70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม

คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 5)
้
การทดลองสุม

โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี

สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน

สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย

1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1


14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้

2


เรื่อง การนับและความนาจะเปน (การทดลองสุม)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 5 (5/7)

หัวขอยอย 1. การทดลองสุมและปริภูมตัวอยาง
ิ
2. เหตุการณและความนาจะเปน

จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจความหมายของการทดลองสุม
2. เขาใจความหมายและสามารถหาปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุมได
3. เขาใจความหมายของเหตุการณและหาความนาจะเปนของเหตุการณได

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของการทดลองสุม ปริภูมิตัวอยางและเหตุการณได
2. หาปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมได
ั
3. หาจํานวนสมาชิกของปริภมตัวอยางและเหตุการณ โดยใชกฎการนับได
ู ิ
4. อธิบายความหมายและวิธีการหาความนาจะเปนของเหตุการณได

3


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

4


1. การทดลองสุมและปริภมิตัวอยาง
ู

5


1. การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง

ในหัวขอนี้ เราจะศึกษาเรื่อง “การทดลองสุม” และ “ปริภูมิตัวอยาง” เพื่อนําไปสูเรื่อง “เหตุการณและ
ความนาจะเปน” ซึ่งจะไดศึกษาในหัวขอถัดไป โดยในสื่อการสอนเริ่มดวยการยกตัวอยางการทดลอง จากนั้นจึง
ใหความหมายของการทดลองสุม

เมื่อผูเรียนดูสอการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจอธิบายผูเรียนเพิ่มเติมวา ผลลัพธที่เปนไปไดของการ
ื่ 
ทดลองสุมอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับวาการทดลองนัน ๆ ผลลัพธที่สนใจคืออะไร ยกตัวอยางเชน ทดลองทอด
้
ลูกเตา 1 ลูก ถาเราสนใจแตมของลูกเตาที่ขึ้น ผลลัพธที่เปนไปได คือ ลูกเตาขึ้นแตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แตถา
เราสนใจวาลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลลัพธที่เปนไปได คือ จํานวนคู หรือ จํานวนคี่
เพื่อใหผูเรียนเขาใจคําวา “การทดลองสุม” ไดดยิ่งขึ้น ผูสอนอาจยกตัวอยางการทดลองสุมตอไปนี้
ี
เพิ่มเติม

6


ตัวอยาง
1. สุมจํานวน 1 จํานวนที่มีคาอยูระหวาง 0 กับ 1 และสนใจคาของจํานวนที่หยิบได
2. สุมหยิบลูกแกว 2 ลูกพรอมกัน จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสนใจสีของ
ลูกแกวที่หยิบได
3. การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่ง และสนใจผลการสอบของนักเรียนคนนี้
4. การตรวจปริมาณแอลกอฮอลของคนขับรถยนตคนหนึ่ง และสนใจปริมาณแอลกอฮอลที่วัดได

จากนั้น ผูเรียนจะไดศึกษาเรื่อง “ปริภูมิตวอยาง” ซึ่งเปนเรื่องที่ตอเนืองจากเรื่อง “การทดลองสุม” โดย
ั ่
ปริภูมิตัวอยาง คือ เซตของผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม นั่นเอง

จากตัวอยางขางตน ทําใหทราบวา ในการทดลองครั้งหนึ่ง ๆ ปริภูมิตัวอยางอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับ
ผลลัพธที่เราสนใจของการทดลองนั้น ๆ
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องปริภมิตัวอยางไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้
ู ี

7


ตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวอยางของการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน เมื่อผลลัพธที่สนใจ คือ
ั
1. หนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น
2. จํานวนหัวที่ขน ึ้
ตอบ 1. ปริภูมิตัวอยาง S1 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT }
2. ปริภูมตัวอยาง S2 = {0,1, 2,3}
ิ

หมายเหตุ ในเรื่องการนับและความนาจะเปน ถาโจทยไมไดกําหนดเพิมเติมวาสิ่งของ n สิ่งที่เราสนใจ
่
เหมือนกัน หมายความวา สิ่งของ n สิ่งนั้นแตกตางกันทั้งหมด จากตัวอยางขางตน ทําใหไดวา เหรียญ 3 เหรียญ
แตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น ผลลัพธ HHT กับ HTH จึงแตกตางกัน

ตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้
ั
1. สุมหยิบหลอดไฟ 5 หลอด จากกลองซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 40 หลอดและหลอดไฟเสีย 4 หลอด
เมื่อผลลัพธท่สนใจคือจํานวนหลอดไฟเสียที่ได
ี
2. ทดลองหยิบมะมวงครั้งละ 1 ผลไปเรื่อย ๆ จนกวาจะหยิบไดมะมวงมันจากตะกราใบหนึ่งซึ่งบรรจุ
มะมวงมัน 8 ผลและมะมวงเปรี้ยว 2 ผล เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนครั้งที่ตองหยิบมะมวง
3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ

ตอบ 1. ปริภูมตัวอยาง
ิ S1 = {0,1, 2,3, 4}
2. ปริภูมิตัวอยาง S 2 = {1, 2,3}

3. ปริภูมิตัวอยาง S3 = {สีแดง, สีขาว}

8


เมื่อผูเรียนชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจย้ําผูเรียนอีกครั้งวา ปริภูมิตัวอยางอาจเปนไดทั้งเซต
จํากัดและเซตอนันต
สําหรับการทดลองสุมใด ๆ บางครั้งเราไมสนใจวาสมาชิกในปริภูมิตัวอยางเปนอะไรบาง แตเราอยาก
ทราบจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางนัน ๆ ดังนั้น ผูสอนอาจยกตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนฝกหาจํานวน
ั ้ 
สมาชิกของปริภูมิตัวอยาง เพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนเรื่องความนาจะเปนในหัวขอถัดไป

ตัวอยาง จงหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้
ั
1. โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและแตม
ของลูกเตาที่ขึ้น
2. จัดหนังสือ 8 เลมที่แตกตางกันทั้งหมดวางบนชั้นหนังสือ ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดเรียง
หนังสือ
3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ
4. จัดนักเรียน 6 คนนั่งรอบโตะกลม ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดทีนั่ง
่
ตอบ 1. 2 × 6 = 12
2. 8! = 40,320
3. 2
4. (6 − 1)! = 5! = 120

9


แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง

1. จงเขียนปริภูมตัวอยางของการทดลองตอไปนี้
ิ
1.1 โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและ
แตมของลูกเตาที่ขึ้น
1.2 สุมหยิบหลอดไฟ 2 หลอดจากกลองใบหนึงซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 5 หลอดและหลอดไฟเสีย 1 หลอด
่
โดยหยิบทีละครั้งและไมใสกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป ถาผลลัพธที่สนใจคือสภาพของหลอดไฟ
ทั้ง 2 หลอดที่หยิบได
1.3 การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งขอสอบชุดนี้เปนขอสอบแบบปรนัยมีทั้งหมด
5 ขอ คะแนนเต็มขอละ 2 คะแนน ถาผลลัพธที่สนใจคือคะแนนทีนกเรียนคนนี้ได
่ ั
1.4 สอบถามแมบาน 3 คนวาใชยาสีฟนยีหอ “สดชื่น” หรือไม ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของแมบาน
 ่
ทั้ง 3 คน
1.5 นําแบตเตอรี่ 1 อันมาทดสอบ ถาผลลัพธที่สนใจคืออายุการใชงานของแบตเตอรี่
1.6 ทอดลูกเตา 1 ลูกไปเรื่อย ๆ จนกวาลูกเตาจะขึ้นแตม 6 เปนครั้งที่สอง ถาผลลัพธที่สนใจคือจํานวน
ครั้งที่ตองทอดลูกเตา


2. จงหาจํานวนสมาชิกของปริภมตัวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้
ู ิ
2.1 การสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนคนหนึ่ง ซึ่งขอสอบแบงเปนสองสวน สวนแรกเปนขอสอบ
แบบถูก-ผิด จํานวน 5 ขอ และสวนที่สองเปนขอสอบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ สมมติให
นักเรียนคนนี้ทําขอสอบครบทุกขอ ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของนักเรียนคนนี้
2.2 สุมหยิบไพ 2 ใบจากสํารับซึ่งมีไพ 52 ใบ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาไพทั้งสองใบที่หยิบได
2.3 เลือกอาหารคาว 2 อยางและขนมหวาน 1 อยาง จากรานอาหารซึ่งขายอาหารคาว 10 อยางและขนม
หวาน 3 อยาง ถาผลลัพธที่สนใจคืออาหารคาวและขนมหวานทีได ่
2.4 เลือกคณะกรรมการ 3 คนจากผูสมัครทั้งหมด 10 คน ถาผลลัพธที่สนใจคือผูที่ไดรับคัดเลือกเปน
กรรมการ

10



11



ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “เหตุการณและความนาจะเปน” โดยในสื่อการสอน จะเริ่มดวยการ
ึ
ใหความหมายของคําวา “เหตุการณ” และ “เหตุการณไมเกิดรวมกัน” พรอมยกตัวอยาง จากนั้นจึงใหความหมาย
พรอมทั้งสมบัติของ “ความนาจะเปนของเหตุการณ”

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจเนนย้าวาการหาเหตุการณตองขึ้นอยูกบปริภูมิตวอยาง
 ํ ั ั
ที่เรากําลังสนใจ ดังตัวอยางขางตน ถาผลลัพธที่ไดจากการทดลองสุมตางกัน เหตุการณที่ไดกอาจตางกันดวย
็
จากนั้นผูสอนยกตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม

ตัวอยาง ทําการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน จะไดวา

สนใจหนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น สนใจจํานวนหัว
ที่ขึ้น
1. ปริภูมิตัวอยาง S1 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } S = {0,1, 2,3}
2

2. เหตุการณที่เหรียญขึ้น A1 = {HTT , THT , TTH } A2 = {1}
หัว 1 เหรียญ
3. เหตุการณที่เหรียญขึ้น B1 = {HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT } B2 = {0,1, 2}
กอยอยางนอย 1 เหรียญ
4. เหตุการณที่เหรียญขึ้น C1 = ∅ C2 = ∅
หัวมากกวา 3 เหรียญ
12


เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่อง “เหตุการณ” ไดดย่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้
ีิ

ตัวอยาง โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาทั้งสองที่ข้น จงหา ึ
1. A ซึ่งแทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูก
2. B ซึ่งแทนเหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากัน
3. C ซึ่งแทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว
4. เหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากันและผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว
5. เหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูกและผลรวมของแตมหารดวย 6 ไมลงตัว
ตอบ 1. A = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)}
2. B = {(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5), (6, 6) }
3. C = {(1,5), (2, 4), (3,3), (4, 2), (5,1), (6, 6)}
4. B ∩ C = {(3,3), (6, 6)}
5. A ∩ C ′ = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 6), (2,1), (3,1), (4,1), (6,1)}

13


ตัวอยาง ทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาที่ข้นึ
ให A แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ และ
B แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคู
ดังนั้น ปริภูมตวอยาง S = {1, 2,3, 4,5, 6} , A = {1,3,5} และ B = {2, 4, 6}
ิั
จะไดวา A ∩ B = ∅ ดังนัน เหตุการณ A และเหตุการณ B เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน
 ้

ตัวอยาง ทดลองโยนเหรียญ 2 เหรียญ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญทั้งสองเหรียญที่ขึ้น
ให A แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นหัว 1 เหรียญ และ
B แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นกอยอยางนอย 1 เหรียญ
ดังนั้น ปริภูมตัวอยาง S = {HH , HT , TH , TT } , A = {HT , TH } และ B = {HT , TH , TT }
ิ
จะไดวา A ∩ B = {HT , TH } ≠ ∅ ดังนัน เหตุการณ A และเหตุการณ B ไมเปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน
 ้

14


เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นความสําคัญในการเลือกปริภูมิ
ตัวอยางทีจะนํามาชวยในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ จากที่ผูเรียนไดทราบแลววา สําหรับการทดลอง
่
สุมใด ๆ ปริภูมิตัวอยาง S อาจมีไดมากกวาหนึ่งแบบขึนอยูกับผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองที่เรา
้
สนใจ
ดังนั้นในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ E ใด ๆ โดย

n( E )
P( E ) =
n( S )

สิ่งสําคัญ คือ ปริภูมิตัวอยาง S นั้นตองมีสมบัติที่วา สมาชิกทุกตัวในปริภมิตัวอยางตองมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ
ู
กัน

15


เพื่อใหผูเรียนหา “ความนาจะเปนของเหตุการณ” ไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้
เพิ่มเติม

ตัวอยาง ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่
1. ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7
2. ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง
A แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 และ
B แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว

แตม
แตม ลูกที่ 1 1 2 3 4 5 6
ลูกที่ 2
1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

1. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 = P( A) = n( A) = 15 = 5
n( S ) 36 12
2. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว
n( B ) 7
= P( B) = =
n( S ) 36

16


ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีสลากอยู 100 ใบ หมายเลข 00 ถึง 99 สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จงหาความ
นาจะเปนที่ไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ
E แทนเหตุการณทไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน
่ี
ดังนั้น
S = {00, 01, 02,… ,99}
และ
E = {01,12, 23,34, 45,56, 67, 78,89,10, 21,32, 43,54, 65, 76,87,98}
ทําใหไดวา

ความนาจะเปนที่ไดสลากทีมีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน = P( E ) = n( E ) =
่ 18
=
9
n( S ) 100 50

n( E )
หมายเหตุ ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ A ใด ๆ โดย P( E ) = เราไมจําเปนตองเขียน
n( S )
เหตุการณ E แบบแจกแจงสมาชิก เพราะสิ่งที่เราตองการทราบคือจํานวนสมาชิกของ E เทานั้น ซึ่งเราสามารถ
ใชความรูเรื่องการนับที่ไดศกษาไปกอนหนานี้มาชวยได
ึ
สําหรับตัวอยางขางตน เราสามารถใชความรูเรื่องการนับชวยในการหาสมาชิกของเหตุการณ E ดังนี้
หลักสิบ หลักหนวย

0, 1, 2, 3, 1 วิธี
4, 5, 6, 7, 8 (คาเพิ่มจากตัวหนาอีก 1)

ดังนั้น จํานวนสมาชิกของเหตุการณ E เทากับ 9 ×1× 2! = 18 ตัว

สลับตําแหนง
หลักหนวย
และหลักสิบ

17


ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีดํา 4 ลูก สุม หยิบลูกแกว 2 ลูกจากกลองใบ
นี้ จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก เมื่อ
1. หยิบทีละลูกและใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
2. หยิบทีละลูกและไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
3. หยิบสองลูกพรอมกัน
วิธีทํา 1. ให S1 แทนปริภูมิตวอยาง และ E1 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
ั
n( E1 ) 3 × 3 1
P ( E1 ) = = =
n( S1 ) 9 × 9 9
2. ให S2 แทนปริภูมิตวอยาง และ E2 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
ั
n( E2 ) 3 × 2 1
P ( E2 ) = = =
n( S 2 ) 9 × 8 12
3. ให S3 แทนปริภูมิตัวอยาง และ E3 แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก
 3 6
  
n( E3 )  2   0  3 1
P ( E3 ) = = = =
n( S3 ) 9 36 12
 
 2

ขอสังเกต จากตัวอยางขางตน ความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกทั้งแบบที่หยิบทีละลูกและไมใส
กลับคืน กับแบบที่หยิบสองลูกพรอมกัน มีคาเทากัน เพราะวา
 3
2! 
3 × 2 P3,2 2
P ( E2 ) = = =   = P( E3 )
9 × 8 P9,2 9
2! 
 2
จากขอสังเกตนี้ และความสัมพันธที่วา
n
Pn ,r = r ! 
r
เมื่อ 0 ≤ r ≤ n สามารถนําไปสูขอสรุปในกรณีทวไปไดวา ความนาจะเปนของเหตุการณที่เราสนใจจากการ
ั่
ทดลองสุมหยิบสิ่งของ r สิ่งจากสิ่งของที่แตกตางกันทั้งหมด n สิ่ง ทั้งแบบหยิบพรอมกันและแบบหยิบทีละลูก
และไมใสกลับคืน จะมีคาเทากัน

18


ตัวอยาง สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากันเริ่มจาก 1 ถึง 10 สุมหยิบสลาก 3 ใบ จงหาความ
นาจะเปนที่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ
ั
E แทนเหตุการณท่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5
ี
E = {{1, 4,5},{2,3,5}}
ทําใหไดวา
n( E ) 2 2 1
P( E ) = = = =
n( S ) 10  120 60
 
3

ขอตกลง สัญลักษณ {a1 , a2 ,… , ar } หมายถึง หยิบไดสิ่งของ a1, a2 ,… , ar โดยไมคานึงถึงลําดับกอนหลังที่ได
ํ

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ โดยมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 กํากับไว สุมหยิบสลาก 3 ใบจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมนอยกวา 9
วิธีทา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ
ํ ั
E แทนเหตุการณท่ผลรวมของแตมนอยกวา 9
ี
E = {{1, 2,3},{1, 2, 4},{1, 2,5},{1,3, 4}}
n( E ) 4 4 2
P( E ) = = = =
n( S )  5  10 5
 
 3

ตัวอยาง โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่เหรียญขึนหัวและลูกเตาขึ้นแตม
้
มากกวา 4
วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวอยาง และ
ั
E แทนเหตุการณท่เหรียญขึ้นหัวและลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4
ี
n( S ) = 2 × 6 = 12

H, T 1,2,…,6

19


และ
n( E ) = 1× 2 = 2

H 5, 6
n( E ) 2 1
P( E ) = = =
n( S ) 12 6

ตัวอยาง นําสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A และเครื่องจักร B มาตรวจสภาพ ไดผลดังตาราง

จํานวนสินคา(ชิ้น)
เครื่องจักร
A B
สภาพสินคา
ดี 37 55
ชํารุด 3 5

1. สุมหยิบสินคามา 1 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด
2. สุมหยิบสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A มา 1 ชิ้น จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสนคาชํารุด
ิ
วิธทํา 1.
ี
เครื่องจักร A เครื่องจักร B

ชํารุด
37 3 5
55

เนื่องจากสินคามีทั้งหมด 100 ชิ้น เปนสินคาชํารุด 8 ชิ้น ดังนั้น
8 2
ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด = =
100 25

20


2. เครื่องจักร A

ชํารุด
3 5

เนื่องจากสินคาทีผลิตโดยเครื่องจักร A มีทั้งหมด 40 ชิ้น เปนสินคาชํารุด 3 ชิ้น ดังนัน
่ ้
3
ความนาจะเปนทีจะหยิบไดสินคาชํารุดเมื่อสุมหยิบสินคาจากเครื่องจักร A =
่
40

21


แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง เหตุการณและความนาจะเปน

1. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีแดง 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน
จงหา
1.1 ปริภูมิตวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือสีของลูกบอลที่หยิบได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล
ั
สีแดง 1 ลูก
1.2 ปริภูมิตวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก
ั
1.3 ปริภูมิตัวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนลูกบอลสีแดงที่ได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล
สีขาว 1 ลูก
2. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได จงหา
2.1 ปริภูมิตัวอยาง
2.2 A ซึ่งแทนเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีเดียวกัน
2.3 B ซึ่งแทนเหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลูก
2.4 เหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก
2.5 A′
2.6 A ∪ B
2.7 A ∩ B
3. นักเรียนคนหนึ่งมีหนังสือ 5 เลมที่แตกตางกันทั้งหมด โดยเปนหนังสือวิชาคณิตศาสตร 2 เลม วิชา
ชีววิทยา 2 เลม และวิชาฟสิกส 1 เลม ถานักเรียนคนนี้สุมหยิบหนังสือ 3 เลม จงหาความนาจะเปนที่
หยิบได
3.1 วิชาคณิตศาสตรอยางนอย 1 เลม
3.2 วิชาคณิตศาสตรและวิชาชีววิทยาอยางละ 2 เลม
3.3 ไดครบทุกวิชา
4. ทอดลูกเตา 1 ลูกจํานวน 3 ครั้ง จงหาความนาจะเปนที่
4.1 ลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 ทุกลูก
4.2 ลูกเตาขึ้นแตมเทากันทุกลูก
4.3 ผลรวมของแตมที่ขึ้นของลูกเตาทั้ง 3 ลูกมีคาไมเกิน 16

22


5. โยนเหรียญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่
5.1 เหรียญขึ้นกอยและลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่
5.2 เหรียญขึ้นหัวหรือลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4
5.3 ลูกเตาขึ้นแตมไมเกิน 3
6. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จากนั้น
ทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่
6.1 หมายเลขสลากที่หยิบไดและแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาเทากัน
6.2 หมายเลขสลากที่หยิบไดเปนจํานวนคูแตแตมของลูกเตาที่ข้นเปนจํานวนคี่
ึ
6.3 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 ลงตัว
6.4 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว
6.5 ผลรวมของหมายเลขสลากที่หยิบไดกับแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาไมเกิน 5

7. นักเรียนหองหนึ่งมีทั้งหมด 40 คน ปรากฏขอมูลดังตาราง

จํานวนนักเรียน(คน)
ดานที่ถนัด
ถนัดขวา ถนัดซาย
เพศ
ชาย 16 5
หญิง 15 4

7.1 สุมนักเรียนหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนทีนักเรียนที่สมไดจะถนัดซาย
่ ุ
7.2 สุมนักเรียนชายหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกเรียนที่สมไดจะถนัดขวา
ั ุ

23


สรุปสาระสําคัญประจําตอน

24


สรุปสาระสําคัญประจําตอน

25


เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

26


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

27


แบบฝกหัดระคน

1. ในการขนสงโทรทัศนจํานวน 50 เครื่อง จากโรงงานไปยังรานคาแหงหนึ่ง ทําใหโทรทัศนชํารุด 3 เครื่อง
เจาของรานคาสุมโทรทัศน 10 เครื่องเพื่อตรวจสอบคุณภาพ ปริภมิตัวอยางคือขอใดตอไปนี้ เมื่อผลลัพธที่
ู
สนใจคือจํานวนโทรทัศนที่ชํารุด
1. {0,1, 2,3} 2. {3, 4,… ,10}
3. {1, 2,… ,10} 4. {1, 2,… ,50}

2. สําหรับการทดลองสุมใด ๆ ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง
1. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 0
2. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 1
3. มีเหตุการณ A ที่ P( A) = 0.5
4. มีเหตุการณ A ที่ P( A) > 0.3

3. กลองใบหนึ่งมีสลาก n ใบ (n ≥ 3) ซึ่งมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซ้ํากันเริ่มจาก 1 ถึง n ถาสุมหยิบสลาก
จากกลองใบนี้ 2 ใบ แลวความนาจะเปนที่ไดใบหนึงเปนสลากหมายเลข 3 และอีกใบหนึ่งเปนสลาก
่
หมายเลขต่ํากวา 3 เทากับขอใดตอไปนี้
2 1
1. 2.
n2 n(n − 1)
2 4
3. 4.
n(n − 1) n(n − 1)

4. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 9 ใบ มีหมายเลข 1 – 9 กํากับไว ถาสุมหยิบสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้ โดยหยิบทีละ
1 ใบและไมใสกลับคืนกอนหยิบใบถัดไป ความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขบนสลากทั้งสองใบนั้นหาร
ดวย 5 ลงตัวเทากับขอใดตอไปนี้
1 1
1. 2.
12 6
1 2
3. 4.
9 9

28


5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) โดยเปนลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีดํา
3 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีเดียวกันตรงกับ
ขอใดตอไปนี้
3 5
1. 2.
28 28
3 1
3. 4.
14 4

6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมของลูกเตาที่ขึ้นจะหารดวย 5 ไมลงตัวตรงกับ
ขอใดตอไปนี้
2 7
1. 2.
11 36
29 9
3. 4.
36 11

7. ไพสารับหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ ประกอบดวยไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจิก อยางละ 13 ใบ
ํ
สุมหยิบไพ 3 ใบจากสํารับนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไพทั้งสามที่หยิบไดมีแตมมากกวา 2 แตนอยกวา 8
เปนเทาใด
5 7
   
1.  3 2.  3
 52   52 
   
3 3
 20   28 
   
3. 3 4. 3
 52   52 
   
3 3

8. กลองใบหนึ่งบรรจุปากกา 10 ดามที่แตกตางกัน โดยเปนปากกาสีแดง 3 ดาม สีนาเงิน 3 ดามและสีดํา 4 ดาม
้ํ
สุมหยิบปากกา 3 ดามจากกลองใบนี้ ความนาจะเปนที่หยิบไดปากกาครบทุกสีเปนเทาใด
2 3
1. 2.
10 10
1 7
3. 4.
3 9

29


9. หนังสือสารานุกรมชุดหนึ่งมีทั้งหมด 8 เลม มีหมายเลข 1 – 8 กํากับ สุมหยิบหนังสือทีละ 1 เลมเรียงบนชั้น
หนังสือจนครบ 8 เลม ความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกันจะอยูติดกันเปนเทาใด
1 2
1. 2.
8! 8!
1 2
3. 4.
72 72
10. ตารางแสดงความสัมพันธของสุขภาพผูสูบบุหรี่ทั้งหมด 300 คน เปนดังนี้

จํานวนผูสูบบุหรี่(คน)
จํานวนบุหรี่ที่สูบตอวัน
(มวน) 0-4 5-20 มากกวา 20
สุขภาพ
เปนมะเร็ง 8 7 25
ไมเปนมะเร็ง 150 70 40

สําหรับผูสูบบุหรี่มากกวา 20 มวนใน 1 วัน มีความนาจะเปนที่จะไมเปนมะเร็งเทากับขอใดตอไปนี้
8 2
1. 2.
13 13
2 13
3. 4.
15 15

30


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝกหัด

31


เรื่อง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง
1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6 }
1.2 ปริภูมตัวอยาง S = { NN , ND, DN } เมื่อ N แทน หลอดไฟดี และ D แทน หลอดไฟเสีย
ิ
1.3 ปริภูมตัวอยาง S = {0, 2, 4, 6,8,10}
ิ
1.4 ปริภูมตัวอยาง S = {YYY , YYN , YNY , YNN , NYY , NYN , NNY , NNN }
ิ
เมื่อ Y แทน ใชยาสีฟนยีหอนี้ และ N แทน ไมใชยาสีฟนยี่หอนี้
 ่ 
1.5 ปริภูมิตัวอยาง S = {t ∈ | t ≥ 0 } = [0, ∞)
1.6 ปริภูมตัวอยาง S = {2,3, 4,5,…}
ิ
2. 2.1 225 2.2 16 2.3 135 2.4 120

เรื่อง เหตุการณและความนาจะเปน

1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {{สีแดง, สีขาว}, {สีขาว, สีขาว}}
เหตุการณ E={{สีแดง, สีขาว}}
1.2 ปริภูมิตวอยาง S = {{สีแดง, สีขาว1}, {สีแดง, สีขาว2}, {สีขาว1, สีขาว2}}
ั
เหตุการณ E = {{สีขาว1, สีขาว2}}
1.3 ปริภมิตัวอยาง S = {0,1}
ู
เหตุการณ E = {1}
2. ให Ri แทน ลูกบอลสีแดงลูกที่ i เมื่อ i = 1, 2,3
Wi แทน ลูกบอลสีขาวลูกที่ i เมื่อ i = 1, 2
B แทน ลูกบอลสีน้ําเงิน
2.1 ปริภูมิตัวอยาง S = {{R1, R2 },{R1, R3},{R2 , R3},{R1,W1},{R1,W2 },
{R2 , W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},{R3 , W2 },{R1 , B},
{R2 , B}, {R3 , B}, {W1 , W2 }, {W1 , B}, {W2 , B}}
2.2 A = {{R1 , R2 },{R1 , R3},{R2 , R3},{W1 , W2 }}

32


2.3 B = {{R1 , R2 },{R1 , R3},{R2 , R3},{R1 , W1},{R1 , W2 }, {R2 , W1},{R2 ,W2 },{R3 , W1},
{R3 ,W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B}}
2.4 เหตุการณ E = ∅
2.5 A′ = {{R1,W1},{R1,W2 }, {R2 ,W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},{R3 ,W2 },{R1, B},
{R2 , B}, {R3 , B}, {W1 , B}, {W2 , B}}
2.6 A ∪ B = {{R1 , R2 },{R1, R3},{R2 , R3},{R1 ,W1},{R1,W2 }, {R2 ,W1},{R2 ,W2 },{R3 ,W1},
{R3 ,W2 },{R1 , B}, {R2 , B}, {R3 , B},{W1 , W2 }}
2.7 A ∩ B = {{R1, R2 },{R1, R3},{R2 , R3}}
9 2
3. 3.1 3.2 0 3.3
10 5
1 1 53
4. 4.1 4.2 4.3
27 36 54
1 2 1
5. 5.1 5.2 5.3
4 3 2
1 1 3
6. 6.1 6.2 6.3
10 4 10
1 1
6.4 6.5
2 6
9 16
7. 7.1 7.2
40 21

เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 1 2. 4 3. 4 4. 4
5. 4 6. 3 7. 3 8. 2
9. 2 10. 1

33


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน

34


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ

35


เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

36

70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม

70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม

Similar a 70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม (20)

Más de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

Más de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

70 การนับและความน่าจะเป็น ตอนที่5_การทดลองสุ่ม