1. 2
แนวทางในการจัดการเรียนรู
1.1 สมบัติของ a เมื่อ a > 0 (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถใชสมบัติของ a เมื่อ a > 0 สองขอตอไปนี้แกปญหาได
1) a b = ab เมื่อ a > 0, b > 0
2)
b
a = b
a เมื่อ a > 0, b > 0
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนความหมายของรากที่สองและการใชเครื่องหมายกรณฑ ตลอดจนรากที่สองที่
เปนจํานวนตรรกยะและรากที่สองที่เปนจํานวนอตรรกยะโดยการถามตอบและยกตัวอยางประกอบ และให
นักเรียนทํากิจกรรม “ยังจําไดไหม” เพื่อทบทวนการหารากที่สอง
2. ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย หากสามารถ
ทําจํานวนนั้นใหอยูในรูปกําลังสองของจํานวนจริงใด ๆ จะสามารถหารากที่สองของจํานวนนั้นไดงายขึ้น
ครูควรทบทวนเรื่องคาสัมบูรณและใหนักเรียนทํากิจกรรม “กรณฑที่สองของ a2
เปนเทาไร” เพื่อให
นักเรียนหาขอสรุปไดวากรณฑที่สองของ a2
เทากับคาสัมบูรณของ a จากนั้นจึงคอยฝกใหนักเรียนนํา
ขอสรุปดังกลาวไปใชในการแกปญหา โดยหากรณฑที่สองของ a2
เมื่อ a เปนจํานวนเต็มบวก
จํานวนเต็มลบ เศษสวน ทศนิยม และตัวแปรใด ๆ ตามลําดับ
3. ในตัวอยางที่ 8 ไดเขียนคําตอบของ 22
qp25 เปน 5pq4
โดยไมไดเขียนเปน 5q4
p ทั้งนี้
เพราะนักเรียนยังไมมีพื้นฐานความรูเกี่ยวกับสมบัติของคาสัมบูรณ การตอบวา 5pq4
หรือ 5q4
p ถือวา
ถูกตองทั้งคู
ในชั้นนี้ การหาคําตอบเกี่ยวกับการหารากที่สองโดยใชคาสัมบูรณ นักเรียนอาจเขียนคําตอบ
ติดคาสัมบูรณไวทั้งหมดหรือแยกเขียนเปนผลคูณตามสมบัติของคาสัมบูรณก็ได
4. การสอนสมบัติ a b = ab เมื่อ a > 0, b > 0 และ
b
a = b
a เมื่อ a > 0,
b > 0 ครูควรใหนักเรียนสังเกตการใชสมบัติเกี่ยวกับการคูณในตัวอยางที่ 10 และตัวอยางที่ 11 วาใช
อยางไร และการใชสมบัติเกี่ยวกับการหารในตัวอยางที่ 12 และตัวอยางที่ 13 วาใชอยางไร
5. กิจกรรม “นาสงสัย” ตองการฝกการสังเกตและการตั้งคําถามจากสิ่งที่เรียน ครูอาจอธิบาย
เพิ่มเติมหลังการทํากิจกรรมวานักเรียนจะไดเรียนเกี่ยวกับ a เมื่อ a < 0 ในเรื่องจํานวนเชิงซอน ระดับ
มัธยมศึกษาตอนปลาย

2. 3
1.2 การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สอง (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถบวก ลบ คูณ และหารจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สองที่กําหนดใหได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรใหนักเรียนอภิปรายเพื่อใหเห็นวาการบวกและการคูณจํานวนในรูป a เมื่อ a > 0
มีสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู และสมบัติการแจกแจงเชนเดียวกับการบวกและการคูณ
จํานวนจริง เนื่องจาก a เมื่อ a > 0 เปนจํานวนจริงเชนกัน
2. กิจกรรม “บอกไดไหม” ตองการใหนักเรียนไดฝกใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับ
กรณฑที่สองของจํานวนตรรกยะ ครูควรใหนักเรียนฝกสังเกตการใชสมบัติของ a เมื่อ a > 0 และ
อาจใชคาประมาณเปนจํานวนที่คิดไดงาย ๆ ในการเปรียบเทียบจํานวนทางซายมือและขวามือ ซึ่งจะเปน
การหลีกเลี่ยงการคํานวณโดยตรง ปญหาบางขอที่นักเรียนคิดไมได ครูอาจใหแนวคิดเพื่อพัฒนาความรูสึก
เชิงจํานวนหรืออาจใหนักเรียนรวมกันอภิปรายวิธีคิดซึ่งอาจแตกตางกันได
ในสวนตัวอยางคําตอบของกิจกรรมนี้มีหลายขอที่อาจตองใชสมบัติเกี่ยวกับอสมการซึ่งแม
นักเรียนไมเคยเรียนมา แตก็ใหใชสามัญสํานึกเกี่ยวกับการเปรียบเทียบจํานวนมาชวยในการคิดวิเคราะห
และตัดสินใจได
3. ครูควรชี้ใหนักเรียนเห็นวาสมบัติ ba = ab เมื่อ a > 0, b > 0 และ
b
a = b
a
เมื่อ a > 0, b > 0 เมื่อใชรวมกับสมบัติกฟรสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู และสมบัติการแจกแจง ทําให
การดําเนินการของจํานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑที่สองทําไดสะดวกขึ้นและทําใหมีวิธีการที่หลากหลายในการ
แกปญหาแตละขอ นักเรียนจึงอาจเลือกใชวิธีการตางกันในการแกปญหาเดียวกันได ดังเชนตัวอยางที่ 12
4. กิจกรรม “ชวยคิดหนอย” ตองการใหนักเรียนไดฝกการคิดเกี่ยวกับลําดับขั้นตอนในการทํางาน
และการคิดยอนกลับ ครูควรถามใหนักเรียนไดอภิปรายและเปรียบเทียบทั้งคําตอบที่ไดและวิธีคิดของแตละคน
1.3 การนําไปใช (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถนําความรูเกี่ยวกับกรณฑที่สองไปใชในการแกปญหาได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูอาจนําเขาสูบทเรียนดวยการใหนักเรียนไดนึกถึงปญหาในชีวิตประจําวันที่เกี่ยวของกับ
ตัวนักเรียน เชน การเดินทางลัดจะชวยยนระยะทางเทาไร การวิ่งรอบสนามเด็กเลนรูปวงกลมที่มีพื้นที่
150 ตารางเมตร หนึ่งรอบจะไดระยะทางเทาไร เพื่อชี้ใหนักเรียนเห็นวาปญหาลักษณะนี้ บางปญหาอาจมี
คําตอบเปนจํานวนอตรรกยะที่มีเครื่องหมายกรณฑติดอยู ซึ่งตองใชความรูเกี่ยวกับกรณฑที่สองในการ
คํานวณ

3. 4
2. ตัวอยางที่ 4 ตองการใหนักเรียนเขาใจวิธีการคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
ดานเทา นักเรียนอาจนําวิธีการนี้ไปใชคํานวณความสูงและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมชนิดอื่น ๆ เมื่อนักเรียน
เขาใจแลวอาจใหจดจําเปนสูตรไวใชได
3. กิจกรรม “ทําไดไหม” ตองการใหนักเรียนนําความรูจากตัวอยางที่ 4 มาใช โดยครูอาจแนะ
ใหนักเรียนแบงรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาออกเปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา 6 รูปที่เรียงชิดติดกันและมี
จุดยอดรวมกัน เพื่อที่นักเรียนจะสามารถคิดตอไปได
4. กิจกรรม “บอกไดหรือไม” ตองการเนนใหนักเรียนฝกใชความรูสึกเชิงจํานวนเกี่ยวกับ
กรณฑที่สองของจํานวนตรรกยะ เชนเดียวกับกิจกรรม “บอกไดไหม” ในหัวขอ 1.2
5. กิจกรรม “กรณฑที่สองของจํานวนจริง” ตองการใหนักเรียนฝกทักษะการสังเกตแบบรูป
และการวิเคราะหความสัมพันธ ครูควรฝกใหนักเรียนรูจักสังเกต คิดและคนหาความสัมพันธจากแบบรูป
ที่หาได
6. กิจกรรม “วางอยางไร” ตองการใหนักเรียนฝกบูรณาการทักษะและกระบวนการทาง
คณิตศาสตรเพื่อแกปญหาที่เปนนามธรรม ครูอาจใหนักเรียนอธิบายเหตุผลของคําตอบที่ไดดวย
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม
คําตอบกิจกรรม “ยังจําไดไหม”
1.
1) 6 และ -6 2) 14 และ -14
3) 50 และ - 50 4) 200 และ - 200
5) 9
4 และ - 9
4 6) 75
24 และ - 75
24
7) 0.4 และ -0.4 8) 049.0 และ - 049.0
2.
1) 16 2) 625
3) 256
81 4) 0.1296
5) 12 6) 7
3
7) 0.9 8) 0.16

4. 5
คําตอบกิจกรรม “กรณฑที่สองของ a2
เปนเทาไร”
1. เทา
2. เทา
3. เทา
4. เทา
5. เทา
6. เทา
7. เทา
8. 111
9. เทา
10. เทา
คําตอบแบบฝกหัด 1.1
1.
1) 11 2) 17
3) -35 4) -140
5) 112
25 6) 84
71
7) 175
19- 8) -0.08
9) 0.5a2
เมื่อ a > 0 10) 43
yx4
3
11) 105
nm25
11 12) 0.25a8
b12
2.
1) 33 2) 72-
3) 210 4) 315
5) 295 6) 615
7) 250 8) 260
3.
1) 9 2) 24
3) 100 4) 7
5) 2 6) 25
11

5. 6
7) ⏐0.08a9
⏐ 8) 14
m
22 เมื่อ m ≠ 0
4.
1) ประมาณ 4.242 2) ประมาณ -8.660
3) ประมาณ 12.726 4) ประมาณ 15.588
5) ประมาณ -1.928 6) ประมาณ 391.300
คําตอบกิจกรรม “บอกไดไหม”
ตัวอยางคําตอบ
1. จริง เพราะ 53 = 533 ⋅⋅ = 153⋅ และ
35 = 355 ⋅⋅ = 155⋅ แต 3 นอยกวา 5
จะได 53 < 35
2. ไมจริง เพราะ 85 = 83 + 82 เนื่องจาก 53 นอยกวา 83 และ
32 นอยกวา 82 ดังนั้น 53 + 32 นอยกวา 83 + 82
จะได 53 + 32 ≠ 85
3. ไมจริง เพราะ 5 มากกวา 2 ดังนั้น 1 + 5 มากกวา 3
จะได 1 + 5 > 3
4. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 32 นอยกวา 4
จะได 32 – 3 < 1
5. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 32 นอยกวา 2 × 2 หรือ 4 และ
33 นอยกวา 3 × 2 หรือ 6
จะได 32 + 33 < 10
6. จริง เพราะ 2 ≈ 1.4, 3 ≈ 1.7 และ 5 นอยกวา 2.5
จะได 2 + 3 ≈ 3.1 ซึ่งมากกวา 5
จะได 2 + 3 > 5
7. ไมจริง เพราะ 57 – 56 = 5 และ 5 มากกวา 2
จะได 57 – 56 > 2
8. จริง เพราะ 35 – 34 = 3 ซึ่งมากกวา 1 แต 35 – 24 มากกวา
35 – 34
จะได 35 – 24 > 1

6. 7
9. จริง เพราะ 3 + 5 ≈ 1.7 + 5 หรือ 6.7 และ 5 + 3 ≈ 2.2 + 3 หรือ 5.2
จะได 3 + 5 > 5 + 3
10. จริง เพราะ 2 + 3 + 5 ≈ 1.4 + 1.7 + 2.2 หรือ 5.3
จะได 2 + 3 + 5 > 5
คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก
1.
1) 215 2) 78
3) 32 4) 7-
5) 26 6) 53
7) 312 8) 512-
2.
1) 312 – 63
2) 219 – 52
3) 54 – 216
4) 5835 +
5) 358 – 23
6) 645 + 28
คําตอบกิจกรรม “ชวยคิดหนอย”
2
27
คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข
1.
1) 105 2) 1510
3) 150 4) 14 + 355
5) 12 + 636 6) 45

7. 8
2.
1) 9 2) 90
3) 7
25- 4) -72
5) ⏐2y⏐ 6) x6
3.
1) ประมาณ 2.475 2) ประมาณ 4.330
3) ประมาณ 11.429 4) ประมาณ 0.490
4.
1) 11
51
2) 2
51-
5. 6
คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”
2
33 ตารางหนวย
คําตอบกิจกรรม “บอกไดหรือไม”
ตัวอยางคําตอบ
1. จริง เพราะ 3 นอยกวา 2 ดังนั้น 315 นอยกวา 15 × 2 หรือ 30
จะได 315 < 30
2. ไมจริง เพราะ 310 = 31010 ⋅⋅ หรือ 3010 ⋅ และ
103 = 1033 ⋅⋅ หรือ 303⋅ แต 10 มากกวา 3
จะได 310 > 103
3. จริง เพราะ 3 × 5 = 15 ซึ่งนอยกวา 4
จะได 3 × 5 < 5
4. ไมจริง เพราะ 25 × 34 = 620
จะได 25 × 34 ≠ 69
14
11
2
a2

8. 9
5. จริง เพราะ 2 × 7 = 14 และ 3 × 5 = 15
จะได 2 × 7 < 3 × 5
6. ไมจริง เพราะ
2
20 = 10 แต 10 มากกวา 9 หรือ 3
จะได
2
20 > 3
7. ไมจริง เพราะ 26 มากกวา 5 ดังนั้น 5
26 มากกวา 1
จะได 5
26 > 1
8. จริง เพราะ
2
14 = 2
214 หรือ 27
จะได
2
14 > 7
9. จริง เพราะ ตัวเศษของ 5
3 นอยกวาตัวเศษของ
3
5 และตัวสวนของ 5
3
มากกวาตัวสวนของ
3
5
จะได 5
3 <
3
5
10. จริง เพราะ 3 × 01.0 = 3 × 0.1 = 0.3 และ
01.0
3 = 1.0
3 = 30
จะได 3 × 01.0 <
01.0
3
คําตอบแบบฝกหัด 1.3
1.
1) 21 หรือ -21
2) 3 หรือ -5
3) 16
4) 99
2. 13 หนวย
3. 72 หนวย
4. 65 หนวย
5. 2 เทา

9. 10
6. ประมาณ 38.2 เมตร
7. ประมาณ 0.7746 เทา
คําตอบกิจกรรม “กรณฑที่สองของจํานวนจริง”
1 = 1
121 = 1 1
12321 = 1 1 1
1234321 = 1 1 1 1
123454321 = 1 1 1 1 1
11234565432 = 1 1 1 1 1 1
3211234567654 = 1 1 1 1 1 1 1
543211234567876 = 1 1 1 1 1 1 1 1
คําตอบที่ไดเปนจํานวนที่มีเลขโดดเปน 1 ทั้งหมด โดยจํานวนของ 1 เทากับ
เลขโดดที่มากที่สุดของจํานวนที่อยูในเครื่องหมายกรณฑ เชน 1234321 = 1111
มีจํานวนของ 1 เปน 4 ซึ่งเทากับ 4 ที่เปนเลขโดดที่มากที่สุดของ 1 2 3 4 3 2 1
คําตอบกิจกรรม “วางอยางไร”
1.
2. 40 หนวย
8
5
6 7
1
23
4