CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS.
1.1Introducción.
La mayoría de las estructuras actuales están diseñada...
(e)
(f)
(g)
(h)
Figura 1-1. Ejemplos de estructuras reticuladas. (a) Viga continua.
(b) y (c) Amaduras planas. (d) y (e) M...
(x
iyF
(b)
i yi ,, izi )
ixF
iF
β
γ
α
y
My
x
z
Mz
Mx
0F
1F
3F
2F
y x
z
(a)
Figura 1-2. Sistema de fuerzas y componentes de...
Las ecuaciones de equilibrio 1-3 y 1-4 se pueden emplear para determinar
las componentes de las reacciones o las fuerzas i...
El momento aplicado F2 sólo tiene una componente: M2y = -2Pb. Las
ecuaciones de equilibrio 1-3 proporcionan las componente...
1.3Fuerzas internas: convención de signos y diagramas.
La finalidad de un análisis estructural es poder determinar las rea...
Tarea. Obtenga los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante
para las vigas y marcos estáticamente determinado...
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADAS.
2.1 Indeterminación estática.
La indeter...
Considérense ahora las estructuras que son externa y estáticamente
determinadas, pero internamente indeterminadas. Por eje...
R2
R4
Figura 2-3. Marco que es estáticamente indeterminado
tanto externa como internamente.
R1
R3
El marco tridimensional ...
2.2 Expresiones para el grado de indeterminación.
Una armadura plana con tres componentes de reacción, m miembros y j
nudo...
En el caso de un marco tridimensional con nudos articulados se pueden
escribir tres ecuaciones de equilibrio, a saber:
∑ =...
2.3 Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.
La finalidad del análisis de las estructura...
2.4 Indeterminación cinemática.
Cuando una estructura constituida por varios miembros se somete a
cargas, los nudos sufren...
A B C
D
P
D2
D1
Figura 2-7. Indeterminación cinemática de un marco
plano con nudos rigidos.
Hay que destacar que la indete...
B
D
P
C
A
D
D
D
D
D D
6
3
1 4
5
2
x
z
y
Figura 2-8. Indeterminación cinemática de un marco
tridimensional con nudos rigido...
Este enfoque se ilustra en la figura 2-9a. Si la relación entre la fuerza
aplicada y el desplazamiento resultante es linea...
Es claro que el desplazamiento total no depende del orden de aplicación
de las cargas. Esto por supuesto no es válido cuad...
Supóngase que el símbolo Ai indica una acción general, la cual puede ser
una reacción, un momento flexionante, un esfuerzo...
que éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones
de equilibrio: su solución proporciona los desp...
A B
C D
E F
P
P
L
L
L
CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS.
3.1 Descripción del método.
1. Prime...
de las fuerzas redundantes separadas se suman a los desplazamientos de
la estructura liberada.
5. En consecuencia, se encu...
Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes F1 y F2 se escogen
arbitrariamente pero las direcciones positivas de ...
0
0
2221212
2121111
=++
=++
FfFfD
FfFfD
(3-1)
Una forma más general de la ecuación 3-1 es:
22221212
12121111
∆=++
∆=++
FfF...
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
23
1
23
38
7
12
ll
l
l
EI
f (3-6)
El vector de desplazamiento es:
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=−∆
8
5
24
3
l
E...
F1, F2,…, Fn =fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberada-
El término entre paréntesis de la ecuación 3-7 ...
3.5 Las cinco etapas del método de las fuerzas.
En el análisis con el método de las fuerzas intervienen cinco etapas que s...
[ ]=uA Valores de las acciones en la estructura liberada debidos a fuerzas
unitarias aplicadas separadamente en cada coord...
Etapa 1. Se seleccionan las liberaciones y el sistema de coordenadas (figura 3-
1b). Las acciones necesarias son las sigui...
[ ]
( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
l
l
Au
2/15.0
5.05.0
Etapa 4. Sustituyendo en la ecuación 3-11 de geometría se obtiene:
[ ]
( )...
Ejemplo que se planteo en clase.
A
B
L L/2 L/2
q
qL
F1
F2
∑ = 0AM
( ) 0
22
3
2 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
L
qLLqLLRB ( ) ...
1
2
3
32
2
3
2662
CLx
qL
Lx
qqxqLx
dx
dy
EI +−−−+−=
21
3
4
43
2
3
624246
CxCLx
qL
Lx
qqxqLx
EIy ++−−−+−=
Si 0=x 0=y ∴ 02 =...
( )
EI
qL
L
EI
qL
EI
lP
l
EI
P
ll
lEI
lP
f
3
2
2
2
2
2
3
32
7
2
128
7
128
7
16
7
84
3
6
4
3
−=−=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢...
Desplazamientos incongruentes y se deberán corregir ya que deben valer
cero.
Usando flexibilidades:
{ } [ ] { }DfF −∆=
−1
...
CAPÍTULO 4. MÉTODOS ENERGÉTICOS.
4.1 Introducción.
El sistema experimenta una deformación cuando cambia su
configuración o...
Sustituyendo en la ecuación 4-2 se obtiene:
δ
δ
δδ P
L
EA
d
L
EA
W
2
1
2
2
=== ∫ , ley de Clapeyron (4-3)
p
δ
C
W
δPW
2
1
...
Si AL es un volumen unitario se tiene el trabajo específico de deformación
, es decir la energía de deformación almacenada...
aplicación gradual de la carga es para el caso general de esfuerzos normales y
tangenciales.
σx
τxy
τxz
σz
τzy
τzx
y
x
τyx...
Aplicando el principio de superposición de causas y efectos, se considera
por separado cada uno de los elementos mecánicos...
4.6 Efecto de momento flexionante.
De acuerdo con la teoría de elasticidad y de resistencia de materiales, si
actúa un mom...
Remplazando los valores de la deformación xzγ y del esfuerzo xzτ en la
ecuación 4-8 se obtiene el trabajo específico sigui...
4.6 Efecto de momento torsionante.
Se puede demostrar que una barra de sección circular o anular sujeta a
momento torsiona...
∫=
L
m
x
M ds
GJ
M
W x 0
2
2
(4-33)
Para secciones rectangulares tiene el valor de:mJ
3
3
1
btJm = (4-34)
Donde es lado ma...
CAPÍTULO 5. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y DE RIGIDECES.
Sea:
F2
F1
F3
A B
∑ = 0FxF2
F1
F3 M(x)
N(x)
V(x)x
0)(...
zzz EI
LF
EI
LFF
EI
LF
GA
LFk
EA
LF
W
62222
32
2
2
32
2
3
2
21
2
1
+−++= (5-3)
De acuerdo a los teoremas de Castigliano:
i...
11 F
EA
L
=δ ∴ 11 δ
L
EA
F = (5-10)
Donde es una fuerza axial en el extremo1F A y 1δ el desplazamiento
longitudinal (axial...
3
2
32
2
23 F
EI
L
L
z
−=−− δδ
∴ 3223
46
δδ
L
EI
L
EI
F z
+= (5-13)
Expresando las ecuaciones 5-10, 5-12 y 5-13 en forma m...
F=1
F5
F4
F6
1
1
1
1
EA
L1
Y por el equilibrio:
0
0
4111 =+
=∑
FF
Fx
∴
06151
1141
==
−=−=
FF
L
EA
FF
41F Será la fuerza o ...
223322262
223262
6612
0
0
L
EI
L
EI
L
EIL
FLFF
LFFF
Mz
=−=−=
=−+
=∑
c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección ...
Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento
estructural, se tiene:
[ ] [ ]T
BAAB kk =
Ensamblando l...
F =14
F6
F4
F5
4
4
4
EA
L
δx= 1
A B
0
0
44 =+−
=∑
F
L
EA
Fx
∴
L
EA
F =44
b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B ,...
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
L
EI
L...
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
−
−
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
...
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
100
010
001
2
0
23
0
00
9...
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
0
1
0
2
0
23
0
00
8
5
2
2...
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
EI
L
GA
kL
L
B
12
1
2 38 ⇒
EI
L
GA
kL
L
B
6
2 38
+
=
Simplificamos el valor de :8B
( )
( )1
6
...
EI
L
GA
kL
L
B
L
EI
L
GA
kL
B
L
B
EI
L
B
GA
kL
B
EI
LL
B
EI
L
B
GA
kL
B
L
L
EI
EI
L
B
EI
L
GA
kL
6
2
212
212
0
423
0
223
3...
( )
( )
( )
( )
( )
( )1
4
1
12
4
12
1
12
4
12
1
12
3
12
12
3
12
12
312
12
312
12
312
12
3
3
12
3
4
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
...
F2
F1
F3
A B
F5
F4
F6
Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= :
a) Se puede aplicar un desplazam...
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣...
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
...
[ ] [ ]T
BAAB kk =
Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
...
F =14
F6
F4
F5
4
4
4
EA
L
δx= 1
A B
0
0
44 =+−
=∑
F
L
EA
Fx
∴
L
EA
F =44
b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B ,...
( )
( )
( )
( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+...
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
...
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2.1
160
36
2
8
6
2
8
9
2
160
72
8
12
8
18
160
72
8
12
8
18
160
36
2
8
6
2
8
9
2
5
366
8
183618
8
1...
Obtención de la matriz de flexibilidades y de rigideces de un elemento de
sección constante en el espacio tridimensional.
...
0.1 =− xNF ∴ 1FNx =
∑ = 0Fy
02 =− yVF ∴ 2FVy =
∑ = 0Fz
05 =− zVF ∴ 5FVz =
∑ = 0Mx
04 =− MxF ∴ 4FMx =
∑ = 0My
056 =−− MyxFF...
3
2
2
3
12
3
3
2
2
1
2
2 2332
F
EI
L
F
EI
L
GA
Lk
EI
FL
F
EI
L
F
GA
Lk
F
W
zzzz
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=+−==
∂
∂
δ
2
2
33
3 2
F
E...
{ } { } { } [ ] { }iiiiiii kfF δδ ==
−1
CAPÍTULO 6. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE SECCIÓN
VARIABLE.
...
6.1 Introducción.
Para el caso particular de sistemas estructurales construidos a base de
elementos de sección variable, l...
( )
( )
( ) xFFxM
FxV
FxN
z 23
2
1
−=
=
=
(6-2)
Sustituyendo los valores de N , V y M en la ecuación 6-1 se obtiene:
( )
(...
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
∫∫
∫∫
∫
L
z
L...
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
0
0
1
0
...
x
F22
A B
L
Figura 6-4.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F2.
F12
F32
F52
F62
F42
δ = 12
c)...
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
D
fLf
D
f
D
fLf
D
f
f
kAB
222323
233333
11
0
0
00
1
(6-15)
Y por simetría de l...
x
F25
A B
L
Figura 6-7.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F5.
F15
F35
F55
F65
F45
δ = 15
,0...
La matriz resultante en B es:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−−
−
=
D
LfLff
D
Lff
D
Lff
D
f
f
kBB
2
3323223323
33233...
6.3 Ejemplo de una viga de sección variable rectangular.
Sea un elemento de sección variable rectangular llena, como el
mo...
,12
1 x
L
hh
hu
−
+= dx
L
hh
du 12 −
= (6-26)
,
12
du
hh
L
dx
−
= :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→=
La integral se convierte ...
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
−
=
⎥
⎥...
La integral se convierte en:
( )
( )
( )
( ) ( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−
−
=⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢...
Simplificando términos se tiene:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
= 2
2
2
112
33
116
hhhhEb
L
f (6-42)
En resumen, los valores de los...
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
Analisis estructural-
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Analisis estructural-

  1. 1. CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. 1.1Introducción. La mayoría de las estructuras actuales están diseñadas para soportar sólo deformaciones pequeñas linealmente. Este es el caso de las estructuras metálicas, en las que el material se comporta conforme a la ley de Hooke; usualmente también se supone que las estructuras de concreto se deforman linealmente. Sin embargo, es posible que un miembro estructural recto fabricado con un material que satisfaga la ley de Hooke se deforme no linealmente cuando es sometido a una carga lateral y a una fuerza axial grande. Es importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), en las que las fuerzas en estas últimas no se pueden obtener únicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático: también se requiere conocer algunas de las condiciones geométricas bajo carga. El análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, generalmente requiere la solución de ecuaciones lineales simultáneas, cuyo número depende del método de análisis. (a) (b) (c) (d) ANALISIS ESTRUCTURAL 1
  2. 2. (e) (f) (g) (h) Figura 1-1. Ejemplos de estructuras reticuladas. (a) Viga continua. (b) y (c) Amaduras planas. (d) y (e) Marcos planos. (f) Marco tridimensional (g) Armadura tridimensional. (h) Retícula horizontal sometida a cargas verticales. 1.2Equilibrio de un cuerpo. En la figura 1-2a se representa un cuerpo sometido a fuerzas F1, F2,…, Fn en el espacio. En este contexto, el término fuerza significa, ya sea la acción de una carga concentrada, o un par de fuerzas, (un momento); en este último caso, el momento es representado por una flecha de doble cabeza. Una fuerza típica Fi actuando en un punto con coordenadas (xi, yi, zi) se muestra en la figura 1-2b empleando el sistema de mano derecha de ejes ortogonales x, y, y z. Las componentes de Fi en la dirección de los ejes de la fuerza son: ixiix FF λ= iyiiy FF λ= iziiz FF λ= (1-1) Donde Fi es la magnitud de la fuerza (valor absoluto); ixλ , iyλ y izλ se conocen como cosenos directores de la fuerza Fi, y son iguales al coseno de los ángulos α, β y γ entre la fuerza y las direcciones positivas de x, y, y z, respectivamente. ANALISIS ESTRUCTURAL 2
  3. 3. (x iyF (b) i yi ,, izi ) ixF iF β γ α y My x z Mz Mx 0F 1F 3F 2F y x z (a) Figura 1-2. Sistema de fuerzas y componentes de las fuerzas. (a) Cuerpo sometido a fuerzas en el espacio. (b) Componentes de una fuerza típica y convención de signos positivos para Mx, My y Mz. izF El momento de una carga concentrada Fi con respecto a los ejes x, y, y z (figura 1-2b) es igual a la suma de momentos de las componentes Fix, Fiy y Fiz; por lo tanto, iiyiizix zFyFM −= iiziixiy xFzFM −= iixiiyiz yFxFM −= (1-2) Para un cuerpo en equilibrio, las componentes de la resultante en las direcciones x, y, y z deben anularse de tal forma que se aplican las siguientes ecuaciones: ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ === === ∑∑∑ ∑∑∑ 000 000 zyx zyx MMM FFF (1-3) Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre se aplican en un plano, únicamente tres de las seis ecuaciones de equilibrio resultan significativas. Por ejemplo, cuando las fuerzas actúan en el plano x – y, estas ecuaciones son: ∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0zM (1-4) Cuando una estructura en equilibrio está constituida por varios miembros, se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio al aplicarse a la estructura como un todo. Cada miembro, nudo o parte de la estructura se encuentra también equilibrio y las ecuaciones de la estática también se deberían satisfacer. ANALISIS ESTRUCTURAL 3
  4. 4. Las ecuaciones de equilibrio 1-3 y 1-4 se pueden emplear para determinar las componentes de las reacciones o las fuerzas internas siempre y cuando el número de incógnitas no exceda el número de ecuaciones. En el caso de armaduras con miembros articulados y fuerzas aplicadas únicamente en los nudos, los miembros están sometidos a fuerzas axiales exclusivamente; por lo tanto, para un nudo de la armadura, las ecuaciones que expresan equilibrio de momentos incluidas en las ecuaciones 1-3 y 1-4 se anulan pero se pueden aplicar a una parte de la armadura para determinar las fuerzas en los miembros. Ejemplo 1-1. El elemento prismático en voladizo mostrado en la figura está sometido, en el plano de la sección transversal de su extremo libre, a las fuerzas F1 = P, F2 = 2Pb, como se muestra en la misma. Determine las componentes en O de la reacción resultante en el extremo empotrado; el punto O es el centro de la sección transversal. b 3b 1.5b 1 F1 = P F2= 2Pb y z x 30° Supóngase que las direcciones positivas de las componentes de la reacción son las mismas que las correspondientes a los ejes x, y, y z. Las coordenadas del punto de aplicación de F1 son (3b, 0.5b, -0.75b). Los cosenos directores de F1 son { }866.0,5.0,0,, 111 =zyx λλλ Al aplicar las ecuaciones 1-1 y 1-2, se obtiene { } { }866.0,5.0,0,, 111 PFFF zyx = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ × ×− −×−× = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 500.1 598.2 808.0 35.0 3866.0 )75.0(5.05.0866.0 1 1 1 PbPb M M M z y x ANALISIS ESTRUCTURAL 4
  5. 5. El momento aplicado F2 sólo tiene una componente: M2y = -2Pb. Las ecuaciones de equilibrio 1-3 proporcionan las componentes de reacción en el punto O: { } { }866.0,5.0,0,, −−= PFFF OzOyOx { } { }5.1,598.4,808.0,, −−= PbMMM OzOyOx Observe que las reacciones no varían si la flecha de doble cabeza, que representa el momento F2 en la figura 1-3a, se desplaza a otra posición sin ningún cambio de dirección. Ejemplo 1-2. Determine las componentes de la reacción para el marco plano que se muestra en la figura. R 1 = -2P R 3 = -3.2P 4P A B C D E F P 2P y xz2b 2b2bb b Seleccione los ejes x, y, y z como se muestra y aplique la ecuación 1-4: ∑ = 0xF 021 =+ PR ∑ = 0zM 0)(2)2(4)5()5(21 =+−−+− bPbPbPbRbR ∑ = 0yF 0432 =++−− PPRR La primera de las tres ecuaciones anteriores proporciona el valor de R1, el cual, al sustituirse en la segunda ecuación, permite la determinación de R2. Al sustituir R2 en la tercera ecuación, se obtiene R3. Las respuestas son: ;21 PR −= ;8.12 PR = .2.33 PR = En este problema, podemos verificar que ∑ = 0zM con el eje z en un punto diferente, por ejemplo en el punto A. Nótese que con esto no se obtiene una cuarta ecuación que se podría usar para determinar una cuarta incógnita; ello se debe a que la cuarta ecuación se puede derivar a partir de las otras tres. ANALISIS ESTRUCTURAL 5
  6. 6. 1.3Fuerzas internas: convención de signos y diagramas. La finalidad de un análisis estructural es poder determinar las reacciones en los apoyos así como las fuerzas internas (las resultantes de los esfuerzos) en cualquier sección. En vigas y marcos planos en los cuales todas las fuerzas en la estructura están en un solo plano, la resultante de los esfuerzos en cualquier sección tiene generalmente tres componentes: una fuerza axial N, una fuerza cortante V y un momento flexionante M. Las direcciones positivas de N, V y M se muestran en la figura 1-3a. Las variaciones de N, V y M a lo largo del miembro se presentan gráficamente en lo diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, respectivamente, que se presentan en la figura 1-3b. Las fuerzas N y V positivas se dibujan hacia arriba, mientras que el momento M positivo se traza hacia abajo. N N V V M M (a) P A G C N A G B C P V 7P/3 A G H B C Pb M (b) Figura 1.3. (a) Valores positivos de N, V y M. (b) Diagramas de fuerzas axial, fuerza cortante y momento flexionante. 2Pb 4Pb/3 ANALISIS ESTRUCTURAL 6
  7. 7. Tarea. Obtenga los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para las vigas y marcos estáticamente determinados que se muestran en la figura del problema 1-4. A B C D 0.4L 0.6L 0.2L qL 0.2qLq por unidad de longitud (a) A B C D 90° L L P P (b) (e) A B C D E F G 0.2L L/2 L/2L/5 L/5 L/2 3L/8 qL/4 qL/4 Carga total en BCD = qL L (f) L/2 A B Carga total sobre AB= qL L LL 0.6L 0.2L0.2L 0.5L 0.5L A B C D F EG 0.3qL Carga uniforme q/ unidad de longitud (c) 4@ L= 4L 3L/2 L Carga total sobre FG = 2P A B D F G C EP P P P P (g) L0.15L 1 3 1 3 A B C D (d) L L L/2 A B C x y Vista en planta de una viga en voladizo horizontal sometida a su peso propio q por unidad de longitud (h) ANALISIS ESTRUCTURAL 7
  8. 8. CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS. 2.1 Indeterminación estática. La indeterminación de una estructura puede ser externa, interna o de ambos tipos. Se dice que una estructura es indeterminada externamente si el número de componentes de reacción excede el número de ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, una estructura tridimensional es, en general, externa y estáticamente indeterminada cuando el número de componentes de reacción es mayor de seis. En una estructura plana, el número correspondiente es de tres. Cada una de las vigas de las figuras 2-1 a y b tiene cuatro componentes de reacción. Como sólo hay tres ecuaciones de equilibrio estático, se tiene una fuerza desconocida en exceso a aquellas que se pueden encontrar por estática, por lo que las vigas son externas y estáticamente indeterminadas. Se define el grado de indeterminación como el número de fuerzas desconocidas que excede el de las ecuaciones de la estática. Por lo tanto, las vigas de las figuras 2-1 a y b son indeterminadas en primer grado. Algunas estructuras se construyen de tal modo que el esfuerzo resultante en una sección determinada sea cero. Esto proporciona una ecuación adicional de equilibrio estático permite la determinación de una componente adicional de reacción. Por ejemplo, el marco de tres articulaciones de la figura 2-1c tiene cuatro componentes de reacción, pero el momento flexionante en la articulación central debe ser nulo. Esta condición, junto con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a la estructura como cuerpo libre, es suficiente para determinar las cuatro componentes de reacción. R1 R2 R3 R4 (a) R2 R1 R3 (b) R1 R2 R3 (c) Figura 2-1. (a), (b) Estructuras externa y estáticamente indeterminadas. (c) Marco de tres articulaciones estáticamente determinado. R4 ANALISIS ESTRUCTURAL 8
  9. 9. Considérense ahora las estructuras que son externa y estáticamente determinadas, pero internamente indeterminadas. Por ejemplo, en la armadura de la figura 2-2a, las fuerzas en los miembros no se pueden determinar solamente con las ecuaciones de la estática. Si se retira (o se corta) uno de los dos miembros diagonales, las fuerzas en los miembros se pueden calcular con las ecuaciones de la estática. De ahí que la armadura sea internamente indeterminada en primer grado, aunque sea externamente determinada. El marco de la figura 2-2b es internamente indeterminado en tercer grado: se convierte en determinado si se hace un corte en uno de los miembros (figura 2- 2c). El corte representa la eliminación o liberación de tres resultantes esfuerzo: fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante. El número de liberaciones necesarias para hacer una estructura estáticamente determinada representa el grado de indeterminación. El mismo marco se convierte en determinado si las liberaciones se efectúan introduciendo tres articulaciones como se muestra en la figura 2-2d, eliminando así el momento flexionante en tres secciones. R2 R3 Figura 2-2. Estructuras interna y estáticamente indeterminadas. R1 (a) R2 R1 R3 (b) R2 R1 R3 (c) R2 R1 R3 (d) Las estructuras pueden ser estáticamente indeterminadas tanto interna como externamente. El marco de la figura 2-3 es externamente indeterminado en primer grado, pero las resultantes de esfuerzos no se pueden determinar por estática aun suponiendo que se hayan encontrado previamente las reacciones. ANALISIS ESTRUCTURAL 9
  10. 10. R2 R4 Figura 2-3. Marco que es estáticamente indeterminado tanto externa como internamente. R1 R3 El marco tridimensional de la figura 2-4 tiene seis componentes de reacción en cada apoyo: tres componentes X, Y, y Z y tres momentos Mx, My y Mz. Para evitar congestionar la figura, las seis componentes se muestran sólo en uno de los cuatro apoyos. Los vectores de momentos se indican con flechas de doble cabeza. Por lo tanto, el número de componentes de reacción de la estructura es 24, mientras que el número de ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir es seis. Entonces, el marco es externamente indeterminado en 18°. x z y Figura 2-4. Marco tridimensional con nudos rígidos. Y X Z M y M z M x ANALISIS ESTRUCTURAL 10
  11. 11. 2.2 Expresiones para el grado de indeterminación. Una armadura plana con tres componentes de reacción, m miembros y j nudos articulados (incluyendo los apoyos, que también están articulados). Las fuerzas desconocidas son las tres componentes de reacción y la fuerza en cada miembro, en total, 3 + m. Por otra parte, se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio en cada nudo: ∑ = 0xF ∑ = 0yF (2-1) Siendo la sumatoria para las componentes de todas las fuerzas externas e internas que coinciden en el nudo. De ahí que el número total de ecuaciones es 2j. Para la determinación estática, el número de ecuaciones de la estática es igual al número de incógnitas, es decir: 32 += mj (2-2) Siempre que la estructura sea estable, se puede hacer cierto intercambio entre el número de miembros y el número de componentes de reacción r, de modo que para la determinación total se satisfaga la condición: rmj +=2 (2-3) Entonces, el grado de indeterminación es: jrmi 2)( −+= (2-4) Para la armadura que se ilustra en la figura 2-5, ,4=r y . Por lo tanto . 18=m 10=j 2=i R1 R2 R4 Figura 2-5. Armadura plana estáticamente indeterminada. R3 ANALISIS ESTRUCTURAL 11
  12. 12. En el caso de un marco tridimensional con nudos articulados se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio, a saber: ∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0zF (2-5) Siendo otra vez la sumatoria de todas las fuerzas internas y externas que coinciden en el nudo. El número total de ecuaciones es 3j, y la condición de determinación es: rmj +=3 (2-6) El grado de indeterminación es: jrmi 3)( −+= (2-7) Un marco plano con nudos rígidos des estáticamente determinado sí: rmj += 33 (2-8) y el grado de indeterminación es: jrmi 3)3( −+= (2-9) En estas ecuaciones, j es el número total de nudos rígidos, incluyendo los apoyos, y m es el número de miembros. Un marco tridimensional es estáticamente determinado sí: rmj += 66 (2-10) y el grado de indeterminación es: ( ) jrmi 66 −+= (2-11) Aplicado la ecuación 2-11 al marco de la figura 2-4, se tiene que ,8=m 24=r y . Según la ecuación 2-11,8=j 24=i . ANALISIS ESTRUCTURAL 12
  13. 13. 2.3 Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en una estructura estáticamente indeterminada y es necesario complementarlas con relaciones geométricas simples entre las deformaciones de la estructura. Con estas relaciones se asegura la compatibilidad de las deformaciones con la geometría de la estructura y se conocen como condiciones geométricas o condiciones de compatibilidad. Un ejemplo de dichas condiciones es que en un apoyo intermedio de una viga continua no puede haber deflexión la rotación es igual en ambos lados del apoyo. Se pueden usar dos métodos generales de estudio. El primero es el método de las fuerzas de flexibilidad, en que se proporcionan suficientes liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada. La estructura liberada sufre deformaciones inconsistentes, y la inconsistencia geométrica se corrige posteriormente mediante la aplicación de fuerzas adicionales. El segundo enfoque es el método de los desplazamientos o de rigidez. En este método se agregan restricciones para impedir el movimiento de los nudos y se determinan las fuerzas necesarias para producir la restricción. Después se permite que tengan lugar desplazamientos de los nudos hasta que hayan desaparecido las fuerzas ficticias de restricción. Conociendo los desplazamientos en el nodo, se determinan las fuerzas en la estructura por superposición de los efectos de los desplazamientos separados. Se puede usar indistintamente el método de las fuerzas o el de los desplazamientos para analizar cualquier tipo de estructura. En el método de las fuerzas, se obtienen las fuerzas necesarias para restablecer la consistencia geométrica, el análisis generalmente comprende la solución de un número de ecuaciones simultáneas igual al número de fuerzas desconocidas, es decir, el número de liberaciones que se necesiten para convertir a la estructura en estáticamente determinada. Las incógnitas en el método de los desplazamientos son las posibles traslaciones y rotaciones de los nudos. La cantidad de fuerzas de restricción que se que se deben agregar a la estructura es igual al número de posibles desplazamientos de los nudos. Esto representa otro tipo de indeterminación, que se puede designar como indeterminación cinemática y se describe en la siguiente sección. ANALISIS ESTRUCTURAL 13
  14. 14. 2.4 Indeterminación cinemática. Cuando una estructura constituida por varios miembros se somete a cargas, los nudos sufren desplazamientos en forma de rotación y traslación. En el método de análisis por desplazamiento, las magnitudes desconocidas son la rotación y la traslación de los nudos. En un apoyo se conocen una o más de las componentes del desplazamiento. Por ejemplo, la viga continua de la figura 2-6 está empotrada en C y tiene apoyos con rodillos en A y B. La fijación en C impide cualquier desplazamiento en ese extremo, mientras que los apoyos con rodillos en A y B evitan la traslación en dirección vertical pero permiten la rotación. Se debe mencionar que se supone que los apoyos con rodillos pueden resistir tanto fuerzas descendentes como ascendentes. A B C D1 D2 Figura 2-6. Indeterminación cinemática de una viga continua. Si se supone que la rigidez axial de la viga es tan alta que se puede despreciar el cambio de longitud debido a fuerzas axiales, no habrá desplazamientos horizontales en A o en B. Por lo tanto, los únicos desplazamientos desconocidos en los nodos serán las rotaciones D1 y D2 en A y B, respectivamente (figura 2-6). Los desplazamientos D1 y D2 son independientes uno del otro, ya que a cualquiera de ellos se le puede asignar un valor arbitrario mediante la introducción de fuerzas apropiadas. A un sistema de desplazamiento de nudos se le denomina independiente si cada desplazamiento se puede variar arbitraria e independiente de todos los demás. Al número de desplazamientos independientes de nudos de una estructura se le conoce como grado de indeterminación cinemática o número de grados de libertad. Este número es una suma de los grados de libertad en rotación y en traslación. Algunas veces, a esta última se le conoce como libertad de desplazamiento lateral. El marco plano de la figura 2-7 es otro ejemplo de una estructura cinemática indeterminada. Si se desprecia la deformación axial, el grado de indeterminación cinemática es de dos, siendo los desplazamientos desconocidos de los nudos las rotaciones en A y en B. ANALISIS ESTRUCTURAL 14
  15. 15. A B C D P D2 D1 Figura 2-7. Indeterminación cinemática de un marco plano con nudos rigidos. Hay que destacar que la indeterminación cinemática y la indeterminación estática no se deben confundir una con la otra. Por ejemplo, el marco de la figura 2-7 tiene siete componentes de reacción y es estáticamente indeterminado en cuarto grado. Si se sustituye el apoyo fijo en D por una articulación, se reducirá en uno el grado de indeterminación estática, pero al mismo tiempo se hace posible que ocurra rotación en D, aumentándose de este modo el grado de indeterminación cinemática en uno. En general, la introducción de una liberación disminuye el grado de indeterminación estática y aumenta el grado de indeterminación cinemática. Por esta razón, cuanto más alto sea el grado de indeterminación estática, más adecuado será el método de desplazamiento para el análisis de la estructura. En el caso de una armadura con nudos articulados en el que todas la fuerzas están aplicadas en los nudos, los miembros están sometidos sólo a una carga axial (sin momentos flexionantes ni esfuerzos cortantes) y, por lo tanto, permanecen rectos. La configuración deformada de una armadura plana se define completamente si se determinan las componentes de la traslación en dos direcciones ortogonales para cada nudo, y cada nudo, que no sea un apoyo, tiene dos grados de libertad. Considérese el marco de la figura 2-8. Tiene ocho nudos, de los cuales cuatro están empotrados en el espacio. Cada uno de los nudos A, B, C y D puede tener seis desplazamientos como los que se muestran en A. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco es 2464 =× . ANALISIS ESTRUCTURAL 15
  16. 16. B D P C A D D D D D D 6 3 1 4 5 2 x z y Figura 2-8. Indeterminación cinemática de un marco tridimensional con nudos rigidos. Si se toman en cuenta las deformaciones axiales, las longitudes de las cuatro columnas permanecen inalteradas, por lo que se anula la componente D3 de traslación en la dirección vertical, reduciendo así en cuatro los desplazamientos desconocidos. Además, como no cambian las longitudes de los miembros horizontales, las traslaciones horizontales en la dirección x de los nudos A y D son iguales; lo mismo ocurre en los nudos B y C. En la misma forma, las traslaciones en la dirección y de los nudos A y B son iguales; de nueva cuenta ocurre lo mismo para los nodos C y D. con todo esto se reducen en cuatro los desplazamientos desconocidos. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco de la figura 2-8, sin deformación axial, es 16. 2.5 Principio de superposición. Se mencionó que cuando las deformaciones de una estructura son proporcionales a las cargas aplicadas, es válido el principio de superposición. Este principio establece que el desplazamiento debido a varias fuerzas que actúen simultáneamente es igual a la suma de los desplazamientos ocasionados por cada fuerza actuando separadamente. En el análisis de estructuras, es conveniente usar una notación en que una fuerza Fj produce en un punto i un desplazamiento Dij. Por lo tanto, el primer subíndice de un desplazamiento describe la posición y dirección del desplazamiento, y el segundo subíndice, la posición y dirección de la fuerza que causa el desplazamiento. Cada subíndice se refiere a una coordenada que representa la ubicación y dirección de una fuerza o de un desplazamiento. ANALISIS ESTRUCTURAL 16
  17. 17. Este enfoque se ilustra en la figura 2-9a. Si la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento resultante es lineal, se puede escribir: 111 FfD ii = (2-12) Donde fi1 es el desplazamiento en la coordenada i debido a una fuerza unitaria en la ubicación y dirección de F1 (coordenada 1). Di1 i A i1 F1 (a) Di1 i A i2 F2 (b) Di1 i A i1 F1 (c) Fn Figura 2-9. Superposición de desplazamientos y de fuerzas. Si se aplica una segunda fuerza F2 que cause un desplazamiento Di2 en i (figura 2-9b): 222 FfD ii = (2-13) en que fi2 es el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria en la coordenada 2. Si varias fuerzas F1, F2,…, Fn actúan simultáneamente (figura 2-9c), el desplazamiento total en i es: niniii FfFfFfD +++= L2211 (2-14) ANALISIS ESTRUCTURAL 17
  18. 18. Es claro que el desplazamiento total no depende del orden de aplicación de las cargas. Esto por supuesto no es válido cuado la relación esfuerzo- deformación unitaria del material no es lineal. Una estructura puede comportarse no linealmente aunque está hecha de un material que satisface la ley de Hooke si se producen cambios en su geometría inducidos por las cargas aplicadas. Considérese el puntal esbelto de la figura 2-10a, sometido a una fuerza axial F1 que no es lo suficientemente grande como para pandearlo. Por lo tanto, el puntal permanecerá recto y el desplazamiento en cualquier punto A es DA = 0. Ahora bien, si el puntal se somete a una carga lateral F2 actuando sola, habrá una deflexión lateral DA en el punto A (figura 2-10b). Si actúan ambas fuerzas F1 y F2 (figura 2-10c), el puntal quedará sometido a un momento flexionante adicional igual al producto de F1 multiplicado por la deflexión en la sección dada. Esta deflexión adicional causa nuevas deflexiones y la deflexión D’A en A, en este caso será mayor que DA. F1 A DA= 0 (a) A DA (b) F2 A D'A (c) > DA Figura 2-10. Estructura con deformación no lineal. F2 F1 Es obvio que no existe tal momento flexionante cuando las cargas F1 y F2 actúan separadamente, de manera que el efecto combinado de F1 y F2 no es igual a la suma de sus efectos separados, y no se satisface e principio de superposición. Cuando una estructura se comporta linealmente, se cumple el principio de superposición para las fuerzas así como para los desplazamientos. Se pueden determinar las resultantes de los esfuerzos internos en cualquier sección o las componentes de reacción de la estructura de la figura 2-9c mediante la suma de los efectos de las fuerzas F1, F2,…, Fn cuando cada una actúa por separado. ANALISIS ESTRUCTURAL 18
  19. 19. Supóngase que el símbolo Ai indica una acción general, la cual puede ser una reacción, un momento flexionante, un esfuerzo cortante o compresión en cualquier sección debido al efecto combinado de todas las fuerzas. Se puede escribir entonces una ecuación general de superposición de fuerzas: nuinuiuii FAFAFAA +++= L2211 (2-15) Donde Aui1 es la magnitud de la acción Ai cuando se aplica una fuerza unitaria sola en la ordenada 1. De igual manera, Aui2,…, Auin, son los valores de la acción A. La ecuación 2-15 puede escribirse en forma matricial: [ ] { } 11 ×× = nnuii FAA (2-16) En las estructuras estáticamente indeterminadas, la superposición de fuerzas sólo es válida si se cumple la ley de Hooke, porque las fuerzas internas dependen de la deformación de los miembros. 2.6 Resumen. La mayoría de las estructuras modernas son estáticamente indeterminadas, y con el método de flexibilidad es necesario establecer para una estructura dada el grado de indeterminación, que puede se externa, interna o de ambas. En casos simples, el grado de indeterminación se puede encontrar por simple inspección, aunque en estructuras más complejas o de claros múltiples con varias crujías, resulta preferible establecer el grado de indeterminación con la ayuda de expresiones que incluyan el número de nudos, miembros y componentes de reacción. Se cuenta con este tipo de expresiones para armaduras planas y tridimensionales (de nudos articulados) y para marcos (con nudos rígidos). Existen dos métodos generales para el análisis de estructuras. Uno es el método de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada; se calculan los desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los desplazamientos con la aplicación de fuerzas adicionales en la dirección de las liberaciones. De este modo se obtiene una serie de ecuaciones de compatibilidad; al resolverlas, se determinan las fuerzas desconocidas. En el otro método –de los desplazamientos (o de las rigideces)-, se introducen restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan para impedir los desplazamientos de los nudos. Después se permite que se presenten los desplazamientos en la dirección de las restricciones hasta ANALISIS ESTRUCTURAL 19
  20. 20. que éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones de equilibrio: su solución proporciona los desplazamientos desconocidos. Luego se determinan las fuerzas internas de la estructura mediante superposición de los efectos de estos desplazamientos y de los de la carga aplicada con los desplazamientos restringidos. El análisis de estructuras con el método de las fuerzas o el de los desplazamientos implica el uso del principio de superposición, que permite una simple suma de desplazamientos (o acciones) debidos a las cargas individuales (o desplazamientos). Tarea. 1. ¿Cuál es grado de indeterminación estática de las estructuras que se muestran a continuación? Introduzca suficientes liberaciones para hacer cada estructura estáticamente determinada. (a) (b) A B C A B C D E F A B C (c) A B C D E A A B B C C D D E E F F G H I J (d) (e) (f) 2. (a) Introduzca suficientes liberaciones para convertir el marco mostrado en estáticamente determinado. Indique las liberaciones mediante un sistema de coordenadas. (b) Introduzca una articulación en la parte media de cada miembro y dibuje el diagrama de momento flexionante para el marco debido a dos fuerzas horizontales, cada una igual a P, aplicadas en E y en C. Muestre esquemáticamente la magnitud y dirección de las componentes de reacción en A. ANALISIS ESTRUCTURAL 20
  21. 21. A B C D E F P P L L L CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. 3.1 Descripción del método. 1. Primeramente, se determina el grado de indeterminación estática. Luego se introduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose cada liberación mediante la eliminación de una fuerza externa o interna. Las liberaciones se deben seleccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determinada. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas liberadas, que también se denominan fuerzas redundantes, se deben escoger cuidadosamente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad. 2. Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como segundo paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En otras palabras, se calcula la magnitud de los “errores” en los desplazamientos que corresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos se pueden deber a cargas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura. 3. El tercer paso consiste en la determinación de los desplazamientos en la estructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes (véanse las figuras 3-1 d y e). Estos desplazamientos se necesitan en el mismo lugar en la dirección que el error en desplazamientos determinado en el paso dos. 4. A continuación se determinan los valores de las fuerzas redundantes necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto implica el establecimiento de ecuaciones de superposición en las que los efectos ANALISIS ESTRUCTURAL 21
  22. 22. de las fuerzas redundantes separadas se suman a los desplazamientos de la estructura liberada. 5. En consecuencia, se encuentran las fuerzas que actúan sobre la estructura indeterminada original: son la suma de las fuerzas de corrección (redundantes) y las fuerzas aplicadas a la estructura liberada. Ejemplo 3-1. En la figura 3-1a se muestra una viga ABC empotrada en C, que descansa sobre apoyos de rodillos en A y en B y que soporta una carga uniforme igual a q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encuentre las reacciones de la viga. (a) A B C q por unidad de longitud L L (b) A C F1, D1 F2, D2 (c) C q por unidad de longitud (f) q por unidad de longitud qL qL D1 D2 (d) f11 f21 1 (e) f12 f22 1 qL/14 8qL/7 2 Figura 3-1. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas. (c) Carga externa sobre la estructura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes. La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se deben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. para los fines de este ejemplo, se eliminarán la reacción vertical en B y el momento en C. Por lo tanto, la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los desplazamientos que se muestran en la figura 3-1b. La ubicación y dirección de las diversas fuerzas redundantes y de los desplazamientos están referidos a un sistema de coordenadas. ANALISIS ESTRUCTURAL 22
  23. 23. Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes F1 y F2 se escogen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar siempre tienen que concordar con los de las fuerzas redundantes. Las flechas en la figura 3-1b indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan tanto fuerzas como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordenadas por medio de los números 1, 2,…, n. Siguiendo este sistema, en la figura 3-1c se muestran los desplazamientos en B y en C como D1 y D2, respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura 3-1a, los desplazamientos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D1 y D2 representan las inconsistencias en deformación. La magnitud de D1 y D2 se pueden calcular a partir del comportamiento de la viga simplemente apoyada mostrada en la figura 3-1c. Para fines de este ejemplo se pueden usar las siguientes expresiones. Por lo tanto: EI ql D 24 5 4 1 −= y EI ql D 3 3 2 −= Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas a las direcciones positivas escogidas en la figura 3-1b. Cuando la liberación se aplica a una fuerza interna, deberá ser representada en el sistema de coordenadas con un par de flechas en direcciones opuestas. Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran en las figuras 3-1 d y e. Estos desplazamientos adquieren los siguientes valores: EI l f 6 3 11 = EI l f 4 2 12 = EI l f 4 2 21 = EI l f 3 2 22 = El coeficiente general fij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a una redundante unitaria en la coordenada j. Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical final en B y la rotación en C se anulan. Los desplazamientos finales son el resultado de la superposición del efecto de la carga externa y de las fueras redundantes sobre la estructura liberada. Por lo tanto, las relaciones geométricas se pueden expresar como: ANALISIS ESTRUCTURAL 23
  24. 24. 0 0 2221212 2121111 =++ =++ FfFfD FfFfD (3-1) Una forma más general de la ecuación 3-1 es: 22221212 12121111 ∆=++ ∆=++ FfFfD FfFfD (3-2) Donde ∆1 y ∆2 son los desplazamientos prescritos en las coordenadas 1 y 2 de la estructura real. Si, en el ejemplo considerado, se necesita el análisis para los efectos combinados de la carga q dada y de un asentamiento descendente δB en el apoyo B (figura 3-1a), se deberá sustituir Bδ−=∆1 , 01 =∆ . 3.3 Matriz de flexibilidad. Las relaciones de la ecuación 3-2 se pueden escribir en forma matricial como: [ ]{ } { }DFf −∆= (3-3) Donde: { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 2 1 D D D y[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2221 1211 ff ff f { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 2 1 F F F Los elementos de la matriz [ ]f son desplazamientos debidos a los valores unitarios de las redundantes. Por lo tanto, [ ]f depende de las propiedades de la estructura y representa la flexibilidad de la estructura liberada. Por esta, a [ ]f se le denomina matriz de flexibilidad, y sus elementos se conocen como coeficientes de flexibilidad. Los elementos del vector { }F son las redundantes que se pueden obtener resolviendo la ecuación 3-3; por la tanto: { } [ ] { }DfF −∆= −1 (3-4) En el ejemplo estudiado, la matriz de flexibilidad y su inversa son: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = EI l EI l EI l EI l f 3 2 4 46 2 23 (3-5) y ANALISIS ESTRUCTURAL 24
  25. 25. [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − 23 1 23 38 7 12 ll l l EI f (3-6) El vector de desplazamiento es: { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =−∆ 8 5 24 3 l EI ql D Sustituyendo en la ecuación 3-4, o resolviendo la ecuación 3-3 se obtiene: { } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = l ql F 16 14 Por lo tanto, las redundantes son: qlF 7 8 1 = y 14 2 2 ql F = El signo positivo indica que las redundantes actúan en las direcciones positivas seleccionadas en la figura 3-1b. Las fuerzas finales que actúan en las estructura se ilustra en la figura 3-1f. Es importante observar que la matriz de flexibilidad es dependiente de la selección de las fuerzas redundantes: con diferentes redundantes para la misma estructura se obtendría una matriz de flexibilidad diferente. Las reacciones y las fuerzas internas también se pueden determinar por la superposición del efecto de las cargas externas en la estructura liberada y el efecto de las fuerzas redundantes. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación de superposición: ( )nuinuiuisii FAFAFAAA ++++= L2211 (3-7) Donde: Ai = cualquier reacción i, que es una reacción en uno de los apoyos, fuerza cortante, fuerza axial, momento de torsión o momento flexionante en una sección de estructura real. Asi = la misma acción que Ai, pero en la estructura liberada sometida a las cargas externas. Aui1, Aui2,…,Auin = la acción correspondiente debida a una fuerza unitaria que actúa sola sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2,…, n, respectivamente. ANALISIS ESTRUCTURAL 25
  26. 26. F1, F2,…, Fn =fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberada- El término entre paréntesis de la ecuación 3-7 representa la acción de todas las fuerzas redundantes aplicadas simultáneamente a la estructura liberada. En general, se necesitan varias reacciones y fuerzas internas. Estas se pueden obtener con ecuaciones similares a la ecuación 3-7. Si el número de acciones es m, el sistema de ecuaciones que se necesita se puede expresar en forma matricial: { } { } [ ] { } 111 ×××× += nnmumsm FAAA (3-8) El orden de cada matriz se indica en la ecuación 3-8, pero, en esta ocasión, puede ser conveniente escribir las matrices completas. Por lo tanto, { } ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = mA A A A L 2 1 { } ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = sm s s s A A A A L 2 1 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = umnumum nuuu nuuu u AAA AAA AAA A L LLLL L L 21 22221 11211 3.4 Análisis para cargas diferentes. Cuando se usa la ecuación 3-3 para encontrar las fuerzas redundantes en una estructura dada bajo varias condiciones de carga diferentes, no es necesario repetir el cálculo de la matriz de flexibilidad (y su inversa). Cuando el número de cargas es p, la solución se puede combinar en una ecuación matricial: [ ] [ ] [ ] pnnnpn DfF × − ×× −∆= 1 (3-9) En que cada columna de [ y]F [ ]D corresponde a una condición de carga. Las reacciones o las resultantes de los esfuerzos en la estructura original se pueden determinar con ecuaciones similares a la ecuación 3-8, es decir, [ ] [ ] [ ] [ ] pnnmupmspm FAAA ×××× += (3-10) ANALISIS ESTRUCTURAL 26
  27. 27. 3.5 Las cinco etapas del método de las fuerzas. En el análisis con el método de las fuerzas intervienen cinco etapas que se resumen a continuación: Etapa 1. Introduzca liberaciones y defina un sistema de coordenadas. Además, defina , que son las acciones requeridas, y defina la convención de signos (en caso necesario). [ ] pmA × Etapa 2. Como resultado de las cargas aplicadas a la estructura liberada, determine y [ ] . Introduzca también los desplazamientos preestablecidos . [ ] pnD × pmsA × [ ] pn×∆ Etapa 3. Aplique valores unitarios de las redundantes de uno en uno en la estructura liberada y genere los valores de [ ] nnf × y de [ ] nmuA × . Etapa 4. Resuelva las ecuaciones geométricas: [ ] [ ] [ ] pnpnnn DFf ××× −∆= (3-11) Con esto se obtienen las redundantes [ ] pnF × . Etapa 5. Calcule las acciones necesarias por superposición: [ ] [ ] [ ] [ ] pnnmupmspm FAAA ×××× += (3-12) Al terminar la etapa 3, ya se habrán generado todas las matrices necesarias para el análisis. En las dos últimas etapas sólo interviene álgebra matricial. Se podrá eliminar la etapa 5 cuando no se requiera otra acción aparte de las cargas redundantes, o cuando la superposición se pueda hacer mediante inspección una vez determinadas las redundantes. Cuando éste sea el caso, las matrices [ , y]A [ sA ] [ ]uA no harán falta. Para una referencia rápida, los símbolos usados se definen como sigue: n, p, m = Número de redundantes, número de condiciones de carga, y número de acciones requeridas. [ ]=A Acciones requeridas. [ ]=sA Valores de las acciones debidas a las cargas aplicadas a la estructura liberada. ANALISIS ESTRUCTURAL 27
  28. 28. [ ]=uA Valores de las acciones en la estructura liberada debidos a fuerzas unitarias aplicadas separadamente en cada coordenada. [ ]=D Desplazamientos de la estructura liberada en las coordenadas debidos a las cargas; estos desplazamientos representan incompatibilidades que deberán ser eliminadas por las redundantes. [ ]=∆ Desplazamientos preestablecidos en las coordenadas en la estructura real; éstos representan desplazamientos impuestos que se deben mantener. [ ]=f Matriz de flexibilidad. Ejemplo 3-2. Encuentre los momentos flexionantes MB y MC y la reacción RA para la viga que se muestra en la figura 3-1 debidos al efecto separado de: (1) un asentamiento descendente ( )Aδ del apoyo A; (2) un asentamiento descendente ( B )δ del apoyo B; (3) una aumento de temperatura que varía linealmente con la profundidad h, desde Tt hasta Tb en las fibras superior e inferior, respectivamente. (a) A B C q por unidad de longitud L L (b) A C F1, D1 F2, D2 (c) C q por unidad de longitud (f) q por unidad de longitud qL qL D1 D2 (d) f11 f21 1 (e) f12 f22 1 qL/14 8qL/7 2 Figura 3-1. (a) Viga estáticamente indeterminada. (b) Sistema de coordenadas. (c) Carga externa sobre la estructura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes. ANALISIS ESTRUCTURAL 28
  29. 29. Etapa 1. Se seleccionan las liberaciones y el sistema de coordenadas (figura 3- 1b). Las acciones necesarias son las siguientes: [ ] ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 321 A B A B A B R M R M R M A El momento flexionante se considera positivo cuando produce esfuerzos de tensión en la fibra inferior. Una acción RA hacia arriba es positiva. Las acciones requeridas MC no necesariamente deben incluirse en [ , debido a que y los valores de las redundantes ]A 2FMC = { }F se calcularán en la etapa 4. Los subíndices 1, 2 y 3 de la ecuación anterior se refieren a las tres condiciones de carga. Etapa 2. La estructura liberada se muestra en la figura 3-4 a y b para los casos (1) y (3) respectivamente. Los vectores de desplazamiento { }∆ y en los tres casos son: { }D [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =∆ 000 00 Bδ [ ] ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− = 8/20)2/( 8/202/ 2 ll l D A A ψδ ψδ En este caso, ψ es la curva térmica en la estructura liberada (pendiente del diagrama de deformaciones unitarias (figura 3-4c): ( )lhTT tb −= αψ (3-13) Donde α es el coeficiente de expansión térmica (grados -1). Observe que en el caso (1), { } { }0=∆ debido a que la estructura real tiene desplazamientos nulos en las coordenadas 1 y 2; sin embargo, la estructura liberada tiene desplazamientos que se van a eliminar en las coordenadas { } { }lD AA 2/,2/ δδ −−= . Los valores de las acciones en la estructura liberada son cero para los tres casos: [ ] [ ] 320 ×=sA Etapa 3. Las fuerzas unitarias aplicadas en las coordenadas se representan en las figuras 3-1 d y e. La matriz de flexibilidad [ ]f y su inversa, determinadas en el ejemplo 3-1 (ecuaciones 3-5 y 3-6), siguen siendo válidas. Los valores de las acciones debidas a F1 = 0 o a F2 = 1 son los siguientes: ANALISIS ESTRUCTURAL 29
  30. 30. [ ] ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− = l l Au 2/15.0 5.05.0 Etapa 4. Sustituyendo en la ecuación 3-11 de geometría se obtiene: [ ] ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ll l F ll ll EI A BA ψδ ψδδ 02/ 2/2/ 3/24/ 4/6/1 2 2 23 La solución es: [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 3 2 3 5.035.0 85.2 7 12 lll l l EI F BA BA ψδδ ψδδ Etapa 5. Sustituyendo en la ecuación 3-12 de superposición se obtiene: [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− = lll llEI A BA BA /75.0/5.2/ 75.0/5.2/ 7 12 33 22 ψδδ ψδδ Los elementos de son los valores requeridos de M[ ]A B y de RA en los tres casos; la inversión del signo de F2 proporciona los valores correspondientes de MC: [ ] [ ]3 3 5.035.0 7 12 lll l EI M BAC ψδδ −−= Se debe observar que RA, MB y MC son proporcionales al valor del producto EI. En general, las reacciones y las fuerzas internas debidas a los asentamientos de los apoyos o a variaciones de temperatura en estructuras estáticamente indeterminadas son proporcionales al valor de EI empleado en el análisis lineal. Falta figura 3-4, que debe ser la 3-2 para la etapa 2 del ejemplo anterior. ANALISIS ESTRUCTURAL 30
  31. 31. Ejemplo que se planteo en clase. A B L L/2 L/2 q qL F1 F2 ∑ = 0AM ( ) 0 22 3 2 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − L qLLqLLRB ( ) 022 2 =− qLLRB qLRB = ∑ = 0yF 0=−−+ qLqLRR BA qLRqLR BA =−= 2 q qL qL qL q qL q qL qL = ∴ ( ) LxqL Lxqqx qLxM x 2 3 22 22 −− − +−= Con funciones de singularidad. Diagrama de cuerpo libre. q qL q qL L L/2 X (X-3L/2) M(x) Aplicando doble integración: LxqLLx qqx qLx dx d EI 2 3 22 2 2 2 2 −−−+−= ANALISIS ESTRUCTURAL 31
  32. 32. 1 2 3 32 2 3 2662 CLx qL Lx qqxqLx dx dy EI +−−−+−= 21 3 4 43 2 3 624246 CxCLx qL Lx qqxqLx EIy ++−−−+−= Si 0=x 0=y ∴ 02 =C Si Lx 2= 0=y 1 44 44 2 48243 2 3 4 0 LC qLqL qLqL +−+−= 1 4 2 16 11 0 LCqL += 3 1 32 11 qLC −= Conociendo ; para1C Lx = 44 44 32 7 32 11 246 qLqL qLqL EIy −=−−= ↓−= EI qL y 4 32 7 Aplicando Apéndice “B”. Ll 2=P x b l 2 5.0 l lx == lb 4 3 = Como bx < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 22 1 24 3 4 3 2 6 24 3 l lll lEI l llP f EI Pll ll EI Pl f 32 22 1 768 11 416 9 2 3 48 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= Si qLP = Ll 2= ↓= EI qL f 4 1 96 11 ANALISIS ESTRUCTURAL 32
  33. 33. ( ) EI qL L EI qL EI lP l EI P ll lEI lP f 3 2 2 2 2 2 3 32 7 2 128 7 128 7 16 7 84 3 6 4 3 −=−=−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= q l Bl ψl F1 F3 Ll 2= 5.0=B 5.0=ψ ( ) ( ) ( )[ ]222 4 1 5.025.025.05.0 24 −−= EI ql f ( ) EI qL EI Lq EI ql f 444 1 48 52 768 5 768 5 === EI qL EI qL f TOTAL 44 1 32 7 48 5 96 11 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += Ahora para Bθ (extremo) Lx 2= 3 33 33 32 11 863 4 2 qL qLqL qLqL dx dy EI −−+−= EI qL B 3 96 35 =θ ( ) ( ) EI ql EI ql f 3 22 3 3 384 7 5.025.0 24 −=−−= EI qL f 3 3 48 7 −= Finalmente el signo (-) sólo indica de acuerdo al apéndice que el giro es . Con doble integración ( )−↓δ y θ ( ).+ EI qL EI qL EI qL f TOTAL 333 3 96 35 48 7 32 7 =+= Para la viga: q qL (7/32)(qL/EI) 4 (35/96)(qL/EI) 3 ANALISIS ESTRUCTURAL 33
  34. 34. Desplazamientos incongruentes y se deberán corregir ya que deben valer cero. Usando flexibilidades: { } [ ] { }DfF −∆= −1 0=∆ Tomado de acuerdo a apuntes. ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = EI qL EI qL D 3 4 96 35 32 7 [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − 23 1 23 38 7 12 LL L L EI f ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 1 3 4 33 96 35 32 7 23 38 7 12 F F EI qL EI qL LL L L EI ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − 2 1 55 44 3 96 70 32 21 96 105 32 56 7 12 F F EI qL EI qL EI qL EI qL L EI qLF 8 9 1 = 8 2 2 qL F = ∴ q qL qL/8 2 9qL/8 Las reacciones se resuelven por estática. ANALISIS ESTRUCTURAL 34
  35. 35. CAPÍTULO 4. MÉTODOS ENERGÉTICOS. 4.1 Introducción. El sistema experimenta una deformación cuando cambia su configuración o cuando se desplazan sus puntos materiales. Un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, lo deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externo. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se deforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energía de deformación es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma original al cesar la acción. 4.2 Ley de termodinámica. El trabajo efectuado por las fuerzas externas más el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energía cinética más el incremento de energía interna. En un sistema elástico se desprecian las pérdidas por calor y la energía interna del sistema es la energía o trabajo de deformación de dicho sistema. Dada una barra elástica de sección transversal A y longitud L sujeta a una carga axial P (aplicada gradualmente) cumple con la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke. P EA L =δ (4-1) Donde δ es la deformación de la barra y E el módulo de elasticidad de Young. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es: ∫= δPdW (4-2) De la ecuación 4-1 se despeja P: δ L EA P = ANALISIS ESTRUCTURAL 35
  36. 36. Sustituyendo en la ecuación 4-2 se obtiene: δ δ δδ P L EA d L EA W 2 1 2 2 === ∫ , ley de Clapeyron (4-3) p δ C W δPW 2 1 = ∫= dPC δ Energía complementaria de deformación: ∫ ∫ ==== P P EA L PdP EA L dPC δδ 2 1 2 2 (4-4) Cuando la aplicación de la carga es instantánea, el trabajo de deformación es: WCP +=δ 4.3 Energía específica de deformación. El esfuerzo normal de la barra sometida a carga axial es: A P =σ (4-5) Y la deformación unitaria es: L δ ε = (4-6) Despejando P y δ respectivamente de las ecuaciones 4-5 y 4-6 en la ecuación 4.3 se tiene: AP σ= y Lεδ = ALLAPW σεεσδ 2 1 2 1 2 1 === (4-7) ANALISIS ESTRUCTURAL 36
  37. 37. Si AL es un volumen unitario se tiene el trabajo específico de deformación , es decir la energía de deformación almacenada en la unidad de volumen:uW σε 2 1 =uW (4-8) Sea una unidad de volumen y un corte paralelo al plano xy: y x ∆x ∆z ∆y ∆y ∆x δ δ γ P P P P El esfuerzo cortante y el giro son respectivamente: zx P ∆∆ =τ y y∆ = δ γ (4-9) Despejando P y δ de las ecuaciones anteriores y remplazándolos en la ecuación 4-3 se tiene: zxP ∆∆= τ y y∆= γδ yzxyzxPW ∆∆∆=∆∆∆== τγγτδ 2 1 2 1 2 1 Es decir: τγ 2 1 =uW (4-10) Dado que ∆x∆y∆z=1. Basándose en el principio de superposición de causas y efectos, aplicable a materiales linealmente elásticos, el trabajo específico de deformación por ANALISIS ESTRUCTURAL 37
  38. 38. aplicación gradual de la carga es para el caso general de esfuerzos normales y tangenciales. σx τxy τxz σz τzy τzx y x τyx σy τyz ( )yzW yzxzxzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++= 2 1 (4-11) Por la condición de equilibrio se tiene: yxxy ττ = , zxxz ττ = , zyyz ττ = La energía de deformación total se obtiene integrando en todo el volumen del cuerpo: ∫∫∫= v u dVWW (4-12) 4.4 Energía de deformación de barras. Sea una barra prismática en el espacio tridimensional, que cumple la ley de Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecánicos: fuerza axial, fuerza cortante, momento flexionante y momento torsionante, donde se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant: 0=== yzyz τσσ ANALISIS ESTRUCTURAL 38 x y z
  39. 39. Aplicando el principio de superposición de causas y efectos, se considera por separado cada uno de los elementos mecánicos. 4.5 Efecto de fuerza normal. Si actúa la fuerza normal Nx se produce el esfuerzo normal siguiente: A Nx x =σ (4-13) Donde la deformación axial es: L δ ε = (4-6) Remplazando la deformación determinada por la Ley de Hooke en la ecuación anterior se tiene: xN EA L =δ EAE N L xx x σδ ε === (4-14) El trabajo específico producto de la fuerza normal queda como: 2 2 2 22 1 2 1 EA N E W x xxxu === σεσ (4-15) La energía de deformación producto de la fuerza normal se obtiene integrando sobre el volumen: ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ==== v v L A L A xxx u dA EA N dxdA EA N dxdV EA N dVWW 0 0 2 2 2 2 2 2 222 (4-16) Dado que Nx, E y A son constantes en una sección transversal y , se tiene finalmente que el trabajo de deformación por fuerza normal es: ∫∫ = A AdA ∫= L x N dx EA N W 0 2 2 (4-17) ANALISIS ESTRUCTURAL 39
  40. 40. 4.6 Efecto de momento flexionante. De acuerdo con la teoría de elasticidad y de resistencia de materiales, si actúa un momento flexionante Mz, se produce el esfuerzo siguiente: y I M z z x =σ (4-18) Donde es la distancia del eje neutro al punto donde se calcula el esfuerzo ey I el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje z. Remplazando el valor de σx en la ecuación 4-8 se tiene: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 y I M EE W z z xxxu === σεσ (4-19) La energía de deformación producto del momento flexionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen: ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫==== v v L A L z z z z u dxdAy EI M dxdVy EI M dVWW 0 0 2 2 2 2 2 2 22 ∫∫Az z dAy EI M 2 2 2 2 (4-20) Dado que ,zM E e son constantes en una sección dada y , se tiene finalmente que la energía de deformación por momento flexionante es: zI ∫∫ = A IdAy2 ∫= L z z M dx EI M W z 0 2 2 (4-21) 4.5 Efecto de fuerza cortante. Si se considera la acción de la fuerza cortante sobre una barra, se producen respectivamente el esfuerzo y la deformación yV xzγ siguientes: yz zy xz bI QV =τ (4-22) xzxz Gγτ = ⇒ G xz xz τ γ = (4-23) Donde es el momento estático respecto azQ z , el ancho de la sección en estudio y G el módulo de elasticidad transversal, que varía entre y . yb E4.0 E5.0 ANALISIS ESTRUCTURAL 40
  41. 41. Remplazando los valores de la deformación xzγ y del esfuerzo xzτ en la ecuación 4-8 se obtiene el trabajo específico siguiente: 22 22 2 2 1 2 1 2 1 yz zy xzxzxzu bI QV GG W === τγτ (4-24) La energía de deformación producto de la fuerza cortante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen: ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫∫ === v L A yz zy yz zy v uV dA bI QV G dxdV bI QV G dVWW y 0 22 22 22 22 2 1 2 1 (4-25) Por otro lado, se puede obtener el momento de inercia de la sección a través del radio de giro, de la manera siguiente: A Iz =ρ ⇒ 2 ρAIz = Remplazando este valor de en la ecuación anterior se tiene:zI ∫ ∫∫ ∫ ∫∫== L A L yz z A y yz zy V dA bI Q GA V dxdA bI QV G dxW y 0 0 22 22 22 22 22 1 ρ (4-26) Donde , yyV G A son constantes en una sección dada y ∫∫= A yz z dA bI Q k 22 2 ρ sólo depende de la forma de la sección y se denomina coeficiente de forma “k”. Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por fuerza cortante se expresa como: dx GA V kW L y Vy ∫= 0 2 2 (4-27) El coeficiente de forma k vale 1.2 para secciones rectangulares y triangulares, 10/9 para secciones circulares y para perfiles laminados. almación AA /sec ANALISIS ESTRUCTURAL 41
  42. 42. 4.6 Efecto de momento torsionante. Se puede demostrar que una barra de sección circular o anular sujeta a momento torsionante se producen los esfuerzos tangenciales siguientes:xM r J M x xz=τ (4-28) Donde es el momento polar de inercia yJ r la distancia al centro de la sección al punto en estudio. De acuerdo a la ecuación 4-24, el trabajo específico es: 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 r J M GG W x xzxzxzu === τγτ (4-29) La energía de deformación producto del momento torsionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen: ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫ === v L A x v x uV dA GJ M dxdVr J M G dVWW y 0 2 2 2 2 2 22 1 (4-30) Donde , y son constantes para una sección dada y es el momento polar de inercia. xM G J ∫∫ = A JdAr2 Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por momento de torsión se expresa como: dx GJ M W L o x Mx ∫= 2 2 (4-31) Para secciones circulares o anulares tiene el valor de:J ( )44 32 ie DDJ −= π (4-32) Para secciones no circulares o anulares se utiliza el momento polar de inercia modificado .mJ ANALISIS ESTRUCTURAL 42
  43. 43. ∫= L m x M ds GJ M W x 0 2 2 (4-33) Para secciones rectangulares tiene el valor de:mJ 3 3 1 btJm = (4-34) Donde es lado mayor y t el de dimensión menor.b Finalmente, para el caso general de una barra tridimensional, sujeta a los 6 esfuerzos o elementos mecánicos, se tiene el trabajo de deformación siguiente: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+++++= L o L L L L L m x y y z zzyx dx GJ M dx EI M dx EI M dx GA V kdx GA V kdx EA N W 0 0 0 0 0 22222 1 2 2222 2 22 (4-35) ANALISIS ESTRUCTURAL 43
  44. 44. CAPÍTULO 5. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y DE RIGIDECES. Sea: F2 F1 F3 A B ∑ = 0FxF2 F1 F3 M(x) N(x) V(x)x 0)(1 =− xNF ∴ 1)( FxN = ∑ = 0Fy 0)(2 =− xVF ∴ 2)( FxV = ∑ = 02M 0)( 23 =−+− xFFxM ∴ xFFxM 23)( −= (5-1) las tres anteriores. La energía de deformación para este elemento se puede expresar como: ∫ ∫ ∫++= L L L z zyx dx EI M dx GA Vk dx EA N W 0 0 0 22 1 2 222 (5-2) Sustituyendo los valores de , y , se tiene:xN yV zM ( ) ∫∫∫ − ++= L z LL dx EI xFF dx GA Fk dx EA F W 0 2 23 0 2 21 0 2 1 222 ∫ ∫ ∫ +− ++= L L L z dx EI xFxFFF dx GA Fk dx EA F 0 0 0 22 232 2 3 2 21 2 1 2 2 22 L zzz LL EI xF EI xFF EI xF x GA Fk x EA F 0 32 2 2 32 2 3 0 2 21 0 2 1 62222 ⎥ ⎦ ⎤ +−+⎥ ⎦ ⎤ +⎥ ⎦ ⎤ = ANALISIS ESTRUCTURAL 44
  45. 45. zzz EI LF EI LFF EI LF GA LFk EA LF W 62222 32 2 2 32 2 3 2 21 2 1 +−++= (5-3) De acuerdo a los teoremas de Castigliano: i iF W δ= ∂ ∂ (5-4) 1 1 1 1 2 2 F EA L EA LF F W === ∂ ∂ δ (5-5) 3 2 2 3 1 2 3 3 221 2 2 2326 2 2 2 F EI L F EI L GA Lk EI LF EI LF GA LFk F W zzzz −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +=−+== ∂ ∂ δ (5-6) 32 2 2 2 32 2 3 3 3 2222 2 F EI L F EI L F EI L F EI L F EI L EI LF F W zzzz +−=−=−== ∂ ∂ δ (5-7) Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial, se tiene: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 1 2 23 3 2 1 2 0 23 0 00 F F F EI L EI L EI L EI L GA kL EA L zz z δ δ δ (5-8) Esta ecuación se puede escribir en forma abreviada, de la manera: { } [ ] { }AAAA Ff=δ (5-9) Donde es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo [ ]AAf A , , con los desplazamientos del mismo extremo{ }AF A , { }Aδ , de un elemento que une los puntos A y B . Despejando de la ecuación 5-5, se tiene:1F ANALISIS ESTRUCTURAL 45
  46. 46. 11 F EA L =δ ∴ 11 δ L EA F = (5-10) Donde es una fuerza axial en el extremo1F A y 1δ el desplazamiento longitudinal (axial del mismo extremo A del elemento BA − ). Resolviendo el sistema de ecuaciones 5-6 y 5-7 para las fuerzas y y despreciando el término de cortante 2F 3F GA Lk1 , se tiene: 3 2 2 3 1 2 23 F EI L F EI L GA Lk zz −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +=δ (5-6) 32 2 3 2 F EI L F EI L zz +−=δ (5-7) Multiplicando la ecuación 5-7 por :2/L 3 2 2 3 3 242 F EI L F EI LL zz +−=δ (5-11) Sumando la ecuación 5-11 a la ecuación 5-6: zzzz EI L F EI L F EI L EI LL 1212 34 432 3 2 3 2 33 32 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=+ δδ ∴ 32232 612 δδ L EI L EI F zz += (5-12) Sustituyendo el valor de en la ecuación 5-6 se tiene:2F 3 2 323 3 2 2 612 3 F EI L L EI L EI EI L z z z z z −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += δδδ 3 2 322 2 24 F EI L L z −+= δδδ ANALISIS ESTRUCTURAL 46
  47. 47. 3 2 32 2 23 F EI L L z −=−− δδ ∴ 3223 46 δδ L EI L EI F z += (5-13) Expresando las ecuaciones 5-10, 5-12 y 5-13 en forma matricial: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 1 2 23 3 2 1 46 0 612 0 00 δ δ δ L EI L EI L EI L EI L EA F F F (5-14) Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente: { } [ ] { }AAAA kF δ= Donde es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo [ ]AAk A , { }Aδ , con las fuerzas del mismo extremo, { }AF , de un elemento que une los nodos A y B . Sea: F2 F1 F3 A B F5 F4 F6 Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= : a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo 1F A : A AAAA L EA k kk kk k F F F ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 11 3332 2322 11 31 21 11 ∴ L EA F =11 , 03121 == FF ANALISIS ESTRUCTURAL 47
  48. 48. F=1 F5 F4 F6 1 1 1 1 EA L1 Y por el equilibrio: 0 0 4111 =+ =∑ FF Fx ∴ 06151 1141 == −=−= FF L EA FF 41F Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, es la rigidez necesaria y única en41F B para equilibrar A . b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de , se tiene que las fuerzas en nodo2F A son: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 2 3 32 22 3332 2322 11 32 22 12 6 12 00 0 1 0 0 0 00 L EI L EI k k kk kk k F F F F =32 F6 F4 F5 2 2 2 6EI L F =22 6EI L 1 2 3 0 0 42 = =∑ F Fx 0 0 5222 =+ =∑ FF Fy ∴ 32252 12 L EI FF −=−= ANALISIS ESTRUCTURAL 48
  49. 49. 223322262 223262 6612 0 0 L EI L EI L EIL FLFF LFFF Mz =−=−= =−+ =∑ c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de , se tiene que las fuerzas en el nodo 3F A son: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F 4 6 0 1 0 0 46 0 612 0 00 2 2 23 33 23 13 F =33 F6 F4 F5 3 3 3 4EI L F =22 6EI L2 0 0 43 = =∑ F Fx 0 0 2353 =+ =∑ FF Fy ∴ 22353 6 L EI FF −=−= L EI L EI L L EI FLFF LFFF M z 246 0 0 2332363 233363 =−=−= =−+ =∑ Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = L EI L EI L EI L EI L EA k BA 26 0 612 0 00 2 23 ANALISIS ESTRUCTURAL 49
  50. 50. Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene: [ ] [ ]T BAAB kk = Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene: [ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − − − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 6 5 4 3 2 1 2 23 22 2323 6 5 4 3 2 1 26 0 612 0 00 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 δ δ δ δ δ δ L EI L EI k L EI L EI L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA F F F F F F BB La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ B A BBBA ABAA B A j i kk kk F F F F δ δ Para la obtención de la submatriz , se procede como sigue:BBk a) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de se conoce el efecto sobre 4F A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B : ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 1 26 0 612 0 00 2 23 34 24 14 L EA L EI L EI L EI L EI L EA F F F Por equilibrio: ANALISIS ESTRUCTURAL 50
  51. 51. F =14 F6 F4 F5 4 4 4 EA L δx= 1 A B 0 0 44 =+− =∑ F L EA Fx ∴ L EA F =44 b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de , se conoce el efecto sobre 5F A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B : ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − −= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 2 3 2 23 35 25 15 6 12 0 0 1 0 26 0 612 0 00 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F 1 F5 F4 F6 5 5 5 F =35 6EI L2 F =25 12EI L3 0 0 45 = =∑ F Fx 0 12 0 355 =− =∑ L EI F Fy ∴ 355 12 L EI F = 0 126 0 3265 =+− =∑ L L EI L EI F Mz ∴ 22 2 65 6126 L EI L EI L EI F −=−= c) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección , se conoce el efecto en 6F A y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A : ANALISIS ESTRUCTURAL 51
  52. 52. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F 2 6 0 1 0 0 26 0 612 0 00 2 2 23 36 26 16 F6 F4 F5 6 6 6 F =26 6EI L2 F =36 2EI L 0 0 46 = =∑ F Fx 0 6 0 256 =+ =∑ L EI F Fy ∴ 256 6 L EI F −= 0 62 0 266 =−+ =∑ L L EI L EI F Mz ∴ L EI L EI L EI F 426 66 =−= Finalmente la matriz de rigidez es:BBk [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= L EI L EI L EI L EI L EA kBB 46 0 612 0 00 2 23 La matriz de rigidez del elemento AB : ANALISIS ESTRUCTURAL 52
  53. 53. [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA k 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 Y la ecuación de equilibrio del elemento es: [ ] [ ]{ }δ δ δ kk F F B A B A = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ Ahora se aplicará el mismo procedimiento pero sin despreciar el término de cortante GA Lk1 : Como primer paso, se obtendrá la inversa de la matriz 5-8: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 1 2 23 3 2 1 2 0 23 0 00 F F F EI L EI L EI L EI L GA kL EA L zz z δ δ δ (5-8) { } [ ] [ ] 1− = AAAA ffI [ ]AAf Es al matriz de flexibilidades, [ ] 1− AAf es la matriz inversa y { es la matriz identidad. }I ANALISIS ESTRUCTURAL 53
  54. 54. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 100 010 001 2 0 23 0 00 987 654 321 2 23 BBB BBB BBB EI L EI L EI L EI L GA kL EA L zz z Se aplicarán los sistemas de ecuaciones siguientes: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 0 0 1 2 0 23 0 00 7 4 1 2 23 B B B EI L EI L EI L EI L GA kL EA L zz z 11 =B EA L I⇒ ∴ L EA B =1 0 23 7 2 4 3 =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + B EI L B EI L GA kL II⇒ 0 2 74 2 =+− B EI L B EI L III⇒ De la ecuación III se despeja , obteniéndose:7B 47 2 B L B = Este valor se sustituye en la ecuación 2. 0 43 0 223 4 3 4 3 4 2 4 3 =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + B EI L B EI L GA kL B L EI L B EI L GA kL De las ecuaciones anteriores se deduce que 04 =B ∴ .07 =B ANALISIS ESTRUCTURAL 54
  55. 55. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 0 1 0 2 0 23 0 00 8 5 2 2 23 B B B EI L EI L EI L EI L GA kL EA L zz z 02 =B EA L IV⇒ ∴ 02 =B 1 23 8 2 5 3 =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + B EI L B EI L GA kL V⇒ 0 2 85 2 =+− B EI L B EI L VI⇒ De la ecuación VI se despeja , obteniéndose:8B 58 2 B L B = Este valor se sustituye en la ecuación V . 1 223 5 2 5 3 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + B L EI L B EI L GA kL ⇒ 1 43 5 3 5 3 5 =−+ B EI L B EI L B GA kL 1 12 3 5 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + EI L GA kL B ⇒ EI L GA kL B 12 1 35 + = Simplificando el valor de obtenemos:5B ( ) 3 335 12 12 12 12 12 12 1 L GA EIkL EI GA GALEIkL EIGA EIGA GALEIkL B + =÷ + = + = Si consideramos que k A ar = y que rGaL EI 2 12 =α ; donde es el área efectiva de cortante. ra ( )1 12 1 12 12 12 12 3 2 33 5 + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = αL EI GaL EI L EI L Ga EIL EI B rr ANALISIS ESTRUCTURAL 55
  56. 56. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = EI L GA kL L B 12 1 2 38 ⇒ EI L GA kL L B 6 2 38 + = Simplificamos el valor de :8B ( ) ( )1 6 1 12 6 1 12 6 12 6 12 6 12 6 12 6 6 12 6 2 2 2 2 2 22 23 3338 + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + =÷ + = + = + = αL EI GaL EI L EI GAL EIk L EI L GA EIk EI L GA EIk L EIL L GA EIkL EIL GA GALEIkL EILGA EIGA GALEIkL L EI L GA kL L B r ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 1 0 0 2 0 23 0 00 9 6 3 2 23 B B B EI L EI L EI L EI L GA kL EA L zz z 03 =B EA L VII⇒ ∴ 03 =B 0 23 9 2 6 3 =−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + B EI L B EI L GA kL VIII⇒ 1 2 96 2 =+− B EI L B EI L IX⇒ De la ecuación IX se despeja obteniéndose:9B 69 2 B L L EI B += Sustituimos este valor en la ecuación VIII . ANALISIS ESTRUCTURAL 56
  57. 57. EI L GA kL L B L EI L GA kL B L B EI L B GA kL B EI LL B EI L B GA kL B L L EI EI L B EI L GA kL 6 2 212 212 0 423 0 223 36 3 6 6 3 6 6 3 6 3 6 6 2 6 3 + = =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + =+ =−−+ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + El valor simplificado de es igual al valor de .6B 8B Ahora obtendremos el valor de .9B EI L GA kL L L EI EI L GA kL LL L EI B 3 4 3 22 3 2 39 + += ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + += Simplificamos el valor de .9B ANALISIS ESTRUCTURAL 57
  58. 58. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 12 4 12 1 12 4 12 1 12 3 12 12 3 12 12 312 12 312 12 312 12 3 3 12 3 4 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 22 2 3 22 22 3 2222 3 2222 3 3322 3 2 3 2 3 2 9 + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++ = + ++ =÷ + ++ = + ++ = + ++ = + += + += + += α α L EI GaL EI L GaL EI EIL GAL EIk L GAL EIk EIL GAL EIk L EIEI GAL kIE L L GA EIkL EILEIL GA kIE GA GALEIkL GAEILGAEILkIE GALEIkLL GAEILGAEILkIEL GALEIkLL GAEILGAEILkLIE GALEIkL GAEIL L EI EIGA GALEIkL L L EI EI L GA kL L L EI B r r La matriz inversa que se obtiene es la siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ++ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 1 2 23 3 2 1 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 00 δ δ δ α α α αα L EI L EI L EI L EI L EA F F F Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente: { } [ ] { }AAAA kF δ= Donde es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo [ ]AAk A , { }Aδ , con las fuerzas del mismo extremo, { }AF , de un elemento que une los nodos A y B . Sea: ANALISIS ESTRUCTURAL 58
  59. 59. F2 F1 F3 A B F5 F4 F6 Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , { } [ ] { }AAAA kF δ= : a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo 1F A : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ++ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 1 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 00 2 22 31 21 11 L EA L EI L EI L EI L EI L EA F F F α α α αα ∴ L EA F =11 , 03121 == FF F=1 F5 F4 F6 1 1 1 1 EA L1 Y por el equilibrio: 0 0 4111 =+ =∑ FF Fx ∴ 06151 1141 == −=−= FF L EA FF 41F Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, es la rigidez necesaria y única en41F B para equilibrar A . b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de , se tiene que las fuerzas en nodo2F A son: ANALISIS ESTRUCTURAL 59
  60. 60. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ++ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 1 6 1 12 0 0 1 0 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 00 2 3 2 22 32 22 11 α α α α α αα L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F F =32 F6 F4 F5 2 2 2 L(α+ 1) F =22 12EI L(α+ 1) 1 2 3 6EI 0 0 42 = =∑ F Fx 0 0 5222 =+ =∑ FF Fy 32252 12 L EI FF −=−= ∑ = 0Mz 0)(223262 =−+ LFFF 0 )1( )(12 )1( 6 2262 = + − + + aL LEI aL EI F 0 )1( 12 )1( 6 2262 = + − + + aL EI aL EI F )1( 6 262 + = aL EI F c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de , se tiene que las fuerzas en el nodo 3F A son: ANALISIS ESTRUCTURAL 60
  61. 61. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ++ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 1 4 1 6 0 1 0 0 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 00 2 2 22 33 23 13 α α α α α α αα L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F F =33 F6 F4 F5 3 3 3 EI(α+ 4) L(α+ 1) F =23 L(α+ 1)2 6EI 0 0 43 = =∑ F Fx 0 0 2353 =+ =∑ FF Fy ∴ ( )1 6 22353 + −=−= αL EI FF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α αα α αα α + − = + + + + −= + + + + −=−= =−+ =∑ 1 2 1 6 1 4 1 6 1 4 0 0 2332363 233363 L EI L EI L EI L L EI L EI FLFF LFFF M z Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − − = α α α αα 1 2 1 6 0 1 6 1 12 0 00 2 23 L EI L EI L EI L EI L EA k BA Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene: ANALISIS ESTRUCTURAL 61
  62. 62. [ ] [ ]T BAAB kk = Ensamblando la matriz de rigidez del elemento BA − , se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + − − + − + − + + + ++ − ++ − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 6 5 4 3 2 1 2 23 22 2323 6 5 4 3 2 1 1 2 1 6 0 1 6 1 12 0 00 1 2 1 6 0 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 1 6 1 12 0 0000 δ δ δ δ δ δ α α α αα α α αα α α αααα L EI L EI k L EI L EI L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA F F F F F F BB La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ B A BBBA ABAA B A j i kk kk F F F F δ δ Para la obtención de la submatriz , se procede como sigue:BBk b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de se conoce el efecto sobre 4F A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B : ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − ++ − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ 0 0 0 0 1 1 2 )1( 6 0 )1( 6 )1( 12 0 00 2 23 34 24 14 L EA L EI L EI L EI L EI L EA F F F α α α αα Por equilibrio: ANALISIS ESTRUCTURAL 62
  63. 63. F =14 F6 F4 F5 4 4 4 EA L δx= 1 A B 0 0 44 =+− =∑ F L EA Fx ∴ L EA F =44 b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de , se conoce el efecto sobre 5F A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B : ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − ++ − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ )1( 6 )1( 12 0 0 1 0 1 2 )1( 6 0 )1( 6 )1( 12 0 00 2 3 2 23 35 25 15 α α α α α αα L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F 1 F5 F4 F6 5 5 5 F =35 F =25 L(α+ 1)2 L(α+ 1)3 6EI 12EI 0 0 45 = =∑ F Fx ( ) 0 1 12 0 355 = + − =∑ αL EI F Fy ∴ ( )1 12 355 + = αL EI F ( ) ( ) 0 1 12 1 6 0 3265 = + + + − =∑ L L EI L EI F Mz αα ∴ ( ) ( ) ( )1 6 1 12 1 6 22 2 65 + −= + − + = ααα L EI L EI L EI F b) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección , se conoce el efecto en 6F A y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A : ANALISIS ESTRUCTURAL 63
  64. 64. ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − ++ − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ α α α α α α αα 1 2 )1( 6 0 1 0 0 1 2 )1( 6 0 )1( 6 )1( 12 0 00 2 2 23 36 26 16 L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA F F F F6 F4 F5 6 6 6 F =26 2 F =36 EI(2-α) L(α+ 1) 6EI L(α+ 1) 0 0 46 = =∑ F Fx ( ) 0 1 6 0 256 = + + =∑ αL EI F Fy ∴ ( )1 6 256 + −= αL EI F ( ) ( ) ( ) 0 1 6 1 2 0 266 = + − + − + =∑ L L EI L EI F Mz αα α ∴ ( ) ( )1 4 66 + + = α α L EI F Finalmente la matriz de rigidez es:BBk [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + − + = 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 00 2 23 α α α αα L EI L EI L EI L EI L EA kBB La matriz de rigidez del elemento AB : ANALISIS ESTRUCTURAL 64
  65. 65. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + − + + − ++ − + − − + − + − + + + ++ − ++ − = 1 4 1 6 0 1 2 1 6 0 1 6 1 12 0 1 6 1 12 0 0000 1 2 1 6 0 1 4 1 6 0 1 6 1 12 0 1 6 1 12 0 0000 22 2323 22 2323 α α αα α α αααα α α αα α α αααα L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA k Y la ecuación de equilibrio del elemento es: [ ] [ ]{ }δ δ δ kk F F B A B A = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ Como ya se había mencionado, el coeficiente de forma para secciones rectangulares, a continuación se efectúa la demostración: 2.1=k ∫∫= A yz z dA bI Q k 22 2 ρ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= 2 2 42 y hb Q A I =2 ρ 12 3 bh I = bhA = Desarrollando la integral: ANALISIS ESTRUCTURAL 65
  66. 66. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.1 160 36 2 8 6 2 8 9 2 160 72 8 12 8 18 160 72 8 12 8 18 160 36 2 8 6 2 8 9 2 5 366 8 183618 8 18 3618 8 18 16 57628836 36 16 168 36 216 364 44 144 44 1212 1 42 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 2/ 5 5 3 3 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4224 5 4224 5 4 224 52 2 2 22 53 2 2 22 2 33 2 2 2 =+−=⎥ ⎦ ⎤ +−=+−= +− =⎥ ⎦ ⎤ +−=+−= +−= +− = +− = +− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ − − − − − − − b b b b b b h h b b b b h h AAA A A AA b x b x b x dx bbb dx bbbdx bh y bh y bh y dydx bh y bh y bh dA bh y bh y bh dA bh yyhh dA bh yyhh dA bh y yhh dA bhb y hb dA hb y hb dA b bhbh bh y hb k Ejemplo. ANALISIS ESTRUCTURAL 66
  67. 67. Obtención de la matriz de flexibilidades y de rigideces de un elemento de sección constante en el espacio tridimensional. Sea: L F2 F6 y F8 F12 F7 F10 F11 z F4 F1 F3 F9 x i A j B F5 Lo que se busca es establecer la ecuación de equilibrio del elemento en función de los desplazamientos y de las fuerzas aplicadas en los nodos extremos de la barra. Para la obtención de la matriz de flexibilidades del elemento se puede proceder como sigue: La energía de deformación del elemento con comportamiento lineal se puede expresar como: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ +++++= L L L L L y yz m x z zyL x dx EJ M dx GA Vk dx GJ M dx EI M dx GA Vk dx EA N W 0 0 0 0 0 2 22 1 0 2 222222 (1) Haciendo un corte y verificando el equilibrio, se pueden obtener las variaciones de las fuerzas internas como sigue: F2 F6 y Nx Vz z F4 F1 F3 M x F5 x Vy My Mz ∑ = 0Fx ANALISIS ESTRUCTURAL 67
  68. 68. 0.1 =− xNF ∴ 1FNx = ∑ = 0Fy 02 =− yVF ∴ 2FVy = ∑ = 0Fz 05 =− zVF ∴ 5FVz = ∑ = 0Mx 04 =− MxF ∴ 4FMx = ∑ = 0My 056 =−− MyxFF ∴ xFFMy 56 −= ∑ = 0Mz 023 =−− MzxFF ∴ xFFMz 23 −= (2) todas las anteriores. Sustituyendo las valores de , , , , y en la ecuación 1 se tiene:xN yV zV xM yM zM ( ) ( ) L yymzz L ymz L ymz EI xF EI xFFxF GA xFk GJ xF EI xF EI xFFxF x GA Fk x EA F dx EI xFxFFF GA Fk GJ F EI xFxFFF GA Fk EA F dx EI xFF GA Fk GJ F EI xFF GA Fk EA F W 0 32 5 2 65 2 6 2 52 2 4 32 2 2 32 2 3 2 21 2 1 0 22 565 2 6 2 52 2 4 22 232 2 3 2 21 2 1 0 2 56 2 52 2 4 2 23 2 21 2 1 62226222 2 2 222 2 22 222222 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ + − ++++ − ++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− +++ +− ++= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − +++ − ++= ∫ ∫ yymzz EI LF EI LFFLF GA LFk GJ LF EI LF EI LFFLF GA LFk EA LF W 62226222 32 5 2 65 2 6 2 52 2 4 32 2 2 32 2 3 2 21 2 1 + − ++++ − ++= (3) De acuerdo al teorema de Castigliano: i iF W δ= ∂ ∂ EA LF F W 1 1 1 == ∂ ∂ δ ANALISIS ESTRUCTURAL 68
  69. 69. 3 2 2 3 12 3 3 2 2 1 2 2 2332 F EI L F EI L GA Lk EI FL F EI L F GA Lk F W zzzz −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +=+−== ∂ ∂ δ 2 2 33 3 2 F EI L F EI L F W zz −== ∂ ∂ δ 44 4 F GJ L F W m == ∂ ∂ δ 6 2 5 3 2 5 3 6 2 5 2 5 5 2332 F EI L F EI L GA Lk F EI L F EI L F GA Lk F W yyyy − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +=+−== ∂ ∂ δ 5 2 66 6 2 F EI L F EI L F W yy −== ∂ ∂ δ (4) todas las anteriores. Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 6 5 4 3 2 1 2 23 2 2 23 1 6 5 4 3 2 1 2 0000 23 0000 00000 000 2 0 000 23 0 00000 F F F F F F EI L EI L EI L EI L GA Lk GJ L EI L EI L EI L EI L GA Lk EA L yy yy m zz zz δ δ δ δ δ δ (5) En forma abreviada { } [ ] { }iiii Ff=δ (6) Donde es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo [ ]iif A , , , con los desplazamientos del mismo extremo i ,i { }iF { }iδ de un elemento en el espacio , que une los nodos i y .D3 j Por otro lado, las fuerzas { se pueden despejar de la ecuación 6 de la siguiente manera: }iF ANALISIS ESTRUCTURAL 69
  70. 70. { } { } { } [ ] { }iiiiiii kfF δδ == −1 CAPÍTULO 6. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE SECCIÓN VARIABLE. ANALISIS ESTRUCTURAL 70
  71. 71. 6.1 Introducción. Para el caso particular de sistemas estructurales construidos a base de elementos de sección variable, la metodología antes descrita sigue siendo aplicable y requiere únicamente la definición de la matriz de rigidez de este tipo de elementos en coordenadas locales. Partiendo de la energía de deformación de un elemento plano se obtiene la relación entre fuerzas y desplazamientos de un nodo extremo del elemento, a través de la matriz de flexibilidades. Por otro lado, se deduce la matriz de rigidez del nodo mencionado, invirtiendo simplemente la matriz de flexibilidades. Después, aplicando desplazamientos unitarios y por equilibrio de fuerzas se deduce la matriz de rigidez para ambos extremos del elemento de sección variable. Finalmente, como un ejemplo de este trabajo se obtiene la matriz de rigidez de un elemento de sección variable rectangular llena. 6.2 Matriz de rigidez de un elemento de sección variable. Para la obtención de la matriz de rigidez de un elemento de sección variable con fuerzas o desplazamientos aplicados en los nodos extremos (figura 6-1), se puede proceder como a continuación se describe. La energía de deformación para un elemento plano con comportamiento lineal se puede expresar como: dx EI M GA Vk EA N W L z zy ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++= 0 22 1 2 222 (6-1) x y z F1 F2 F3 M N V A B x Figura 6-1.Elemento sujeto a fuerzas en los nodos extremos. Donde, por equilibrio: ANALISIS ESTRUCTURAL 71
  72. 72. ( ) ( ) ( ) xFFxM FxV FxN z 23 2 1 −= = = (6-2) Sustituyendo los valores de N , V y M en la ecuación 6-1 se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +− += ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − += L z L z dx xGA Fk xEI xFxFFF xEA F W dx xGA Fk xEI xFF xEA F W 0 2 21 22 232 2 3 2 1 0 2 21 2 23 2 1 22 2 2 222 (6-3) De acuerdo al teorema de Castigliano: i iF W δ= ∂ ∂ (6-4) ∴ 1 00 1 1 1 )()( F xEA dx dx xEA F F W LL ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ === ∂ ∂ ∫∫δ ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − == ∂ ∂ L L z L zz F xEI xdx Fdx xGA k xEI x dx xGA Fk xEI xFxF F W 0 3 0 2 0 1 2 213 2 2 2 2 )()(2 2 2 22 δ ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− == ∂ ∂ L L z L zz F xEI dx F xEI xdx dx xEI FxF F W 0 3 0 2 0 32 3 3 2 22 δ (6-5) Expresando estas relaciones en forma matricial se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∫∫ ∫∫ ∫ 3 2 1 00 00 1 2 0 3 2 1 0 0 00 F F F xEI dx xEI xdx xEI xdx dx xGA k xEI x xEA dx L z L z L z L z L δ δ δ [ ] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 1 3332 2322 11 3 2 1 3 2 1 0 0 00 F F F ff ff f F F F f AA δ δ δ (6-6) De acuerdo a lo anteriormente expuesto (ecuación 6-6), la matriz de flexibilidades del nodo A es: ANALISIS ESTRUCTURAL 72
  73. 73. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ∫∫ ∫∫ ∫ L z L z L z L z L AA xEI dx xEI xdx xEI xdx dx xGA k xEI x xEA dx ff ff f f 00 00 1 2 0 3332 2322 11 0 0 00 0 0 00 (6-7) Dada esta matriz de flexibilidades del nodo A , (ecuación 6-7), y la relación que existe entre las fuerzas y desplazamientos de un mismo nodo extremo de un elemento (figura 6-2), se puede proceder como sigue, para la obtención de la matriz de rigidez completa de un elemento de sección variable. x F ,2 A B L Figura 6-2.Fuerzas y desplazamientos en los nodos extremos del elemento. δ2 F ,1 δ1 F ,3 δ3 F,5 δ5 F,6 δ6 F ,4 δ4 A partir de la ecuación 6-7, se obtiene para el nodo A la relación siguiente: [ ] [ ]{ } [ ] { } { }AAAAAA D f D f D f D f f fkF δδδ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ === − 2223 2333 11 1 0 0 00 1 (6-8) Donde [ AAk ] es la matriz de rigidez del nodo A y el determinante es: 2 233322 fffDetD −== . a) Dado un desplazamiento unitario en A en la dirección de 1F (figura 6-3), se pueden obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B: ANALISIS ESTRUCTURAL 73
  74. 74. ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 11 11 3332 2322 11 31 21 11 fk kk kk k F F F (6-9) ,06151 == FF 11 1141 1 f FF −=−= (6-10) x F21 A B L Figura 6-3.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F1. F11 F31 F51 F61 F41 δ = 11 b) De la misma manera, se aplica un desplazamiento unitario en A en la dirección de 2F (figura 6-4), para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ D f D f k k kk kk k F F F 23 33 32 22 3332 2322 11 32 22 12 00 0 1 0 0 0 00 (6-11) ,012 =F ,33 22 D f F = D f F 23 32 = (6-12) ,042 =F ,33 2252 D f FF − =−= D fLf FxFF 2333 322262 − =−= ANALISIS ESTRUCTURAL 74
  75. 75. x F22 A B L Figura 6-4.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F2. F12 F32 F52 F62 F42 δ = 12 c) Finalmente, se aplica un desplazamiento unitario en A (figura 6-5), en la dirección 3F , para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B. ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ D f D f k k kk kk k F F F 22 23 33 23 3332 2322 11 32 22 16 00 1 0 0 0 0 00 (6-13) x F23 A B L Figura 6-5.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F3. F13 F33 F53 F63 F43 δ = 13 ,013 =F ,22 33 D f F = D f F 23 23 = (6-14) ,043 =F ,23 53 D f F −= D fLf F 2223 63 − = Por lo tanto la submatriz de rigidez AB es: ANALISIS ESTRUCTURAL 75
  76. 76. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = D fLf D f D fLf D f f kAB 222323 233333 11 0 0 00 1 (6-15) Y por simetría de la matriz de rigidez del elemento se tiene que: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − == D fLf D fLf D f D f f kk T BABA 22232333 2333 11 0 0 00 1 (6-16) Dado que se conoce la submatriz de rigidez [ ]BAk , se conocen también las fuerzas producidas en el nodo A por los efectos de los desplazamientos unitarios en B, por tanto se puede por equilibrio deducir las fuerzas y rigideces en el nodo B, (figura 6-6, 6-7 y 6-8). x F24 A B L Figura 6-6.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F4. F14 F34 F54 F64 F44 δ = 11 , 1 11 1444 f FF == ,03424 == FF 06454 == FF (6-17) ANALISIS ESTRUCTURAL 76
  77. 77. x F25 A B L Figura 6-7.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F5. F15 F35 F55 F65 F45 δ = 15 ,015 =F ,33 25 D f F = D f F 23 35 = (6-18) ,01545 == FF ,33 2555 D f FF == D Lff LFFF 3323 253565 − =−= x F26 A B L Figura 6-8.Fuerzas provocadas por un desplazamiento unitario en la dirección F6. F16 F36 F56 F66 F46 δ = 16 ,016 =F ,2333 26 D fLf F − = D fLf F 2223 36 − = ,016 =F ,3323 5656 D Lff FF − =−= 362633 FLFF −= (6-19) ( ) D LffLf D fLf D LfLf F 2322 2 3322232333 33 2−+ = − − − = ANALISIS ESTRUCTURAL 77
  78. 78. La matriz resultante en B es: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− − = D LfLff D Lff D Lff D f f kBB 2 3323223323 332333 11 2 0 0 00 1 (6-20) Ensamblando las submatrices obtenidas, de las ecuaciones 6-8, 6-15, 6-16 y 6-20, se obtiene la matriz de rigideces de un elemento A-B de sección variable: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−− − −− − − − − − − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = D LfLff D Lff D fLf D fLf D Lff D f D f D f ff D fLf D f D f D f D fLf D f D f D f ff kk kk k BBBA ABAA 2 332322332322232333 3323332333 1111 2223232223 2333332333 1111 2 00 00 00 1 00 1 00 00 00 1 00 1 (6-21) Renombrando los términos iguales, esta matriz se puede representar como: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − − − = 66263626 26222322 1111 36233323 26222322 1111 00 00 0000 00 00 0000 kkkk kkkk kk kkkk kkkk kk k (6-22) Donde: , 1 11 11 f k = ,33 22 D f k = ,23 23 D f k = D f k 22 33 = (6-23) ,2333 26 D fLf k − = ,2223 36 D fLf k − = D fLfLf k 2223 2 33 66 2 +− = ANALISIS ESTRUCTURAL 78
  79. 79. 6.3 Ejemplo de una viga de sección variable rectangular. Sea un elemento de sección variable rectangular llena, como el mostrado en la figura 6-9. En este caso en particular, el peralte varía linealmente a lo largo de la longitud, y tanto el área como el momento de inercia se pueden expresar en función de x. ( ) x L hh hxh 12 1 − += (6-24) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +== x L hh hbxbhxA 12 1)()( e 3 12 1 3 1212 )( )( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − +== x L hh h bxbh xI L b b x Figura 6-9.Elemento de sección variable rectangular llena. h1 h2 De acuerdo con el capítulo anterior se puede obtener la matriz de rigideces a partir de la matriz de flexibilidades, o de los términos de la matriz de flexibilidades, 11f , 22f , 23f y 33f : ( )∫ ∫ ∫ − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + == L L L x L hh h dx Eb x L hh hEb dx xEA dx f 0 0 0 12 1 12 1 11 1 (6-25) Haciendo un cambio de variable: ANALISIS ESTRUCTURAL 79
  80. 80. ,12 1 x L hh hu − += dx L hh du 12 − = (6-26) , 12 du hh L dx − = :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→= La integral se convierte en: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫ − − =⎥ ⎦ ⎤ − = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 1 2 1 12 121212 121 h h h h h h hInhIn hhEb L uIn hhEb L u du hhEb L u du hh L Eb (6-27) Por consiguiente se tiene que el primer término de la matriz de flexibilidades es: ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 12 11 h h In hhEb L f (6-28) El siguiente término es: ( ) ( )∫ ∫+= L L xGA dxk xEI dxx f 0 0 1 2 22 (6-29) Tomando el primer término de la integral: ( )∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = L L x L hh h dxx EbxEI dxx 0 0 3 12 1 22 12 (6-30) Y haciendo un cambio de variables: ,12 1 x L hh hu − += , 12 1 L hh hu x − − = ( ) , 2 2 2 12 2 11 2 2 L hh huhu x − +− = ,12 dx L hh du − = du hh L dx 12 − = (6-31) Con límites: sí 10 hux =→= y si 2huLx =→= La integral se convierte en: ANALISIS ESTRUCTURAL 80
  81. 81. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − = +− − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 2 2 2 1 12 1 1 2 3 12 3 2 2 113 12 3 3 2 1313 2 3 12 3 3 2 11 2 3 12 3 3 12 2 12 2 11 2 2 2 1 2 111 2 12 2 11 2 12 2 12 212 2 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 hh h hh h h h In hhEb L u h u huIn hhEb L u du h u udu h u duu hhEb L u duhuhu hhEb L u du hh L hh huhu Eb L h h h h h h h h h h h h (6-32) El segundo término es una integral similar a 11f : ( ) ( )∫ ∫= L L xA dx G k xGA dxk 0 0 11 (6-33) Por lo tanto, simplificando términos se tiene: ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 12 1 2 2 2 1 2 1 1 2 3 12 3 22 2 3 2 2 12 h h In hhGb Lk h h h h h h In hhEb L f (6-34) El siguiente término de la matriz de flexibilidades 23f es: ( )∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + == L L x L hh h xdx EbxEI xdx f 0 0 3 12 1 23 12 (6-35) Haciendo un cambio de variables: x L hh hu 12 1 − += L hh hu x 12 1 − − = dx L hh du 12 − = du hh L dx 12 − = (6-36) :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→= ANALISIS ESTRUCTURAL 81
  82. 82. La integral se convierte en: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+− − =⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ∫ ∫∫ 2 1 2 2 1 21 3 12 3 212 12 2 3132 12 2 3 1 2 12 2 3 1212 1 11 2 1112 2 1112 121212 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 hh h hhhhEb L u h uhhEb L u du h u udu hhEb L u duhu hhEb L u du hh L L hh hu Eb h h h h h h h h h h ∫ (6-37) Simplificando términos: ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− − = 2 2 1 21 2 12 2 23 2 1 2 112 h h hhhhEb L f (6-38) Por último, el término se obtiene como sigue:33f ( )∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + == L L x L hh h dx EbxEI dx f 0 0 3 12 1 33 12 (6-39) Haciendo el cambio de variable: ,12 1 x L hh hu − += :límites ;0 1hux =→= 2huLx =→= ,12 dx L hh du − = du hh L dx 12 − = (6-40) La integral se convierte en: ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − =⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −2 1 2 1 2 1 2 2 2 112 2 12 3 12 3 12 116 2 1 . 121212 h h h h h h hhhhEb L uhhEb L u du hhEb L u du hh L Eb (6-41) ANALISIS ESTRUCTURAL 82
  83. 83. Simplificando términos se tiene: ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 112 33 116 hhhhEb L f (6-42) En resumen, los valores de los términos de la matriz de flexión son: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 12 11 h h In hhEb L f ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 12 1 2 2 2 1 2 1 1 2 3 12 3 22 2 3 2 2 12 h h In hhGb Lk h h h h h h In hhEb L f (6-43) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− − = 2 2 1 21 2 12 2 23 2 1 2 112 h h hhhhEb L f ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 112 33 116 hhhhEb L f Está claro que teniendo los valores de las flexibilidades se puede obtener la matriz de rigidez del elemento mediante las ecuaciones 6-23. Se hace la observación que para otro tipo de secciones, como la sección hueca o la sección tipo I, las integrales para obtener los términos de la matriz de flexibilidades se complican, ya que tanto las funciones de área como de los momentos de inercia son polinomios, que están en el denominador de la integral; por lo tanto se puede obtener la matriz de rigideces de este tipo de secciones mediante la composición de secciones macizas y la adición de las matrices de rigideces de este tipo de secciones macizas, como se muestra en las figuras siguientes: ANALISIS ESTRUCTURAL 83

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