Numerocomplejo

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Numerocomplejo

  1. 1. N´umero complejo. 1 / 13 N´umero complejo. Ing. Braulio Lozano Hern´andez. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura Universidad Polit´ecnica de Amozoc 4 de septiembre de 2015 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 1 / 13
  2. 2. N´umero complejo. 2 / 13 1 Definici´on. 2 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Suma. Resta. Multiplicaci´on. Divisi´on. Potencia. Ejercicios. Evaluaci´on. Respuesta. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 2 / 13
  3. 3. N´umero complejo. 3 / 13 Definici´on. Definici´on. Se puede decir que un n´umero imaginario no es m´as que la indicaci´on de la ra´ız de ´ındice par de un n´umero negativo; o tambi´en podemos decir que es el producto de n´umero positivo o negativo cualquiera por la unidad imaginaria i. i= √ −1 Un n´umero imaginario complejo es la suma algebraica de un n´umero real con un n´umero imaginario. z = a + bi Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 3 / 13
  4. 4. N´umero complejo. 4 / 13 Definici´on. Definici´on. El n´umero imaginario puro es el complejo cuya parte real es cero. Se llamar´a i= √ −1 la unida imaginaria. Un n´umero complejo se define como: z = a + b i a se llama la parte real. b se llama parte imaginaria. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 4 / 13
  5. 5. N´umero complejo. 5 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Suma. Suma. Para que se pueda realizar una suma de n´umero complejos, se siguen las normas o reglas b´asicas de la aritm´etica, sumando los n´umeros reales con los n´umeros reales y los n´umeros imaginarios con los n´umeros imaginarios. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d )i Ejemplo de la suma: (4 + 3 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (3 + 2) i = 7 + 5 i Ejercicio. (3 + 4 i) + (2 + 3 i) - (5 - 2 i) = Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 5 / 13
  6. 6. N´umero complejo. 5 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Suma. Suma. Para que se pueda realizar una suma de n´umero complejos, se siguen las normas o reglas b´asicas de la aritm´etica, sumando los n´umeros reales con los n´umeros reales y los n´umeros imaginarios con los n´umeros imaginarios. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d )i Ejemplo de la suma: (4 + 3 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (3 + 2) i = 7 + 5 i Ejercicio. (3 + 4 i) + (2 + 3 i) - (5 - 2 i) = = 0 + 9 i Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 5 / 13
  7. 7. N´umero complejo. 6 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Resta. Resta. Es exactamente igual que la suma, solamente con la diferencia obvia; que en lugar de sumar se va a restar. Ejemplo de la resta: (4 − 2i) − (2 + i) = (2 − 3i) Se aplica la regla b´asica de la ley de signos. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 6 / 13
  8. 8. N´umero complejo. 7 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Multiplicaci´on. Multiplicaci´on. Para obtener el producto de dos n´umeros complejos, se multipli- ca cada t´ermino del primer par´entesis por todos los t´erminos del segundo par´entesis, con lo que se obtienen todos los t´erminos a reducir. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i Observe que el t´ermino bdi2 pasa a ser -bd. Eso es porque: i2 = −1. Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 7 / 13
  9. 9. N´umero complejo. 8 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Divisi´on. Divisi´on. La divisi´on de n´umeros complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicaci´on y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un n´umero complejo por su conjugado da como resultado un n´umero real: (a + bi) ∗ (a − bi) = a2 − abi + abi + b2 = a2 + b2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 8 / 13
  10. 10. N´umero complejo. 9 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Divisi´on. Divisi´on. (Cont.) Si a la divisi´on de dos n´umeros complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador: a + bi c + di = (a + bi)(c − di) (c + di)(c − di) = ac − adi + bci + bd c2 − cdi + cdi + d2 = ac + bd + (bc − ad)i c2 + d2 = ac + bd c2 + d2 + bc − ad c2 + d2 i Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 9 / 13
  11. 11. N´umero complejo. 10 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Potencia. Potencia. Para poder elevar un n´umero complejo a un exponente entero,se aplican las reglas de los productos notables. (6 − 3i)2 = 62 − 2(6)(3i) + (3i)2 = 36 + 36i − 9 = 27 + 36i Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 10 / 13
  12. 12. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  13. 13. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  14. 14. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  15. 15. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) 8 (57 − 67i) + (89 + 90i) 9 (12 + 23i) − (76 − 34i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  16. 16. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) 8 (57 − 67i) + (89 + 90i) 9 (12 + 23i) − (76 − 34i) 10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i) 11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  17. 17. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) 8 (57 − 67i) + (89 + 90i) 9 (12 + 23i) − (76 − 34i) 10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i) 11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i) 12 (24 − 45i)/(12 + 14i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  18. 18. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) 8 (57 − 67i) + (89 + 90i) 9 (12 + 23i) − (76 − 34i) 10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i) 11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i) 12 (24 − 45i)/(12 + 14i) 13 (34 − 23i)2 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  19. 19. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) 8 (57 − 67i) + (89 + 90i) 9 (12 + 23i) − (76 − 34i) 10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i) 11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i) 12 (24 − 45i)/(12 + 14i) 13 (34 − 23i)2 14 (23 − 12i)3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  20. 20. N´umero complejo. 11 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Ejercicios. Ejercicios. 1 (23 + 14i) + (36 − 22i) 2 (45 − 35i) − (25 + 12i) 3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i) 4 (45 − 12i)/(5 + 12i) 5 (20 + 98i) + (43 + 45i) 6 (56 − 23i) − (−57 − 89i) 7 (34 − 56i) − (23 − 67i) 8 (57 − 67i) + (89 + 90i) 9 (12 + 23i) − (76 − 34i) 10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i) 11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i) 12 (24 − 45i)/(12 + 14i) 13 (34 − 23i)2 14 (23 − 12i)3 15 (22 + 18i)3 Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13
  21. 21. N´umero complejo. 12 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Evaluaci´on. Evaluaci´on. 1 (5 + 3i) + (8 + 4i) 2 (7 + 9i) + 13 − 7i) 3 (19 − 20i) − (8 − 20i) 4 (−6 − 5i) − (−9 − 2i) 5 (3 + 4i) + (2 + 3i) − (5 − 2i) 6 (27 − 20i) + (36 − 35i) − (17 − 39i) Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 12 / 13
  22. 22. N´umero complejo. 13 / 13 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos. Respuesta. Respuesta. 1 13 + 7i 2 20 + 2i 3 11 4 3 − 3i 5 9i 6 46 − 16i Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 13 / 13

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