Universidad Autónoma de MadridEscuela Politécnica Superior        Introducción al Análisis de Circuitos                   ...
1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................
Introducción. Conceptos básicos1.1 Introducción1   El amplio uso y el desarrollo creciente que ha experimentado la electri...
Introducción. Conceptos básicos   Sistemas de energía    Con el descubrimiento de la inducción electromagnética en 1832 se...
Introducción. Conceptos básicos1.2 Corriente eléctrica   Cuando se aplica una diferencia de potencial en los extremos de u...
Introducción. Conceptos básicos   Analíticamente:             dw        v=      , unidades: voltio (V) = julio (J) /culomb...
Introducción. Conceptos básicos1.3 Dispositivos circuitales. Característica i-v.    Son los elementos cuya interconexión d...
Introducción. Conceptos básicos   RESISTENCIA   Característica i-v:   Cuando un material se somete a una determinada difer...
Introducción. Conceptos básicos                                 v R (t ) = 0                                   v R (t ) > ...
Introducción. Conceptos básicos    Teniendo en cuenta que la corriente que transporta las cargas de una de las placas hast...
Introducción. Conceptos básicos   BOBINA  Es un dispositivo formado por un arrollamiento de hilo conductor en torno a un n...
Introducción. Conceptos básicos   Potencia y energía   La expresión de la potencia instantánea en una bobina resulta:     ...
Introducción. Conceptos básicos   TIPOS DE GENERADORES IDEALES Y CARACTERÍSTICA I-V.    Hay dos tipos de generadores: gene...
Introducción. Conceptos básicos   GENERADORES DEPENDIENTES O CONTROLADOS   En este tipo de generadores la función de tensi...
Introducción. Conceptos básicos1.4 Interconexión de dispositivos. Leyes de Kirchhoff.1.4.1   Conceptos básicos.   Un circu...
Introducción. Conceptos básicos   NUDO DE REFERENCIA: MASA O TIERRA    La tensión es una variable que se mide entre dos pu...
Introducción. Conceptos básicosmisma (como ocurre en cualquier trayectoria cerrada y, en particular, en una malla) la vari...
Introducción. Conceptos básicos1.5 Resolución de una red    Resolver una red o circuito consiste en obtener las corrientes...
Introducción. Conceptos básicos                                                                                           ...
Introducción. Conceptos básicos   Nota: El balance de potencias también puede utilizarse como un criterio básico de anális...
Introducción. Conceptos básicos                       R1        I2 = Ig ⋅                    R1 + R2   Análogamente, la co...
Introducción. Conceptos básicos    Aplicando el mismo procedimiento seguido para el circuito de la Fig. 1.16 obtendríamos ...
Introducción. Conceptos básicos    La solución particular tiene la misma forma que la excitación, y por lo tanto se mantie...
Introducción. Conceptos básicos   La segunda posición del interruptor corresponde al llamado circuito de descarga, situaci...
Introducción. Conceptos básicos1.6 Equivalencia y asociación    Se dice que dos circuitos son equivalentes cuando sus cara...
Introducción. Conceptos básicos   ASOCIACIÓN PARALELO DE DISPOSITIVOS PASIVOS   Sea el caso de una asociación paralelo de ...
Introducción. Conceptos básicosKirchhoff. Esta situación no se da en la práctica; el motivo de esta inconsistencia es que ...
Introducción. Conceptos básicos(cuanto mayor es su resistencia interna menos corriente se desvía por ella y más idealmente...
Introducción. Conceptos básicos                       e1(t)         R1             e2 (t)     R2                    e1(t) ...
Introducción. Conceptos básicosPara empezar, aplicando la equivalencia serie entre R4 y R5 y se puede transformar el gener...
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  1. 1. Universidad Autónoma de MadridEscuela Politécnica Superior Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos TEMA 1 INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS. Jesús Bescós Cano Fabrizio Tiburzi Paramio Madrid, 2007
  2. 2. 1.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 11.2 CORRIENTE ELÉCTRICA ......................................................................................................................... 31.2.1 VARIABLES FUNDAMENTALES .............................................................................................................. 3 Carga ........................................................................................................................................................... 3 Energía ........................................................................................................................................................ 31.2.2 VARIABLES PRÁCTICAS O DE SEÑAL ..................................................................................................... 3 Intensidad de corriente ................................................................................................................................ 3 Tensión ........................................................................................................................................................ 3 Potencia ....................................................................................................................................................... 41.3 DISPOSITIVOS CIRCUITALES. CARACTERÍSTICA I-V............................................................................. 51.3.1 DISPOSITIVOS PASIVOS: RESISTENCIA, CONDENSADOR, BOBINA. ......................................................... 5 Criterio de signos ........................................................................................................................................ 5 Resistencia................................................................................................................................................... 6 Condensador................................................................................................................................................ 7 Bobina ......................................................................................................................................................... 91.3.2 DISPOSITIVOS ACTIVOS: GENERADORES IDEALES ............................................................................... 10 Criterio de signos ...................................................................................................................................... 10 Tipos de generadores ideales y característica i-v. ..................................................................................... 11 Generadores dependientes o controlados .................................................................................................. 121.4 INTERCONEXIÓN DE DISPOSITIVOS. LEYES DE KIRCHHOFF. ............................................................. 131.4.1 CONCEPTOS BÁSICOS........................................................................................................................... 13 Nudo de referencia: masa o tierra.............................................................................................................. 141.4.2 PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF ............................................................................................................. 141.4.3 SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ............................................................................................................ 141.5 RESOLUCIÓN DE UNA RED .................................................................................................................... 161.5.1 CIRCUITOS SIN MEMORIA .................................................................................................................... 16 Circuitos resistivos excitados con generadores de corriente y tensión continuas ..................................... 16 Caso práctico 1: divisor de tensión............................................................................................................ 18 Caso práctico 2: divisor de corriente ......................................................................................................... 181.5.2 CIRCUITOS CON MEMORIA ................................................................................................................... 19 Análisis de un circuito RLC ...................................................................................................................... 19 Caso práctico: análisis del circuito de carga y descarga de un condensador............................................. 211.6 EQUIVALENCIA Y ASOCIACIÓN ............................................................................................................ 231.6.1 DISPOSITIVOS PASIVOS Y GENERADORES IDEALES ............................................................................. 23 Asociación serie de dispositivos pasivos................................................................................................... 23 Asociación paralelo de dispositivos pasivos ............................................................................................. 24 Asociación de generadores ideales............................................................................................................ 241.6.2 GENERADORES REALES ....................................................................................................................... 25 Modelo y equivalencias............................................................................................................................. 25 Asociación ................................................................................................................................................. 261.6.3 REDUCCIÓN DE CIRCUITOS .................................................................................................................. 271.7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CC EN RÉGIMEN PERMANENTE ............................................................. 301.7.1 CIRCUITOS DE POLARIZACIÓN ............................................................................................................. 301.7.2 COMPORTAMIENTO DE LOS DISPOSITIVOS PASIVOS EN RÉGIMEN PERMANENTE DE CC ..................... 30 Resistencia................................................................................................................................................. 30 Condensador.............................................................................................................................................. 30 Bobina ....................................................................................................................................................... 301.7.3 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS ............................................................................................................... 31APÉNDICE A: FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS ASOCIADOS A CONDENSADORES Y BOBINAS. ........... 32A.1 RELACIÓN ENTRE LA CARGA QUE ACUMULA UN CONDENSADOR Y LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRESUS PLACAS ...................................................................................................................................................... 32A.2 RELACIÓN ENTRE LA VARIACIÓN DE CORRIENTE EN UNA BOBINA Y LA FUERZA ELECTROMOTRIZINDUCIDA ENTRE SUS BORNES ......................................................................................................................... 35
  3. 3. Introducción. Conceptos básicos1.1 Introducción1 El amplio uso y el desarrollo creciente que ha experimentado la electricidad en nuestra sociedadpuede explicarse atendiendo a dos razones fundamentales: La electricidad constituye el medio más eficaz para transmitir otras formas de energía (mecánica, química, térmica...) a grandes distancias y de forma casi instantánea. La electricidad puede utilizarse en cantidades pequeñas muy controladas. De esta forma las señales eléctricas nos sirven para codificar, intercambiar y procesar información. Esta es la razón de interés primordial en la ingeniería eléctrica de nuestros días. La historia de la electricidad es relativamente corta y, en realidad, las aplicaciones másinteresantes de los grandes descubrimientos eléctricos se han empezado a desarrollar tan solo desdefinales del siglo XIX. Estas aplicaciones, que han ido apareciendo conforme se han hechoprogresos en la ciencia eléctrica, pueden dividirse en dos grandes grupos: los sistemas de energía ylos sistemas de información. Progresos en la ciencia eléctrica Puede considerarse que el descubrimiento de la pila en 1800 por Alessandro Volta marcó elinicio de la era eléctrica. Para ello Volta alternó discos de metales diferentes separados por papeleshumedecidos en un ácido. De este modo consiguió generar un flujo eléctrico continuo y repetible,con lo que se abría la posibilidad de aplicar el método científico a la exploración de las propiedadesde la electricidad en un laboratorio. Años más tarde, en 1820 Oesterd puso en evidencia que había una relación entre electricidad ymagnetismo al observar que una brújula resultaba influida por la circulación de la corriente en unhilo. No obstante, sería Ampere (en 1825) el que formularía las relaciones cuantitativasinvolucradas y el que establecería por primera vez, de forma clara, la diferencia entre tensión ycorriente. Tras el experimento de Oesterd resultaba claro que las corrientes eléctricas producían camposmagnéticos. La gran preocupación de los científicos de la época era que, lamentablemente, loscampos magnéticos no parecían producir corrientes eléctricas. Por fin, Faraday descubrió en 1832 ytras infructuosas experiencias con campos magnéticos constantes, que bastaba con un campomagnético variable para generar una corriente eléctrica. Este fenómeno de “influencia mutua” entreelectricidad y magnetismo se vino a llamar de inducción electromagnética y fue el impulsonecesario para el desarrollo de los generadores y del telégrafo. A mediados de aquel siglo, Kirchhoff formuló las sencillas leyes que rigen el comportamientode los circuitos eléctricos. Hoy en día estas leyes son la base de las técnicas de análisis o resoluciónde circuitos. En 1873 Maxwell concluyó que electricidad y magnetismo no pueden considerarse comofenómenos separados y formuló esta dependencia mediante las que hoy en día conocemos como“ecuaciones de Maxwell”. Uno de los ejemplos más claros de la interacción de campos eléctricos ymagnéticos lo constituyen las ondas electromagnéticas, que aunque fueron predichas por Maxwell,no fueron descubiertas hasta 1887 (por Hertz). Finalmente, con el descubrimiento de los rayos catódicos y del electrón, a finales del siglo XIXya se tenía a mano la mayor parte de los conocimientos fundamentales de electricidad. 1 Este apartado resume la breve historia que presenta el libro de R. E. Thomas, A. J. Rosa,“Circuitos y Señales: Introducción a los circuitos lineales y de acoplamiento”, Ed. Reverté, 1992. 1
  4. 4. Introducción. Conceptos básicos Sistemas de energía Con el descubrimiento de la inducción electromagnética en 1832 se disponía de un métodosencillo para convertir energía mecánica en energía eléctrica, por lo que se comenzó la fabricación“en serie” de generadores eléctricos o dinamos. Las primeras máquinas producían tan solo corrientecontinua (CC) y en 1880 ya existían algunos sistemas que proporcionaban energía para iluminacióno tracción. Poco después, en 1882, Edison patentó su lámpara de incandescencia, que fue muy aceptada porel público. Por ello, junto a sus socios diseñó todos los aparatos necesarios para que un sistema depotencia funcionara económicamente (líneas, fusibles, zócalos, interruptores...). Posterioresmejoras de los generadores llevaron a una tecnología considerablemente avanzada en los sistemasbasados en CC ya en la última década del siglo XIX. Por otro lado, el desarrollo del transformador (1882) y del motor de inducción de Nicola Tesla(1887) permitió construir los sistemas de potencia de corriente alterna (CA), que combatierondurante algunos años con los de corriente continua, hasta que la selección de los primeros para lacentral eléctrica que se instalaría en las cataratas del Niágara marcó la tendencia que siguen lamayor parte de los sistemas de CA interconectados hoy en día. Sistemas de Información El descubrimiento de Faraday en 1832 del fenómeno de la inducción electromagnética facilitó ydisparó el desarrollo del telégrafo eléctrico. Se tendieron cables tanto por tierra como bajo losocéanos y de hecho, en 1902, estos cables rodeaban por completo la tierra. Años más tarde losexperimentos de Hertz ayudarían a desarrollar la telegrafía sin hilos, puesta a punto por Marconi enel 1895. En 1875 Graham Bell patentó el primer transductor acústico práctico, que permitió instalar enNew Haven el primer sistema telefónico (8 líneas y 24 usuarios, con conmutación manual). Lasestaciones conmutadoras automáticas permitirían, en 1887, aumentar el número de usuarios y lautilización de bobinas de pupinización (inductancias colocadas a intervalos regulares en los hilosde cobre para disminuir la atenuación y la variación del retardo en la gama de las frecuenciasvocales) posibilitó extender las redes a distancias de hasta 2500 km. (para distancias mayores setuvo que esperar hasta la aparición del amplificador electrónico). Cuando John Thomson descubrió el electrón en 1897 empezó lo que se vendría a llamar la “eraelectrónica”. Nuevos dispositivos como diodos o triodos de vacío (con un comportamiento basadoen la dirección de circulación de los electrones en un conductor) o amplificadores, permitieron porprimera vez la manipulación y el control electrónico de las señales eléctricas. El problema primordial entre los años 1920 y 1940 consistía en el desarrollo a gran escala delservicio telefónico a larga distancia. Fue en esta época y por este motivo cuando se formuló granparte de la teoría fundamental y las técnicas de los sistemas de información y cuando se sentaronlas bases de lo que hoy llamamos teoría de circuitos y de filtros. Científicos como Campbell, Zobel,Foster, Black o Nyquist realizaron importantísimas aportaciones durante estos años. Con todo, sibien es cierto que la teoría y las técnicas de la industria telefónica se aplicaron extensamente en laSegunda Guerra Mundial, hubo que esperar a su finalización para que los adelantos se hicieranpúblicos. Finalmente, la electrónica del estado sólido (que “ajusta” las propiedades conductoras de losmateriales mediante la manipulación de su estructura atómica) revolucionó el procesamiento deseñales al sustituir el transistor (inventado en 1947 por Bardeen, Brattain y Schckeley) a la válvulade vacío en la mayoría de las aplicaciones. En 1970 ya se utilizaban circuitos a gran escala deintegración que contenían millones de transistores. El tamaño, coste y fiabilidad de estos circuitosintegrados constituyen ventajas tan atractivas que han hecho que esta tecnología sea lapredominante en todas las aplicaciones de proceso de señales. 2
  5. 5. Introducción. Conceptos básicos1.2 Corriente eléctrica Cuando se aplica una diferencia de potencial en los extremos de un material conductor, seorigina un campo eléctrico en su interior que “arranca” los electrones de valencia (cargasnegativas) de los átomos del material y los desplaza disminuyendo su energía potencial. Este flujode electrones es lo que se conoce como corriente eléctrica. Por convenio se define el sentido de lacorriente como el contrario al del movimiento de estos electrones, es decir, la corriente tendrá elmismo sentido del campo eléctrico que origina la corriente (que también puede verse como elsentido en el que se desplazan las “cargas positivas”, aunque no haya físicamente cargas positivasque se desplacen sino átomos que quedan cargados positivamente al perder sus electrones másexternos).1.2.1 Variables fundamentales CARGA En general, damos el nombre de carga a todo cuerpo que está electrizado y que, por lo tanto, escapaz de interaccionar eléctricamente. Se representa por la letra q y en el SI se mide en culombios(C). En vista de que, desde el descubrimiento de la electricidad, se observaron dos posiblescomportamientos eléctricos (atracción o repulsión), se fijaron arbitrariamente dos tipos de cargas:la positiva (que se definió como la que adquiría el vidrio tras el frotamiento) y la negativa (la queadquiría el ámbar). Cargas del mismo signo experimentan una fuerza de repulsión y cargas de signocontrario una fuerza de atracción. El signo de las cargas es, por lo tanto, un modo de expresar elsentido de las fuerzas entre éstas. ENERGÍA En un sentido amplio es la capacidad para realizar un trabajo. Se representa con la letra w y enel SI se mide en Julios (J).1.2.2 Variables prácticas o de señal Dado que resulta engorroso medir directamente cargas que varían su energía, para analizar elcomportamiento de un circuito desde el punto de vista de sus aplicaciones en ingeniería, se definenotras variables más prácticas, derivadas directamente de las variables fundamentales. Como estasnuevas variables serán las encargadas de portar las señales de información procedentes de lostransceptores (elementos que ligan nuestro entorno sensorial con los circuitos electrónicos, comopor ejemplo micrófonos, cámaras, altavoces, pantallas, etc.), a estas variables también se lasdenomina variables de señal. INTENSIDAD DE CORRIENTE Comúnmente llamada corriente, se representa con la letra, i. Es la cantidad de carga que pasapor un punto dado en un instante de tiempo. Analíticamente: dq i= , unidades: amperio (A) = culombio (C) / segundo (s) dt Para medir la intensidad se utilizan los amperímetros. TENSIÓN También llamada diferencia de potencial, se representa por la letra v y refleja la variación deenergía que experimentaría una unidad de carga al moverse entre dos puntos de un circuito (verFig. 1.1). 3
  6. 6. Introducción. Conceptos básicos Analíticamente: dw v= , unidades: voltio (V) = julio (J) /culombio (C) dq vAB A B vAB = vAO - vBO Fig. 1.1: Nomenclatura para la tensión entre dos puntos Es importante observar que: - Sea cual sea el camino que tome una carga al desplazarse entre dos puntos del circuito, A y B, la variación de la energía resultante de dicho desplazamiento será siempre la misma (e igual a la diferencia de potencial entre esos dos puntos). - El concepto de que exista una diferencia de potencial entre dos puntos no implica que necesariamente tengan que estar circulando cargas entre ellos. Así por ejemplo una pila puede tener tensión entre sus bornes sin estar conectada. Nota: La diferencia de potencial entre dos puntos es, en realidad, un concepto más general subyacente en cualquier campo de fuerzas conservativo (aquél en el que el trabajo es independiente del camino seguido), como es el caso del campo gravitatorio. La ventaja de trabajar con campos conservativos es precisamente que, a pesar del carácter vectorial de las fuerzas que los originan, siempre es posible asignar una magnitud escalar (potencial) en cada posición del espacio de manera que el trabajo entre dos puntos cualesquiera podrá calcularse a partir de la diferencia de potencial de estos dos puntos (lo cual resulta en una aproximación bastante más sencilla que integrar directamente la fuerza sobre la trayectoria en la que se realiza el trabajo).Conviene tener claro que la intensidad de corriente tiene que ver con un caudal, con la cantidad de“algo” (la carga) que pasa por “un sitio”, mientras que la tensión mide variación de “algo” (laenergía por unidad de carga) “entre dos” puntos. POTENCIA Se representa con la letra p y se define como la variación de la energía por unidad de tiempo.Es, por lo tanto, una medida cuantitativa de lo rápido que se gana o pierde (cede) energía. Analíticamente: dw p= , unidades: vatio (w) = Julio (J) /segundo (s) dt En electricidad resulta útil relacionarla con la intensidad y con la tensión: dw dw dq dw dq p= = ⋅ = ⋅ = v ⋅i dt dt dq dq dt 4
  7. 7. Introducción. Conceptos básicos1.3 Dispositivos circuitales. Característica i-v. Son los elementos cuya interconexión da lugar a los circuitos eléctricos. El comportamientoeléctrico de un dispositivo de dos terminales viene definido por su característica i-v, es decir, por larelación que existe en todo momento entre la tensión que hay en sus bornes y la corriente que loatraviesa.1.3.1 Dispositivos pasivos: resistencia, condensador, bobina. Toman su nombre del hecho de que no son capaces de entregar potencia indefinidamente alcircuito en el que están conectados. Puede suceder, no obstante, que en un determinado instante ointervalo de tiempo alguno de estos dispositivos suministre energía que previamente ha almacenado(en cualquier caso, la potencia media “liberada” será siempre nula). CRITERIO DE SIGNOS Un criterio de signos especifica (arbitrariamente) el sentido en el que una magnitud se considerapositiva o negativa. En electrónica se dice que utilizamos el "criterio de signos pasivo" cuando elincremento de potencial entre los bornes de un dispositivo se considera positivo si tiene sentidocontrario a la corriente que lo atraviesa y negativo en caso contrario. Como podemos deducir apartir de su nombre, este es el criterio que se emplea más habitualmente para expresar las tensionesy corrientes en los dispositivos pasivos (ver Fig. 1.2). Si v(t ) e i (t ) son respectivamente la tensión que cae en los bornes y la corriente que atraviesa undispositivo pasivo, y ambas están expresadas utilizando el criterio de signos pasivo (que indica quelas cargas pierden energía, o tienen un potencial menor, al atravesar el dispositivo), la potenciaabsorbida por este dispositivo se obtiene como p(t ) = v(t ) ⋅ i (t ) . v (t ) > 0 i (t ) > 0 Fig. 1.2: Criterio de signos i-v para dispositivos pasivos. Nota: Una de las ventajas de utilizar este convenio es que la ecuación de potencia absorbida (la que normalmente nos va a interesar en el caso de los dispositivos pasivos) es directamente el producto de v(t ) e i (t ) , sin ningún signo negativo que complique su cálculo o interfiera en su interpretación. La potencia entregada por un dispositivo pasivo se calcularía, según este criterio de signos, como p(t ) = −v(t ) ⋅ i (t ) . Finalmente, debe tenerse en cuenta que los sentidos marcados para tensiones y corrientes a lahora de analizar un circuito no tienen por qué indicar el sentido real de estas magnitudes (¡queincluso puede variar miles de veces por segundo!). Lo que indican son las condiciones en las queuna u otra magnitud se considera positiva o negativa respecto da la otra. 5
  8. 8. Introducción. Conceptos básicos RESISTENCIA Característica i-v: Cuando un material se somete a una determinada diferencia de potencial o tensión (v) se puedeobservar cierta resistencia al paso de la corriente (i) a su través. La Ley de Ohm expresacuantitativamente esta relación entre tensión y corriente, relación que dentro de unos determinadosmárgenes de potencia es lineal (ver Fig. 1.3). iR (t ) v R (t ) > 0 1 iR (t ) > 0 R R v R (t ) 1 p max iR (t ) = ⋅ v R (t ) = G ⋅ v R (t ) R Fig. 1.3: Característica i-v de una resistencia. Al factor de proporcionalidad, R, y por extensión al dispositivo, se le denomina resistencia, y semide en ohmios (Ω). A su inverso, G, se le denomina conductancia y se mide en mhos (es decir,ohm al revés y en plural). El valor de la resistencia depende de la composición del material y de sugeometría. En el caso de un hilo conductor: L R=ρ⋅ , donde ρ es su resistividad, L su longitud y S su sección. S Potencia y energía disipada: Teniendo en cuenta que R es un valor positivo, la característica i-v de una resistencia indica quesu tensión y corriente tienen siempre el mismo signo; por lo tanto la potencia disipada por unaresistencia será siempre positiva (potencia disipada por efecto Joule). En cuanto a su valor,teniendo en cuenta la característica i-v, se puede calcular: 2 vR p R = iR ⋅ v R = iR ⋅ R = 2 >0 R A partir de la potencia podemos calcular la energía disipada: ∫ dw pR = ⇒ dw = p R dt = R ⋅ i R (t ) ⋅ dt ⇒ w = R ⋅ i R (t )dt 2 2 dt Que, en el caso de considerar una corriente constate, puede simplificarse como: w = R ⋅ IR ⋅ t 2 A partir de una resistencia es posible definir otros dos “dispositivos” circuitales: elcortocircuito (R=0) y el circuito-abierto (R=∞). 6
  9. 9. Introducción. Conceptos básicos v R (t ) = 0 v R (t ) > 0 R=0 R =∞ iR (t ) > 0 iR (t ) = 0 Fig. 1.4: Corto-circuito (izda), caracterizado porque su tensión es nula con independencia de la corriente que lo atraviese. Circuito- abierto (dcha), caracterizado porque su corriente es nula con independencia de la tensión que haya entre sus bornes. CONDENSADOR Es un dispositivo formado por dos placas conductoras separadas por un material aislante(dieléctrico). Su símbolo eléctrico es bastante intuitivo (ver Fig. 1.5). Fig. 1.5: Representación gráfica de un condensador: símbolo circuital. Característica i-v Cuando en un circuito aplicamos en bornes de un condensador una diferencia de potencialconstante, E, se establece una corriente de electrones variable, i(t), que va acumulando carganegativa, q(t), en una de las placas e igual carga positiva en la otra hasta que la diferencia depotencial entre las placas, vc(t), iguala a la diferencia de potencial aplicada (ver Fig. 1.6). Elcondensador, por lo tanto, es capaz de almacenar energía eléctrica, la energía que ha sido necesariapara cargar sus placas. -- v c (t ) ic ( t ) + + + + E -- - - v c (t ) q (t ) ic ( t ) -- Fig. 1.6: Análisis cualitativo del esquema de funcionamiento de un condensador. En electrostática se demuestra que la diferencia de potencial que hay en los bornes de uncondensador depende linealmente de la carga que éste tenga acumulada (ver Apéndice A). Alfactor de proporcionalidad se le denomina capacidad del condensador (C), y se mide en faradios(F): q (t ) =C , unidades: faradio (F) = culombio (C) /voltio (v) vc (t ), de donde: dq (t ) 1 = C ⇒ dvc (t ) = ⋅ dq (t ) dvc (t ) C 7
  10. 10. Introducción. Conceptos básicos Teniendo en cuenta que la corriente que transporta las cargas de una de las placas hasta la otra(siempre por fuera del condensador, sin atravesar las placas) es ic (t ) = dq(t ) dt , la diferencia depotencial entre las placas del condensador puede escribirse como: 1 1 dvc (t ) = ⋅ dq (t ) = ⋅ ic (t ) ⋅ dt C C, de donde obtenemos finalmente la característica i-v: t dv (t ) ∫ 1 vc (t ) = ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ , o ic (t ) = C ⋅ c C −∞ dt Es importante observar, a partir de esta característica, que la tensión que hay en bornes de uncondensador en un instante dado no sólo depende de la corriente que lo atraviesa en ese mismoinstante sino de la suma (integral) de las corrientes que lo han atravesado con anterioridad, es decir,de la carga que tiene acumulada (dicho de otro modo, el condensador es un dispositivo que tienememoria de corrientes). Si analizamos el comportamiento de un condensador a partir de un ciertoinstante que consideramos como origen de tiempos: 0 t t ∫ ∫ ∫ 1 1 1 vc (t ) = ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ + ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ = vC (0) + ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ C −∞ C 0 C 0 El término vC (0) es la tensión inicial que pudiera tener el condensador debido a la cargaacumulada antes del instante considerado. En esta asignatura consideraremos que esta tensióninicial es nula.. Obsérvese asimismo que en el caso de este dispositivo no es posible representar la característicai-v en una gráfica, ya que esta característica depende también del tiempo (o, mejor dicho, de lavariación de i o v con el tiempo). Potencia y energía Sustituyendo en la expresión general de potencia (absorbida) la característica i-v delcondensador se obtiene: dvC (t ) pc (t ) = vC (t ) ⋅ iC (t ) = vC (t ) ⋅ C dt Obsérvese que la potencia puede ser positiva o negativa, pues la variación de la tensión en eltiempo puede ser positiva o negativa independientemente del signo o sentido de la tensión. Segúnel criterio de signos que se ha definido para los dispositivos pasivos, un valor de potenciainstantánea negativo indica que el dispositivo estará entregando potencia al circuito. El hecho deque un condensador pueda suministrar potencia se deriva de su capacidad de almacenar energíaeléctrica. La ecuación anterior puede escribirse también de la siguiente forma: d ⎛1 ⎞ pc (t ) = ⎜ CvC (t ) ⎟ 2 dt ⎝ 2 ⎠ Y, teniendo en cuenta la relación entre potencia y energía, la energía almacenada por elcondensador en un instante dado viene dada por la expresión: 1 wc (t ) = 2 CvC (t ) 2 8
  11. 11. Introducción. Conceptos básicos BOBINA Es un dispositivo formado por un arrollamiento de hilo conductor en torno a un núcleo dematerial magnético. Su símbolo eléctrico resulta también bastante intuitivo (ver Fig. 1.7). Fig. 1.7: Representación gráfica de una bobina: símbolo circuital. Característica i-v En electromagnetismo se demuestra que la variación en la intensidad de la corriente iL queatraviesa una bobina genera en sus bornes una tensión que tiende a oponerse a dicha variación. Laenergía eléctrica que se invierte en evitar que la corriente sea contrarrestada por el efecto deinducción de la bobina, queda almacenada en ésta en forma de energía magnética. Tras un análisis básico de las relaciones que rigen la inducción magnética (ver Apéndice A) esposible obtener la característica i-v de una bobina (ver Fig. 1.8): diL (t ) v L (t ) = L ⋅ dt, donde L es el coeficiente de autoinducción de la bobina, que se mide en henrios (H). I v L (t ) v L (t) iL (t ) iL (t ) Fig. 1.8: Análisis cualitativo del esquema de funcionamiento de una bobina. Análogamente a lo que sucede en un condensador, la corriente que atraviesa una bobina en uninstante dado no sólo depende de la tensión que hay en sus bornes en ese mismo instante sino de lastensiones inducidas hasta entonces por el campo magnético que acumula. La bobina, por lo tanto,es un dispositivo que también tiene memoria (en este caso, de tensiones): t ∫ 1 iL (t ) = iL (0) + ⋅ vc (τ ) ⋅ dτ L 0 Nota: el hecho de que tanto el condensador como la bobina sean dispositivos con memoria (de corrientes el condensador, y de tensiones la bobina) indica que presentan una magnitud (la tensión en bornes del condensador y la corriente que atraviesa la bobina) que no puede variar instantáneamente o, dicho de otro modo, que presenta cierta inercia a su variación. 9
  12. 12. Introducción. Conceptos básicos Potencia y energía La expresión de la potencia instantánea en una bobina resulta: diL (t ) pc (t ) = iL (t ) ⋅ vL (t ) = iL (t ) ⋅ L dt La potencia puede ser positiva o negativa lo cual, como se ha visto en el caso del condensador,no es más que una indicación de que este dispositivo también puede almacenar y ceder energía. La ecuación anterior puede escribirse también: d ⎛1 2 ⎞ p L (t ) = ⎜ Li L (t ) ⎟ dt ⎝ 2 ⎠ De donde por la relación existente entre potencia y energía, la energía almacenada en uninstante dado por una bobina se obtiene como: 1 2 wL (t ) = Li L (t ) 21.3.2 Dispositivos activos: generadores ideales Para que en un circuito las cargas se pongan en movimiento es necesario transferirles energía,energía que las resistencias consumen en forma de calor y los condensadores y bobinas almacenan(y ceden) en forma de energía eléctrica y magnética respectivamente. CRITERIO DE SIGNOS En electrónica se dice que utilizamos el "criterio de signos activo" cuando el incremento depotencial entre los bornes de un dispositivo se considera positivo si tiene el mismo sentido que lacorriente que lo atraviesa y negativo en caso contrario. Como podemos deducir a partir de sunombre, este es el criterio que se emplea más habitualmente para expresar las tensiones y corrientesen los dispositivos denominados activos (ver Fig. 1.9). v (t ) > 0 i (t ) > 0 Fig. 1.9: Criterio de signos i-v para dispositivos activos. Si v(t ) e i (t ) son respectivamente la tensión que cae en los bornes de un dispositivo activo y lacorriente que lo atraviesa, y ambas están expresadas utilizando el criterio de signos activo lapotencia suministrada por este dispositivo puede calcularse nuevamente como p(t ) = v(t ) ⋅ i (t ) . Nota: Nuevamente, una de las ventajas de utilizar este convenio es que la ecuación de potencia suministrada o entregada (la que normalmente nos va a interesar en el caso de los dispositivos activos) es directamente el producto de v(t ) e i (t ) , sin ningún signo negativo que complique su cálculo o interfiera en su interpretación. La potencia absorbida o disipada por un dispositivo activo se calcularía, según este criterio de signos, como p(t ) = −v(t ) ⋅ i (t ) . 10
  13. 13. Introducción. Conceptos básicos TIPOS DE GENERADORES IDEALES Y CARACTERÍSTICA I-V. Hay dos tipos de generadores: generadores de tensión y generadores de intensidad o corriente(ver Fig. 1.10). Un generador de tensión mantiene en sus bornes una determinada diferencia depotencial (eg(t), fija o variable) y entrega toda la corriente que pida el circuito al que estáconectado. Un generador de intensidad hace circular a su través una determinada intensidad (ig(t),fija o variable) y genera en sus bornes tanta tensión como le pida el circuito. e g (t ) > 0 + i (t ) > 0 Eg > 0 v (t ) > 0 i (t ) > 0 ig (t ) > 0 e g (t ) > 0 Ig > 0 + i (t ) > 0 Fig. 1.10: de generadores de tensión (izda.) y corriente (dcha.). En estos generadores no existe, por lo tanto, una dependencia entre la tensión y la corriente (verFig. 1.11): una de las magnitudes depende del circuito, no del dispositivo. En la práctica(generadores reales), ambos tipos de generadores están limitados por la potencia que puedenentregar. Por ello, los generadores sin limitaciones que aquí se presentan se denominan ideales. i (t ) i (t ) Ig Eg v (t ) v (t ) Fig. 1.11: Característica i-v de un generador ideal de tensión (izda.) y corriente (dcha.). Las partes de las características i-v en que bien la tensión o bien la corriente son negativas, corresponden a situaciones en que el generador absorbe potencia en vez de entregarla. 11
  14. 14. Introducción. Conceptos básicos GENERADORES DEPENDIENTES O CONTROLADOS En este tipo de generadores la función de tensión o corriente que entregan (que en losgeneradores vistos anteriormente dependía únicamente de la variable tiempo) pasa a dependerproporcionalmente de una variable (tensión o intensidad) del circuito concreto al que estéconectado, motivo por el que se denominan generadores dependientes o gobernados (por la variablede la que dependen). Los generadores o fuentes dependientes son dispositivos irreales que se utilizan a menudo paramodelar dispositivos circuitales que tienen un comportamiento que no puede modelarse únicamentecon dispositivos pasivos o generadores independientes; no son, por lo tanto, dispositivos queexistan físicamente. Estos generadores se suelen representar mediante un rombo. De acuerdo al tipo de generador(de corriente o de tensión) y a la variable de la que dependan (corriente o tensión) puedendistinguirse cuatro tipos de generadores dependientes. De izquierda a derecha en la Fig. 1.12, sepresentan los gráficos de un generador de tensión controlado por tensión, de corriente controladopor tensión, de tensión controlado por corriente y de corriente controlado por corriente. + + - αv(t) βv(t) - χi(t) λi(t) Fig. 1.12: Representación gráfica de distintos tipos de generaros dependientes Obsérvese que este tipo de dispositivos, a pesar de denominarse generadores (y considerarsedispositivos activos), no son capaces de entregar potencia por sí solos. Sólo generan potencia si lavariable de la que dependen no es nula, es decir, si en el circuito hay algún generadorindependiente. 12
  15. 15. Introducción. Conceptos básicos1.4 Interconexión de dispositivos. Leyes de Kirchhoff.1.4.1 Conceptos básicos. Un circuito eléctrico, también denominado red, es el resultado de la interconexión de unconjunto de dispositivos circuitales. Se asumirá que estos dispositivos se interconectan medianteconductores ideales, es decir, mediante cortocircuitos. Según se ha visto, la característica i-v de un dispositivo define su comportamiento comoelemento aislado, es decir con independencia de cómo se encuentre conectado en un circuito.Complementariamente, es posible enunciar ciertas leyes que aplican únicamente a la interconexiónde dispositivos, sean estos cuales sean, es decir a la forma del circuito. Para hacerlo resulta útildefinir antes una serie de conceptos relacionados con esta forma o topología del circuito: Se denomina nudo al “punto” en que confluyen dos o más dispositivos, aunque a efectos de análisis práctico, sólo se suele considerar como nudo el punto en que confluyen tres o más dispositivos. Es importante observar que no se trata de un punto geométrico sino eléctrico (en el circuito de la Fig. 1.13 hay tres nudos: A, B, O). Se denomina rama al segmento de circuito que une dos nudos adyacentes (la Fig. 1.13 muestra en negrita una de las ramas que une el nudo B con el O). Se denomina malla a cualquier conjunto de ramas que formen un camino o bucle cerrado, es decir, que comience y termine en el mismo nudo. De entre todas las posibles mallas de un circuito, aquellas que coinciden con los huecos del circuito pueden considerarse mallas independientes (la Fig. 1.13 muestra numeradas las cuatro mallas independientes del circuito representado). Se dice que dos dispositivos están conectados en serie cuando un terminal del primero está unido a un terminal del segundo, y a ningún otro dispositivo más; es decir, cuando entre ellos hay un nudo simple, confluencia de sólo estos dos dispositivos (en la Fig. 1.13 los únicos dispositivos conectados en serie son los dos sombreados, que forman una rama que une el nudo A con el O). Se dice que dos dispositivos están conectados en paralelo cuando sus respectivos terminales están conectados entre sí (en la Fig. 1.13 los únicos dispositivos conectados en paralelo son los tres pintados a rallas). A B 1 2 3 4 O Fig. 1.13: Interconexión de dispositivos: malla, nudo, rama, conexión en serie y conexión en paralelo. 13
  16. 16. Introducción. Conceptos básicos NUDO DE REFERENCIA: MASA O TIERRA La tensión es una variable que se mide entre dos puntos o nudos. Sin embargo, a menudo resultaútil expresar la tensión de cualquier punto con respecto a una misma referencia (como ocurre con laaltura cuando se da referida al nivel del mar, o del suelo, o…). Este punto o nudo de referencia, quese considerará con tensión cero, se representa con cualquiera de los símbolos de la Fig. 1.14. Unavez identificada la referencia es posible hablar de la tensión de un punto o tensión de nudo, queimplícitamente indica la tensión entre ese nudo y el de referencia. vAB A B vAB = vAO - vBO = vA - vB O Fig. 1.14: Símbolos de masa o tierra: el nudo de referencia1.4.2 Primera Ley de Kirchhoff La Primera Ley de Kirchhoff (1ª LK) resulta de aplicar el principio de conservación de la cargaen un nudo. Esta ley enuncia que en todo momento el “caudal de carga” que llega a un nudo ha deser igual al que sale de él. Teniendo en cuanta la definición de intensidad de corriente, estoequivale a enunciar que la suma de corrientes que entran en un nudo ha de ser igual a la suma delas corrientes que salen de él. ∑i Nudo entrantes = ∑i Nudo salientes Esta ley es posible aplicarla a cada nudo del circuito, dando lugar en cada caso a una ecuaciónde nudo. Es fácil comprobar que si un circuito presenta n nudos, sólo n-1 son independientes, esdecir, la enésima ecuación de nudo es una combinación lineal de las n-1 anteriores. Por ejemplo, enla Fig. 1.15 es posible establecer relaciones del tipo: Nudo A: i1 + i2 = i3 Nudo B: i3 + i4 + i5 + i6 = 0 Nudo O: i1 + i2 + i4 + i5 + i6 = 0, donde efectivamente se observa que cualquiera de las tres ecuaciones se puede obtenercombinando las otras dos. El resultado de aplicar esta ley a un nudo en el que confluyen sólo dos dispositivos es quecuando dos o más dispositivos están conectados en serie, la corriente que los atraviesa es la misma.A esta corriente se la denomina corriente de rama. En la citada figura, cada una de las corrientesseñaladas son corrientes de rama; por lo tanto, el circuito consta de 6 ramas.1.4.3 Segunda Ley de Kirchhoff La Segunda Ley de Kirchhoff (2ª LK) se deriva de aplicar el principio de conservación de laenergía en una malla. Ya que el campo eléctrico es un campo conservativo, la variación de energíaexperimentada por una carga que se desplaza dentro de este campo depende únicamente de ladiferencia de potencial entre las posiciones inicial y final. Si las posiciones inicial y final son la 14
  17. 17. Introducción. Conceptos básicosmisma (como ocurre en cualquier trayectoria cerrada y, en particular, en una malla) la variación deenergía será siempre nula. Teniendo en cuanta la definición de tensión, esta ley se traduce en que la suma de tensiones a lolargo de una malla ha de ser nula en todo momento: ∑v = 0 Malla Es posible aplicar esta ley a cada malla del circuito, dando lugar en cada caso a una ecuación demalla. Además, es fácil comprobar que la ecuación resultante de una malla con varios huecos (quea su vez son mallas) es una combinación lineal de las ecuaciones de malla de estas mallas hueco.Es por ello que de entre las múltiples mallas que pueden identificarse en un circuito, un modo deescoger un conjunto de ellas que dará lugar a un sistema de ecuaciones independientes es escogerlas mallas que forman los huecos del circuito. En el ejemplo de la Fig. 1.15, donde la malla 3 tienedos huecos, la malla 1 y la malla 2, es posible establecer: Malla 3: v a + vb + v d − v e = 0 Malla 1: v a + vb − v c = 0 Malla 2: vc + vd − ve = 0, donde efectivamente se observa que cualquiera de las tres ecuaciones se puede obtenercombinando las otras dos. Obsérvese que el resultado de aplicar esta ley a una malla formada por sólo dos dispositivos esque cuando dos o más dispositivos están conectados en paralelo, la tensión que cae en sus bornes esla misma. _ A B i1 i3 3 i3 i4 i5 i6 vb i2 vd va 1 vc ve 2 i2 i4 i5 i6 i1 O Fig. 1.15: Ecuaciones de nudo (izda.) y ecuaciones de malla (dcha.). 15
  18. 18. Introducción. Conceptos básicos1.5 Resolución de una red Resolver una red o circuito consiste en obtener las corrientes que atraviesan todos losdispositivos y las tensiones que caen en sus bornes. Ya que de antemano se supone conocida lacaracterística i-v de cada dispositivo de la red, bastará con obtener una de ambas magnitudes entodos ellos. Por lo tanto, en principio, la resolución de un circuito involucraría tantas incógnitas (i ov) como dispositivos hubiera interconectados. Sin embargo, si tenemos en cuenta las Leyes de Kirchhoff, el análisis puede simplificarsesustancialmente. En efecto, cuando nos encontramos varios dispositivos en serie, basta con obtenerla corriente de rama; análogamente, si hay varios dispositivos en paralelo basta con calcular ladiferencia de potencial entre los bornes de cualquiera de ellos. La conclusión es que el número deincógnitas no depende tanto del número de dispositivos, sino de cómo estén conectados, esdecir, de la topología del circuito. En el capítulo 3 de este curso aprenderemos a deducir el número mínimo de ecuacionesnecesarias para resolver un circuito. De momento, se presenta una primera aproximación a losproblemas que plantea la resolución de un circuito cualquiera.1.5.1 Circuitos sin memoria Es el caso de circuitos formados únicamente a base de resistencias y generadores. Su análisis dalugar a sistemas de ecuaciones lineales algebraicos. CIRCUITOS RESISTIVOS EXCITADOS CON GENERADORES DE CORRIENTE Y TENSIÓN CONTINUAS Sea el circuito de la Fig. 1.16, del que se nos pide obtener las tensiones y corrientes en todos susdispositivos (que serán representadas con letras mayúsculas siempre que se trate de corrientes ytensiones continuas). Un modo de proceder consiste en identificar primero cuáles van a ser lasincógnitas del problema. Tomemos, por ejemplo, las corrientes de todas las ramas. E1 R3 E 1= 1 R 1= 1 R2 E 2= 2 R 2= 2 E2 E 3= 3 R 3= 3 R1 R4 E6 E5 E 4= 4 R 4= 4 E 5= 4 E 6= 3 E3 E4 Fig. 1.16: Circuito con resistencias y generadores de CC. 16
  19. 19. Introducción. Conceptos básicos E1 V R3 A B C I1 I7 I3 2 V R2 3 I2 E2 V R1 I5 V R4 I4 1 E5 E3 E6 E4 4 I6 Fig. 1.17: Etapas en la resolución de un circuito. Los pasos que se deben seguir, esquematizados en la Fig. 1.17, son: Identificar todas las incógnitas, es decir las corrientes de todas las ramas, dándoles un sentido arbitrario (es decir, sin pararse a pensar en cuál puede ser su sentido real). En el circuito de la izquierda de la citada figura están representadas por las corrientes I1 a I7 . Una vez fijadas las corrientes, representar las tensiones en los bornes de todos los dispositivos según su característica i-v: en los dispositivos pasivos con sentido contrario a la corriente que los atraviese (la corriente que hayamos asignado en el paso anterior), en los generadores de tensión en el sentido que apunte a su polo positivo y en los generadores de corriente en cualquier sentido. En el circuito de la derecha de la citada figura están representadas por las tensiones E1 a E4 y VR1 a VR4. Plantear la 1ª LK en todos los nudos independientes, es decir, en todos menos en uno. En el circuito de la figura esto daría lugar a tres ecuaciones de nudo: Nudo A: I1 + I 2 + I 3 = 0 Nudo B: I 5 + I 7 = I1 Nudo C: I4 = I6 + I7 Plantear la 2ª LK en todas las mallas independientes, es decir, en todos los huecos del circuito. Utilizar la característica i-v de cada dispositivo para relacionar las tensiones de estas ecuaciones de malla con las incógnitas. En el circuito de la figura esto daría lugar a cuatro ecuaciones de malla: Malla 1: E 2 − E 3 + V R1 = 0 ⇒ E 2 − E3 + R1 ⋅ I 3 = 0 Malla 2: E1 − VR 2 + E6 − E 2 = 0 ⇒ E1 − R2 I 5 + E6 − E2 = 0 Malla 3: E 5 − E 6 + VR 2 − VR 3 = 0 ⇒ E5 − E6 + R2 ⋅ I 5 − R3 ⋅ I 7 = 0 Malla 4: VR 4 − E 4 − E5 = 0 ⇒ R4 ⋅ I 6 − E 4 − E 5 = 0 Resolver el sistema de ecuaciones lineales, en este caso 7 ecuaciones cuyas incógnitas son las 7 corrientes de rama. La solución al ejemplo de la Fig. 1.16 es: I 1 = 2, I 2 = −3, I 3 = 1, I 4 = 3, I 5 = 1, I 6 = 2, I 7 = 1 En este tipo de circuitos, la potencia puesta en juego por los generadores (ya sea entregada oabsorbida) y la disipada en las resistencias es constante a lo largo del tiempo. El balance depotencias da lugar en este caso a una nueva ecuación que puede utilizarse para validar el resultadodel análisis previo: ∑P activos = ∑ Ppasivos ⇒ E1 I1 + E2 I 2 + E3 I 3 + E4 I 4 + E5 I 4 + E6 I 5 = R1 I 32 + R2 I 52 + R3 I 72 + R4 I 62 17
  20. 20. Introducción. Conceptos básicos Nota: El balance de potencias también puede utilizarse como un criterio básico de análisis para circuitos muy sencillos (de una sola malla o un solo nudo). Se deriva del principio de conservación de la energía: en todo instante se ha de verificar que la potencia puesta en juego por los dispositivos activos iguala a la disipada por los pasivos CASO PRÁCTICO 1: DIVISOR DE TENSIÓN Se trata de un circuito práctico de amplia utilización que permite obtener a partir de ungenerador de tensión de un valor dado, otro ‘generador’ con una fracción de tensión cualquiera. Enel circuito de la Fig. 1.18, la ecuación de la malla del generador nos permite calcular el valor de lacorriente que circula por ella: Eg Malla: Eg − VR1 − VR 2 Eg − R1 ⋅ I − R2 ⋅ I = 0 ⇒ I = R1 + R2 Una vez obtenida, la tensión en bornes de R2, es decir, la tensión de salida resulta una fracciónde la de entrada, fracción controlable mediante la selección de los valores de las resistencias: R2 VR 2 = E g ⋅ R1 + R2 Análogamente, la tensión en bornes de R1 resulta la fracción restante de la tensión de entrada: R1 VR1 = Eg ⋅ R1 + R2 Nota: Obsérvese que la aproximación hecha en el cálculo de VR 2 sólo es válida si se considera que I’ es despreciable respecto a I, es decir, si el circuito que carga los bornes de R2 presenta una resistencia mucho mayor que R2 , o si no existe tal carga en bornes de R2. I R1 V R1 I Eg R1 V R1 Eg I R2 V R2 R2 V R2 Fig. 1.18: Circuitos sin memoria. Circuito divisor de tensión cargado (izda.) y sin cargar (dcha.). CASO PRÁCTICO 2: DIVISOR DE CORRIENTE Se trata de un circuito práctico de amplia utilización que permite obtener a partir de ungenerador de corriente de un valor dado, un ‘generador’ con una fracción de corriente cualquiera.En el circuito de la Fig. 1.19, la ecuación del nudo del generador nos permite calcular el valor de latensión de este nudo: V V R ⋅R Nudo: I g = I1 + I 2 + ⇒ V = Ig ⋅ 1 2 R1 R2 R1 + R2 Una vez obtenida, la corriente que atraviesa R2, es decir, la corriente de salida, resulta unafracción de la de entrada, fracción controlable mediante la selección de los valores de lasresistencias: 18
  21. 21. Introducción. Conceptos básicos R1 I2 = Ig ⋅ R1 + R2 Análogamente, la corriente que atraviesa R1 resulta la fracción restante de la corriente deentrada: R2 I2 = Ig ⋅ R1 + R2 Nota: Obsérvese de nuevo que este análisis únicamente es válido si se considera que V’ es despreciable respecto a V, es decir, si el circuito que carga R2 presenta una resistencia mucho menor que R2 , o si no existe tal carga en serie con R2 . I1 I2 I1 I2 Ig V R1 R2 Ig V R1 R2 V Fig. 1.19: Circuitos sin memoria. Circuito divisor de corriente cargado (izda.) y sin cargar (dcha.).1.5.2 Circuitos con memoria Es el caso de circuitos que contienen dispositivos con memoria, es decir, bobinas y/ocondensadores. Las mismas técnicas generales de análisis dan ahora lugar a sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales de coeficientes reales y constantes por lo que su estudio completo resulta másdifícil de abordar. ANÁLISIS DE UN CIRCUITO RLC Sea el circuito de la Fig. 1.20, del que se nos pide obtener las tensiones y corrientes en todos susdispositivos. Sean de nuevo las corrientes de rama, esta vez variables, las incógnitas del problema. vL1 (t) A + i2 (t) i1 (t) L1 e2(t) i1 (t)-i2 (t) vR1 (t) R1 1 2 R2 vR2 (t) vC (t) C e1(t) L2 + vL2 (t) Fig. 1.20: Análisis de un circuito con memoria: circuito RLC. 19
  22. 22. Introducción. Conceptos básicos Aplicando el mismo procedimiento seguido para el circuito de la Fig. 1.16 obtendríamos unsistema de ecuaciones formado por una ecuación de nudo (nudo A) y dos ecuaciones de malla(mallas 1 y 2), sistema cuya solución serían las corrientes de las tres ramas del circuito. Dada la relativa sencillez de plantear las ecuaciones de nudo, es práctica habitual hacerlodirectamente sobre el circuito conforme se identifican las corrientes de rama (obsérvese que enlugar de identificar una nueva corriente i3 (t ) saliendo del nudo A, directamente se ha puesto i1 (t ) − i2 (t ) ), de modo que tras este paso el número de incógnitas iguala al de mallas independientes.En el circuito de la figura: Malla 1: e1 (t ) + vR1 (t ) + vL1 (t ) + vC (t ) = 0 Malla 2: vR 2 (t ) + vL 2 (t ) − vC (t ) − e2 (t ) = 0 Utilizando a continuación la característica i-v de cada dispositivo, obtenemos el sistema de dosecuaciones con dos incógnitas que se ha de resolver: t di1 (t ) 1 Malla 1: e1 (t ) + R1i1 (t ) + L1 (t ) + ∫ [i1 (τ ) − i2 (τ )] ⋅ dτ = 0 dt C0 t di2 (t ) 1 Malla 2: R2i2 (t ) + L2 − ∫ [i1 (τ ) − i2 (τ ) ] ⋅ dτ − e2 (t ) = 0 dt C0Que tras derivar y reordenar pueden escribirse como: −de1 (t ) d 2 i (t ) di (t ) 1 Malla 1: = L1 1 + R1 1 + (i1 (t ) − i2 (t )) dt dt dt C de2 (t ) d 2 i2 (t ) di (t ) 1 Malla 2: = L2 2 + R2 2 − (i1 (t ) − i2 (t )) dt dt dt C Nota: para la derivación de los términos que involucran el cálculo de una integral, se utiliza una de las versiones del Teorema Fundamental del Cálculo: Si F (t ) es la función primitiva de f (t ) (es decir, F (t ) = ∫ f (t ) ⋅ dt ), y definimos la t t función I (t ) como I (t ) = ∫ f (τ ) ⋅ dτ entonces I (t ) = ∫ f (τ ) ⋅ dτ =F (t ) − F (a) , de donde se sigue a a t ∫ f (τ )dτ = dt (F (t ) − F (a)) = f (t ) d d que: dt a El sistema obtenido es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes reales yconstantes (que corresponden a los valores de Rs, Ls y Cs) cuya solución general no es trivial. Sinembargo, a partir de la interpretación del tipo de solución que cabe esperar es posible extraeralgunas conclusiones sobre el funcionamiento de cualquier circuito RLC. La solución del sistema de ecuaciones, en este caso cada una de las dos corrientes de rama, essuma de dos componentes: la solución del sistema homogéneo y la solución particular del sistemacompleto. La solución homogénea resulta de anular las funciones de excitación (es decir, los generadores); por lo tanto, no depende de éstas. En el caso de los circuitos (que dan lugar a coeficientes positivos) se trata además de una función temporal decreciente con el tiempo. Es lo que se denomina solución en régimen libre (de generadores) o régimen no forzado (por los generadores). 20
  23. 23. Introducción. Conceptos básicos La solución particular tiene la misma forma que la excitación, y por lo tanto se mantiene durante el tiempo que dure ésta. Es lo que se denomina solución en régimen forzado. Como resultado de ambos regímenes, cualquier magnitud del circuito presenta primero unrégimen transitorio, suma en cada instante del régimen libre y del forzado, y conforme avanza en eltiempo, un régimen permanente en el que la influencia del régimen libre, cada vez menor, esdespreciable. La existencia del régimen transitorio se debe a la presencia en el circuito dedispositivos con memoria, dispositivos que como se ha visto presentan cierta inercia a variar suscondiciones (régimen transitorio) hasta que el generador impone su ley (régimen permanente). CASO PRÁCTICO: ANÁLISIS DEL CIRCUITO DE CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR Se trata de un circuito de una malla, cuya solución general es fácilmente abordable, que ilustralos conceptos de régimen transitorio y régimen permanente. i(t) R vR (t) t1 t2 vC (t) C Eg Fig. 1.21: Circuito de carga y descarga de un condensador. El circuito representado en la Fig. 1.21 contiene un interruptor situado en una determinadaposición desde el instante t = t1 (supondremos t1 = 0 , por simplicidad) y que posteriormente pasa aotra posición en el instante t = t2 >> t1 . El objetivo es analizar cómo varían con el tiempo lasmagnitudes asociadas al condensador, es decir i (t ) y vC (t ) , que se supone inicialmente descargado( vC (0) = 0 ). La primera posición del interruptor corresponde al llamado circuito de carga, situación en lacual un condensador inicialmente descargado se somete a la acción de un generador de tensióncontinua. De acuerdo con lo visto hasta el momento, es de esperar que las magnitudes bajo estudiopresenten un régimen transitorio y posteriormente un régimen permanente caracterizado por unvalor constante (es decir, del tipo que impone el generador). Analizando el circuito: t 1 di (t ) 1 C∫ Malla: Eg = R ⋅ i (t ) + i (τ ) ⋅ dτ ⇒ R + i (t ) = 0 , donde vC (0) = 0 0 dt C Eg −t , cuya solución es: i (t ) = e RC R −t Nota: La solución general de la ecuación homogénea es: i (t ) = Ae RC Eg Eg Si vC (0) = 0 , entonces Eg = R ⋅ i(0) ⇒ i (0) = , de donde se obtiene el valor A = . R R A partir de esta expresión de corriente, la tensión resulta: t 1 −t C∫ vc (t ) = i (τ ) ⋅ dτ = Eg (1 − e RC ) 0 21
  24. 24. Introducción. Conceptos básicos La segunda posición del interruptor corresponde al llamado circuito de descarga, situación en lacual un condensador inicialmente cargado a una tensión vC (t ) = V0 se somete a la acción de uncortocircuito. Si analizamos este segundo circuito obtenemos: t 1 di (t ) 1 Malla: 0 = R ⋅ i (t ) + C0∫ i(τ ) ⋅ dτ ⇒ R dt + C i(t ) = 0 , donde vC (0) = V0 −V0 − t RC , cuya solución es: i (t ) = e R A partir de esta expresión de corriente, la tensión resulta: t 1 −t vC (t ) = C0∫ i(τ ) ⋅ dτ = V0 e RC La Fig. 1.22 muestra la variación con el tiempo de las magnitudes involucradas. A partir delinstante t = t1 el condensador comienza a cargarse, a una velocidad que depende de su propiacapacidad C y del valor de R, hasta que la tensión en sus bornes iguala a la del generador,alcanzándose así una situación estable o régimen permanente, situación en la cual la corriente queatraviesa el circuito es nula. Al cambiar el interruptor de posición cambia la excitación (se someteal condensador a una tensión nula) y por lo tanto se inicia un nuevo régimen transitorio durante elcual el condensador pierde su carga hasta que se estabiliza de nuevo. i(t) vC (t) E g /R Eg carga descarga carga descarga t1 t2 t t1 t2 t Fig. 1.22: Evolución de la tensión (dcha.) y corriente (izda.) en el condensador durante los procesos de carga y descarga. Nota: El producto RC que aparece en el denominador del argumento de las exponenciales es una constante característica de este tipo de circuitos que recibe el nombre de constante de tiempo (se denota normalmente con la letra griega τ ), pues ofrece una indicación del tiempo que tarda el circuito en alcanzar el régimen permanente. En efecto, sustituyendo t por τ en las expresiones vemos que τ representa el tiempo que tarda el condensador en adquirir el 63% de su carga máxima o bien, en descargarse un 63%. En las expresiones de carga y descarga puede observarse que, en realidad, el condensador sólo se carga o descarga por completo transcurrido un tiempo infinito. No obstante, en la práctica suele bastar con suponer que se ha cargado o descargado en un porcentaje relativamente alto. Se puede comprobar que para t = 4τ este porcentaje es del 98 %, lo cual puede considerarse definitivo en la mayor parte de los casos. 22
  25. 25. Introducción. Conceptos básicos1.6 Equivalencia y asociación Se dice que dos circuitos son equivalentes cuando sus características i-v son coincidentes Fig.1.23. El análisis de circuitos se puede simplificar sustancialmente sustituyendo una parte de uncircuito por otro circuito equivalente más sencillo de analizar. i(t) i(t) v(t) circuito < > v(t) circuito 1 2 v(t ) = f1 (i(t )) = f 2 (i(t )) ∀t Fig. 1.23: Equivalencia entre circuitos. Las conexiones o asociaciones serie o paralelo de dispositivos de un mismo tipo son casossencillos de equivalencia.1.6.1 Dispositivos pasivos y generadores ideales ASOCIACIÓN SERIE DE DISPOSITIVOS PASIVOS Sea, por ejemplo, el caso de una asociación serie de n resistencias (ver Fig. 1.24). Si planteamosla ecuación de la única malla que genera dicha asociación obtendremos la característica i-v de laasociación: ⎛ ⎞ Malla: v(t ) = R1i (t ) + R2 i (t ) + ... + Rn i (t ) = ⎜ ⎜ ⎝ ∑ R ⎟ ⋅ i(t ) n ⎟ ⎠ i i(t) R1 R2 Rn i(t) < > v(t) v(t) Rs Fig. 1.24: Equivalencia de la asociación serie de dispositivos pasivos. Esta característica i-v coincide con la de una resistencia equivalente, Rs, cuyo valor sea la sumade los valores de las resistencias asociadas, por lo que es posible concluir: Asociación serie de resistencias: Rs = ∑R n i Efectuando el mismo análisis con el resto de los dispositivos pasivos presentados (bobinas ycondensadores) es inmediato llegar a correspondientes conclusiones: Asociación serie de bobinas: Ls = ∑L n i ∑C 1 1 Asociación serie de condensadores: = Cs n i 23
  26. 26. Introducción. Conceptos básicos ASOCIACIÓN PARALELO DE DISPOSITIVOS PASIVOS Sea el caso de una asociación paralelo de n resistencias (ver Fig. 1.25). Si planteamos laecuación del único nudo que genera dicha asociación obtendremos la característica i-v de laasociación: ⎛ 1 ⎞ ∑ R ⎟ ⋅ v(t ) 1 1 1 Nudo: i (t ) = v(t ) + v(t ) + ... + v(t ) = ⎜ ⎜ ⎟ R1 R2 Rn ⎝ n ⎠ 1 i(t) i(t) v(t) R1 R1 Rn < > v(t) Rp Fig. 1.25: Equivalencia de la asociación paralelo de dispositivos pasivos. Esta característica i-v coincide con la de una resistencia equivalente, Rp, cuyo inverso sea lasuma de los inversos de las resistencias asociadas, por lo que es posible concluir: ∑R 1 1 Asociación paralelo de resistencias: = Rp n p Efectuando el mismo análisis con el resto de los dispositivos pasivos presentados (bobinas ycondensadores) es inmediato llegar a correspondientes conclusiones: ∑L 1 1 Asociación paralelo de bobinas: = Lp n p Asociación paralelo de condensadores: C p = ∑C n p ASOCIACIÓN DE GENERADORES IDEALES Los generadores ideales son un caso especial de dispositivo que no admite cualquier tipo deasociación. La Fig. 1.26 ilustra las asociaciones posibles, en particular la asociación en serie degeneradores de tensión y la asociación paralelo de generadores de corriente. Mediante un análisissimilar al visto para los dispositivos pasivos, en dichas asociaciones resulta inmediato demostrar lasequivalencias que indica la figura. e1(t) e2(t) e1(t) - e2(t) + < > + i1 (t) i2 (t) < > i1 (t) - i2(t) Fig. 1.26: Equivalencias en la asociación de generadores ideales. La Fig. 1.27 muestra asociaciones imposibles de generadores. En ambas puede comprobarse quelas características i-v de los generadores que se asocian provocan la violación de las Leyes de 24
  27. 27. Introducción. Conceptos básicosKirchhoff. Esta situación no se da en la práctica; el motivo de esta inconsistencia es que el modeloescogido hasta ahora para representar un generador es demasiado sencillo, demasiado irreal. + + e1(t) e2(t) < > ¿? i1 (t) i2 (t) < > ¿? Fig. 1.27: Asociaciones imposibles de generadores ideales.1.6.2 Generadores reales La característica i-v de un generador ideal asume que éste es capaz de entregar toda la potenciaque pida el circuito. Un generador de tensión ideal crea entre sus bornes una función de tensiónfija, se le pida la intensidad que se le pida. Asimismo un generador de corriente ideal hace pasarentre sus bornes una función de corriente fija, independientemente de la diferencia de potencial a laque esté sometido. En la práctica los generadores no pueden comportarse de esta forma debido alimitaciones de potencia, efecto que en una primera aproximación se puede modelar con sencillez. Re i(t) vR (t) i(t) vR(t) + eg(t) v(t) eg(t) v(t) i(t) i(t) ig(t) iR(t) iR(t) ig (t) Ri v(t) v(t) Fig. 1.28: Generadores reales de tensión y corriente, junto con sus características i-v. MODELO Y EQUIVALENCIAS La Fig. 1.28 muestra modelos de un generador real de tensión y de uno de corriente, así comosus respectivas características i-v resultantes de un análisis básico de la malla y el nudo querespectivamente forman. La resistencia asociada a cada generador, denominada resistencia interna, permite modelarlinealmente el efecto de pérdida de tensión conforme se solicita corriente en el generador detensión (cuanto menor es su resistencia interna, menos tensión cae y más idealmente se comporta elgenerador), y el de pérdida de corriente conforme se solicita tensión en el generador de corriente 25
  28. 28. Introducción. Conceptos básicos(cuanto mayor es su resistencia interna menos corriente se desvía por ella y más idealmente secomporta el generador). Si expresamos analíticamente la relación entre la tensión y la corriente que entregan ambosgeneradores obtenemos: eg (t ) v(t ) Generador de tensión: v(t ) = eg (t ) − Re ⋅ i (t ) ⇒ i (t ) = − Re Re v(t ) Generador de corriente: i (t ) = i g (t ) − ⇒ v(t ) = Ri ⋅ ig (t ) − Ri ⋅ i (t ) Ri Es fácil observar que ambas características i-v resultarían coincidentes si se verificara: Re = Ri = R y eg (t ) = R ⋅ ig (t ) Por lo tanto, en estas condiciones ambos circuitos serían equivalentes. El que el circuito secomporte como generador de corriente o de tensión dependerá de en qué punto de su característicai-v se esté trabajando, es decir, de cuál sea la relación entre la resistencia interna y la resistenciaequivalente del circuito al que esté alimentando. La Fig. 1.29 resume la equivalencias encontradas. Re i(t) i(t) eg (t) +eg(t) v(t) < > Re v(t) i(t) Re eg(t) ig (t) Re i(t) Ri i(t) eg (t) v(t) +ig (t) R i ig (t) Ri v(t) < > R i ig (t) v(t) Fig. 1.29: Equivalencia entre generadores reales de tensión y de corriente. ASOCIACIÓN Las asociaciones de generadores reales, que son siempre posibles, se resuelven aplicando lasequivalencias vistas hasta el momento para asociaciones de generadores ideales y resistencias, y lasequivalencias entre generadores reales de tensión y corriente (ver Fig. 1.30). 26
  29. 29. Introducción. Conceptos básicos e1(t) R1 e2 (t) R2 e1(t) - e2(t) R 1+ R 2 + + < > + i1(t) i2 (t) i1 (t) - i2 (t) R1 R2 R1 R2 < > R1 R2 e1(t) e2(t) < > R1 R2 R1 R2 + e1(t) e2(t) + i1 (t) i2(t) R 1 i1 (t) R1 R 2 i2 (t) R2 + + R1 R2 < > Fig. 1.30: Equivalencias en la asociación de generadores reales de tensión y de corriente.1.6.3 Reducción de circuitos Los conceptos de equivalencia y asociación entre dispositivos pueden aplicarse sucesivamentesobre un circuito para llegar a versiones equivalentes pero más sencillas de analizar. Esto da lugar auna estrategia de análisis que consiste en la reducción de un circuito a otro más simple en el que losdatos buscados se encuentren fácilmente por división de tensión o intensidad, o incluso mediante laaplicación directa de la ley de Ohm. No existen normas fijas para abordar el proceso de reducción;éste depende en gran medida de la habilidad y experiencia del analista. Este método es especialmente adecuado para situaciones en las que únicamente se desea obtenerel valor de una magnitud circuital, en vez de resolver el circuito completo. A continuación se muestra un ejemplo de aplicación de este sistema de análisis. Sea el circuitode la Fig. 1.31, en el que se desea obtener la corriente que atraviesa la resistencia R1. R1 R3 R4 + R6 R2 R5 e1(t) i1(t) e2(t) + Fig. 1.31: Circuito original para resolver por reducciones sucesivas. 27
  30. 30. Introducción. Conceptos básicosPara empezar, aplicando la equivalencia serie entre R4 y R5 y se puede transformar el generador detensión real ( e2(t), R6 ) en un generador de corriente, siguiendo el procedimiento indicado en losapartados anteriores: R1 R3 + e2(t)/R6 R6 R2 R4+R5 e1(t) i1(t) Fig. 1.32: Simplificación del circuito original por asociación de resistencias en serie.A continuación se puede asociar en paralelo (R4 + R5) y R6 y los dos generadores de corriente. Porclaridad en la notación se ha definido a esta resistencia equivalente R7 = R6 ||( R4 + R5): R1 R3 + i1(t)-e2(t)/R6 R2 R6 || (R4+R5) e1(t) R7 Fig. 1.33: Simplificación del circuito simplificado por asociación de resistencias en paralelo.Seguidamente se puede convertir el generador de corriente así obtenido en un generador de tensión,de forma que a continuación R3 y R7 pueden asociarse en serie: R1 R3+R7 + R2 + e1(t) (i1(t)-e2(t)/R6)R7 Fig. 1.34: Simplificación del circuito simplificado por equivalencia entre generador de corriente y generador de tensión, y asociación de resistencias en serie.En el paso siguiente consiste en transformar el generador de tensión en uno de corriente para queR3 + R7 puedan asociarse en paralelo con R2. 28

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