ejercidas por los restantes planetas. Ello hizo pensar a los astrónomos que debía existir otro planeta, más alejado del Sol, pero suficientemente próximo a Urano para influir en sus movimientos. El 23 de septiembre de 1846, se encontró el planeta Neptuno en el punto exacto que se había previsto.

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