1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
ตอน สื่อปฏิสัมพันธ์
เรื่อง ตารางค่าความจริง
โดย
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ วาสนา สุขกระสานติ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 9 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การให้เหตุผล
- การให้เหตุผลแบบอุปนัย
- การให้เหตุผลแบบนิรนัย
3. เนื้อหาตอนที่ 2 ประพจน์และการสมมูล
- ประพจน์และค่าความจริง
- ตัวเชื่อมประพจน์
- การสมมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์
- สัจนิรันดร์
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
- การอ้างเหตุผล
- ประโยคเปิด
- วลีบ่งปริมาณ
6. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน)
7. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
8. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หอคอยฮานอย
9. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผล
และตรรกศาสตร์ นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงใช้ตารางค่าความจริงแสดงให้ผู้เรียนเข้าใจตัวดาเนินการทาง
ตรรกศาสตร์ สมบัติต่างๆ ของตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์ การสมมูลกันของประพจน์ รวมไปถึงการอ้าง
เหตุผล ในตอนท้ายจะมีแบบฝึกหัดให้ผู้เรียนได้ลองป้อนประพจน์ตามที่ต้องการด้วยตนเองลงในแบบร่าง
สาเร็จรูปที่สร้างด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad รุ่นภาษาไทย ซึ่งโปรแกรมจะแสดงตารางค่าความ
จริงให้โดยอัตโนมัติ เพื่อให้ผู้เรียนได้ศึกษาการหาค่าความจริงพร้อมทั้งนาผลที่ได้ไปใช้งานตามเหมาะสม หาก
ผู้เรียนป้อนประพจน์สองประพจน์เพื่อให้โปรแกรมสร้างตารางค่าความจริงให้ โปรแกรมสามารถตรวจสอบ
ด้วยว่าประพจน์ทั้งสองสมมูลกันหรือไม่
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อปฏิสัมพันธ์ชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ตารางค่าความจริง
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆ ที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่าน
สามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง แบ่งออกเป็น 8 ส่วน ประกอบด้วย
1. ตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์
2. การสมมูลกันของประพจน์
3. ประพจน์สมมูลที่สาคัญ
4. นิเสธของประพจน์
5. สัจนิรันดร์
6. การพิสูจน์
7. การอ้างเหตุผล
8. แบบฝึกหัด
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตารางค่าความจริง
หมวด สื่อปฏิสัมพันธ์
ตอนที่ 2 (9/9)
หัวข้อย่อย 1. ตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์
2. การสมมูลกันของประพจน์
3. ประพจน์สมมูลที่สาคัญ
4. นิเสธของประพจน์
5. สัจนิรันดร์
6. การพิสูจน์
7. การอ้างเหตุผล
8. แบบฝึกหัด
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนได้ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์ในการศึกษาตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์ การสมมูลกันของ
ประพจน์ ประพจน์สมมูลที่สาคัญ นิเสธของประพจน์ สัจนิรันดร์ การพิสูจน์ การอ้างเหตุผล ตลอดจน
ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อหาค่าความจริงของประพจน์แบบต่างๆ รวมทั้งตรวจสอบได้ว่าประพจน์สอง
ประพจน์สมมูลกันหรือไม่
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายเกี่ยวกับตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์ การสมมูลของประพจน์ นิเสธของประพจน์ได้
2. หาค่าความจริงของประพจน์แบบต่างๆ ได้
3. ตรวจสอบการสมมูลของประพจน์ได้
4. ระบุประพจน์สมมูลที่สาคัญได้
5. ตรวจสอบได้ว่าประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
6. นากฎเกณฑ์เบื้องต้นในวิชาตรรกศาสตร์มาประยุกต์ใช้ในการพิสูจน์ เพื่อให้ได้ผลสรุปที่ถูกต้อง
7. ตรวจสอบการอ้างเหตุผลได้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผล
8. ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ในแบบต่างๆ ได้
9. ใช้สื่อปฏิสัมพันธ์เพื่อตรวจสอบการสมมูลของประพจน์สองประพจน์ได้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สารบัญ
หน้า
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 6
1. ตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์ 11
2. การสมมูลกันของประพจน์ 15
3. ประพจน์สมมูลที่สาคัญ 25
4. นิเสธของประพจน์ 43
5. สัจนิรันดร์ 60
6. การพิสูจน์ 84
7. การอ้างเหตุผล 106
8. แบบฝึกหัด 120
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
สื่อการสอนชุดนี้พัฒนาด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คือซอฟต์แวร์สารวจเชิง
คณิตศาสตร์ เรขาคณิตพลวัต รุ่น 4.06 ภาษาไทย
ผู้ใช้โปรแกรมจะเรียกใช้โปรแกรมได้จากเมนูคาสั่ง
เมื่อคลิกเลือกโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 1
1. หน้าต่างแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ให้คลิกที่ปุ่ม เพื่อเข้าสู่การใช้งานโปรแกรม จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 2
จากรูปที่ 2 จะกล่าวถึงเครื่องมือที่ใช้สาหรับการทางานกับโปรแกรมนี้ คือเมนูแฟ้ม และกล่อง
เครื่องมือ
 เมนูแฟ้ม ใช้ทางานเกี่ยวกับแฟ้มข้อมูล ในการใช้งานสื่อชุดนี้ใช้เพียงการเปิด/ปิด
แฟ้มข้อมูล
 กล่องเครื่องมือ แบ่งเครื่องมือออกเป็นหกประเภท ในที่นี้จะ
ใช้เฉพาะเครื่องมือลูกศร สาหรับเลือกหรือเคลื่อนย้าย (หรือลาก) อ็อบเจกต์ใน
โปรแกรม ผู้ใช้โปรแกรมนี้จะต้องเลือกเครื่องมือลูกศร นี้ในการทางานตลอดทั้ง
โปรแกรม
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายการเมนู
กล่องเครื่องมือ
2. หน้าต่างหลักของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
o การเปิด/ปิด แฟ้มข้อมูล
 ถ้าต้องการเรียกโปรแกรมแฟ้มข้อมูลขึ้นมาใช้งาน ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏ
หน้าต่างดังรูปที่ 3 ให้เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ โดย
แฟ้มข้อมูลที่พัฒนาจากโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad จะ
มีนามสกุลเป็น gsp เลือก
แฟ้มข้อมูลที่ต้องการ แล้วคลิกที่
แล้วจะปรากฏ
หน้าต่างของโปรแกรมแฟ้มข้อมูลที่
3. หน้าต่างเลือกแฟ้มข้อมูลที่ต้องการ
ได้เลือกไว้ดังรูปที่ 5
 ถ้าต้องการปิดแฟ้มข้อมูล ให้คลิกที่เมนู เลือกคาสั่ง
จะปรากฏหน้าต่างดังรูปที่ 4 คือโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามว่า
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ต้องการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของแฟ้มข้อมูลหรือไม่ ในที่นี้ไม่แนะนาให้บันทึก
แฟ้มข้อมูล เพราะอาจทาให้โปรแกรมที่พัฒนาไว้มีข้อผิดพลาดได้ ให้เลือกคลิกที่ปุ่ม
เพื่อจะได้ไม่มีการเปลี่ยนแปลงโปรแกรมที่พัฒนาไว้
4. หน้าต่างเมื่อเรียกคาสั่งปิดแฟ้มข้อมูล
เมื่อเรียกโปรแกรม “สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง” จะปรากฏหน้าต่างสองหน้าต่างนี้สลับกัน
5. หน้าต่างแรกของโปรแกรม
จากหน้าต่างนี้จะสังเกตได้ว่าที่ด้านล่างของหน้าต่างมีรายการเมนูคาสั่งสองระดับ ดังรูป
ระดับแรก
ระดับที่สอง
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ระดับแรกอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างที่เลือกไว้ คือรายการเมนู ดังนี้
สาหรับเลือกกาหนดตาแหน่งของหน้าต่างภายในหน้าจอของเรา
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนหน้าต่างไปมุมบนซ้ายของจอภาพ
ดูภาพการเคลื่อนไหวของหน้านั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนหน้าต่างจอภาพ
เรียกหน้าสุดท้ายของหัวข้อขึ้นมาแสดงบนหน้าต่าง
เลื่อนหน้าต่างสื่อไปกลางจอภาพ
ระดับที่สองอยู่ด้านล่างติดกับหน้าต่างของโปรแกรม ดังนี้
สาหรับแสดงรายชื่อหน้าต่างในโปรแกรม เพื่อให้ผู้ใช้เลือก/เปลี่ยนการทางานไปยังหน้าต่าง
นั้นๆ ได้เลย เปรียบเสมือนเป็นเมนูลัดสาหรับเลือกดูหัวข้อ/หน้าต่างที่ต้องการ
การทางานของปุ่มต่างๆ
เลื่อนไปหน้าแรกของหัวข้อนั้น
เรียกหน้าสารบัญขึ้นมาแสดงบนจอภาพ
แถบต่อมาเป็นรายการหัวข้อย่อยในหัวข้อ “ตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์” เช่น
ผู้ใช้สามารถคลิกที่แถบนี้เพื่อเลื่อนไปที่หน้านั้นๆ ได้ทันที
แถบเลื่อนหน้าต่าง ใช้สาหรับเลื่อนเพื่อเลือกดูรายการหัวข้อย่อยด้านล่าง
แถบเลื่อน ใช้สาหรับเลื่อนดูข้อมูลในหน้าต่างไปทางด้านซ้าย/ขวา หรือถ้า
อยู่ในแนวตั้งก็ใช้สาหรับเลื่อนข้อมูลในหน้าต่างขึ้น/ลง
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
การเริ่มต้นใช้งานผู้ใช้สามารถคลิกที่ เพื่อเปลี่ยนการทางานไปที่หน้าสารบัญดังนี้
เมื่ อผู้ใ ช้เลือกโปรแกรมสื่อปฏิสัมพั นธ์เรื่องตารางค่าความจริง หน้าต่างสารบัญจะแสดงรายการ
บทเรียนออกเป็น 8 หัวข้อ
1. ตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์
2. การสมมูลกันของประพจน์
3. ประพจน์สมมูลที่สาคัญ
4. นิเสธของประพจน์
5. สัจนิรันดร์
6. การพิสูจน์
7. การอ้างเหตุผล
8. แบบฝึกหัด
ผู้ใช้จะต้องคลิกเลือกหัวข้อที่ล้อมรอบด้วยกรอบสี่เหลี่ยมเพื่อเข้าดูรายละเอียดของหัวข้อนั้น
ได้
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. ตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงตัวดาเนินการทางตรรกศาสตร์
ซึ่งประกอบด้วย
1. ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ 
2. ตัวดาเนินการ “และ” ใช้สัญลักษณ์ 
3. ตัวดาเนินการ “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ 
4. ตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” ใช้สัญลักษณ์ 
5. ตัวดาเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ 
โดยใช้สัญลักษณ์ T แทนค่าความจริงเป็นจริง และ F แทนค่าความจริงเป็นเท็จ
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
1.1 ตัวดาเนินการ “นิเสธ”
หน้าต่างนี้จะแบ่งเป็นสองส่วนซ้ายและขวา คือสามารถแสดงตารางค่าความจริงสองประพจน์
ได้พร้อมกัน แต่ในที่นี้จะแสดงตารางค่าความจริงของตัวดาเนินการ “นิเสธ” จึงแสดงในหน้าต่างซ้าย
เท่านัน
้
ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) จะได้ผลลัพธ์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) จะได้ผลลัพธ์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
แถบสีเหลืองด้านล่างแสดงประพจน์ที่ต้องการหาค่าความจริง
1.2 ตัวดาเนินการ “และ” กับ ”หรือ ”
หน้าต่างนี้แบ่งเป็นสองคอลัมน์ ซ้ายและขวา ด้านบนของแต่ละคอลัมน์แสดงตาราง
ค่าความจริงของตัวดาเนินการที่กาหนด แถบสีเหลืองด้านล่างแสดงประพจน์ที่ต้องการหาค่า
ความจริง
(ก) คอลัมน์ซ้ายคือ ตารางค่าความจริง ของตัวดาเนินการ “และ” (pq)
แสดงเป็น 4 กรณีคือ
กรณีที่ 1 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 2 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
กรณีที่ 3 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
กรณีที่ 4 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
(ข) คอลัมน์ขวาคือ ตารางค่าความจริง ของตัวดาเนินการ “หรือ” (pq )
แสดงเป็น 4 กรณีคือ
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กรณีที่ 1 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 2 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 3 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 4 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
1.3 ตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” กับ “ก็ต่อเมื่อ”
โดยหน้าต่างนี้แบ่งเป็นสองคอลัมน์ ซ้ายและขวา
(ก) คอลัมน์ซ้ายคือ ตารางค่าความจริง ของตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” (p  q)
แสดงเป็น 4 กรณีคือ
กรณีที่ 1 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 2 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
กรณีที่ 3 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 4 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
(ข) คอลัมน์ขวาคือ ตารางค่าความจริง ของตัวดาเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” (p  q)
แสดงเป็น 4 กรณีคือ
กรณีที่ 1 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
กรณีที่ 2 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นจริง (T) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
กรณีที่ 3 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
กรณีที่ 4 ถ้าประพจน์ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) และประพจน์ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
จะได้ผลลัพธ์ pq มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. การสมมูลกันของประพจน์
ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกันเมื่อมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ p  q
หมายถึงประพจน์ p สมมูลกับประพจน์ q
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงการสมมูลกันของประพจน์ ซึ่งประกอบด้วย
1. ความหมายของการสมมูล
2. ตัวอย่างที่ 1 ประพจน์ที่สมมูลกัน
3. ตัวอย่างที่ 2 ประพจน์ที่สมมูลกัน
4. ตัวอย่างที่ 3 ประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน
5. ตัวอย่างที่ 4 ประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน
6. การใช้ประพจน์สมมูลเขียนข้อความให้กระชับ ( จานวน 3 หน้า)
7. การใช้ประพจน์สมมูลช่วยในการพิสูจน์ ( จานวน 3 หน้า)
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.1 ความหมายของการสมมูล
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
(p  q)  r สมมูลกับประพจน์ (p  r)  (q  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (p  q) (p  q)  r (p  r) (q  r) (p  r)  (q  r)
T T T T T T T T
T T F T F F F F
T F T T T T T T
T F F T F F T F
F T T T T T T T
F T F T F T F F
F F T F T T T T
F F F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ (p  q)  r และ (p  r)  (q  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า (p  q)  r สมมูลกับประพจน์ (p  r)  (q  r)
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.2 ตัวอย่างที่ 1 ประพจน์ที่สมมูลกัน
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
(p  q)  r สมมูลกับประพจน์ (p  r) (q  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (p q) (p  q)  r (p  r) (q  r) (p  r)  (q  r)
T T T T T T T T
T T F T F F F F
T F T F T T T T
T F F F T F T T
F T T F T T T T
F T F F T T F T
F F T F T T T T
F F F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ (p  q)  r และ (p  r) (q  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า (p  q)  r สมมูลกับประพจน์ (p  r) (q  r)
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.3 ตัวอย่างที่ 2 ประพจน์ที่สมมูลกัน
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  q) สมมูลกับประพจน์ p
พิจารณาได้ดังตาราง
p q (q  q) p  (q  q) p (p  (q  q)
T T F T จากผลของนิพจน์ T T
T F F T p  (q  q)
F T F F จะเห็นว่าสรุปรวมได้ตาม F F
F F F F กรณีของ p เป็นสองกรณี
คือ
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  q)และ p มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  (q  q) สมมูลกับประพจน์ p
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.4 ตัวอย่างที่ 3 ประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา โดยไม่มีเครื่องหมายสมมูล (  )
นั่นคือค่าความจริงของสองประพจน์นี้ไม่สมมูลกัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) ไม่สมมูลกับประพจน์ p  (q  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) (q  r) p  (q  r)
T T T T T T T
T T F F F T T
T F T F F T T
T F F F F F F
F T T T T T T
F T F F T T T
F F T F T T T
F F F F T F T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ p  (q  r) แถวที่สองและสามมีค่าความจริงต่างกัน
สรุปได้ว่า p  (q  r) ไม่สมมูลกับประพจน์ p  (q  r)
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.5 ตัวอย่างที่ 4 ประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา โดยไม่มีเครื่องหมายสมมูล (  )
นั่นคือค่าความจริงของสองประพจน์นี้ไม่สมมูลกัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
( p  q)  r ไม่สมมูลกับประพจน์ (p  r)  (q  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (p  q) ( p  q)  r (p  r) (q  r) (p  r)  (q  r)
T T T T T T T T
T T F T F F F F
T F T F T T T T
T F F F T F T F
F T T F T T T T
F T F F T T F F
F F T F T T T T
F F F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ ( p  q)  r และ (p  r)  (q  r) แถวที่สี่และหกมีค่าความจริง
ต่างกัน
สรุปได้ว่า ( p  q)  r ไม่สมมูลกับประพจน์ (p  r)  (q  r)
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.6 การใช้ประพจน์สมมูลเขียนข้อความให้กระชับ
ในหัวข้อนี้ประกอบด้วย 3 หน้าย่อย ดังรูป
จากรูป ให้พิจารณาข้อความ “ถ้า x > 0 แล้ว x2 > 0 และ ถ้า x < 0 แล้ว x2 > 0”
ถ้าเราให้ p แทนข้อความ “x > 0”
q แทนข้อความ “x < 0”
r แทนข้อความ “x2 > 0”
เราสามารถแทนข้อความที่กาหนดด้วยสัญลักษณ์คือ (p  r)  (q  r)
ซึ่งในกรณีนี้เราทราบว่าประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ ( p  q)  r
โดยได้แสดงไว้ในหน้าต่าง “การใช้ประพจน์สมมูลเขียนข้อความให้กระชับ (หน้า 2)”
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อทราบว่าประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ ( p  q)  r
จากข้อความเดิม “ถ้า x > 0 แล้ว x2 > 0 และ ถ้า x < 0 แล้ว x2 > 0”
จึงเขียนข้อความใหม่ได้เป็น “ถ้า x > 0 หรือ x < 0 แล้ว x2 > 0 ”
ซึ่งพิจารณาได้ว่า ข้อความ “x > 0 หรือ x < 0 ” ก็คือข้อความ “x  0” นั่นเอง
สรุปได้ว่า ข้อความ “ถ้า x > 0 แล้ว x2 > 0 และ ถ้า x < 0 แล้ว x2 > 0”
อาจเขียนใหม่ได้เป็น “ถ้า x  0 แล้ว x2 > 0 ” ซึ่งจะเห็นว่าข้อความที่ได้นี้สั้น กระชับ ทาให้
อ่านแล้วสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น ดังรูป
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2.7 การใช้ประพจน์สมมูลช่วยในการพิสูจน์
ในหัวข้อนี้ประกอบด้วย 3 หน้าย่อย ดังรูป
จากรูป ให้พิจารณาข้อความ “ถ้า n เป็นจานวนเฉพาะ แล้ว n < 100 หรือ ถ้า n เป็นจานวน
ประกอบ แล้ว n < 100”
ถ้าเราให้ p แทนข้อความ “n เป็นจานวนเฉพาะ”
q แทนข้อความ “n เป็นจานวนประกอบ”
r แทนข้อความ “n < 100”
เราสามารถแทนข้อความที่กาหนดด้วยสัญลักษณ์คือ (p  r)  (q  r)
ซึ่งในกรณีนี้เราทราบว่าประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ ( p  q)  r โดย
ได้แสดงไว้ในหน้าต่าง“การใช้ประพจน์สมมูลช่วยในการพิสูจน์ (หน้า 2)”
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อทราบว่าประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ ( p  q)  r
จากข้อความ
“ถ้า n เป็นจานวนเฉพาะ แล้ว n < 100 หรือ ถ้า n เป็นจานวนประกอบ แล้ว n < 100”
จึงเขียนข้อความใหม่ได้เป็น
“ถ้า n เป็นจานวนเฉพาะ และ n เป็นจานวนประกอบ แล้ว n < 100”
ซึ่งพิจารณาได้ว่าไม่มีจานวนที่เป็นทั้ง จานวนเฉพาะ และจานวนประกอบ นั่นคือส่วน “เหตุ”
ของตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” ซึ่งถ้า “เหตุ” เป็นเท็จแล้ว จะทาให้ข้อความดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริง
เสมอ ดังรูป
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3. ประพจน์สมมูลที่สาคัญ
ประพจน์สองประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณี
ของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงประพจน์สมมูลที่สาคัญ ซึ่งประกอบด้วย
1. การสลับที่ (“และ”)
2. การสลับที่ (“หรือ”)
3. การสลับที่ (“ถ้า...แล้ว”)
4. การสลับที่ (“ก็ต่อเมื่อ”)
5. การจัดกลุ่ม (“และ”)
6. การจัดกลุ่ม (“หรือ”)
7. การจัดกลุ่ม (“ถ้า...แล้ว”)
8. การจัดกลุ่ม (“ก็ต่อเมื่อ”)
9. การกระจาย “และ” กับ “หรือ”
10. การกระจาย “หรือ” กับ “และ”
11. การกระจาย “”ถ้า...แล้ว” กับ “และ”
12. การกระจาย “ถ้า...แล้ว” กับ “หรือ”
13. ประพจน์สมมูลของตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” (รูปแบบที่ 1)
14. ประพจน์สมมูลของตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” (รูปแบบที่ 2)
15. ประพจน์สมมูลของตัวดาเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” (รูปแบบที่ 1)
16. ประพจน์สมมูลของตัวดาเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” (รูปแบบที่ 2)
17. สรุป
เมื่อคลิกที่ จะปรากฏหน้าจอตามลาดับ ดังนี้
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.1 การสลับที่ (“และ”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
(p  q) สมมูลกับประพจน์ (q  p)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q (p  q) (q  p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F F F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ (p  q) และ (q  p) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี สรุปได้ว่า (p  q)
สมมูลกับประพจน์ (q  p) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “และ” มีสมบัติการสลับที่
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.2 การสลับที่ (“หรือ”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
(p  q) สมมูลกับประพจน์ (q  p)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q (p  q) (q  p)
T T T T
T F T T
F T T T
F F F F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ (p  q) และ (q  p) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี สรุปได้ว่า (p  q)
สมมูลกับประพจน์ (q  p) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “หรือ” มีสมบัติการสลับที่
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.3 การสลับที่ (“ถ้า...แล้ว”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
(p  q) ไม่สมมูลกับประพจน์ (q  p)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q (p  q) (q  p)
T T T T
T F F T
F T T F
F F T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ (p  q) และ (q  p) มีค่าความจริงต่างกันในแถวที่สองและสาม
สรุปได้ว่า (p  q) ไม่สมมูลกับประพจน์ (q  p) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” ไม่มี
สมบัติการสลับที่
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.4 การสลับที่ (“ก็ต่อเมื่อ”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
(p  q) สมมูลกับประพจน์ (q  p)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q (p  q) (q  p)
T T T T
T F F F
F T F F
F F T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ (p  q) และ (q  p) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า (p  q) สมมูลกับประพจน์ (q  p) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “ก็ต่อเมื่อ” มีสมบัติ
การสลับที่
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.5 การจัดกลุ่ม (“และ”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  r
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q r) ( p  q) ( p  q) r
T T T T T T T
T T F F F T F
T F T F F T F
T F F F F F F
F T T T F F F
F T F F F F F
F F T F F F F
F F F F F F F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ (p  q)  r มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  r นั่นคือ ตัวดาเนินการ “และ” มีสมบัติ
การจัดกลุ่ม
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.6 การจัดกลุ่ม “หรือ”
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  r
พิจารณาได้ดังตาราง
p q R (q  r) p  (q r) ( p  q) ( p  q) r
T T T T T T T
T T F T T T T
T F T T T T T
T F F F T T T
F T T T T T T
F T F T T T T
F F T T T F T
F F F F F F F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ (p  q)  r มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  r นั่นคือ ตัวดาเนินการ “หรือ” มีสมบัติ
การจัดกลุ่ม
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.7 การจัดกลุ่ม (“ถ้า...แล้ว”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายไม่สมมูล (  )
แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูลกัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) ไม่สมมูลกับประพจน์ (p  q)  r
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) ( p  q) (p  q)  r
T T T T T T T
T T F F F T F
T F T T T F T
T F F T T F T
F T T T T T T
F T F F T T F
F F T T T T T
F F F T T T F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ p  (q  r) มีค่าความจริงต่างกันในแถวที่ หก
และแปด
สรุปได้ว่า p  (q  r) ไม่สมมูลกับประพจน์ p  (q  r)
นั่นคือ ตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” ไม่มีสมบัติการจัดกลุ่ม
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.8 การจัดกลุ่ม (“ก็ต่อเมื่อ”)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  r
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) ( p  q) (p  q)  r
T T T T T T T
T T F F F T F
T F T F F F F
T F F T T F T
F T T T F F F
F T F F T F T
F F T F T T T
F F F T F T F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ p  (q  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “ก็ต่อเมื่อ”
มีสมบัติการจัดกลุ่ม
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.9 การกระจาย “และ” “หรือ”
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) (p  q) (p  r) (p  q)  (p  r)
T T T T T T T T
T T F T T T F T
T F T T T F T T
T F F F F F F F
F T T T F F F F
F T F T F F F F
F F T T F T F F
F F F F F T F F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “และ”
“หรือ” มีสมบัติการกระจาย
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.10 การกระจาย “หรือ” “และ”
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) (p  q) (p  r) (p  q)  (p  r)
T T T T T T T T
T T F F T T T T
T F T F T T T T
T F F F T T T T
F T T T T T T T
F T F F F T F F
F F T F F F T F
F F F F F F F F
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “หรือ”
“และ” มีสมบัติการกระจาย
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.11 การกระจาย “”ถ้า...แล้ว” “และ”
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) (p  q) (p  r) (p  q)  (p  r)
T T T T T T T T
T T F F F T F F
T F T F F F T F
T F F F F F F F
F T T T T T T T
F T F F T T T T
F F T F T T T T
F F F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุก
กรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “ถ้า
...แล้ว” “และ” มีสมบัติการกระจาย
35

37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.12 การกระจาย “ถ้า...แล้ว” “หรือ”
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q r (q  r) p  (q  r) (p  q) (p  r) (p  q)  (p  r)
T T T T T T T T
T T F T T T F T
T F T T T F T T
T F F F F F F F
F T T T T T T T
F T F T T T F T
F F T T T T T T
F F F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) มีค่าความจริงเหมือนกันทุก
กรณี
สรุปได้ว่า p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (p  r) นั่นคือ ตัวดาเนินการ “ถ้า
...แล้ว” “หรือ” มีสมบัติการกระจาย
36

38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.13 ประพจน์สมมูลของตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” (รูปแบบที่ 1)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  q สมมูลกับประพจน์ p  q
พิจารณาได้ดังตาราง
p q pq p p  q
T T T F T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  q และ p  q มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  q สมมูลกับประพจน์ p  q
37

39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.14 ประพจน์สมมูลของตัวดาเนินการ “ถ้า...แล้ว” (รูปแบบที่ 2)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  q สมมูลกับประพจน์ q  p หรือไม่
พิจารณาได้ดังตาราง
p q pq q p q  p
T T T F F T
T F F T F F
F T T F T T
F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  q และ q  p มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  q สมมูลกับประพจน์ q  p และเรียกประพจน์ q  p ว่า
ประพจน์แย้งสลับที่ ของประพจน์ p  q
38

40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.15 ประพจน์สมมูลของ “ก็ต่อเมื่อ” (รูปแบบที่ 1)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  q สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (q  p)
พิจารณาได้ดังตาราง
p q pq (p  q) (q  p) (p  q)  (q  p)
T T T T T T
T F F F T F
F T F T F F
F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  q และ (p  q)  (q  p) มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  q สมมูลกับประพจน์ (p  q)  (q  p)
39

41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3.16 ประพจน์สมมูลของ “ก็ต่อเมื่อ” (รูปแบบที่ 2)
จะปรากฏตารางค่าความจริงสองตารางทางด้านซ้ายและขวา และมีเครื่องหมายสมมูล (  ) นั่น
คือค่าความจริงของสองประพจน์นี้สมมูลกัน (ถ้าไม่มีเครื่องหมายสมมูล แสดงว่าสองประพจน์นี้ไม่สมมูล
กัน) ในหน้าต่างนี้แสดงให้เห็นว่าประพจน์
p  q สมมูลกับประพจน์ p  q
พิจารณาได้ดังตาราง
p q pq p q p  q
T T T F F T
T F F F T F
F T F T F F
F F T T T T
จะเห็นได้ว่าคอลัมน์ p  q และ p  q มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี
สรุปได้ว่า p  q สมมูลกับประพจน์ p  q
40