1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
สถิติและการวิเคราะหขอมูล
(เนือหาตอนที่ 12)
้
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนํา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ขอมูลและการนําเสนอขอมูล
- การสํารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
- คากลางของขอมูล
4. เนื้อหาตอนที่ 3 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
- แนวโนมเขาสูสวนกลาง
5. เนื้อหาตอนที่ 4 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
- คาเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- คาเฉลี่ยเรขาคณิต
- คากลางฮารโมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของขอมูล
- ตําแหนงของขอมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ 1
- การกระจายสัมบูรณและการกระจายสัมพัทธ
- พิสัย (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
- สวนเบี่ยงเบนควอไทล (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
- สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
8. เนื้อหาตอนที่ 7 การกระจายสัมบูรณ 2
- สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ขอมูลไมแจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9. เนื้อหาตอนที่ 8 การกระจายสัมบูรณ 3
- พิสัย (ขอมูลแจกแจงความถี) ่
- สวนเบี่ยงเบนควอไทล (ขอมูลแจกแจงความถี่)
- สวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ขอมูลแจกแจงความถี) ่
- สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ขอมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ
- สัมประสิทธพิสัย
- สัมประสิทธของสวนเบี่ยงเบนควอไทล
- สัมประสิทธของสวนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
- ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
- ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
17. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
18. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 3)
19. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 4)
20. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 5)
21. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
22. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การนําเสนอขอมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การวัดคากลางของขอมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การวัดการกระจายของขอมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
26. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความสัมพันธเชิงเสนตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความสัมพันธเชิงพาราโบลาและความสัมพันธเชิงชี้กําลัง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง สถิติและการ
วิเคราะหขอมูล นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล (ความสัมพันธระหวางขอมูล 2)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 12 (12/14)
หัวขอยอย ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. หาความสัมพันธระหวางขอมูลที่กราฟเปนเสนตรงของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลาได
2. หาความสัมพันธระหวางขอมูลที่กราฟเปนพาราโบลาและเอกซโพเนนเชียลของขอมูล
ที่อยูในรูปอนุกรมเวลาได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายและวิธีจัดกระทําของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลาเพื่อใชในการแกปญหาได
2. อธิบายวิธีการหาและหาความสัมพันธระหวางขอมูลที่กราฟเปนเสนตรงของขอมูลที่อยูในรูป
อนุกรมเวลาได
3. อธิบายวิธีการหาและหาความสัมพันธระหวางขอมูลที่กราฟเปนพาราโบลาและ
เอกซโพเนนเชียลของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลาได
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา
ในสื่อการสอนตอนนี้ เราเริมดวยการใหความหมายของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา จากนั้นจึงทบทวน
่
เรื่องความสัมพันธเชิงฟงกชนของขอมูลที่ไดศึกษาไปแลวในสื่อการสอนเรื่องสถิติและการวิเคราะหขอมูล
ั
เนื้อหาตอนที่ 11 ซึ่งแบงความสัมพันธดังกลาวเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คือ
1. ความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟเปนเสนตรง
2. ความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟไมเปนเสนตรง
2.1 กราฟเปนพาราโบลา
2.2 กราฟเปนเอกซโพเนนเชียล
โดยในสื่อการสอนตอนนี้ ยังคงศึกษาความสัมพันธทั้งหมดขางตน เพียงแตตัวแปรอิสระที่เราศึกษาใน
สื่อการสอนตอนนี้จะอยูในรูปของเวลา เชน เดือน ปพทธศักราช เปนตน
ุ
เพื่อความเขาใจยิ่งขึ้นจึงไดยกตัวอยางขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลา ดังนี้
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จากนั้นผูเรียนจะไดชมตัวอยางตอไปนี้ ซึ่งผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันคิดหาคําตอบกอน
หลังจากที่ผูเรียนไดพยายามคิดหาคําตอบของตัวอยางขางตน อาจมีผูเรียนหลายคนพบปญหาในเรื่อง
ของการคํานวณเนื่องจากตัวเลขคอนขางสูง จากนั้นผูสอนจึงใหผูเรียนชมสื่อการสอนซึ่งไดแนะนําวิธีการ
แกปญหาดังกลาว
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางขางตนจบแลว ผูสอนควรสรุปและใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้
ti
พ.ศ. แบบที่ 1 แบบที่ 2
2549 -2 0
ผลตางเปน 1
2550 -1 1
ผลตางเปน 1 2551 0 2
ผลตางเปน 1 2552 1 3
ผลตางเปน 1
2553 2 4
สมการความสัมพันธ y=
ˆ
15 19
t+ y=
ˆ
15 4
t+
10 5 10 5
ป พ.ศ. 2560 จะขายเครื่องจักร 15
y = (9) +
ˆ
19
= 17.3
15 4
y = (11) + = 17.3
ˆ
10 5 10 5
ไดประมาณ
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จากตารางจะพบวา
1. ผลตางของปพ.ศ.ของขอมูลที่อยูติดกันจะมีคาเทากันทุกชวง(เทากับ 1) ดังนั้นการกําหนดคา ti เราจึง
กําหนดใหผลตางของ ti ของขอมูลที่อยูติดกันมีคาเทากันทุกชวงเชนกัน
2. ในการกําหนดคา ti แบบที่ 1 และแบบที่ 2 ทําใหไดสมการความสัมพันธที่แตกตางกัน แตคาประมาณที่โจทย

ตองการยังคงมีคาเทากัน ดังนั้นโจทยที่อยูในรูปอนุกรมเวลาสวนใหญจึงไมไดใหหาสมการความสัมพันธ
เนื่องจากสมการที่ไดขึ้นอยูกับวิธีการกําหนดคา ti ของแตละบุคคล
3. ในการหาคาคงตัว a และ b จากสมการ
n n
∑ yi = a∑ ti + nb
i =1 i =1
n n n
∑ ti yi = a∑ ti2 + b∑ ti
i =1 i =1 i =1
n
ถาเรากําหนดคา ti แบบที่ 1 จะทําให ∑ ti = 0 (เมื่อ n เปนจํานวนคี่) ซึ่งสงผลใหหาคาคงตัว a และ b ได
i =1
จากสมการ
n
∑y
i =1
i = nb
n n
∑ ti yi = a∑ ti2
i =1 i =1
ซึ่งหาไดงายและสะดวกยิ่งขึ้น ดังนัน ถาขอมูลที่กําหนดใหมีจํานวนชวงเวลาทีนํามาสรางความสัมพันธเปน
 ้ ่
จํานวนคี่ เราจึงกําหนดคา ti แบบที่ 1 นันคือ ใหขอมูลตัวที่อยูตรงกลางมีคาเปน 0 และขอมูลตัวที่อยูถัดขึ้น
่
ไปกอนหนามีคาเปน -1, -2, -3, … ตามลําดับ และขอมูลที่อยูถัดลงมามีคาเปน 1, 2, 3, … ตามลําดับ
สําหรับตัวอยางตอไปนี้ เปนตัวอยางทีจํานวนชวงเวลาเปนจํานวนคู ดังนั้นการกําหนดคา ti เพื่อให
่
n
∑t
i =1
i =0 สามารถทําไดโดย กําหนดใหสองชวงเวลาที่อยูตรงกลางมีคาเปน -1 และ 1 จากนันใหขอมูลตัวที่อยูถัด
้
ขึ้นไปจาก -1 มีคาเปน -3, -5, -7, … ตามลําดับ ทํานองเดียวกัน กําหนดใหขอมูลตัวที่อยูถัดจาก 1 มีคาเปน 3, 5,

7, … ตามลําดับ
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จากนั้นผูสอนอาจใหผเู รียนฝกทําตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง ขอมูลแสดงจํานวนประชากรของประเทศไทย ตั้งแตป พ.ศ. 2545 - 2551
พ.ศ. จํานวนประชากร (ลานคน)
2545 62.80
2546 63.08
2547 61.97
2548 62.42
2549 62.83
2550 63.04
2551 63.39
จงใชความสัมพันธเชิงฟงกชนที่เปนเสนตรงเพื่อประมาณจํานวนประชากรในป พ.ศ. 2560
ั
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
วิธีทํา
พ.ศ. ti yi ti yi ti2
2545 -3 62.80 -188.40 9
2546 -2 63.08 -126.16 4
2547 -1 61.97 -61.97 1
2548 0 62.42 0 0
2549 1 62.83 62.83 1
2550 2 63.04 126.08 4
2551 3 63.39 190.17 9
7 7 7 7
∑t = 0
i =1
i ∑ y = 439.53 ∑ t y = 2.55 ∑ t = 28
i =1
i
i =1
i i
i =1
i
2
หาคาคงตัว a และ b จากสมการ
n n
∑y
i =1
i = a ∑ ti + nb
i =1
n n n
∑ ti yi = a∑ ti2 + b∑ ti
i =1 i =1 i =1
ทําใหไดวา 439.53 = 7b และ 2.55 = 28a
439.53 2.55
ดังนั้น b= = 62.79 และ a= ≈ 0.09
7 28
ทําใหไดวา

สมการความสัมพันธ คือ y = 0.09t + 62.79
ˆ
ในป พ.ศ. 2560 ( t = 12) จะไดวา
 y = 0.09(12) + 62.79 = 63.87
ˆ
นั่นคือ ในป พ.ศ. 2560 ประเทศไทยจะมีประชากรประมาณ 63.87 ลานคน
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สําหรับตัวอยางตอไปนี้เปนตัวอยางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูลที่กราฟเปนเอกซโพเนนเชียล
ขอสังเกต สําหรับตัวอยางขางตน จะเห็นวาขอมูลจํานวนแมลงในแตละเดือนมีคาคอนขางสูง ซึ่งจะทําใหการ
คํานวณมีความยุงยาก ดังนันเราจึงเปลี่ยนหนวยของจํานวนแมลงเปนพันตัวเพื่อใหงายตอการคํานวณ
้ 
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องเชิงฟงกชันระหวางขอมูลที่กราฟเปนเอกซโพเนนเชียลไดดยิ่งขึ้น ผูสอนควรให
ี
ผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิมเติม
่
ตัวอยาง กําหนดขอมูลแสดงจํานวนแบคทีเรียชนิดหนึ่งในจานเพาะเชือ ในป พ.ศ. 2554 ดังนี้
้
เดือน จํานวนแบคทีเรีย(ตัว)
มกราคม 680,000
มีนาคม 740,000
พฤษภาคม 820,000
กรกฎาคม 940,000
กันยายน 1,150,000
จงใชความสัมพันธเชิงฟงกชนที่กราฟเปนเอกซโพเนนเชียลเพื่อประมาณจํานวนแบคทีเรียในเดือนพฤษภาคม
ั
2555
วิธีทํา เนื่องจากจํานวนแบคทีเรียที่โจทยกาหนดใหมีคาสูง ดังนั้นจึงปรับหนวยเปนแสนตัว ดังนี้
ํ
เดือน จํานวนแบคทีเรีย(แสนตัว)
มกราคม 6.8
มีนาคม 7.4
พฤษภาคม 8.2
กรกฎาคม 9.4
กันยายน 11.5
จากนั้นนําขอมูลที่ไดมาเขียนแผนภาพการกระจายเพื่อดูแนวโนมความสัมพันธ
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จํานวนแบคทีเรีย(แสนตัว)
ม.ค. มี.ค. พ.ค. ก.ค. ก.ย. เดือน
จากนั้นสรางตารางเพื่อใชในการหาคาคงตัว a, b ดังนี้
เดือน ti yi log yi ti log yi ti2
มกราคม -2 6.8 0.8325 -1.6650 4
มีนาคม -1 7.4 0.8692 -0.8692 1
พฤษภาคม 0 8.2 0.9138 0 0
กรกฎาคม 1 9.4 0.9731 0.9731 1
กันยายน 2 11.5 1.0607 2.1214 4
5 5 5 5 5
∑t = 0
i =1
i ∑ y = 43.3 ∑ log y = 4.6493 ∑ t log y = 0.5603
i =1
i
i =1
i
i =1
i i ∑ t = 10
i =1
i
2
หาคาคงตัว a, b จากสมการ
5 5
∑ log yi = 5log a + (log b)∑ ti
i =1 i =1
5 5 5
∑ t log y
i =1
i i = log a ∑ ti + (log b)∑ ti2
i =1 i =1
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
นําขอมูลในตารางมาแทนคา จะไดวา
4.6493
4.6493 = 5log a log a = ≈ 0.93
5
0.5603
0.5603 = 10 log b log b = ≈ 0.056
10
ดังนั้น
log y = log a + t log b = 0.93 + 0.056t
ˆ
ดังนั้น เดือนพฤษภาคม 2555 ( t = 6 ) ไดวา log y = 0.93 + 0.056(6) = 1.266
ˆ
นั่นคือ
y = 101.266 ≈ 18.45
ˆ
ดังนั้น จํานวนแบคทีเรียในเดือนพฤษภาคม 2555 มีอยูประมาณ 1,845,000 ตัว
หมายเหตุ จากตัวอยางขางตน ผูสอนควรย้ําผูเรียนวาจํานวนแบคทีเรียที่ตองการประมาณคาคือ ˆ
y ไมใช log y
ˆ
สําหรับตัวอยางสุดทายในสื่อการสอนนี้เปนตัวอยางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูลที่กราฟเปน
พาราโบลา
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
n n
หมายเหตุ จากตัวอยางขางตน ผูเรียนจะสังเกตวา การกําหนด ti ที่เหมาะสม นั่นคือ ∑ ti = 0 และ ∑ ti3 = 0
i =1 i =1
จะทําใหหาคาคงตัว a, b และ c ของสมการพาราโบลา
y = at 2 + bt + c
ˆ
ไดงายยิ่งขึ้น นันคือ
่
n n n n n
∑ yi = a∑ ti2 + b∑ ti + nc
i =1 i =1 i =1
∑ yi = a∑ ti2 + nc
i =1 i =1
n n n n n n
∑ ti yi = a∑ ti3 + b∑ ti2 + c∑ ti
i =1 i =1 i =1 i =1
∑ ti yi = b∑ ti2
i =1 i =1
n n n n n n n
∑ ti2 yi = a∑ ti4 + b∑ ti3 + c∑ ti2
i =1 i =1 i =1 i =1
∑ ti2 yi = a∑ ti4 + c∑ ti2
i =1 i =1 i =1
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลทีอยูในรูปอนุกรมเวลา
่
1. ขอมูลแสดงมูลคาการสงออกสินคาระหวางประเทศของไทย ป พ.ศ. 2547-2553
พ.ศ. 2547 2548 2549 2550 2551 2552 2553
มูลคาการสงออก 3.87 4.44 4.94 5.30 5.85 5.19 6.18
(ลานลานบาท)
ที่มา : ศูนยเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร สํานักงานปลัดกระทรวงพาณิชย
จงใชความสัมพันธเชิงฟงกชันที่เปนเสนตรงเพื่อประมาณมูลคาการสงออกในป พ.ศ. 2564
2. ขอมูลแสดงจํานวนผูปวยนอกจากสถานบริการสาธารณสุขของกระทรวงสาธารณสุข จังหวัดเชียงใหม
พ.ศ. 2549-2552
พ.ศ. 2549 2550 2551 2552
จํานวนผูปวยนอก 4.12 4.94 4.92 4.70
(ลานคน)
ที่มา : สํานักงานปลัดกระทรวงสาธารณสุข กระทรวงสาธารณสุข
จงใชความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟเปนพาราโบลาเพื่อประมาณจํานวนผูปวยนอก จังหวัดเชียงใหม

ในป พ.ศ. 2553
3. ขอมูลแสดงปริมาณสัตวนําจืดจากการเพาะเลี้ยง ป พ.ศ. 2548-2552
้
พ.ศ. 2548 2549 2550 2551 2552
ปริมาณสัตวนาจืด
้ํ 539.4 527.4 525.1 522.5 521.9
(1,000 ตัน)
ที่มา : กรมประมง
จงใชความสัมพันธเชิงฟงกชันที่กราฟเปนเอกซโพเนนเชียลเพือประมาณปริมาณสัตวน้ําจืดจากการ
่
เพาะเลี้ยงในป พ.ศ. 2557
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
4. ถาขอมูลแสดงรายไดของบริษัทแหงหนึ่งในป พ.ศ. 2554 มีความสัมพันธแบบเสนตรง ดังขอมูลในตาราง
ตอไปนี้
เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
รายได 1.2 1.5 1.8 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5 4.0 4.1 4.4 4.9
(ลานบาท)
จงประมาณรายไดในแตละเดือนของบริษัทแหงนีในป พ.ศ. 2555
้
5. ถาขอมูลแสดงปริมาณขาวหอมมะลิที่รานคาขาวแหงหนึ่งขายไดในปนี้มีความสัมพันธแบบเสนตรง
ดังขอมูลในตารางตอไปนี้
เดือน ม.ค. ก.พ. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ส.ค.
ปริมาณ 1,250 1,500 1,850 2,100 2,300 2,650
(กิโลกรัม)
จงประมาณปริมาณขาวหอมมะลิที่รานคาขาวแหงนี้ขายไดในเดือนธันวาคมปเดียวกัน
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
ในสื่อการสอนตอนนี้ เราใหความหมายของขอมูลที่อยูในรูปอนุกรมเวลาและศึกษาความสัมพันธเชิง
ฟงกชันระหวางขอมูลที่กราฟเปนเสนตรง พาราโบลาและเอกซโพเนนเชียล โดยแนวคิดหลักคือการกําหนดคา
n
ti ใหเหมาะสม นั่นคือ ∑ ti = 0 ซึ่งทําใหงายและสะดวกในการหาคาคงตัว a, b และ c ซึ่งวิธีการกําหนดคา ti
i =1
นั้น สามารถพิจารณาไดดังนี้
1. ถาขอมูลที่กาหนดใหมีจานวนชวงเวลาทีนํามาสรางความสัมพันธเปนจํานวนคี่ เรากําหนดคา ti โดย
ํ ํ ่
ใหขอมูลตัวที่อยูตรงกลางมีคาเปน 0 และขอมูลตัวที่อยูถัดขึ้นไปกอนหนามีคาเปน -1, -2, -3, …

ตามลําดับ และขอมูลที่อยูถัดลงมามีคาเปน 1, 2, 3, … ตามลําดับ
2. ถาขอมูลที่กําหนดใหมจํานวนชวงเวลาที่นํามาสรางความสัมพันธเปนจํานวนคู เรา กําหนดคา ti โดย
ี
กําหนดใหสองชวงเวลาที่อยูตรงกลางมีคาเปน -1 และ 1 จากนั้นใหขอมูลตัวที่อยูถัดขึ้นไปจาก -1 มี

คาเปน -3, -5, -7, … ตามลําดับ ทํานองเดียวกัน กําหนดใหขอมูลตัวทีอยูถัดจาก 1 มีคาเปน 3, 5,
่
7, … ตามลําดับ
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี, สถาบัน (2553) หนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม 1 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6. พิมพครั้งที่ 7. กรุงเทพมหานคร :
โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวก
เฉลยแบบฝกหัด
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง ความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลทีอยูในรูปอนุกรมเวลา
่
1. 9.78 ลานลานบาท
2. 3,800, 000 คน
3. 105.6911 ตัน, 500,160 ตัน
4.
เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
รายได 5.17 5.51 5.84 6.18 6.52 6.86 7.19 7.53 7.87 8.20 8.54 8.88
(ลานบาท)
5. 3, 475 กิโลกรัม
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
28