1. Pruebas de hipótesis para una muestra

Índice
1.
Definir hipótesis y prueba de hipótesis.
2.
Describir el procedimiento de cinco pasos para realizar una prueba de
hipótesis.
3.
Distinguir entre una prueba de hipótesis de una cola y una prueba de
hipótesis de dos colas.
1

2. ¿Qué es una hipótesis?

Una hipótesis es una declaración sobre el valor
de un parámetro de la población desarrollado
con el fin de poner a prueba.

Ejemplos de hipótesis que se hicieron sobre un
parámetro de la población:
 El
ingreso mensual para los analistas de sistemas es
$3.625
 Veinte por ciento de todos los clientes de La Majada
regresan para otra comida dentro de un mes.
2

3. ¿Qué es una prueba de hipótesis?

La prueba de hipótesis es un procedimiento
basado en la evidencia de la muestra y la teoría
de las probabilidades, usadas para determinar si
la hipótesis es una declaración razonable y no
debe ser rechazada, o es irrazonable y debe ser
rechazada.
3

4. Prueba de hipótesis
Paso 1: Se plantean las
hipótesis nula y alternativa
Paso 2: Se selecciona el nivel
de significancia
Paso 3: Se identifica el
estadístico de prueba
Paso 4: Se formula la regla de
decisión
Paso 5: Se toma una muestra
y se decide: se acepta H0 o se
rechaza H0
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5. Definiciones




Hipótesis nula H0: Una declaración sobre el valor
de un parámetro de la población.
Hipótesis alternativa H1: Una declaración que se
acepta si los datos de la muestra proporcionan
evidencia de que la hipótesis nula es falsa.
Nivel de significancia: La probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.
Error tipo I: Rechazar la hipótesis nula cuando
es verdadera.
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6. Definiciones



Error tipo II: Aceptar la hipótesis nula cuando es
falsa.
Estadístico de prueba: Un valor determinado a
partir de la información muestral, usado para
determinar si se rechaza la hipótesis nula.
Valor crítico: Punto de división entre la región en
la que se rechaza la hipótesis nula y la región
en la que no rechaza la hipótesis nula.
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7. Pruebas de significancia de una cola

Una prueba es de una cola cuando la hipótesis
alternativa, H1 indica una dirección, como por
ejemplo:
 H1:
Las comisiones anuales ganadas por corredores
de bienes raíces a tiempo completo son más de
$35.000. (µ>$35.000)
 H1: La velocidad de los autos que viajan en la I-95 en
Georgia es menos de (µ<60) millas por hora.
 H1: Menos del 20% de los clientes pagan en efectivo
su consumo de gasolina. (µ<.20)
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8. Distribución muestral para el estadístico z para la prueba
de una cola, con el .05 de nivel de significancia
.95 de probabilidad
.05 región de rechazo
Valor crítico
Z = 1.65
0
1
2
3
8

9. Pruebas de significancia de dos colas

Una prueba es con dos colas cuando no se
especifica ninguna dirección en la hipótesis
alterna H1, por ejemplo:
 H1:
La cantidad pagada por los clientes en el centro
comercial en Georgetown no es igual a $25. (µ  $25).
 H1:
El precio para un galón de gasolina no es igual a

$1.54. (µ $1.54).
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10. Distribución muestral para el estadístico z para la prueba
de dos colas, con el .05 de nivel de significancia
.95 de probabilidad
.025 región de rechazo
Valor crítico
Z = 1.96,-1.96
-2
-1
0
1
2
10

11. Prueba para la media de la población:
muestra grande, desviación estándar
de la población conocida

Cuando la prueba de la media poblacional
proviene de una muestra grande y la desviación
estándar poblacional es conocida, el estadístico
de la prueba se obtiene con la siguiente fórmula:
X−µ
z=
σ/ n
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12. Ejemplo1
Los procesadores de la salsa de tomate de los
fritos indican en la etiqueta que la botella
contiene 16 onzas de la salsa de tomate. La
desviación estándar del proceso es 0.5 onza.
Una muestra de 36 botellas de la producción de
la hora anterior reveló un peso de 16.12 onzas
por botella. ¿En un nivel de significancia del .05
el proceso está fuera de control? ¿Es decir,
podemos concluir que la cantidad por botella es
diferente a 16 onzas?
12

13. Ejemplo 1 (Continuación)

Paso 1: Indique las hipótesis nulas y alternativas:
H0: µ = 16;


H1: µ = 16
Paso 2: Seleccione el nivel de significancia. En este
caso seleccionamos el nivel de significancia del
0.05.
Paso 3: Identifique la estadística de la prueba.
Porque conocemos la desviación estándar de la
población, la estadística de la prueba es z.
13

14. Ejemplo 1 (Continuación)


Paso 4: Indique la regla de decisión:
Rechazo H0 si z > 1.96 o z < -1.96
Paso 5: Compruebe el valor del estadístico de la
prueba y llegue a una decisión.
z=
X −µ
σ
n
=
16.12 −16.00
0. 5
36
= 1.44
No rechazamos la hipótesis nula. No podemos
concluir que la media sea diferente a 16 onzas.
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15. Valor-p en la prueba de la hipótesis



Valor-p es la probabilidad de observar un valor
muestral tan extremo, que el valor observado,
dado que la hipótesis nula es verdadera.
Si el valor-p es más pequeño que el nivel de
significancia, se rechaza H0.
Si el valor-p es más grande que el nivel de
significancia, H0 no se rechaza.
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16. Cálculo del Valor-p



Prueba de una cola: valor-p = P{z >= valor
absoluto del estadístico de prueba}
Prueba de dos colas: valor-p = 2P{z >= valor
absoluto del estadístico de prueba}
Del Ejemplo 1, z = 1.44, y porque era una
prueba de dos colas, el valor-p = 2P{z >= 1.44}
= 2(.5-.4251) = .1498. Porque .05>= .1498, no
se rechaza H0.
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17. Prueba para la media de la población:
muestra grande, desviación estándar
poblacional desconocida


Aquí σ es desconocida, así que la estimamos
con la desviación estándar de la muestra s.
Mientras el tamaño de muestra n > 30, z se
puede aproximar con:
X −µ
z=
s/ n
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18. Ejemplo 2
La cadena de almacenes de descuento de Roder
emite su propia tarjeta de crédito. Lisa, la gerente
de crédito, desea descubrir si el promedio sin pagar
mensual es más de $400. El nivel de significancia
se fija en .05. Una verificación al azar de 172
balances sin pagar reveló que la media de la
muestra fue $407 y la desviación estándar de la
muestra fue $38. ¿Debe Lisa concluir que el medio
de la población es mayor de $400, o es razonable
asumir que la diferencia de $7 ($407-$400) es
debido al azar?
18

19. Ejemplo 2 (Continuación)






Paso 1: H0: µ <= $400, H1: µ > $400
Paso 2: El nivel de significancia es .05
Paso 3: Porque la muestra es grande podemos utilizar
la distribución de z como el estadístico de la prueba.
Paso 4: H0 es rechazada si z>1.65
Paso 5: Realice los cálculos y tome una decisión.
X − µ $407 − $400
z=
=
= 2.42
s n
$38 172
H0 es rechazada. Lisa puede concluir que la media sin
pagar es mayor de $400.
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20. Prueba para la media de la población:
muestra pequeña, desviación estándar
poblacional desconocida

El estadístico de la prueba es la distribución t.

El estadístico de la prueba para el caso de una
muestra es:
t =
X −µ
s/
n
20

21. Ejemplo 3
La tasa de producción de los fusibles de 5 amperios
en Neary Co. eléctrico es 250 por hora. Se ha
comprado e instalado una máquina nueva que,
según el proveedor, aumentará la tarifa de la
producción. Una muestra de 10 horas
seleccionadas al azar a partir del mes pasado
reveló que la producción cada hora en la máquina
nueva era 256 unidades, con una desviación
estándar de 6 por hora. ¿En el nivel de significancia
del .05. Neary puede concluir que la máquina nueva
es más rápida?
21

22. Ejemplo 3 (Continuación)



Paso 1: Establezca la hipótesis nula y la
hipótesis alternativa.
H0: µ <= 250; H1: µ > 250
Paso 2: Seleccione el nivel de significancia.
Es .05.
Paso 3: Encuentre un estadístico de prueba.
Es la distribución t porque la desviación
estándar de la población no se conoce y el
tamaño de muestra es menos de 30.
22

23. Ejemplo 3 (Continuación)


Paso 4: Indique la regla de la decisión.
Hay 10 - 1 = 9 grados de libertad. Se rechaza la
hipótesis nula si t > 1.833.
Paso 5: Tome una decisión e interprete los
resultados.
t=
X −µ
s
n
=
256 − 250
6
10
= 3.162
Se rechaza la hipótesis nula. El número
producido es más de 250 por hora.
23

24. Pruebas respecto a proporciones


Una proporción es la fracción o el porcentaje
que indican la parte de la población o de la
muestra que tiene un rasgo particular de interés.
La proporción de la muestra es denotada por p y
calculada con:
p = número de éxitos en la muestra / tamaño de
la muestra
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25. Prueba estadística para la proporción
de la población
p−
π
z =
π(1 − )
π
n
La proporción de la muestra es p y π es la
proporción de la población.
25

26. Ejemplo 4

En el pasado, el 15% de las solicitudes de
pedidos por correo para cierta obra de caridad
dio lugar a una contribución financiera. Un
nuevo formato de solicitud se ha diseñado y se
envía a una muestra de 200 personas y 45
respondieron con una contribución. ¿En el nivel
de significación del .05 se puede concluir que la
nueva solicitud es más eficaz?
26

27. Ejemplo 4 (Continuación)

Paso 1: Establezca la hipótesis nula y la hipótesis
alternativa
H0: π <= .15 H1: π > .15

Paso 2: Seleccione el nivel de significancia.
Es .05.

Paso 3: Encuentre un estadístico de prueba.
La distribución de z es el estadístico de prueba.
27

28. Ejemplo 4 (Continuación)

Paso 4: Indique la regla de decisión.
Se rechaza la hipótesis nula si z es mayor que 1.65.

Paso 5: Tome una decisión e interprete los
resultados.
45
z=
p −π
π (1 −π )
n
=
−.15
200
= 2.97
.15(1 −.15)
200
Se rechaza la hipótesis nula. Más de 15% de
solicitudes responde con un compromiso. El nuevo
formato es más eficaz.
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