Dokumen tersebut membahas tentang aljabar Boolean, termasuk teorema De Morgan, gerbang logika NAND dan NOR, generalisasi teorema De Morgan, dan representasi ekspresi Boolean seperti minterm dan maxterm.

1. Teknik Digital
Pertemuan 10 & 11
1 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

2. Aljabar Boolean Ch.2
2 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

3. Contoh Teorema DeMorgan:
NAND
3 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

4. Contoh Teorema DeMorgan:
NOR
(X + Y)’ = (X’ · Y’)
 (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika
4 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

5. Gerbang-gerbang NAND &
NOR
Menggunakan jumlah rangkaian yang lebih sedikit ketimbang gerbang-gerbang
AND & OR
Fan-in & Fan-out
5 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

6. Generalisasi Teorema
DeMorgan
(T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, ·)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, · , +)
Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel, komplemennya dapat ditemukan
melalui “swapping + dan · dan penkomplemenan seluruh variabel
Contoh:
 F(W,X,Y,Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’))
= ((W)’ · X) + (X · Y) + (W · ((X)’ + (Z)’))
 [F(W,X,Y,Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’))
 Gunakan (T4) (X’)’ = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi:
 [F(W,X,Y,Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z))
6 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

7. REVISI Dualitas
 Setiap teorema pada aljabar switching tetap benar
jika 0 & 1 di-swapped dan · & + di-swapped.
 Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma
adalah benar, sehingga duals dari seluruh teorema
aljabar switching dapat dibuktikan dengan
menggunakan duals aksioma-aksioma..
 Kita dapat menuliskan kembali teorema DeMorgan
sebagai berikut
[F(X1, X2, …., Xn)]’ = FD(X1’, X2’, …., Xn’)
 Catatan …
 A·B+C A+B·C (A + B) · C
 Duality bukan berarti ekuivalensi !!
Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM
7 12/13/2011

8. Manipulasi ekspresi Boolean
 Bagaimana menyatakan (A · B + C)?
 Gunakan teorema DeMorgan …
 A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’
 = ( ( A · B )’ · C’ )’
 = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’
 ( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’
8 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

9. Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema Aljabar
Switching
(A1) X = 0 if X ¹ 1 (A1’) X = 1 if X ¹ 0
(A2) If X = 0, then X’ = 1 (A2’) if X = 1, then, X’ = 0
(A3) 0 . 0 = 0 (A3’) 1+1=1
(A4) 1 . 1 = 1 (A4’) 0+0=0
(A5) 0 . 1 = 1 . 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1
(T1) X + 0 = X (T1’) X . 1 = X (Identities)
(T2) X + 1 = 1 (T2’) X . 0 = 0 (Null elements)
(T3) X + X = X (T3’) X . X = X (Idempotency)
(T4) (X’)’ = X (Involution)
(T5) X + X’ = 1 (T5’) X . X’ = 0 (Complements)
(T6) X + Y = Y + X (T6’) X . Y = Y . X (Commutativity)
(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X . Y) . Z = X . (Y . Z) (Associativity)
(T8) X . Y + X . Z = X . (Y + Z) (T8’) (X + Y) . (X + Z) = X + Y . Z (Distributivity)
(T9) X + X . Y = X (T9’) X . (X + Y) = X (Covering)
(T10) X . Y + X . Y’ = X (T10’) (X + Y) . (X + Y’) = X (Combining)
(T11) X . Y + X’. Z + Y . Z = X . Y + X’ . Z
(T11’) (X + Y) . ( X’ + Z) . (Y + Z) = (X + Y) . (X’ + Z) (Consensus)
(T12) X + X + . . . + X = X (T12’) X . X . . . . . X = X (Generalized idempotency)
(T13) (X1 . X2 . . . . . Xn)’ = X1’ + X2’ + . . . + Xn’
(T13’) (X1 + X2 + . . . + Xn)’ = X1’ . X2’ . . . . . Xn’ (DeMorgan’s theorems)
(T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, .)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, . , +) (Generalized DeMorgran’s theorem)
9 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

10. Definisi lanjut – Ekspresi Boolean
Term perkalian:
 Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z)
Term penjumlahan:
 Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z)
Ekspresi sum-of-products (SOP):
 Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z)
Ekspresi product-of-sums (POS) :
 Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z)
Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dalamnya tidak ada variabel
yang muncul lebih dari sekali.
Contoh-contoh term-term non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y X·X’·Y
Contoh-cobtoh term-term normal: W·X·Y’ W+X’+Y 0
10 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

11. Minterm dan Maxterm
Minterm:
 Sebuah minterm n-variabel merupakan sebuah term perkalian normal
dengan n literals.
 Terdapat 2n term perkalian yang demikian.
 Contoh-contoh minterm 4-variabel:
W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’
 Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-
benar satu baris dari tabel kebenaran
11 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

12. Cont’
Maxterm:
 Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal
dengan n literals.
 Terdapat 2n term penjumlahan yang demikian.
 Contoh-contoh maksterm 4-variabel:
W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z
 Dapat didefiniskan sebagai sebuah term penjumlahan yang = 0 pada
benar-benar satu baris dari tabel kebenaran
12 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

13. Minterms/Maxterms untuk sebuah fungsi 3-variabel
13 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

14. Representasi Penjumlahan Kanonis
Minterm i :
 Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1
Penjumlahan Kanonis (Canonical sum):
 Jumlah dari seluruh minterms untuk suatu fungsi yang diberikan (tabel
kebenaran)
Notasi Σ:
 Contoh: Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7)
= X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z’ + X·Y·Z
 Representasi ini biasa direalisasi dengan menggunakan rangkaian
logika AND-OR 2 level dengan inverter-iverter pada masukan-masukan
gerbang AND, seperti yang diperlukan
14 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

15. Example
Fungsi direpresentasikan dengan tabel kebenaran:
mempunyai representasi penjumlahan kanonis sebagai berikut:
15 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

16. Representasi perkalian kanonis
Maxterm i:
 baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0
Pekalian kanonis:
 Perkalian dari maxterms untuk suatu fungsi yang diberikan (tabel
kebenaran)
Notasi :
 Contoh: X,Y,Z (1,2,5)
= (X + Y + Z’) . (X + Y’ + Z) . (X’ + Y + Z’)
 Representasi direalisasi dengan menggunakan rangkaian logika OR-
AND 2 levels dengan inverter-inverter pada masukan-masukan
gerbang OR, seperti dibutuhkan
16 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

17. Example
17 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

18. Konversi antara daftar Minterm/Maxterm
Dapatkan komplemen dari set …
Contoh:
Σ X,Y,Z(0,1,2,3) = X,Y,Z(4,5,6,7)
Σ X,Y(1) = X,Y(0,2,3)
Σ W,X,Y,Z(0,1,2,3,5,7,11,13) = W,X,Y,Z(4,6,8,9,12,14,15)
18 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011

19. Thank you !!!
19 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011