1                                         Reglas de Diferenciación                                       del texto de Alph...
2            •    La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si y = f ( x ) g( x ) h ( x )                 d [ f ...
3            •    Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma                                 ...
4        Varios ejemplos del uso de derivadas parciales en economía.           •       Función de producción de dos o más ...
5                      dy "y dx1 "y dx 2 "y2. Dividimos por dz       =         +          +     En palabras, la expresión ...
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  1. 1. 1 Reglas de Diferenciación del texto de Alpha C. Chiang Métodos Fundamentales de Economía Matemática Función de una variable-de forma y = f ( x ) donde f significa cualquier función. En economía, generalmente, suponemos que las funciones son continuamente diferenciables. k es un constante. dy dk 1. Regla de la función constante y = f ( x ) = k ! = =0 dx dx dy 2. Regla de la función potencial y = f ( x ) = kx n = f "( x ) = knx n#1 ! dx dy ! • Ejemplo 1 y = 7x " 3 3$1 = ( 7 # 3) x = 21x 2 dx 1 1 3 ! dy $ 1 *1 7 * • Ejemplo 2 y = 7x 4 " = & 7 # !x 4 = x 4 ) dx % 4( 4 ! dy 1 3. Regla de la función logaritmo natural (base de ‘e’). y = ln x " = dx x dy f #( x ) La versión general y = ln f ( x ) " ! = dx f ( x ) 4. Regla de la función exponencial y = e x " !dy = e x dx dy La versión general y = e f ( x) " ! = f #( x )e f ( x) dx ! Dos o más funciones de la misma variable- f ( x ),g( x ),h ( x ) son funciones. ! d [ f ( x ) ± g( x )] df ( x ) dg( x ) 1. Regla de la suma y = f ( x ) ± g( x ) = ± = f "( x ) ± g"( x ) ! dx dx dx dy • Ejemplo 1 y = 7x 4 + 2x 3 " 3x + 37 # = 28x 3 + 6x 2 " 3 dx ! dy • Ejemplo 2 y = ax 2 + bx + c " ! = 2ax + b dx dy • Ejemplo 3 y = ax " + bx # + c $ ! = "ax " %1 + #bx # %1 dx ! 2. Regla del producto y = f ( x ) g( x ) d [ f ( x ) g( x )] ! = f ( x ) dg( x ) + g( x ) df ( x ) = f ( x ) g"( x ) + g( x ) f "( x ) dx dx dx ! dy • Ejemplo 1 y = (2x + 3)( 3x ) " 2 = (2x + 3)(6x ) + (2)( 3x 2 ) = 18x 2 + 18x o, en dx este caso podemos multiplicar primer, y después tomamos la derivada.! dy y = (2x + 3)( 3x 2 ) = 6x 3 + 9x 2 " = 18x 2 + 18x . Pero, en algunos casos no se dx ! puede. !
  2. 2. 2 • La regla sirve en los casos de más que 2 funciones. Si y = f ( x ) g( x ) h ( x ) d [ f ( x ) g( x ) h ( x )] dg( x ) df ( x ) dh ( x ) = f ( x ) h( x ) + g( x ) h ( x ) + g( x ) f ( x ) = dx dx dx dx f ( x ) h ( x ) g"( x ) + g( x ) h ( x ) f "( x ) + g( x ) f ( x ) h"( x ) ! f ( x) dy g( x ) f #( x ) $ f ( x ) g#( x ) 3. Regla de cociente y = " = 2 ! g( x ) dx [g( x )] • Ejemplo 1 y = (2x " 3) # dy = ( x + 1)2 " (2x " 3)1 = 5 2 2 ( x + 1) dx ( x + 1) ( x + 1) ! • Ejemplo 2 y = (ax 2 + b) " dy = cx2ax # (ax 2 + b)c = c(ax 2 # b) = ax 2 # b 2 cx dx (cx ) c2x2 cx 2 ! Funciones de variables diferentes- x, y,w,z son variables y f ( y ),g( x ),h ( w ) son funciones. ! ! dz dz dy ! 1. Regla de la cadena z = f ( y ) y = g( x ) " = = f #( y ) g#( x ) También dx dy dx podemos obtener este resultado con la sustitución de g( x ) en la función dz z = f ( y ) = f [ g( x )] " = f #[ g( x )] g#( x ) = f #( y ) g#( x ) ! dx dz • Ejemplo 1 z = 3y 2 y = 2x + 5 " ! = (6y )(2) = 12y = 12(2x + 5) = 24 x + 60 dx 17! • Ejemplo 2 z = ( x + 3x " 2) Sea que y = ( x 2 + 3x " 2) # z = y17 Entonces 2 dz dy = 17y16 = 2x + 3 dy! dx dz dz dy 16 != = (17y16 )(2x + 3)! 17( x 2 + 3x " 2) (2x + 3) = dx dy dx ! Usos en economía (funciones de una variable). • Función de producción donde hay nada más un factor de producción, digamos el ! dy trabajo. y = f ( l) " = f #( l) la derivada es el producto marginal de trabajo dl • Función de consumo en el modelo keynesiano tradicional. Consumo actual es una función de ingreso actual (la única variable) y una cantidad fija, se dC !denomina consumo autónomo. C = C + c (Y ) " = c#(Y ) La derivada es la dY propensión marginal de consumo. Típicamente, en los cursos introductorias de dC macro, la función c (Y ) es lineal (c es constante) tanto que c (Y ) = cY " = c. dY ! ! !
  3. 3. 3 • Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma dQd Qd = Q( P ) , P es el precio del producto. = Q"( P ) La elasticidad de dP dQd P demanda respecto el precio (del mismo bien) es " d = dP Qd ! • Tasas de crecimiento. Una variable y cambio con tiempo t. Escribimos ! dy y = f (t) " dy = f #( t ) La tasa de cambio (o crecimiento) de y es dt = f "( t ) . dt ! y f (t ) Obsérvense que podemos escribir la función y = f ( t ) en logaritmos ln y = ln f ( t ) y usamos la regla de logaritmos para obtener la tasa de ! dy ! d ln y f "( t ) crecimiento. = = dt ! dt f (t) y ! Funciones de más de una variable-Derivadas Parciales Las reglas ! arriba aplican con cambios de la notación. Es importante señalar que la por derivada parcial muestra el efecto de un cambio incremental de una de las variables explicativas tiene en el valor de la función, manteniendo todas las otras variables constantes. Concepto: Consideremos una función y = f ( x1, x 2 x 3 ,K, x n ) donde las variables xi, i = 1, 2, … n, son todas independientes entre sí. Supongamos que una de las variables xi, digamos x2, cambia y mientras todas las otras permanecen constantes. La nueva función es y + "y = f ( x1, x 2 + "x 2 , x 3 ,K, x n ) . El cociente incremental es ! "y f ( x1, x 2 + "x 2 , x 3 ,K, x n ) # f ( x1, x 2 , x 3 ,K, x n ) "y %y = y lim $ = f 2 es la derivada "x 2 "x 2 "x 2 #0 "x 2 %x 2 parcial de y con respecto a x2. ! "y! • Ejemplo 1 y = f ( x1, x 2 ) = 3x12 + x1 x!+ 4 x 2 2 2 # f1 ( x1, x 2 ) # f1 = 6x1 + x 2 "x1 "y # f 2 ( x1, x 2 ) # f 2 = x1 + 8x 2 "x 2 ! ! • Ejemplo 2 y = f ( x1, x 2 ) = ( x1 + 4 )( 3x1 + 2x 2 ) "y ! # f1 = 1( 3x1 + 2x 2 ) + ( x1 + 4 ) 3 = ( 3x1 + 2x 2 ) + ( 3x1 + 12) = 6x1 + 2x 2 + 12 o "x1 podemos multiplicar antes y = ( x1 + 4 )( 3x1 + 2x 2 ) = 3x12 + 12x1 + 2x1 x 2 + 8x 2 y ! después, tomamos la derivada parcial. De modo parecido, la segunda derivada "y ! parcial es # f 2 = 0( 3x1 + 2x 2 ) + ( x1 + 4 )2 = ( 3x1 + 12) = 2x1 + 8 "x 2 ! • Ejemplo 3 y = ( x1 + 4) "y ( 3x1 + 2x 2 )1# ( x1 + 4 ) 3 = = 2x 2 #12 2 2 ! (3x1 + 2x 2 ) "x1 (3x1 + 2x 2 ) (3x1 + 2x 2 ) ! !
  4. 4. 4 Varios ejemplos del uso de derivadas parciales en economía. • Función de producción de dos o más factores de producción. #y #y y = f ( l,k ) " = f l , = f k la primera derivada parcial (en este caso) es el #l #k producto marginal de trabajo y la segunda es el producto marginal de capital. • Elasticidades en un punto-Sea que la demanda de mercado tiene una forma "Q d ! Qd = Q( P,Y ) , P es el precio del producto y Y es ingreso. = QP La "P #Q d P elasticidad de demanda respecto el precio (del mismo bien) es "d = #P Q d ! ! Diferencial total-una derivada, total o parcial, es el cociente de dos cambios. A veces, queremos ver el cambio de la variable dependiente cuando hay uno o más cambios infinitesimales de las variables explicativas. ! En el caso de la función de una variable explicativa y = f ( x ) la diferencial total es dy = f "( x ) dx Los símbolos dy y dx se llaman las diferenciales de y y x, respectivamente. • Ejemplo-función de consumo (versión lineal) en el modelo keynesiano ! C = C + cY " dC = cdY En esta forma, podemos decir que un cambio! específico (pequeño) de Y por la propensión marginal de consumo (constante en este caso, modelo lineal) produce un cambio de C ! En el caso de la función de más que una variable explicativa como y = f ( x1, x 2 ) la "y "y diferencial total es dy = f1 ( x1, x 2 ) dx1 + f 2 ( x1, x 2 ) dx 2 = dx1 + dx 2 "x1 "x 2 • Ejemplo-función de producción de Cobb-Douglas. ! y = l" k1#" $ dy = "l" #1k1#" dl + (1# " ) l" k #" dk Obsérvense que los términos antes de dl y dk son los productos marginales de trabajo y capital, ! respectivamente. • Modelo Keynesiano tradicional (cruz keynesiana lineal) ! 1 c Y = C + c (Y " T ) + G + I + N X # Y = 1" c (C + G + I + NX ) " 1" c T 1 c Escribimos la diferencial total dY = (dC + dG + dI + dNX ) " 1" c dT . Los 1" c 1 "c ! términos son los multiplicadores de gastos autónomos y impuestos 1" c 1" c (de cuota fija) ! Derivada total-Consideremos una función y = f ( x1, x 2 ,z) donde las variables xi, i = 1, 2 ! son funciones de la otra variable z. Así, las variables explicativas no son independientes dy entre sí. x1 = g( z) x 2 = h ( z) . Queremos determinar . dz ! "y "y "y 1. dy = dx1 + dx 2 + dz "x1 "x 2 "z ! ! !
  5. 5. 5 dy "y dx1 "y dx 2 "y2. Dividimos por dz = + + En palabras, la expresión dz "x1 dz "x 2 dz "z muestra que hay tres formas que la variable z afecta la variable y. Dos indirectos, pos sus efectos en las otras variables x2 y x2 y el efecto directo. ! dx dx3. Obsérvense: dx1 = g"dz # 1 = g" dx 2 = h"dz # 2 = h" dz dz !

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