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02 límites de funciones - asíntotas

  1. 1. LÍMITES- ASÍNTOTAS1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a pegarse una función. Son de 3 tipos: verticales,horizontales y oblicuas.• La recta ax = es asíntota verticalde la función ( )xf si:( ) ( )afxfax=→lim• La recta by = es asíntotahorizontal de la función ( )xf si:( ) bxfx=∞→lim• La recta nmxy += es A.O de lafunc. ( )xf si:( )( )[ ]∞≠=−∞≠≠=∞→∞→nnmxxfmmmxxfxxconlimy0conlim1
  2. 2. Ejemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )12−=xxxf( ) { }1Dom101 −ℜ=⇒=⇒=− xfxxverticalasíntotaes1011lim011lim011lim 212121=⇒+∞==−−∞==−⇒∞==−+→−→→+−xxxxxxxxxxhorizontalasíntota011limlim1lim1lim2222222∃/⇒∞==−=−=∞∞=−∞→∞→∞→∞→xxxxxxxxxxxxxx( )oblicuaasíntotaes111lim11lim1lim111limlimlimlim1lim2222222222222+=⇒=−=−−⋅−=∞−∞=−−===−=−=∞∞=−=−=∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→xyxxxxxxxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxmxxxxxxxxEjemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )13 22++=xxxfNo hay asíntotas verticales pues la función está definida en todo ℜhorizontalasíntotaes44131lim3lim13lim 2222=⇒=+=++=++∞→∞→∞→yxxxxxxxEjemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )2552−+=xxxf( ) { }5Dom50252±−ℜ=⇒±=⇒=− xfxxverticalasíntotaes5010255lim 25=⇒∞==−+→xxxx( )( ) 10151lim555lim00255lim5525−=−=−++==−+−→−→−→ xxxxxxxxx2
  3. 3. horizontalasíntotaes001025lim5lim255lim255lim2222222=⇒==−+=−+=∞∞=−+∞→∞→∞→∞→yxxxxxxxxxxxxxxEjemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )122++=xxxxf( ) { }1Dom101 −−ℜ=⇒−=⇒=+ xfxxverticalasíntotaes10112lim0112lim0112lim 212121−=⇒−∞=−=+++∞=−=++⇒−∞=−=+++−→−−→−→+−xxxxxxxxxxxxxhorizontalasíntota011lim2lim12lim12lim2222222∃/⇒∞==++=++=∞∞=++∞→∞→∞→∞→xxxxxxxxxxxxxxxxx( )oblicuaasíntotaes111lim112lim12lim111lim2lim2lim2lim12lim2222222222222+=⇒=+=++⋅−+=∞−∞=−++===++=++=∞∞=++=++=∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→xyxxxxxxxxxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxmxxxxxxxxEjemplo: estudiar las asíntotas de la función ( )1222++=xxxxfNo hay asíntotas verticales pues la función está definida en todo ℜhorizontalasíntota11111lim2lim12lim12lim2222222222=⇒==++=++=∞∞=++∞→∞→∞→∞→yxxxxxxxxxxxxxxxxx3
  4. 4. oblicuaasíntotaes010lim2lim2lim2lim12lim333233323222∃/⇒==++=++=∞∞=++=++=∞→∞→∞→∞→∞→xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxmxxxxx2. LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS.2.1 Cuando ax →• Caso 1: si ( ) ( )xQgrxPgr <( )( )0lim =±∞→ xQxPx• Caso 2: si ( ) ( )xQgrxPgr =( )( ) nnx baxQxP=±∞→lim siendo na y nb los coeficientesprincipales de P y Q respectivamente.• Caso 3: si ( ) ( )xQgrxPgr >( )( )±∞=±∞→ xQxPxlim4

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