Dokumen tersebut membahas tentang penarikan kesimpulan yang melibatkan definisi dan hipotesis yang diberikan. Secara khusus, dibahas tentang tiga hal yang perlu diperhatikan dalam pendekatan pembuktian suatu pernyataan, yaitu: 1) kesimpulan yang diinginkan, 2) definisi yang relevan, dan 3) hipotesis yang diberikan. Beberapa contoh soal pembuktian juga diberikan beserta penyelesaiannya.

1. 4.2 Penarikan Kesimpulan yang Melibatkan
dan
, tetapi Tidak

2. Do you still remember about
this?
Definisi 4 Sec. 3.1
Misalkan p(x) dan q(x) adalah fungsi-fungsi proposisi atas himpunan
semesta U dengan himpunan nilai kebenaran masing-masing adalah P
dan Q. Didefinisikan predikat majemuk :
p ( x)
q( x) (jika p(x) maka q(x)) dengan himpunan nilai kebenaran P'
Q
Definisi 6 Sec. 3.1
Jika p(x) adalah fungsi proposisi dengan variabel x dan domain atas
himpunan semesta U, maka:
Kalimat untuk suatu x, p(x), dinotasikan dengan ( x)( p( x)) adalah
pernyataan yang bernilai benar jhj himpunan nilai kebenaran p(x), P=U.
( x)( p( x)
q( x))
Yaitu pernyataan yang bernilai benar jhj himpunan nilai kebenaranP' Q
q( x))sama dengan U.
dari ( p( x)
.

3. Untuk pendekatan pembuktian dari suatu
pernyataan, ada tiga hal yang perlu diperhatikan:
• 1) Kesimpulan yang diinginkan
• 2) Definisi yang relevan
• 3) Hipotesis yang diberikan

4. Contoh 6
Gunakan definisi pada Contoh 2 untuk membuktikan bahwa
jika I 1 dan I 2 adalah interval, maka I 1 I 2 adalah interval.
Apa yang dapat kamu ketahui dari soal?
1) Kesimpulan yang diinginkan
I 1 I 2 adalah interval
2) Definisi yang relevan
Definisi I adalah interval pada Contoh 2
“Suatu himpunan bagian I dari semua bilangan real R dikatakan suatu
interval jhj untuk semua a, b, c R , jika a, c I dan a < b < c , maka b
3) Hipotesis yang diberikan
I 1 dan I 2 adalah interval
I.”

5. Solusi
Berdasarkan definisi pada Contoh 2, kita harus menunjukkan :
I1 I 2 adalah interval jhj untuk semua a, b, c R jika a, c I1 I 2 dan
a < b < c , maka b I1 I 2 .
Bukti:
Ambil a, b, c R dengan a < b < c dan a, c I 1 I 2 .
Akan dibuktikan b I1 I 2 , dengan kata lain b I 1 dan b I 2 .
Perhatikan bahwa I1 adalah interval,
jika a < b < c dan a, c I 1 , maka b I1 .
Demikian juga dengan I 2 , I 2 adalah interval,
jika a < b < c dan a, c I 2 , maka b I 2.
Karena b I1 dan b I 2 , akibatnya b I1 I 2 .
Jadi I1 I 2 adalah interval.□

6. Contoh 7
Buktikan bahwa jika M > 0 , maka fungsi linear y = f(x)= Mx + B
adalah naik pada R.
Solusi
Berdasarkan definisi pada contoh 3:
“Suatu nilai fungsi real y f (x) dikatakan naik pada interval I jhj, untuk
semua x1 dan x 2 , jika x1 x2 maka f ( x1 ) . f ( x2 ) ”
Kita harus menunjukkan :
f(x)= Mx + B adalah naik pada R jhj untuk semua x1 , x2 R jika x1 x2
maka f ( x1 ) f ( x2 ) .
Bukti :
Ambil x1 , x2 R dengan x1 x2
Akan dibuktikan f ( x1 ) f ( x2 ) dengan kata lain Mx1 B Mx 2 B .
Perhatikan bahwa x1 x2 dan M > 0,
Karena x1 x2 dan M > 0, menurut sifat dasar pertidaksamaan, akibatnya
Mx1 Mx 2 .
Karena Mx1 Mx 2 maka Mx1 B Mx 2 B
Jadi f(x)= Mx + B adalah naik pada R. □

7. Contoh 8
Buktikan bahwa jika A, X dan Y adalah sebarang himpunan
dengan X Y maka A X A Y .
Solusi
Asumsikan bahwa
Akan dibuktikan A
X
Ambil sebarang x A
Karena x A
Y . (Hipotesis)
X
A. Y
X akan ditunjukkan x A .Y (Definisi 1, Sec 3.4)
X hal ini berarti x A dan x X
,
Perhatikan bahwa X
Y
Oleh karena x A dan X
Y maka x Y
x A dan x Y , dengan kata lain x A Y
Jadi A
X
A
Y
.□
.

8. Contoh 9
Buktikan bahwa jika A, B, dan C adalah himpunan dengan AxB
dan A
maka B C
.
AxC
Solusi
Asumsikan A, B, dan C adalah himpunan dengan AxB AxC dan A
(Hipotesis)
Akan dibuktikan B C .
Ambil sebarang x B akan ditunjukkan x C .
Karena A
maka terdapat a A .
a A dan x B ini berarti (a, x) AxB
Perhatikan bahwa AxB AxC
Karena (a, x) AxB dan AxB AxC , akibatnya (a, x) AxC .
Dengan kata lain a A dan x C
x C
B
C
.□
.

10. Contoh 10
Tuliskan definisi dari kurva C adalah tidak simetri terhadap sumbu x.
Solusi

11. Contoh 11
Solusi

12. Membuktikan
(i) Kurva C simetri terhadap sumbu y
(ii) Kurva C tidak simetri terhadap sumbu x

13. Contoh 12
Solusi

18. Presented By
1. Kadek Adi Wibawa
2. Deka Anjariyah
(120311521724)
(120311521661)