1. บทที่ 3
จํานวนจริง
( 14 ชั่วโมง )
ในบทเรียนนี้มุงใหผูเรียนมีความรูเกี่ยวกับจํานวนจริงเพิ่มขึ้นจากชวงชั้นที่ 3 โดยจะใหเห็นวา
เซตของจํานวนจริงประกอบดวยจํานวนชนิดตางๆ สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
การเทากันและการไมเทากันของจํานวนจริง การแกสมการและอสมการตัวแปรเดียวดีกรีไมเกินสอง
และคาสัมบูรณ โดยมุงใหผูเรียนมีผลการเรียนรู ดังนี้
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. แสดงความสัมพันธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจริงได
2. เขาใจความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจาก การบวก การลบ การคูณ การหารจํานวนจริง
3. เขาใจสมบัติของจํานวนจริงที่เกี่ยวกับการบวก การคูณ การเทากันและการไมเทากัน และนําไป
ใชได
4. แกสมการและอสมการตัวแปรเดียวดีกรีไมเกินสองได
5. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับคาสัมบูรณของจํานวนจริงและหาคาสัมบูรณของจํานวนจริงได
ผลการเรียนรูดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดาน
ความรู ในการเรียนการสอนทุกครั้งผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูทางดานทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนและสอดแทรกกิจกรรม ปญหา หรือคําถามที่เสริมสรางทักษะ
กระบวนการเหลานั้นดวย นอกจากนั้นควรปลูกฝงใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย
รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตนเอง

2. 53
ขอเสนอแนะ
1. การสอนบทนี้นอกจากจะใหผูเรียนไดเห็นวา จํานวนชนิดใดอยูในเซตใดแลว ควรจะชี้แจงให
ผูเรียนเห็นวา จํานวนแตละจํานวนอาจเขียนใหอยูในรูปที่แตกตางกันไดหลายรูปแบบ
เชน 4 อาจเขียนอยูในรูป 2
8
หรือ 16 หรือ ⏐- 4⏐ หรือ 2
)4(− เปนตน
2. จํานวนที่เขียนในรูป b
a
เมื่อ a, b เปนจํานวนเต็ม ตัวสวนคือ b จะเปนศูนยไมไดเพราะถาตัว
สวนเปนศูนยจะเปนการหารดวยศูนยซึ่งในระบบจํานวนจริงกําหนดใหตัวหารตองไมเปนศูนย
ถาใหตัวหารเปนศูนย จะเกิดขอขัดแยงดังตัวอยางตอไปนี้
ให a และ b เปนจํานวนเต็มที่ไมเทากับศูนย และ a = b
จาก a = b
ab = b2
(คูณดวยจํานวนที่เทากัน)
ab – a2
= b2
– a2
(หักออกดวยจํานวนที่เทากัน)
a(b – a) = (b + a)(b – a) (สมบัติการแจกแจง)
a = b + a (หารดวย b – a ทั้งสองขาง)
a = a + a (a = b)
a = 2a
1 = 2 (สมบัติการตัดออกสําหรับการคูณ)
จะเห็นวา การที่ผลลัพธออกมาเชนนี้เนื่องจาก การนํา b – a ซึ่งเทากับ 0 หารทั้งสองขาง
ของสมการ
3. จํานวนอตรรกยะจํานวนหนึ่งที่ผูเรียนมักจะตอบวา เปนจํานวนตรรกยะคือ π เนื่องจากการ
คํานวณในชวงชั้นตน ๆ มักจะใหผูเรียนแทนคา π ดวย 7
22
จึงทําใหผูเรียนสวนมากเขาใจผิด
ไปวา π = 7
22
ดังนั้น ผูเรียนจึงสรุปวา π เปนจํานวนตรรกยะ ซึ่งไมถูกตอง ในบทนี้มี
จุดประสงคจะใหผูเรียนสามารถจําแนกชนิดของจํานวนไดอยางถูกตอง ดังนั้น ผูสอนจะตองให
ผูเรียนระมัดระวังและชี้ใหเห็นวา คาที่ใชในการคํานวณไมวาจะเปน 7
22
หรือ 3.1416 ก็ตาม
ลวนเปนคาประมาณของ π ดวยเหตุผลในทํานองเดียวกันนี้ ผูเรียนจะเห็นวาแมจะใช 1.414
แทน 2 ในการคํานวณ แตแทจริงแลว 2 เปนจํานวนอตรรกยะ

3. 54
4. เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามและการแกสมการกําลังสองตัวแปรเดียว เปนเนื้อหาสาระที่
จัดไวใหเปนพื้นฐานสําหรับผูเรียนที่เรียนคณิตศาสตร เฉพาะรายวิชาพื้นฐานในชวงชั้นที่ 3
ผูเรียนที่เรียนรายวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติมในชวงชั้นที่ 3 มาแลว อาจจะไดเรียนเนื้อหานี้แลว
ดังนั้นผูสอนในเนื้อหาสาระนี้ควรพิจารณาผูเรียนวามีพื้นฐานความรูของเนื้อหาสาระนี้มากนอย
เพียงใด ถาผูเรียนไดเรียนเนื้อหาสาระนี้แลว ผูสอนอาจจะเพียงทบทวนใหผูเรียนหรือปรับบทเรียน
ใหมีความเหมาะสมกับผูเรียน
5. ผูเรียนบางคนอาจจะสับสนกับเรื่องคาสัมบูรณของจํานวนจริง a ใด ๆ ที่อธิบายไววา
เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ
a เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวกหรือศูนย
⏐a⏐ =
- a เมื่อ a เปนจํานวนจริงลบ
ผูเรียนควรเขาใจวา ⏐a⏐ มีคาเปนจํานวนบวกหรือศูนยเสมอ กลาวคือ
เมื่อ a เปนจํานวนบวก เชน 5.25 จะได ⏐5.25⏐ = 5.25
เมื่อ a เปนศูนย จะได ⏐0⏐ = 0
เมื่อ a เปนจํานวนลบ เชน - 8 จะได ⏐- 8⏐ = – (-8) = 8
ผูสอนควรใหผูเรียนมีความเขาใจวา เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ ⏐a⏐ ตองไมเปนจํานวนลบ
6. เรื่องคาสัมบูรณของจํานวนจริง การใหความหมายของคาสัมบูรณของจํานวนจริงใด ๆ ดวยระยะ
ของจุดที่แทนจํานวนจริงนั้นอยูหางจากจุดที่แทน ศูนย บนเสนจํานวน จะทําใหผูเรียนเขาใจ
ความหมายของอสมการ ⏐x⏐ < a และ ⏐x⏐ > a ดีขึ้น กลาวคือ
จํานวนจริง x ที่ทําใหอสมการ ⏐x⏐ < a เปนจริง ไดแก จํานวนจริงทุกจํานวนที่มีระยะ
หางจาก 0 บนเสนจํานวนนอยกวา a ซึ่งแสดงไดดังนี้
นั่นคือ x แทนจํานวนจริงทุกจํานวนที่อยูระหวาง -a และ a หรือ เขียนไดเปน - a < x< a
จํานวนจริง x ที่ทําใหอสมการ ⏐x⏐ > a เปนจริง ไดแก จํานวนจริงทุกจํานวนที่มีระยะ
หางจาก 0 บนเสนจํานวนมากกวา a ซึ่งแสดงไดดังนี้
นั่นคือ x แทนจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา a และนอยกวา - a หรือ เขียนไดเปน x > a
และ x < - a
-a 0 a
-a 0 a

4. 55
ปญหา ก. ข.
4ab 400
400 ab4
ใหจํานวนที่อยูใน แทนคําตอบของปญหา ก. และ ข.
ถาคําตอบทั้งสองมีคาเทากัน
จงหาวา a และ b แทนเลขโดดใด และคําตอบที่เทากันนั้นคือจํานวนใด
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1 และ 2 ที่เสนอไวตอไปนี้ผูสอนอาจใชเปนกิจกรรมเสริมสรางทักษะ
กระบวนการแกปญหา การใหเหตุผล และการสื่อสาร สําหรับกิจกรรมที่ 3 ผูสอนสามารถใชเปน
กิจกรรมประกอบการเรียนการสอน เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจเกี่ยวกับการคูณดวยจํานวนที่นอยกวา
ศูนย ของอสมการไดดียิ่งขึ้น ทั้งนี้ผูสอนสามารถปรับกิจกรรมที่เสนอไวไดตามความเหมาะสมของ
ผูเรียน
กิจกรรมที่ 1
จากปญหาขางตน ผูสอนอาจใชคําถามตอไปนี้เพื่อชวยแนะนําใหผูเรียนหาคําตอบไดดวย
ตนเองดังนี้
1. ใชความรูพื้นฐานเกี่ยวกับการลบ
1) พิจารณาจากสิ่งที่โจทยกําหนดใหใน ข. เลขโดดในหลักหนวยของผลลัพธ
ควรเปนจํานวนใด
4 0 0
a b 4
?
ข.
4 0 0
a b 4
6 10 – 4 = 6

5. 56
ข.
4 0 0
a 6 4
3 6
ควรเทากับ 3 เพราะ 9 – 6 = 3
2) จากคําตอบในขอ 1) สามารถหาคําตอบอื่นไดอีกหรือไม
จากคําตอบในขอ 1) พิจารณาโจทย ก. จะได b - 0 ควรมีคาเทากับ 6 นั่นคือ
b แทน 6
3) จากโจทย ข. ขางตนเลขโดดในหลักสิบของ ข. ควรเปนจํานวนใด
4) จากคําตอบขางตน a ควรมีคาเทาใด และสามารถหาคําตอบอื่นไดอีกหรือไม
จากคําตอบในขอ 3) พิจารณาโจทย ก. จะได a – 0 ควรมีคาเทากับ 3 นั่นคือ
a แทน 3
ก.
4 a b
4 0 0
6
ดังนั้น
ก. ข.
4 a b 4 0 0
4 0 0 a 6 4
6 6

6. 57
2. ใชความรูเรื่องคาประจําหลัก และความรูทางพีชคณิต
สําหรับคําถามที่กลาวมาในกิจกรรมที่ 1 ผูเรียนบางคนอาจจะใชความรูเรื่องคาประจําหลัก
และตัวแปรมาชวยในการหาคําตอบไดดังนี้
จาก ก. 4ab – 400 และ ข. 400 – ab4 จะไดวา
4ab – 400 = (400 + 10a + b) – 400 หรือ 10a + b (1)
และ 400 – ab4 = 400 – (100a + 10b + 4) หรือ 396 – 100a – 10b (2)
เนื่องจากโจทยกําหนดใหผลตางของ (1) และ (2) เทากัน
จะไดวา 10a + b = 396 – 100a – 10b
110a + 11b = 396
10a + b = 36
โดยอาศัยความรูเรื่องคาประจําหลัก จะไดวา a = 3 และ b = 6 จึงจะทําให 10a + b = 36
นอกจากวิธีการที่ไดนําเสนอ อาจจะมีผูเรียนบางคนหรือบางกลุมใชวิธีการอื่นนอกจากนี้ก็ได ซึ่ง
ผูสอนควรใหโอกาสผูเรียนไดนําเสนอวิธีการหาคําตอบที่แตกตางกันใหเพื่อนไดรับทราบดวย เพื่อเปนการ
ฝกทักษะกระบวนการทางดานการสื่อสารใหแกผูเรียน
4 3 6 4 0 0
4 0 0 3 6 4
3 6 3 6
คําตอบ
4 3 6 4 0 0
4 0 0 3 6 4
3 6 3 6
สรุปไดวา a = 3, b = 6 และคําตอบที่เทากันคือ 36
0
a
ก. ข.
a

7. 58
กิจกรรมที่ 2
1. เนื้อหา จํานวนจริงและสมบัติของจํานวนจริง a × 0 = 0
2. เนื้อหา สมบัติของจํานวนจริง
ให x = y
บวกทั้งสองขางของสมการดวย – y
จะได x – y = 0 (1)
คูณทั้งสองขางของสมการ (1) ดวย 2
จะได 2x – 2y = 0 (2)
และ x – y = 2x – 2y ((1) = (2))
(x – y) = 2(x – y)
หารทั้งสองขางของสมการดวย (x – y)
จะได 1 = 2
คําตอบ ขอ 1 คําตอบคือ 0 เนื่องจาก 1 ≤ n ≤ 26 ดังนั้น n จะตองมีคาเทากับคาใดคาหนึ่ง
ที่เปนจํานวนเต็มตั้งแต 1 ถึง 26 เชน
ถาให n = 1 จะได
(1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) ... (1 – 26) = 0
คําตอบขอ 2 จากโจทยขางตน เนื่องจาก x = y
ดังนั้น x – y จึงมีคาเทากับศูนย ทําใหไมสามารถนํา x – y
ซึ่งมีคาเทากับศูนยไปหารทั้งสองขางของสมการ (x – y) = 2(x – y) ได
หมายเหตุ ในระบบจํานวน เราไมใชศูนยเปนตัวหาร
เชน ให 10 × 0 = 100 × 0
ถาหารทั้งสองขางของสมการดวย 0 จะไดวา 10 = 100 ซึ่งไมเปนจริง
ให n เปนจํานวนนับ โดยที่ 1 ≤ n ≤ 26
และ a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26
จงหาผลคูณ (n – a)(n – b)(n – c) ... (n – z)
เพราะเหตุใดคําตอบจึงเปนเชนนี้

8. 59
กิจกรรมที่ 3
ในการแกอสมการโดยใชสมบัติของการคูณดวยจํานวนที่เทากันและไมเปนศูนยจะเปนไป
ตามสมบัติ ดังนี้ เมื่อ a , b และ c เปนจํานวนจริงใด ๆ
จะเห็นวา เครื่องหมายแสดงการไมเทากันจะเปลี่ยนจาก < เปน > ซึ่งผูเรียนบางคน
อาจจะนึกภาพไมออกวาเหตุใดจึงเปนเชนนั้น เพื่อใหผูเรียนมีความเขาใจเรื่องการเปลี่ยนเครื่องหมาย
จาก < เปน > เมื่อคูณดวยจํานวนที่นอยกวาศูนยงายขึ้น ผูสอนอาจใชเสนจํานวนมาชวยอธิบาย
ไดดังนี้
กําหนดให a < b เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงใด ๆ และให c = –1
1) ถา a < b และ a, b > 0
จากแผนภาพ จะเห็นวา เมื่อ a < b จะไดวา
– a > – b
ตัวอยางเชน 2 < 3 จะไดวา –2 > –3
ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางจํานวน a และ b ที่มากกวาศูนยหลาย ๆ ตัวอยางและใชแผน
ภาพของเสนจํานวนหาคาของ – a และ – b เพื่อหาวา – a > – b จริงหรือไม
0 a b
-b -a 0 a b
ถา a < b และ c < 0 แลว ca > cb

9. 60
2) ถา a < b และ a < 0 แต b > 0
จากแผนภาพ จะเห็นวา – a > – b
ตัวอยางเชน – 1 < 3 จะไดวา 1 > – 3
ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางจํานวน a ที่นอยกวาศูนย และ b ที่มากกวาศูนยหลาย ๆ ตัว
อยางและใชแผนภาพของเสนจํานวนหาคาของ – a และ – b เพื่อหาวา – a > – b จริงหรือไม
3) ถา a < b และ a, b < 0
จากแผนภาพ จะเห็นวา – a > – b
ตัวอยางเชน – 3 < – 1 จะไดวา 3 > 1
ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางจํานวน a และ b ที่นอยกวาศูนยหลาย ๆ ตัวอยาง และใช
แผนภาพของเสนจํานวนหาคาของ – a และ – b เพื่อหาวา – a > – b จริงหรือไม
เมื่อผูเรียนทําความเขาใจกับตัวอยางที่กลาวมาขางตนและพบวา ตัวอยางที่ยกมาเปนจริงทั้งสาม
กรณี ผูสอนจึงคอยสรุปสมบัติการคูณทั้งสองขางของอสมการดวยจํานวนที่เทากันที่เปนจํานวนจริงลบ
ดังนี้
-b a 0 -a b
a 0 b
a b 0 -b -a
a b 0

10. 61
ให a และ b เปนจํานวนจริง
ถา a < b และ c < 0 แลว ac > bc
ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
กิจกรรมที่กลาวมาคงจะชวยทําใหผูเรียนเขาใจสมบัติของการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
ที่ไมเปนศูนยในอสมการไดชัดเจนขึ้น และสามารถนําสมบัติดังกลาวไปใชไดอยางถูกตอง
แบบทดสอบประจําบท
แบบทดสอบที่นําเสนอตอไปนี้เปนตัวอยางแบบทดสอบแสดงวิธีทํา ซึ่งจะใชประเมินผล
ดานเนื้อหาวิชาของผูเรียนเมื่อเรียนจบในเนื้อหาเรื่อง จํานวนจริง ผูสอนสามารถเลือกและปรับแบบ
ทดสอบใหเหมาะสมกับผูเรียนแตละกลุม
ตัวอยางแบบทดสอบ
1. จงยกตัวอยาง
1) จํานวนตรรกยะที่ไมเปนจํานวนเต็ม
2) จํานวนจริงที่ไมเปนจํานวนตรรกยะ
2. จงพิจารณาวาจํานวนตอไปนี้ จํานวนใดเปนจํานวนตรรกยะ จํานวนใดเปนจํานวนอตรรกยะ
4 , 31 ,
2
π
, 0.75, 0, 1.3333 … , –5.50
3. จงหาคําตอบของสมการตอไปนี้
1) x2
+ 6x – 16 = 0
2) x2
+ 4x – 8 = 0
4. จงหาคําตอบของอสมการตอไปนี้
1) –5x – 20 ≥ 0
2) (x – 1)(x + 3) < 0
3) x2
– 4 ≤ 0
5. จงหาคาของ x เมื่อกําหนดให
1) 2x(x + 1) = – ( x + 1) 2) –2x ≤ 1

11. 62
6. จงหาคาของ
1) –⏐–1⏐ + ⏐11⏐ 2)
12
12
−
7. จงแสดงคาของ x บนเสนจํานวน เมื่อ
1) ⏐x⏐ > 1
2) ⏐x – 1 ⏐ = 0
8. โรงงานอุตสาหกรรมผลิตสินคาสงออกแหงหนึ่งเก็บสินคาที่ผลิตไดไวที่โกดังของโรงงานกอนสง
ออกไปขาย โดยโรงงานจะผลิตสินคาไดไมเกินวันละ n ชิ้น ในเดือนพฤศจิกายน โกดังเก็บ
สินคาที่ผลิตไดมากที่สุดจํานวน 27,000 ชิ้น อยากทราบวา โรงงานแหงนี้ผลิตสินคาไดวันละ
ไมเกินกี่ชิ้น
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ
1. 1) 2
9
, 3.5 , 3
2−
, 93.1 &
2) π , 2 , 5.121121112...
2.
จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ
4
31
2
π
0.75
0
1.3333...
– 5.50
-
-
-
-
-
-
-
3. 1) x2
+ 6x – 16 = 0
(x + 8)(x – 2) = 0
x = – 8, 2

12. 63
2) x2
+ 4x – 8 = 0
(x2
+ 4x) – 8 = 0
(x2
+ 4x + 4) – 8 – 4 = 0
(x + 2)2
– 12 = 0
(x + 2)2
= 12
(x + 2) = 12±
x = – 2 12± หรือ 322 ±−
หมายเหตุ ผูเรียนอาจใชวิธีการอื่นเชนใชสูตรเพื่อหาคา x ก็ได
โดยการใชสูตร x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)8)(1(444 2
−−±−
=
2
484 ±−
= 2
316)4( ×±−
= 322 ±−
4. จงหาคําตอบของอสมการตอไปนี้
1) –5x – 20 ≥ 0
–5x – 20 + 20 ≥ 0 + 20
–5x ≥ 20
5
x5
− ≥
5
20
– x ≥ 4
x ≤ – 4
2) (x – 1)(x + 3) < 0
พิจารณาตัวอยางคา x ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1) และ (1, ∞) ในตารางตอไปนี้
ชวง x (x – 1)(x + 3)
(– ∞, – 3)
(– 3, 1)
(1, ∞)
– 5
0
5
(– 6)(– 2) = 12
(– 1)(3) = – 3
(4)(8) = 32
มีคาเปนบวก
มีคาเปนลบ
มีคาเปนบวก
เมื่อกําหนดคา x เพิ่มขึ้นอีกหลาย ๆ จํานวน จะพบวา
คาของ x ที่ทําให (x – 1)(x + 3) < 0 คือ x ที่อยูในชวง (– 3, 1)
–3 1

13. 64
3) x2
– 4 ≤ 0
(x – 2)(x + 2) ≤ 0
พิจารณาตัวอยางของ x ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) และ x = ± 2
ในตารางตอไปนี้
ชวง x (x – 2)(x + 2)
(– ∞, – 2)
(– 2, 2)
(2, ∞)
– 5
0
5
2
– 2
(– 7)(– 3) = 21
(– 2)(2) = – 4
(3)(7) = 21
(0)(4) = 0
(– 4)(0) = 0
มีคาเปนบวก
มีคาเปนลบ
มีคาเปนบวก
มีคาเปนศูนย
มีคาเปนศูนย
เมื่อกําหนดคา x เพิ่มขึ้นอีกหลายๆ จํานวน จะพบวา
คาของ x ที่ทําให x2
– 4 ≤ 0 คือ x ที่อยูในชวง [– 2, 2]
5. 1) 2x(x + 1) = – ( x + 1)
2x2
+ 2x = – x – 1
2x2
+ 3x + 1 = 0
(2x + 1)(x + 1) = 0
จะได x =
2
1
− หรือ – 1
2) –2x ≤ 1
2
x2
− ≤
2
1
หารดวย 2 ทั้งสองขางของสมการ
–x ≤
2
1
x ≥ –
2
1
คูณดวย – 1 ทั้งสองขางของสมการ
6. จงหาคาของ
1) –⏐– 1⏐ + ⏐11⏐ = – 1 + 11 = 10
2)
12
12
−
=
12
12
= 1
–2 2

14. 65
7. จงแสดงคาของ x บนเสนจํานวน เมื่อ
1) ⏐x⏐ > 1
2) ⏐ x – 1 ⏐ = 0
8. โรงงานจะผลิตสินคาไดไมเกินวันละ n ชิ้น และในเดือนพฤศจิกายนโกดังเก็บสินคาที่ผลิตได
มากที่สุดจํานวน 27,000 ชิ้น จะหาวา โรงงานควรจะผลิตสินคาวันละไมเกินกี่ชิ้นไดดังนี้
เนื่องจากเดือนพฤศจิกายน มี 30 วัน
ดังนั้นในเดือนพฤศจิกายนโรงงานแหงนั้นผลิตสินคาไดไมเกิน 30n ชิ้น
แตโกดังเก็บสินคาที่ผลิตไดมากสุด จํานวน 27,000 ชิ้น
จะไดวา 30n ≤ 27,000
30
n30
≤
30
000,27
n ≤ 900
ดังนั้น โรงงานควรจะผลิตสินคาไมเกินวันละ 900 ชิ้น
เฉลยแบบฝกหัด
แบบฝกหัด 3.1
1. 1) – 9 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
2
7
− จํานวนตรรกยะ
5 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
3
2
จํานวนตรรกยะ
2 จํานวนอตรรกยะ
0 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
1 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

15. 66
2) 5 จํานวนอตรรกยะ
– 7 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
3
7
− จํานวนตรรกยะ
3.12 จํานวนตรรกยะ
4
5
จํานวนตรรกยะ
3) 2.01 จํานวนตรรกยะ
0.666... จํานวนตรรกยะ
– 13 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
0.010110111... จํานวนอตรรกยะ
4) 2.3030030003... จํานวนอตรรกยะ
0.7575 จํานวนตรรกยะ
– 4.63 จํานวนตรรกยะ
10 จํานวนอตรรกยะ
5) – π จํานวนอตรรกยะ
3
1
− จํานวนตรรกยะ
3
6
จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
2
2
จํานวนอตรรกยะ
– 7.5 จํานวนตรรกยะ
6) 25 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
– 17 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ
5
12
− จํานวนตรรกยะ
9 จํานวนเต็ม, จํานวนนับ, จํานวนตรรกยะ
3.12 จํานวนตรรกยะ
π
2
1
จํานวนอตรรกยะ

16. 67
2. 1) จริง
2) จริง
3) เท็จ
4) จริง
5) จริง
6) เท็จ
7) จริง
8) เท็จ
3. 1) 8 เปนจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอยกวา 9
2) ไมมีจํานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่นอยกวา 9
3) 2 เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกวา 1
4) ไมมีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 1
แบบฝกหัด 3.2
1. 1) การสลับที่การคูณ
2) การแจกแจง
3) การเปลี่ยนหมูการบวก
4) การสลับที่การคูณ
5) การสลับที่การบวก
6) การสลับที่การคูณ
7) ปดของการบวก
8) ปดของการบวก
9) อินเวอรสของการบวก
10) เอกลักษณการคูณ
2. 1) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง
2) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง
3) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง
4) เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง
5) เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง

17. 68
3. เซตของจํานวนนับ มีสมบัติขอ 1) และขอ 3)
เซตของจํานวนเต็มลบ มีสมบัติขอ 1)
เซตของจํานวนเต็ม มีสมบัติขอ 1), 2) และขอ 3)
เซตของจํานวนตรรกยะ มีสมบัติขอ 1), 2), และขอ 3)
แบบฝกหัด 3.3.1
1. 1) (x + 1)(x – 1) = x2
+ (–x) + x + (–1)
= x2
– 1
2) (x + 3)(x – 3) = x2
+ (–3x) + 3x+ (–9)
= x2
– 9
3) (2x + 3)(2x – 3) = 4x2
+ (–6x) + (6x) + (–9)
= 4x2
– 9
4) (5x + 4)(5x – 4) = 25x2
+ (–20x) + 20x + (–16)
= 25x2
– 16
5) (3x + 1)(3x – 1) = 9x2
+ (–3x) + 3x + (–1)
= 9x2
– 1
6) (x – 5)(x – 5) = x2
+ (–5x) + (–5x) + 25
= x2
– 10x + 25
7) (5x – 4)(5x – 4) = 25x2
+ (–20x) + (–20x) + 16
= 25x2
– 40x + 16
8) (3x – 1)(3x – 1) = 9x2
+ (–3x) + (–3x) + 1
= 9x2
– 6x + 1
9) (2x + 1)(3x + 2) = 6x2
+ 4x + 3x + 2
= 6x2
+ 7x + 2
10) (4x + 2)(x + 4) = 4x2
+ 16x + 2x + 8
= 4x2
+ 18x + 8

18. 69
2. 1) x2
– 25x = x(x – 25)
2) x3
– 4x2
= x2
(x – 4)
3) x4
– 4x = x(x3
– 4)
4) 15x2
– 25x = 5x(3x – 5)
5) 81x2
– x = x(81x – 1)
6) 7x2
+ 49x = 7x(x + 7)
7) 88x3
+ 8x2
= 8x2
(11x + 1)
8) 13x4
+ x2
= x2
(13x2
+ 1)
9) 5x3
+ 15x2
= 5x2
(x + 3)
10) 100x4
+ 10x3
= 10x3
(10x + 1)
11) x2
+ 3x – 4 = (x – 1)(x + 4)
12) x2
+ 10x + 25 = (x + 5)(x + 5)
= (x + 5)2
13) x2
+ 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
= (x + 3)2
14) x2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)
= (x + 2)2
15) x2
+ 8x – 20 = (x – 2)(x + 10)
16) x2
– 10x + 25 = (x – 5)(x – 5)
= (x – 5)2
17) x2
– 14x + 49 = (x – 7)(x – 7)
= (x – 7)2
18) x2
+ 6x – 16 = (x – 2)(x + 8)
19) x2
+ 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
20) x2
+ x – 30 = (x – 5)(x + 6)
21) x2
+ 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)
22) x2
+ 8x + 7 = (x + 1)(x + 7)
23) x2
+ 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)
24) x2
– 5x – 50 = (x + 5)(x – 10)
25) x2
+ 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

19. 70
26) x2
– 10x – 11 = (x + 1)(x – 11)
27) x2
+ 14x + 13 = (x + 1)(x + 13)
28) 3x2
+ 10x + 3 = (3x + 1)(x + 3)
29) 2x2
+ x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
30) 2x2
– x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
31) 8x2
– 2x – 3 = (4x – 3)(2x + 1)
32) 25x2
+ 15x + 2 = (5x + 2)(5x + 1)
33) 4x2
+ 5x – 9 = (4x + 9)(x – 1)
34) 3x2
+ 4x – 15 = (3x – 5)(x + 3)
35) 4x2
– 1 = (2x)2
– 12
= (2x – 1)(2x + 1)
36) 25x2
– 1 = (5x)2
– 12
= (5x – 1)(5x + 1)
37) 9x2
– 4 = (3x)2
– 22
= (3x – 2)(3x + 2)
38) x4
– x2
= x2
(x2
– 1)
= x2
(x – 1)(x + 1)
39) x3
– 25x = x(x2
– 25)
= x(x – 5)(x + 5)
40) x4
– 4x2
= x2
(x2
– 4)
= x2
(x – 2)(x + 2)
3. 1) x2
+ 4x – 32 = (x2
+ 4x + 4) – 32 – 4
= (x + 2)2
– 36
= ((x + 2) – 6)((x + 2) + 6)
= (x – 4)(x + 8)
2) x2
– 2x – 3 = (x2
– 2x + 1) – 3 – 1
= (x – 1)2
– 4
= ((x – 1) – 2)((x – 1) + 2)
= (x – 3)(x + 1)
3) x2
– 4x + 2 = (x2
– 4x + 4) + 2 – 4
= (x – 2)2
– 2

20. 71
= [(x – 2) – 2 ][(x – 2) + 2 ]
= [(x – (2 + 2 )][x – (2 – 2 )]
4) x2
+ 8x – 5 = (x2
+ 8x + 16) – 5 – 16
= (x + 4)2
– 21
= [(x + 4) – 12 ][(x + 4) + 21 ]
= [x + (4 – 21 )][x + (4 + 21 )]
5) x2
+ 6x + 2 = (x2
+ 6x + 9) + 2 – 9
= (x + 3)2
– 7
= [(x + 3) – 7 ][(x + 3) + 7 ]
= [x + (3 – 7 )][x + (3 + 7 )]
6) x2
+ 8x + 14 = (x2
+ 8x + 16) + 14 – 16
= (x + 4)2
– 2
= [(x + 4) – 2 ][(x + 4) + 2 ]
= [x + (4 – 2 )][x + (4 + 2 )]
7) x2
– 10x + 7 = (x2
– 10x + 25) – 25 + 7
= (x – 5)2
– 18
= [(x – 5) – 18 ][(x – 5) + 18 )
= [x – (5 + 18 )][x – (5 – 18 )]
8) x2
+ 7x + 11 = (x2
+ 7x +
4
49
) – 11
4
49
+
=
4
5
)
2
7
x( 2
−+
= [(x + 2
7
) – 2
5
][(x + 2
7
) + 2
5
]
= [x + ( 2
57−
)][x + )]
2
57
(
+
9) x2
– 2x = (x2
– 2x + 1) – 1
= (x – 1)2
– 1
= [(x – 1) – 1][(x – 1) + 1]
= [x – (1 + 1)][(x – (1 – 1)]
= (x – 2)(x)
10) x2
+ 4x = (x2
+ 4x + 4) – 4
= (x + 2)2
– 4
= [(x + 2) – 2][(x + 2) + 2]

21. 72
= [x + (2 – 2)][x + (2 + 2)]
= (x)(x + 4)
11) –2x2
– 8x + 8 = –2(x2
+ 4x – 4)
= –2[(x2
+ 4x + 4) – 4 – 4]
= –2(x + 2)2
+ 16
= –2[(x + 2)2
– 8]
= –2[((x + 2) – 8 )((x + 2) + 8 )]
= –2[(x + (2 – 8 ))(x + (2 + 8 ))]
12) 8 + 4x – x2
= –(x2
– 4x – 8)
= –[(x2
– 4x + 4) – 8 – 4]
= – [(x – 2)2
– 12]
= –[((x – 2) – 12 )((x – 2 )+ 12 )]
= –[(x – (2 + 12 ))(x +(– 2 + 12 )]
13) –3x2
+ 6x + 4 = –3(x2
– 2x) + 4
= –3[(x2
– 2x + 1) – 1] + 4
= –3[(x – 1)2
– 1] + 4
= –3(x – 1)2
+ 7
= –3[(x – 1)2
– 3
7
]
= )]
3
7
)1x)((
3
7
)1x[((3 +−−−−
= ))]
3
7
1(x))(
3
7
1(x[(3 −−+−−
14) 4x2
– 4x – 9 = 4(x2
– x) – 9
= 9]
4
1
)
4
1
xx[(4 2
−−+−
= 9]
4
1
)
2
1
x[(4 2
−−−
= 91)
2
1
x(4 2
−−−
= 10)
2
1
x(4 2
−−
= ]
4
10
)
2
1
x[(4 2
−−
= )]
2
10
)
2
1
x)((
2
10
)
2
1
x[((4 +−−−
= ))]
2
101
(x))(
2
101
(x[(4
−
−
+
−

22. 73
15) –3x2
+ 6x + 2 = –3(x2
– 2x) + 2
= –3[(x2
– 2x + 1) – 1] + 2
= –3[(x – 1)2
– 1] + 2
= –3(x – 1)2
+ 3 + 2
= –3(x – 1)2
+ 5
= –3[(x – 1)2
– 3
5
]
= –3[((x – 1) – 3
5
)((x – 1) + 3
5
)]
= –3[(x – (1 + 3
5
))(x – (1 – 3
5
))]
16) –2x2
+ 2x + 1 = –2(x2
– x) + 1
= 1]
4
1
)
4
1
xx[(2 2
+−+−−
= 1]
4
1
)
2
1
x[(2 2
+−−−
= 1
2
1
)
2
1
x(2 2
++−−
=
2
3
)
2
1
x(2 2
+−−
= –2[(x – 2
1
)2
– 4
3
]
= –2[((x – 2
1
) – 2
3
)((x – 2
1
)+ 2
3
)]
= –2[(x – 2
)31( +
)(x – 2
)31( −
)]
แบบฝกหัด 3.3.2
1. 1) x2
+ 7x + 10 = 0 จะได (x + 2)(x + 5) = 0, x = – 2, – 5
2) x2
+ 8x + 12 = 0 จะได (x + 2)(x + 6) = 0, x = – 2, – 6
3) x2
– 3x – 18 = 0 จะได (x + 3)(x – 6) = 0, x = – 3, 6
4) x2
– 6x – 16 = 0 จะได (x + 2)(x – 8) = 0, x = – 2, 8
5) x2
+ 5x – 24 = 0 จะได (x + 8)(x – 3) = 0, x = – 8, 3
6) x2
+ x – 30 = 0 จะได (x + 6)(x – 5) = 0, x = – 6, 5
7) x2
– 14x + 48 = 0 จะได (x – 8)(x – 6) = 0, x = 8, 6
8) 21 – 10x + x2
= 0 จะได (7 – x)(3 – x) = 0, x = 7, 3
9) 2 + x – x2
= 0 จะได (1 + x)(2 – x) = 0, x = – 1, 2

23. 74
10) 2x2
+ 7x + 3 = 0 จะได (2x + 1)(x + 3) = 0, x = –
2
1
, – 3
11) 3x2
+ 7x + 2 = 0 จะได (3x + 1)(x + 2) = 0, x = –
3
1
, – 2
12) 5x2
+ 13x + 6 = 0 จะได (5x + 3)(x + 2) = 0, x = –
5
3
, – 2
13) 7x2
+ 3x – 4 = 0 จะได (7x – 4)(x + 1) = 0, x =
7
4
, – 1
14) 9x2
+ 12x + 4 = 0 จะได (3x + 2)(3x + 2) = 0, x =
3
2
−
15) 4x2
+ 8x + 3 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 1) = 0, x =
2
3
− ,
2
1
−
16) 4x2
+ 16x + 15 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 5) = 0, x =
2
3
− ,
2
5
−
17) x2
– 9 = 0 จะได (x + 3)(x – 3) = 0, x = – 3, 3
18) 25 – x2
= 0 จะได (5 + x)(5 – x) = 0, x = – 5, 5
19) 9x2
– 16 = 0 จะได (3x + 4)(3x – 4) = 0, x =
3
4
− ,
3
4
20) 36x2
– 25 = 0 จะได (6x + 5)(6x – 5) = 0, x =
6
5
− ,
6
5
2. 1) x2
+ 8x + 6 = 0
[x2
+ 2(4)x] + 6 = 0
[x2
+ 2(4)x + 42
] + 6 – 42
= 0
(x + 4)2
– 10 = 0
(x + 4)2
= 10
x + 4 = 10±
x = 104 ±−
2) x2
+ 10x + 3 = 0
[x2
+ 2(5)x] + 3 = 0
[x2
+ 2(5)x + 52
] + 3 – 52
= 0
(x + 5)2
– 22 = 0
(x + 5)2
= 22
x + 5 = 22±
x = 225 ±−

24. 75
3) x2
+ 4x + 2 = 0
[x2
+ 2(2)x] + 2 = 0
[x2
+ 2(2)x + 22
] + 2 – 22
= 0
(x + 2)2
– 2 = 0
(x + 2)2
= 2
x + 2 = 2±
x = 22 ±−
4) x2
+ 6x + 3 = 0
[x2
+ 2(3)x] + 3 = 0
[x2
+ 2(3)x + 32
] + 3 – 32
= 0
(x + 3)2
– 6 = 0
(x + 3)2
= 6
x + 3 = 6±
x = 63 ±−
5) x2
+ 8x – 1 = 0
[x2
+ 2(4)x] – 1 = 0
[x2
+ 2(4)x + 42
] – 1 – 42
= 0
(x + 4)2
– 17 = 0
(x + 4)2
= 17
x + 4 = 17±
x = – 4 17±
6) x2
– 4x – 2 = 0
[x2
– 2(2)x] – 2 = 0
[x2
– 2(2)x + 22
] – 2 – 22
= 0
(x – 2)2
– 6 = 0
(x – 2)2
= 6
x – 2 = 6±
x = 62 ±

25. 76
7) x2
– 6x + 4 = 0
[x2
– 2(3)x] + 4 = 0
[x2
– 2(3)x + 32
] + 4 – 32
= 0
(x – 3)2
– 5 = 0
(x – 3)2
= 5
x – 3 = 5±
x = 53 ±
8) x2
– 10x – 2 = 0
[x2
– 2(5)x] – 2 = 0
[x2
– 2(5)x + 52
] – 2 – 52
= 0
(x – 5)2
– 27 = 0
(x – 5)2
= 27
x – 5 = 27±
x – 5 = 33±
x = 335 ±
9) x2
+ 5x + 1 = 0
1x
2
5
2x2
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
22
2
2
5
1
2
5
x
2
5
2x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
4
21
2
5
x
2
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ = 0
2
2
5
x ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ =
4
21
2
5
x + =
4
21
±
x =
4
21
2
5
±−
x =
2
21
2
5
±−
x =
2
215 ±−

26. 77
10) x2
+ 3x + 2 = 0
2x
2
3
2x2
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
22
2
2
3
2
2
3
x
2
3
2x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
4
1
2
3
x
2
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ = 0
2
2
3
x ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ =
4
1
2
3
x+ =
4
1
±
x =
4
1
2
3
±−
x =
2
13 ±−
, x = – 1, – 2
3. 1) x2
– 4x – 21 = 0
a = 1, b = – 4, c = – 21
x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)21)(1(4)4()4( 2
−−−±−−
=
2
104 ±
= 7, – 3
2) จาก x2
= 4x จะได x2
– 4x = 0
ดังนั้น a = 1, b = – 4, c = 0
x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)0)(1(4)4()4( 2
−−±−−
=
2
44 ±
= 4, 0

27. 78
3) จาก x2
– 2x = 6 จะได x2
– 2x – 6 = 0
ดังนั้น a = 1, b = – 2, c = – 6
x =
a2
ac4bb 2
−±−
= )1(2
)6)(1(4)2()2( 2
−−−±−−
=
)1(2
2442 +±
=
2
282 ±
=
2
722 ±
= 71±
4) 3x2
+ 2x – 3 = 0
a = 3, b = 2, c = – 3
x =
a2
ac4bb 2
−±−
=
)3(2
)3)(3(422 2
−−±−
=
)3(2
3642 +±−
=
)3(2
402 ±−
=
)3(2
1022 ±−
=
3
101±−
5) จาก 2x2
+ 4x = 1 จะได 2x2
+ 4x – 1 = 0
ดังนั้น a = 2, b = 4, c = – 1
x =
a2
ac4bb 2
−±−
=
)2(2
)1)(2(444 2
−−±−
=
)2(2
8164 +±−
=
)2(2
244 ±−
=
)2(2
624 ±−
=
2
62 ±−

28. 79
6) จาก 2x2
= x + 2 จะได 2x2
– x – 2 = 0
ดังนั้น a = 2, b = – 1, c = – 2
x =
a2
ac4bb 2
−±−
=
)2(2
)2)(2(4)1()1( 2
−−−±−−
=
)2(2
1611 +±
=
4
171±
4. 1) x2
+ (x + 3)2
= (x + 7)2
x2
+ (x2
+ 6x + 9) = x2
+ 14x + 49
2x2
+ 6x + 9 = x2
+ 14x + 49
x2
– 8x – 40 = 0
หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้
x =
)a(2
ac4bb 2
−±−
และ a = 1, b = – 8, c = – 40
= )1(2
)40)(1(4)8()8( 2
−−−±−−
=
2
160648 +±
=
2
2248 ±
=
2
1448 ±
= 1424 ±
เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนบวกเสมอ
ดังนั้น x = 1424 +
จะได AB = 1424 +
BC = 31424 ++ = 1427 +
AC = 71424 ++ = 14211+
2)
x2
+ (x + 2)2
= (x + 6)2
x2
+ x2
+ 4x + 4 = x2
+ 12x + 36
x2
– 8x – 32 = 0
A
B Cx + 3
x + 7x
A
B Cx + 2
x + 6x

29. 80
หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้
x =
)a(2
ac4bb 2
−±−
และ a = 1, b = – 8, c = – 32
=
)1(2
)32)(1(4)8()8( 2
−−−±−−
=
2
128648 +±
=
2
1928 ±
=
2
388 ±
= 344 ±
เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอ
ดังนั้น x = 344 +
จะได AB = 344 +
BC = 2344 ++ = 346 +
AC = 6344 ++ = 3410 +
3)
x2
+ (2x + 3)2
= (3x + 1)2
x2
+ 4x2
+ 12x + 9 = 9x2
+ 6x + 1
5x2
+ 12x +9 = 9x2
+ 6x + 1
4x2
– 6x – 8 = 0
หาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ไดดังนี้
x =
a2
ac4bb 2
−±−
และ a = 4, b = – 6, c = – 8
=
)4(2
)8)(4(4)6()6( 2
−−−±−−
=
)4(2
128366 +±
=
)4(2
1646 ±
x
A
B C2x + 3
3x + 1

30. 81
=
)4(2
4126 ±
=
4
413 ±
เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอ
ดังนั้น x =
4
413 +
จะได AB =
4
413 +
BC = 3
4
413
2 +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
=
2
)419( +
AC = 1
4
413
3 +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
=
4
)41313( +
5.
ถากลองกระดาษในรูปขางบน มีความจุ 320 ลูกบาศกเซนติเมตร
จะหาวา กลองใบนี้ซึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีความกวางเทาใดไดดังนี้
ปริมาตรของกลอง = 5⋅x⋅x หรือ 5x2
5x2
= 320
x2
=
5
320
หรือ 64
จะได x = ± 8
เนื่องจากความกวางของกลองตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น ฐานของกลองจะมีความกวางเทากับ 8 เซนติเมตร
5 x
x

31. 82
6.
(1) (2)
กลองในรูปที่ (1) ทําจากกระดาษในรูปที่ (2) ซึ่งมีพื้นที่เทากับ x2
+ 4ax กําหนดให
a x2
+ 4ax
4
1 20
1 165
2
1 80
หาคาของ x ไดดังนี้
1) จาก a =
4
1
จะได x2
+ 4ax = x2
+ x
และ x2
+ x = 20
x2
+ x – 20 = 0
(x + 5)(x – 4) = 0
x = 4, – 5
เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น x = 4 เซนติเมตร
2) a = 1 จะได x2
+ 4ax = x2
+ 4x
และ x2
+ 4x = 165
x2
+ 4x – 165 = 0
(x + 15)(x – 11) = 0
x = 11, – 15
เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น x = 11 เซนติเมตร
a
x
x
ax
ax
ax
ax
x2

32. 83
3) a =
2
1
จะได x2
+ 4ax = x2
+ 2x
และ x2
+ 2x = 80
x2
+ 2x – 80 = 0
(x + 10)(x – 8) = 0
x = 8, – 10
เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวก
ดังนั้น x = 8 เซนติเมตร
7. ถาความสูง (h) ของลูกเทนนิส เมื่อวัดจากพื้นขณะที่นักกีฬาตีลูกขึ้นไปนาน t วินาที
หาไดจากสูตร h = 1 + 15t – 5t2
จะหาวา นานเทาใดหลังจากที่นักกีฬาตีลูกเทนนิส แลวลูกเทนนิสอยูสูงจากพื้นดิน 10 เมตร
จาก h = 10
จะได 1 + 15t – 5t2
= 10
5t2
– 15t + 9 = 0
จาก t =
a2
ac4bb 2
−±−
และ a = 5, b = – 15, c = 9
t =
)5(2
)9)(5)(4()15()15( 2
−−±−−
=
10
4515 ±
=
10
5315 ±
≈
10
7.615 ±
≈ 0.83 หรือ 2.17 วินาที
เขียนภาพแทนการตีลูกเทนนิสของนักกีฬาไดดังนี้
0 t1 t2
h

33. 84
นอกจากการหาคาของ t โดยใชสูตรแลว อาจจะใชวิธีการประมาณคาของ 1 + 5t – 15t2
ที่มีคาใกล 10 มากที่สุด โดยใชเครื่องคิดเลขไดดังตัวอยางตอไปนี้
t (วินาที) 1 + 15t – 5t2
(เมตร)
1
0.9
0.8
0.85
0.84
*0.83
0.82
11
10.45
9.8
10.13
10.07
*10.0055
9.938
จากตารางพบวา คาประมาณของ t ที่เทากับ 0.83 วินาที เปนคาที่ทําให 1+ 5t – 5t2
มีคา
ใกล 10 เมตร มากที่สุด
8. ตนทุนในการผลิตสินคาบริษัทแหงหนึ่งเทากับ1 600x–5x2
เมื่อx แทนราคาตนทุนสินคาตอหนวย
และถาตนทุนสินคาตอหนวยสูงกวา 50 บาท ถาตองการกําไรชิ้นละ 25% โดยมีตนทุนในการ
ผลิตเทากับ 16,000 บาท จะหาวาตองขายสินคาในราคาชิ้นละเทาใดไดดังนี้
ให 600x – 5x2
= 16,000
5x2
– 600x + 16,000 = 0
x2
– 120x + 3,200 = 0
จาก x =
a2
ac4bb 2
−±−
และ a = 1, b = – 120, c = 3,200
จะได x =
)1(2
)200,3)(1(4)120()120( 2
−−±−−
=
2
800,12400,14120 −±
=
2
600,1120 ±
=
2
40120 ±
จะได x = 80 หรือ 40
จากโจทย ราคาสินคาตอหนวยตองสูงกวา 50 บาท
ดังนั้น ราคาสินคาตอหนวย จะตองเทากับ 80 บาท
ตองการกําไร 25% จะหาไดจาก
100
25
80× หรือ 20 บาท
นั่นคือ จะตองขายสินคาชิ้นละ 80 + 20 หรือ 100 บาท

34. 85
9. ถาผลคูณของจํานวนถัดไปที่เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกสองจํานวนมีคาเทากับ 35
จะหาจํานวนทั้งสองไดโดย
ให x เปนจํานวนคี่จํานวนแรก
ให x + 2 เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกที่เปนจํานวนถัดไป
จะได x(x + 2) = 35
x2
+ 2x – 35 = 0
(x + 7)(x – 5) = 0
x = – 7, 5
เนื่องจากโจทยกําหนดจํานวนคี่เปนจํานวนบวก ดังนั้น x จะตองเทากับ 5
สรุปวา จํานวนแรก คือ 5 และจํานวนที่สองคือ 7
ตรวจสอบคําตอบ 5 × 7 = 35
10. 1) ถา x2
+ 10x + c = 0 และ c < 0
ให c = –24
จะได x2
+ 10x – 24 = 0
(x + 12)(x – 2) = 0
และ x = –12 หรือ 2 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ
2) ถา x2
+ 10x + c = 0 และ c > 0
ให c = 9
จะได x2
+ 10x + 9 = 0
(x + 9)(x + 1) = 0
และ x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ
3) ถา x2
+ bx + 9 = 0 และ b > 6
ให b = 10
จะได x2
+ 10x + 9 = 0
(x + 9)(x + 1) = 0
และ x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

35. 86
11. ถาระยะเบรกของรถคันหนึ่งแทนดวยสูตร d =
20
s
s
2
+ เมตร
เมื่อ d คือ ระยะเบรก และ s คืออัตราเร็วของรถมีหนวยเปนกิโลเมตร / ชั่วโมง
หาระยะเบรกของรถคันนี้เมื่อรถคันนี้วิ่งดวยอัตราเร็วตางกัน ไดดังนี้
1) s = 40 กิโลเมตร / ชั่วโมง
d =
20
)40(
40
2
+ = 40 + 80 เมตร
= 120 เมตร
2) s = 100 กิโลเมตร / ชั่วโมง
d =
20
)100(
100
2
+ = 100 + 500 เมตร
= 600 เมตร
12.
หยุด
x
35 ซม.
x
ถาตัดปายรูปแปดเหลี่ยมจากแผนโลหะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหไดปายรูปแปดเหลี่ยมที่แตละ
ดานยาว 35 ซม. จะหาวา ดานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรจะยาวดานละเทาใด จึงจะไดปายตาม
ขนาดที่เขียนไวในรูปไดดังนี้
หาความยาวของ x โดยใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
35
x
จาก x2
+ x2
= 352
x
2x2
= 352
x2
=
2
352
จะได x =
2
35
หรือ
2
235
จะไดวา รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสควรจะมีความยาวดานละ 2x + 35 หรือ 35
2
235
2 +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ซึ่งมีคาประมาณ 84.50 ซม.

36. 87
แบบฝกหัด 3.4.1
1. 1) n < 5 จะได n = 0 , 1, – 2
2) n > – 4 จะได n = 6, – 1, 0
3) n < 0 จะได n = – 2, – 5
4) n ≤ 0 จะได n = 0, – 4, – 1
5) n ≤ 2 จะได n = – 2, 2, 0
6) – 1 < n ≤ 3 จะได n = 2, 3, 0
7) – 10 < n < 4 จะได n = – 1, 0
8) 0 ≤ n ≤ 5 จะได n = 1, 0, 5
2. 1) x + 2 > 2
x + 2 – 2 > 2 – 2
x > 0
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0}
2) x – 4 ≤ 2
x – 4 + 4 ≤ 2 + 4
x ≤ 6
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ 6}
3) 3 + y < 7
3 + y – 3 < 7 – 3
y < 4
เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y < 4}
-3 -2 -1 0 1 2 3
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7

37. 88
4) y – 2 ≥ –1
y – 2 + 2 ≥ –1 + 2
y ≥ 1
เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y ≥ 1}
5) x + 3 < 2
x + 3 – 3 < 2 – 3
x < –1
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < –1}
6) x – 9 ≤ 0
x – 9 + 9 ≤ 0 + 9
x ≤ 9
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ 9}
7) 2x ≥ 4
)
2
1
(4)
2
1
(x2 ≥
x ≥ 2
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 2}
8) 3x
3
1
≥
33)3(x
3
1
×≥
x ≥ 9
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 9}
-2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
6 7 8 9 10 11 12
-2 -1 0 1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12

38. 89
9) 1
2
x
−≤
)2(1)2(
2
x
−≤
x ≤ –2
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ –2}
10) 10 ≤ 5x
)
5
1
(x5)
5
1
(10 ≤
2 ≤ x
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 2}
11) 0
7
x
>
)7(0)7(
7
x
>
x > 0
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0}
12) 0
4
x
<
)4(0)4(
4
x
<
x < 0
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < 0}
-4 -3 -2 -1 0 1 2
-2 -1 0 1 2 3 4
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3

39. 90
13)
2
1
1x ≤−
x – 1 + 1 ≤ 1
2
1
+
2
3
x ≤
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐
2
3
x ≤ }
14) 5x + 1 ≤ 4
5x + 1 – 1 ≤ 4 – 1
5x ≤ 3
)
5
1
(3)
5
1
(x5 ≤
x ≤
5
3
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐
5
3
x ≤ }
15) –3 + 3x ≤ 2
–3 + 3x + 3 ≤ 2 + 3
3x ≤ 5
x ≤
3
5
เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐ x ≤
3
5
}
แบบฝกหัด 3.4.2
1. –3x ≥ 9
)
3
1
(9)
3
1
(x3 −≤−−
x ≤ –3
0 1 2 3
2
3
0 1 2 3
5
3
0 1 2 3
3
5
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

40. 91
2. 2
3
x
≤−
)3(2)3)(
3
x
( −≥−−
x ≥ –6
3. 1
6
x
<−
)6(1)6)(
6
x
( −>−−
x > –6
4. – 4x ≤ 20
)
4
1
(20)
4
1
)(x4( −≥−−
x ≥ –5
5. 18 + 6x > 0
18 + 6x – 18 > 0 – 18
6x > –18
6
x6
>
6
18−
x > –3
6. 0
5
x
≥−
)5(0)5)(
5
x
( −≤−−
x ≤ 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-3 -2 -1 0 1 2 3

41. 92
7. –3x ≥ 12
)
3
1
(12)
3
1
(x3 −≤−−
x ≤ – 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
8. 1
7
x
<−
)7(1)7(
7
x
−>−−
x > –7
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4
9. –3x – 21 ≥ 0
–3x – 21 + 21 ≥ 0 + 21
–3x ≥ 21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
3
1
x3 ≤ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
3
1
21
x ≤ –7
10. 01
2
x
>−−
1011
2
x
+>+−−
1
2
x
>−
)2(1)2)(
2
x
( −<−−
x < –2
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4
-4 -3 -2 -1 0 1 2

42. 93
แบบฝกหัด 3.4.3
1. 1) 4x + 2 > x + 7
4x + 2 – x > x + 7 – x
3x + 2 > 7
3x + 2 – 2 > 7 – 2
3x > 5
)
3
1
(x3 > )
3
1
(5
x >
3
5
2) 2x – 1 < x + 9
2x – 1 – x < x + 9 – x
x – 1 < 9
x – 1 + 1 < 9 + 1
x < 10
3) 8x – 5 ≥ 3x + 15
8x – 5 – 3x ≥ 3x + 15 – 3x
5x – 5 ≥ 15
5x – 5 + 5 ≥ 15 + 5
5x ≥ 20
)
5
1
(x5 ≥ )
5
1
(20
x ≥ 4
4) 3x – 2 ≤ x
3x – 2 – x ≤ x – x
2x – 2 ≤ 0
2x – 2 + 2 ≤ 0 + 2
2x ≤ 2
)
2
1
(x2 ≤ )
2
1
(2
x ≤ 1
6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7
-2 -1 0 1 2 3 4
0 1 2 3
3
5

43. 94
5) 8 – 3x > x
8 – 3x + 3x > x + 3x
8 > 4x
)
4
1
(x4)
4
1
(8 >
2 > x หรือ x < 2
6) 5 – 3m ≤ 6 – 4m
5 – 3m + 4m ≤ 6 – 4m + 4m
5 + m ≤ 6
5 + m – 5 ≤ 6 – 5
m ≤ 1
7) 6 – 3m ≥ 3m
6 – 3m + 3m ≥ 3m + 3m
6 ≥ 6m
)
6
1
(6 ≥ )
6
1
)(m6(
1 ≥ m
m ≤ 1
8) 3m < m – 2
3m – m < m – 2 – m
2m < –2
)
2
1
(m2 < )
2
1
(2−
m < –1
9) 4(m – 3) ≤ 3(m – 2)
4m – 12 ≤ 3m – 6
4m – 12 – 3m ≤ 3m – 6 – 3m
m – 12 ≤ – 6
m – 12 + 12 ≤ – 6 + 12
m ≤ 6
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
-2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4 5 6 7 8 9

44. 95
10) m + 2 < 6(2 + m)
m + 2 < 12 + 6m
m + 2 – m < 12 + 6m – m
2 < 12 + 5m
2 – 12 < 12 + 5m – 12
–10 < 5m
)
5
1
(10− < 5m )
5
1
(
–2 < m หรือ m > –2
11) x2
< 9
x2
– 9 < 0
(x – 3)(x + 3) < 0
พิจารณาคาของ (x – 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 3)(x + 3) คาของ (x – 3)(x + 3)
(– ∞, – 3) – 5 (– 8)(– 2) = 16 มีคาเปนบวก
(– 3, 3) 0 (– 3)(3) = – 9 มีคาเปนลบ
(3, ∞) 5 (2)(8) = 16 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (–3, 3)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
12) x2
> 4
x2
> 4
x2
– 4 > 0
(x – 2)(x + 2) > 0
พิจารณาคาของ (x – 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
-4 -3 -2 -1 0 1 2
(x – 3)(x + 3) < 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

45. 96
ชวง x (x – 2)(x + 2) คาของ (x – 2)(x + 2)
(– ∞, – 2) –3 (– 5)(– 1) = 5 มีคาเปนบวก
(– 2, 2) 0 (– 2)(2) = – 4 มีคาเปนลบ
(2, ∞) 3 (1)(5) = 5 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 2)(x + 2) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 2) ∪ (2, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 2)(x + 2) > 0 (x – 2)(x + 2) > 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
13) x2
+ 2x > 3
x2
+ 2x – 3 > 0
(x – 1)(x + 3) > 0
พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 1)(x + 3) คาของ (x – 1)(x + 3)
(– ∞, – 3) – 5 (– 6)(– 2) = 12 มีคาเปนบวก
(– 3, 1) 0 (– 1)(3) = –3 มีคาเปนลบ
(1, ∞) 5 (4)(8) = 32 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 3) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 3) ∪ (1, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 1)(x + 3) > 0 (x – 1)(x + 3) > 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

46. 97
14) x2
– 4x < 5
x2
– 4x – 5 < 0
(x – 5)(x + 1) < 0
พิจารณาคาของ (x – 5)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 5), (5, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 5)(x + 1) คาของ (x – 5)(x + 1)
(– ∞, – 1) – 2 (– 7)(– 1) = 7 มีคาเปนบวก
(– 1, 5) 0 (– 5)(1) = – 5 มีคาเปนลบ
(5, ∞) 15 (10)(16) = 160 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 5)(x + 1) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– 1, 5)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
15) (x – 1)(x + 1) > 0
พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 1)(x + 1) คาของ (x – 1)(x + 1)
(– ∞, – 1) – 2 (– 3)(– 1) = 3 มีคาเปนบวก
(– 1, 1) 0 (– 1)(1) = – 1 มีคาเปนลบ
(1, ∞) 2 (1)(3) = 3 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 1) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 1) ∪ (1, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 5)(x + 1) < 0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(x – 1)(x + 1) > 0 (x – 1)(x + 1) > 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

47. 98
16) x2
– 6x + 9 < 0
(x – 3)(x – 3) < 0
พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3)
(– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก
(3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) ≥ 0 เสมอ จึงไมมีคา x ที่ทําให
(x – 3)2
มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
แสดงวา ไมมีจํานวนจริงใดที่ทําให (x – 3)2
< 0
17) x2
+ 6x + 9 < 0
(x + 3)(x + 3) < 0
พิจารณาคาของ (x + 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x + 3)(x + 3) คาของ (x + 3)(x + 3)
(– ∞, – 3) –5 (– 2)(– 2) = 4 มีคาเปนบวก
(– 3, ∞) 0 (3)(3) = 9 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา คาของ (x + 3)(x + 3) ≥ 0 เสมอ เมื่อ x อยู
ในชวง (– ∞, – 3] ∪ [– 3, ∞) หรือ (– ∞, ∞)
จึงไมมีคา x ที่ทําให (x + 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย
(x – 3)2
≥ 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x2
+ 6x + 9 ≥ 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

48. 99
18) x2
+ 4x + 4 ≥ 0
(x + 2)(x + 2) ≥ 0
พิจารณาคาของ (x + 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2], [– 2, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x + 2)(x + 2) คาของ (x + 2)(x + 2)
(– ∞, – 2] – 5 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก
[– 2, ∞) 0 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือกคา x อื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x + 2)(x + 2) มีคามากกวาหรือเทากับศูนย
เมื่อ x เปนจํานวนจริง หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, –2 ] ∪ [–2 , ∞) หรือ (– ∞, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
x2
+ 4x + 4 ≥ 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
19) (x – 3)2
> 0
(x – 3)(x – 3) > 0
พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3)
(– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก
(3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) มีคาเปนบวกหรือมากกวาศูนย
เมื่อ x เปนจํานวนจริง ที่ไมเทากับ 3 หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, 3) ∪ (3, ∞)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
(x – 3)2
> 0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(x – 3)2
= 0

49. 100
20) x2
– 9x – 10 < 0
(x – 10)(x + 1) < 0
พิจารณาคาของ (x – 10)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 10), (10, ∞) โดยเลือกคา x
ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้
ชวง x (x – 10)(x + 1) คาของ (x – 10)(x + 1)
(– ∞, – 1) – 2 (– 12)(– 1) = 12 มีคาเปนบวก
(– 1, 10) 0 (– 10)(1) = – 10 มีคาเปนลบ
(10, ∞) 11 (1)(12) = 12 มีคาเปนบวก
เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 10)(x + 1) มีคาเปนลบหรือนอยกวาศูนย
เมื่อ x อยูในชวง (–1, 10)
เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้
2. ลิฟทของที่ทํางานแหงหนึ่งสามารถจุคนได n คน โดยที่น้ําหนักเฉลี่ยของแตละคนเทากับ
80 กิโลกรัม ถาลิฟทตัวนี้บรรทุกน้ําหนักไดมากที่สุด 1,650 กิโลกรัม
ให n แทนจํานวนคนที่อยูในลิฟท
จะได 80 n ≤ 1650
)
80
1
(n80 ≤ )
80
1
(1650
n ≤
8
5
20
สรุปไดวา ลิฟทตัวนี้บรรจุคนไดไมเกิน 20 คน
3. ที่จอดรถของศูนยการคาแหงหนึ่งมีพื้นที่ไมเกิน 8,000 ตารางเมตร และจะตองแบงเปนทางเดิน
ของรถ 950 ตารางเมตร กําหนดใหพื้นที่สําหรับจอดรถ 1 คัน เทากับ 20 ตารางเมตร
จะหาจํานวนรถที่ลูกคานํามาจอดในที่จอดรถไดมากที่สุดไดดังนี้
ให x เปนจํานวนรถที่นํามาจอดในบริเวณที่จอดรถ
จะได 20x < 8,000 – 950
20x < 7,050
x2
– 9x – 10 < 0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

50. 101
)
20
1
(x20 < )
20
1
(050,7
x <
2
1
352
สรุปไดวา ลูกคานํารถมาจอดไดมากที่สุด 352 คัน
4. บริษัท ก คิดคาเชารถวันละ 1,800 บาท โดยไมคิดคาใชจายอื่นอีก
บริษัท ข คิดคาเชารถวันละ 1,000 บาท และคิดคาเชาเพิ่มจากจํานวนกิโลเมตรที่นํารถไปใช
อีกกิโลเมตรละ 2 บาท
1) ใหจํานวนระยะทางที่รถวิ่งแทนดวย x
จะได 1000 + 2x ≤ 1800
2x ≤ 800
x ≤ 400
สรุปวา ถาเชารถจากบริษัท ข โดยจายคาเชา 1,800 บาท/วัน จะใชวิ่งไดมากที่สุด 400 กิโลเมตร
2) ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร
ถาเชารถจากบริษัท ก จะตองจายคาเชารถ 1,800 บาท
ถาเชารถจากบริษัท ข จะตองจายคาเชารถ 1,000 + 2(600) หรือ 2,200 บาท
ดังนั้น ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร ควรเชารถจากบริษัท ก
จึงจะประหยัดคาเชารถ
5. แมคาขายไกยางตัวละ 80 บาท โดยมีคาใชจายที่เปนคาเชารานวันละ 100 บาท และคาใชจายอื่น
รวมทั้งคาไกสดคิดเปนตนทุนแลวตัวละ 60 บาท
ให x แทนจํานวนไก (ตัว) ที่ขายไดในหนึ่งวัน
ขายไกยาง 1 ตัว ตองการกําไร 80 – 60 = 20 บาท
20x – 100 ≥ 500
20x ≥ 600
x ≥ 30
ดังนั้น ถาตองการกําไรจากการขายไกยางวันละไมต่ํากวา 500 บาท ตองขายไกยางใหได
มากกวาวันละ 30 ตัว

51. 102
แบบฝกหัด 3.5
1. จงหาคาของ
1) ⏐8⏐ +⏐3⏐ = 8 + 3 = 11 10) ⏐0⏐ = 0
2) ⏐9⏐ – ⏐2⏐ = 9 – 2 = 7 11) ⏐3 – π⏐ = – (3 – π) = π – 3
3) ⏐– 8⏐+ ⏐2⏐ = 8 + 2 = 10 12) ⏐4 – π⏐ = 4 – π
4) ⏐– 12⏐+ ⏐–6⏐ = 12 + 6 = 18 13)
5
5
−
−
=
5
5−
= – 1
5) ⏐– 6⏐–⏐6⏐ = 6 – 6 = 0 14) –3 – ⏐–3⏐ = – 3 – 3 = – 6
6) ⏐– 13⏐–⏐– 5⏐ = 13 – 5 = 8 15) –3 ⏐3⏐ = – 3(3) = – 9
7) ⏐4 + 9⏐ = 13 16) ⏐–1⏐–⏐–2⏐ = 1 – 2 = – 1
8) ⏐10 – 10⏐ = 0 17) –⏐16.25⏐+ 20 = –16.25 + 20 = 3.75
9) ⏐– 10⏐ = 10 18) 2⏐33⏐ = 2(33) = 66
2. กําหนดให x = ⏐– 2⏐ และ y = ⏐5⏐
1) x – 2 = ⏐– 2⏐– 2 = 2 – 2 = 0
2) y – 5 = ⏐5⏐– 5 = 5 – 5 = 0
3) 2x = 2⏐– 2⏐ = 2(2) = 4
4) y2
= (⏐5⏐)2
= 52
= 25
5) x + y = ⏐– 2⏐+ ⏐5⏐ = 2 + 5 = 7
6) x – y = ⏐– 2⏐– ⏐5⏐ = 2 – 5 = – 3
7) xy = ⏐– 2⏐⏐5⏐ = 2(5) = 10
8)
y
x
=
5
2−
=
5
2
3. 1) ⏐–3⏐ > –⏐–3⏐ 2) ⏐– 4⏐ = ⏐4⏐
3) –5 = –⏐5⏐ 4) –⏐4⏐ < ⏐4⏐
5) –⏐–6⏐ < ⏐–6⏐ 6) –⏐–2⏐ = –2
4. 1) ⏐x⏐ = 7 ∴ x = –7, 7
2) ⏐x⏐ > 7 ∴ x < –7 , x > 7
-14 -7 0 7 14
-14 -7 0 7 14

52. 103
3) ⏐x⏐ ≥ 7 ∴ x ≤ – 7 , x ≥ 7
-14 -7 0 7 14
-14 -7 0 7 14
4) ⏐x⏐ > 0 ∴ x < 0 , x > 0
5) ⏐x⏐ ≤ 4 ∴ – 4 ≤ x ≤ 4
-8 -4 0 4 8
-8 -4 0 4 8
6) ⏐x⏐ < 4 ∴ – 4 < x < 4
5. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย
1) ⏐x⏐ = – x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน x = 1, ⏐1⏐ = 1 แต – x = – 1
และ –1 ≠ 1
2) –⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน x = –2 , –⏐–2⏐ = –2 แต –2 < –2
3) ⏐x⏐ > x เปนเท็จ เพราะมี x = 2, ⏐2⏐ = 2 แต 2 > 2
4) ⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมี x = –1, ⏐–1⏐= 1 แต 1 < –1