LÍMITES1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.Decir que x tiende a un número a significa que x toma valores próximos, tanto como se dese...
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3. LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.3.1 Cuando ax →( ) ( )aPxPax=→lim pues las funciones polinómicas son continuas.Ejemplo...
+∞==→ 011lim0 xx−∞=−=−⋅−=−−→ 03111313lim1 xxx ( )+∞==−−→ 05432lim 24 xxx• Caso 3: si ( ) 0=aQ y ( ) 0=aP entonces el punto...
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FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES• Caso 1: ∞∞Esta indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador por la p...
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FUNCIONES EXPONENCIALES• Caso 6: ∞1La indeterminación desaparece aplicando la siguiente regla:[ ] )(1)(lim)(1)(lim)(lim1)(...
INFINITÉSIMOS EQUIVALENTESDos funciones ( )xf y ( )xg son equivalentes en un punto ax = si el límite de su cocienteen dich...
De la misma forma que en los dos límites anteriores se deduce:• 1arcsinlim0=→ xxx• 1arctanlim0=→ xxx•12cos1lim 20=−→ xxx• ...
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01 límites de funciones

  1. 1. LÍMITES1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.Decir que x tiende a un número a significa que x toma valores próximos, tanto como se desee, aa ya sean mayores o menores y se representa ax → . De la misma manera, decir que ( )xf tiende aun número l significa que ( )xf toma valores próximos a l.Para escribir que el límite cuando x tiende a un número a de una función ( )xf es un número lutilizamos la siguiente notación: ( ) lxfax=→limEl comportamiento de ( )xf debe ser el mismo tanto si x se acerca a a por la derecha como porla izquierda. En este caso diremos existe el límite y que el ( ) lxfax=→limSi( )( )( ) lxflxflxfaxaxax=⇒==→→→−+limlimlim• Caso 1: si ( )xf está definida en el punto a suele cumplirse que ( ) ( )afxfax=→lim . En estecaso la función es continua en el punto a. Para calcular el límite se sustituye a en lafunción.Ejemplo 1: Calcular el xx28loglim→xy 2log=7´9 98189´29´7log2 =7´99 99820´299´7log2 =7´999 99982´2999´7log2 =8´001 00018´3001´8log2 =8´01 00180´301´8log2 =8´1 01792´31´8log2 =1
  2. 2. 3loglim3loglim3loglim282828=⇒==→→→+−xxxxxxAdemás ( ) ( )afxfax=→lim pues 38log2 = .• Caso 2: si ( )xf NO está definida en el punto a y en sus proximidades tampoco, no tienesentido calcular el límite.Ejemplo 2: Calcular el xxlim1−→. No tiene sentido porque la función no está definidapara valores próximos a -1.• Caso 3: si ( )xf NO está definida en el punto a pero los límites laterales no coinciden, ellímite no existe.Ejemplo 3: Calcular el1lim0 xx→xy1=-0´1 101´01−=−-0´001 1000001´01−=−-0´00001 10000000001´01−=−0´00001 10000000001´01=0´001 1000001´01=0´1 101´01=xxxxxx 1lim1lim1lim000→→→∃/⇒∞+=−∞=+−• Caso 4: si ( )xf NO está definida en el punto a pero los límites laterales coinciden, y portanto el límite existe. Estos límites se calculan por métodos más específicos.Ejemplo 4: Calcular el11lim 21 −−→ xxx112−−=xxy0´9 52631´019´019´02=−−0´99 50251´0199´0199´02=−−0´999 50025´01999´01999´02=−−1´001 49975´01001´11001´12=−−1´01 49751´0101´1101´12=−−1´1 47619´011´111´12=−−2
  3. 3. 0´511lim0´511lim0´511lim212121=−−⇒=−−=−−→→→+−xxxxxxxxxSin embargo00111111lim 221=−−=−−→ xxx• Caso 5: si ( )xf es una función a trozos, además de los casos anteriores debemos estudiarel límite en los puntos de unión de los distintos trozos.Ejemplo 5: Calcular el ( )xfxlim1→siendo ( )≥−<+−=1xsi21xsi232xxxxf( )( ) 1122limlim0213123limlim112211=−===+⋅−=+−=−−−−→→→→-xxfxxxfxxxx2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.Si ( ) Axfax=→lim y ( ) Bxgax=→lim , entonces:1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) BAxgxfxgxfaxaxax±=±=±→→→limlimlim2. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] BAxgxfxgxfaxaxax⋅=⋅=⋅→→→limlimlim3. ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 0conlimlimlim ≠=÷=÷→→→BBAxgxfxgxfaxaxax4. kkax=→lim3
  4. 4. 3. LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.3.1 Cuando ax →( ) ( )aPxPax=→lim pues las funciones polinómicas son continuas.Ejemplo:( ) ( ) 4521512152lim23231−=−+−=−−⋅+−=−+−→xxx3.2 Cuando ±∞→x( ) ±∞=±∞→xPxlim dependiendo del signo del término de mayor grado y el grado delpolinomio.Ejemplos:+∞=−++∞→52lim 23xxx−∞=−+−∞→52lim 23xxx−∞=++−+∞→142lim 3xxx+∞=++−−∞→142lim 3xxx+∞=−+∞→34lim xxx+∞=−−∞→34lim xxx−∞=+−+∞→6lim 2xx−∞=+−−∞→6lim 2xx4. LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES.4.1 Cuando ax → ( ) ( )( )xQxPxf =• Caso 1: si ( ) 0≠aQ entonces( )( )( )( )aQaPxQxPax=→limEjemplo:( )( ) ( ) 2131212133223lim 221−=+−⋅+−+−⋅=+++−→ xxxx• Caso 2: si ( ) 0=aQ y ( ) 0≠aP entonces aunque el límite no existe se dice que ellímite es infinito( )( )( )( )±∞==≠=→ 00limaQaPxQxPaxEjemplos:4
  5. 5. +∞==→ 011lim0 xx−∞=−=−⋅−=−−→ 03111313lim1 xxx ( )+∞==−−→ 05432lim 24 xxx• Caso 3: si ( ) 0=aQ y ( ) 0=aP entonces el punto a es solución de los polinomiosP y Q, por lo tanto dichos polinomios se pueden factorizar siendo uno de los factores( )ax − . Tendremos entonces que resolver un nuevo límite:( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )xQxPxQaxxPaxxQxPaxaxax1111limlimlim→→→=⋅−⋅−=Ejemplos:( )( ) 2111lim111lim00111111lim11221=+=−+−==−−=−−→→→ xxxxxxxxx( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )6162161126lim2161lim00231652123652lim2316521lim00254161133125461133lim212122312231232341=−−=−−−==−−−=−⋅−−−⋅−==+−+−−=+−+−−==+−⋅−+−−⋅−==−+−−+−−=−+−−+−−→→→→→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx4.2 Cuando ±∞→x ( ) ( )( )xQxPxf =( )( ) ∞±∞±=±∞→ xQxPxlim pues P y Q son polinomios. Se resuelven dividiendo ambos polinomiospor la parte literal del término de mayor grado que haya en la función.• Caso 1: si ( ) ( )xQgrxPgr <( )( )0lim =±∞→ xQxPxEjemplo:100010032123lim3223lim3223lim3223lim222222222222=+++==+++=+++=+++=∞∞=++++∞→+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx• Caso 2: si ( ) ( )xQgrxPgr =( )( ) nnx baxQxP=±∞→lim siendo na y nb los coeficientesprincipales de P y Q respectivamente.Ejemplo:5
  6. 6. 350030544335lim44335lim44335lim44335lim22222222222222=−++==−++=−++=−++=∞∞=−+++∞→+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx• Caso 3: si ( ) ( )xQgrxPgr >( )( )±∞=±∞→ xQxPxlimEjemplo:−∞=−=−+−==−+−=−+−=−+−=∞∞=−+−+∞→+∞→+∞→+∞→0300034183lim483lim483lim483lim2222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx5. LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES.5.1 Cuando ax → ( )xfSi la función ( )xf está definida en a, suele verificarse: ( ) ( ) ( )afxfxfaxax==→→limlimEn caso de obtener expresiones no definidas (por ejemplo 0/0), el límite puede resolversehaciendo transformaciones algebraicas en la expresión inicial; la estrategia más clásicaconsiste en multiplicar y dividir por expresiones conjugadas.Ejemplos:( ) 3951452lim52lim77==−=−=−→→xxxx( ) ( )( )25lim555lim525lim00525lim55225225=+=−⋅−⋅+=−−==−−→→→→ xxxxxxxxxxxxxxxx( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2111lim111lim1111lim0011lim1111=+=+⋅−−=+⋅−+⋅−==−−→→→→ xxxxxxxxxxxxxx( )( ) ( ) 2221214lim444lim164lim00164lim44224224===+=−⋅+−⋅=−−==−−→→→→ xxxxxxxxxxxxxxxx( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 21121lim1233lim12312lim1231212lim00312lim33333=+−=+−⋅−−==+−⋅−−−=+−⋅−+−⋅−−==−−−→→→→→xxxxxxxxxxxxxxxxxx5.2 Cuando ±∞→x ( )xf6
  7. 7. ( ) ( )xfxfxxlimlim±∞→±∞→= . Si hay cocientes, suele ser válida la regla de los gradosutilizada con las funciones racionales.Ejemplos:+∞=+∞→xxlim03lim =+∞→ xx2141542lim542lim 2222==++=∞∞=+++∞→+∞→ xxxxxxxxxx+∞==⋅=∞∞=+∞→+∞→+∞→ 2lim2lim2limxxxxxxxxx2454lim54lim 2222==−=− +∞→+∞→ xxxxxxxx21214lim32lim1432lim1432lim1432lim1432lim22222222==+−+==+−+=+−+=+−+=∞∞=+−++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+∞==−+==−+=−+=−+=∞∞=−++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→0245lim32lim4532lim4532lim4532lim4532lim42322423224232222322232xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2124lim52lim452lim452lim452lim452lim22222222==++==++=++=++=∞∞=+++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx7
  8. 8. 02052lim32lim5232lim5232lim5232lim5232lim224322432243222323==−+−==−+−=−+−=−+−=∞∞=−+−+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2454lim54lim 2222==−=− +∞→+∞→ xxxxxxxx6. LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALESEn general se cumple:( ) ( )xfxfaxaxee →=→limlim y( ) ( )xfxfxxee ±∞→=±∞→limlimEjemplos:+∞=== ∞++∞→+∞→eeexxxxlimlim011limlim=∞+==== ∞+∞−−∞→−∞→eeeexxxx+∞=== ∞++++∞→+∞→eeexxxx12lim12lim011lim3lim3=∞+==== ∞+∞−−∞→−∞→eeeexxxx011lim22 lim=∞+==== ∞+∞−−−+∞→+∞→eeeexxxx1lim 011lim1==== ∞−−∞→−∞→eeee xxxx1lim 011lim122==== ∞++∞→+∞→eeee xxxx424lim24lim eee xxxxxx==−−+∞→+∞→7. LÍMITES DE FUNCIONES LOGARÍTMICASEn general se cumple: ( )[ ] ( )[ ]xfxfaxbbax →→= limlogloglim y( )[ ] ( )[ ]xfxfxbbx +∞→+∞→= limlogloglimEjemplos:8
  9. 9. [ ] [ ] ( ) +∞=∞+==+∞→+∞→bxbbxxx loglimlogloglim[ ] [ ] ( ) −∞=== +→→ ++0loglimlogloglim00bxbbxxx( ) −∞==∞+== ++∞→+∞→0log1log1limlog1loglim bbxbbx xx( ) ( ) +∞=∞+=−±∞→log1loglim 2xx( ) −∞==+=+++∞→+∞→0log12limlog12loglim 22xxxxxx110log510limlog510loglim ==+=+ +∞→+∞→ xxxxxx01log5limlog5loglim ==+=+ +∞→+∞→ xxxxxx( ) −∞==+=+++∞→+∞→0log1210limlog1210loglimxx xx( ) +∞=∞+=+=+ +∞→+∞→log52limlog52loglim22xxxxxx8. OPERACIONES CON EL INFINITO+∞=±∞+ k+∞=∞+∞+−∞=±∞− k−∞=∞−∞−ACIÓNINDETERMIN=∞−∞+( ) ( ) ±∞=∞+⋅±k( ) ( ) ∞=∞−⋅± k( ) ( ) ±∞=∞+⋅∞±( ) ( ) ∞=∞−⋅∞± 0=∞±±k±∞=±∞±kACIÓNINDETERMIN=∞±∞±( ) ±∞=∞±+k( ) 0=∞±−k9. LÍMITES INDETERMINADOS1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º∞∞0k00∞−∞ ∞⋅0 ∞1 00 0∞FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES FUNC. EXPONENCIALES9
  10. 10. FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES• Caso 1: ∞∞Esta indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador por la parte literaldel término de mayor grado.411114lim114lim114lim22222222=+−+=+−+=∞∞=+−+∞→∞→∞→xxxxxxxxxxxxxx1111limlimlimlim2222=+=+=+=∞∞=+∞→∞→∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxRegla:- Si ( ) ( )QgrPgr < el límite es 0- Si ( ) ( )QgrPgr = el límite es el cociente de los coeficientes de los términos demayor grado.- Si ( ) ( )QgrPgr > el límite es ∞+ ó ∞−• Caso 2:0kcon 0≠kEsta indeterminación desaparece cuando los límites laterales son iguales.Si los límites laterales son diferentes, se dice que no existe el límite.límite0111lim0111lim0111lim111∃/⇒−∞==−+∞==−⇒=−−→+→→−+xxxxxx• Caso 3:00La indeterminación desaparece de una de las siguientes formas:- Factorizando numerador y denominador y simplificando.( ) ( ) ( ) 31lim111lim0011lim 212131=++=−++⋅−==−−→→→xxxxxxxxxxx- Multiplicando y dividiendo por el conjugado del radicando y simplificando.10
  11. 11. ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) 211lim11lim1111lim111111lim0011lim00000=−+=−+⋅==−−−+⋅=−+⋅−−−+⋅==−−→→→→→xxxxxxxxxxxxxxxxxx• Caso 4: ∞−∞La indeterminación desaparece de una de las siguientes formas:- Operando la expresión queda inmediato a una de las anteriores indeterminaciones.( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 316232lim3332lim3362lim331262lim331232lim331232lim91232lim33333323==+=+⋅−−⋅=+⋅−−=+⋅−−+==+⋅−−+⋅=+⋅−−−=∞−∞=−−−→→→→→→→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx- Multiplicando y dividiendo por el conjugado del radicando y simplificando.( ) ( )21limlimlimlimlim2222222222=++=∞∞=++=++−+==++++⋅−+=∞−∞=−++∞→+∞→+∞→+∞→+∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx• Caso 5: ∞⋅0Esta indeterminación se resuelve transformándola en otra de tipo ∞∞ó00( ) 0102196lim296lim296lim03223lim4244244==−−=−−=∞∞=−−=∞⋅=−⋅− −∞→−∞→−∞→−∞→xxxxxxxxxxx xxxx11
  12. 12. FUNCIONES EXPONENCIALES• Caso 6: ∞1La indeterminación desaparece aplicando la siguiente regla:[ ] )(1)(lim)(1)(lim)(lim1)(limxgxfxgaxaxaxaxexfxgxf⋅−∞→→→→==⇒∞==DemostraciónRecordemos que ennn=+∞→11limSean na y nb dos sucesiones:( )[ ]( ) ( )( )( ) nnnnnnbaanbnbnbnaaaa⋅−⋅−−+=−+=−+=1111111111111Por tanto el límite de nbna equivale a calcular este otro límite:( )( )( )( )( )( )( ) nnnnnnnnnnnbabaannbaannbnneaaa⋅−⋅−⋅−∞→⋅−⋅−∞→∞→∞→∞→=−+=−+=1lim1lim111111111lim1111limlimEjemplo838lim234lim2337lim2137lim2137lim eeeeexx xxxxxxxxxxxxxxxxx======++ +⋅+⋅+−−+⋅−++∞+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→Las siguientes indeterminaciones se resuelven por la regla del L´Hopital, que se estudia en 2ºde Bachillerato.• Caso 7: 00000lim =+→xxx• Caso 8: 0∞001lim ∞=+→xx x12
  13. 13. INFINITÉSIMOS EQUIVALENTESDos funciones ( )xf y ( )xg son equivalentes en un punto ax = si el límite de su cocienteen dicho punto es 1.( )( )1lim =→ xgxfax⇔ ( )xf ~ ( )xg en ax =El límite de una expresión no varía al sustituir las funciones por otras equivalentes.• 1sinlim0=→ xxxConsideramos la circunferencia de radio 1 y un ángulo x .xxrL =⋅=⋅= 1αSegún el diagrama1sinlim1sinlim11limsinlimcoslim1sincoscos1sin1sintansinsinsintansin00000=⇒<<⇒<<⇒⇒<<⇒<<⇒<<⇒<<→→→→→ xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx• 1tanlim0=→ xxxUtilizamos el diagrama anterior de nuevo:1tanlim1tanlim1coslimtanlim1limcostan11tancos1tantantantansintansin00000=⇒<<⇒<<⇒⇒<<⇒<<⇒<<⇒<<→→→→→ xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxSen x Tg xLongitud del arco = x13
  14. 14. De la misma forma que en los dos límites anteriores se deduce:• 1arcsinlim0=→ xxx• 1arctanlim0=→ xxx•12cos1lim 20=−→ xxx• dfgh14

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