1. Solucionario
ACTIVIDADES INICIALES
1.I. Realiza las siguientes operaciones.
a) 2 ؊ 3 ؒ (؊ 4) ؉ 5 ؒ (2 ؒ 3 ؊ 5) ؊ 1
b) ؊3 ؉ ΄5(2؊3
؊ 3) ؊ ΂͙25ෆ ؊ 8΃΂22
؊ ͙4ෆ΃΅ ؉ 10
a) 2 Ϫ 3 и (Ϫ4) ϩ 5 и (2 и 3 Ϫ 5) Ϫ 1 ϭ 2 ϩ 12 ϩ 5 и (6 Ϫ 5) Ϫ 1 ϭ 2 ϩ 12 ϩ 5 Ϫ 1 ϭ 18
b) Ϫ3 ϩ ΂5 и (2Ϫ3
Ϫ 3) Ϫ ΂͙25ෆ Ϫ 8΃ и ΂22
Ϫ ͙4ෆ΃΃ ϩ 10 ϭ Ϫ3 ϩ ΂5 и ΂ᎏ
1
8
ᎏ Ϫ 3΃ Ϫ (5 Ϫ 8) и (4 Ϫ 2)΃ ϩ 10 ϭ
ϭ Ϫ3 ϩ ΂5 и ΂Ϫᎏ
2
8
3
ᎏ΃ ϩ 6΃ ϩ 10 ϭ Ϫ3 Ϫ ᎏ
11
8
5
ᎏ ϩ 6 ϩ 10 ϭ Ϫᎏ
1
8
1
ᎏ
1.II. Simplifica las expresiones siguientes.
a) b)
a) ϭ ᎏ
Ϫ
3
6
6
и
Ϫ
3
5
ᎏ ϭ Ϫᎏ
1
3
1
7
ᎏ ϭ Ϫᎏ
21
1
8
1
7
ᎏ
b) ϭ ϭ ᎏ
22
2
и
Ϫ
3
2
Ϫ
и
1
3
и
Ϫ
2
2
Ϫ4
ᎏ ϭ 3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.1. Resuelve estas operaciones.
a) b)
a) ϭ ϭ ᎏ
4
3
ᎏ ϭ 1,333... ϭ 1,3v
b) ϭ ϭ ᎏ
1
7
2
ᎏ ϭ 1,714285w
1.2. Halla la fracción irreducible que corresponde a los siguientes números racionales.
a) 25,25 b) 25,25v c) 25,25v
a) 25,25 ϭ ᎏ
2
1
5
0
2
0
5
ᎏ ϭ ᎏ
10
4
1
ᎏ
b) N ϭ 25,25w ϭ 25,252525... ⇒ Ά ⇒ 99N ϭ 2500 ⇒ N ϭ ᎏ
25
9
0
9
0
ᎏ
c) N ϭ 25,25v ϭ 25,2555... ⇒ Ά ⇒ 90N ϭ 2273 ⇒ N ϭ ᎏ
22
9
7
0
3
ᎏ
1.3. Calcula la fracción irreducible que representa el resultado de: 25,25 ؉ 25,25v ؉ 25,25v.
25,25 ϩ 25,25v ϩ 25,25v ϭ ᎏ
10
4
1
ᎏ ϩ ᎏ
25
9
0
9
0
ᎏ ϩ ᎏ
22
9
7
0
3
ᎏ ϭ ᎏ
15
1
0
98
0
0
01
ᎏ
100N ϭ 2525,555...
10N ϭ 252,555...
100N ϭ 2525,252525...
N ϭ 25,2525225...
2
ᎏ
ᎏ
7
6
ᎏ
2
ᎏ
1 ϩ ᎏ
1
6
ᎏ
2
ᎏ
ᎏ
3
2
ᎏ
2
ᎏ
1 ϩ ᎏ
1
2
ᎏ
2
—
1 ؉ —
1
6
—
2
—
1 ؉ —
1
2
—
΂ᎏ
1
2
ᎏ΃
Ϫ2
и (3 и 42
)Ϫ1
ᎏᎏ
6Ϫ2
΂2 Ϫ ᎏ
3
2
ᎏ΃
Ϫ2
и (43
Ϫ 42
)Ϫ1
ᎏᎏᎏ
6Ϫ2
33 ϩ ͙9ෆ и ͙22
ϩෆ5ෆ
ᎏᎏ
2 и (Ϫ3) Ϫ 5
΂2 ؊ —
3
2
—΃
؊2
ؒ (43
؊ 42
)؊1
———
6؊2
33 ؉ ͙9ෆ ؒ ͙22
؉ෆ5ෆ
——
2 ؒ (؊3) ؊ 5
1 Números reales

2. 1.4. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
1.5. ¿Cuál de estas expresiones no equivale a a ؊ b ؉ c?
a) (a ؊ b) ؉ c b) a ؊ (b ؉ c) c) a ؉ (c ؊ b)
La expresión del apartado b, que equivale a a Ϫ b – c.
1.6. Razona con ejemplos si son ciertas las siguientes afirmaciones.
a) La suma de dos irracionales es siempre irracional.
b) El producto de dos irracionales es siempre un número irracional.
Es falso. Por ejemplo, ͙2ෆ y Ϫ͙2ෆ son dos números irracionales, y su suma es 0, número racional.
Es falso. Por ejemplo, ͙2ෆ y Ϫ͙2ෆ son dos números irracionales, y su producto es Ϫ2, número racional.
1.7. Se quiere vallar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus lados mide tres quintas partes de la medida
del otro. Además, la diagonal mide 30 m. Calcula el precio que se deberá pagar por hacer el vallado si cada
metro de valla cuesta 25 euros y se desperdicia un 10% del material empleado.
Los lados miden a y ᎏ
3
5
a
ᎏ. Entonces: D ϭ
Ίa2
ϩ
๶΂ᎏ
3
5
a
ᎏ΃
2
๶ ϭ
Ίa2
ϩ
๶ᎏ
9
2
a
5
2
ᎏ
๶ ϭ
Ίᎏ
3
2
4
5
a2
ᎏ
๶ ϭ 30 ⇒ a ϭ 25,725 m
El perímetro mide 2 и ΂a ϩ ᎏ
3
5
a
ᎏ΃ ϭ 82,32 m.
La valla costaría 82,32 и 25 ϭ 2058 euros; pero como se desperdicia el 10% del material, esta cantidad repre-
senta el 90% del precio total. Habría que comprar por un valor de 2058 Ϻ 0,90 ϭ 2286,67 euros.
1.8. Ordena de menor a mayor en cada caso.
a) —
1
4
1
—, —
6
2
8
5
—, —
1
5
4
— y —
2
1
7
0
— c) ͙
4
4ෆ, ͙
3
3ෆ y ͙2ෆ
b) 1,23, 1,23v y 1,23v d) 2,9v, 3 y 3,01v
a) ᎏ
1
4
1
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
7
0
5
0
ᎏ; ᎏ
6
2
8
5
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
7
0
2
0
ᎏ; ᎏ
1
5
4
ᎏ ϭ —
2
1
8
0
0
0
— y ᎏ
2
1
7
0
ᎏ ϭ ᎏ
2
1
7
0
0
0
ᎏ ⇒ ᎏ
2
1
7
0
ᎏ Ͻ ᎏ
6
2
8
5
ᎏ Ͻ ᎏ
1
4
1
ᎏ Ͻ ᎏ
1
5
4
ᎏ
b) 1,23 Ͻ 1,232323… Ͻ 1,2333… ⇒ 1,23 < 1,23v < 1,23v
c) ͙
4
4ෆ ϭ ͙
4
22
ෆ ϭ ͙2ෆ ϭ 1,4142..., ͙
3
3ෆ ϭ 1,4422... ⇒ ͙
4
4ෆ ϭ ͙2ෆ Ͻ ͙
3
3ෆ
d) 2,99... Ͻ 3 Ͻ 3,011... ⇒ 2,9v Ͻ 3 Ͻ 3,01v
1.9. Sean a y b dos números reales negativos. Si a р b, demuestra que el inverso de a es mayor o igual que el
inverso de b.
a р b ⇒ a и ᎏ
1
a
ᎏ р b и ᎏ
1
a
ᎏ ⇒ 1 р ᎏ
b
a
ᎏ ⇒ 1 и ᎏ
1
b
ᎏ р ᎏ
b
a
ᎏ и ᎏ
1
b
ᎏ ⇒ ᎏ
1
b
ᎏ р ᎏ
1
a
ᎏ
a) b)
a) ϭ ϭ ϭ ϭ ᎏ
3 и
5
15
ᎏ ϭ 9
b) ϭ ϭ ϭ ϭ ᎏ
4 и
7
14
ᎏ ϭ 8
14
ᎏ
ᎏ
7
4
ᎏ
14
ᎏ
1 ϩ ᎏ
3
4
ᎏ
15
ᎏ
ᎏ
5
3
ᎏ
15
ᎏ
1 ϩ ᎏ
2
3
ᎏ
—
1 ؉
1
1
5
؉ 2
—
1 ؉
1
—
1 ؉ —
1
2
—
ᎏ
1 ϩ
1
1
5
ϩ 2
ᎏ
1 ϩ
1
ᎏ
1 ϩ ᎏ
1
2
ᎏ
ᎏ
1
1
ϩ
5
3
ᎏ
1 ϩ
1
ᎏ
ᎏ
3
2
ᎏ
ᎏ
1
1
ϩ
4
3
ᎏ
1 ϩ
1
ᎏ
ᎏ
4
3
ᎏ
ᎏ
1 ϩ
1
1
4
ϩ 2
ᎏ
1 ϩ
1
ᎏ
1 ϩ ᎏ
1
3
ᎏ
—
1 ؉
1
1
4
؉ 2
—
1 ؉
1
—
1 ؉ —
1
3
—

3. Solucionario
1.10. A partir del desarrollo de (x ؊ y)2
, siendo x e y no nulos, demuestra que —
y
x
— ؉ —
y
x
— у 2.
(x Ϫ y)2
ϭ x2
ϩ y2
Ϫ 2xy у 0 ⇒ x2
ϩ y2
у 2xy ⇒ ᎏ
x2
x
ϩ
y
y2
ᎏ ϭ ᎏ
x
x
y
2
ᎏ ϩ ᎏ
y
xy
2
ᎏ ϭ ᎏ
y
x
ᎏ ϩ ᎏ
y
x
ᎏ у 2
1.11. Representa en la recta real los siguientes números.
a) 5 b) —
4
7
— c) ؊2 d) ؊—
1
5
2
—
1.12. Escribe los números 17 y 29 como suma de dos cuadrados y representa ͙17ෆ y ͙29ෆ en la recta real.
17 ϭ 42
ϩ 12
29 ϭ 52
ϩ 22
1.13. Representa en la recta real: ͙11ෆ.
͙11ෆ ϭ ͙2 ϩ 9ෆ ϭ ͙΂͙2ෆ΃
2
ෆϩ 32
ෆ ϭ ͙΂͙12
ϩෆෆ12
ෆ΃
2
ϩෆ 32
ෆ
1.14. Desarrolla el valor de la expresión 2x ؊ 3 ؉ |2x ؊ 3| y calcúlala para los casos x ‫؍‬ ؊1, x ‫؍‬ 0 y x ‫؍‬ 2.
2x Ϫ 3 ϩ |2x Ϫ 3| ϭ Ά ϭ
ΆPara x ϭ Ϫ1, el valor de la expresión es 0.
Para x ϭ 0, el valor de la expresión es 0.
Para x ϭ 2, el valor de la expresión es 4 и 2 Ϫ 6 ϭ 2.
1.15. Desarrolla el valor de las siguientes expresiones.
a) |x ؉ 2| ؉ |x ؉ 3| b) x ؉ |x ؉ 2| ؉ |x ؉ 3|
a) |x ϩ 2| ϩ |x ϩ 3|. Los valores absolutos que intervienen se anulan para x ϭ Ϫ2 y x ϭ Ϫ3.
|x ϩ 2| ϩ |x ϩ 3| ϭ
Ά ϭ
Ά
b) x ϩ |x ϩ 2| ϩ |x ϩ 3|. Los valores absolutos que intervienen se anulan para x ϭ Ϫ2 y x ϭ Ϫ3.
x ϩ |x ϩ 2| ϩ |x ϩ 3| ϭ
Ά ϭ
Ά
si x р Ϫ3
si Ϫ3 Ͻ x Ͻ Ϫ2
si x у Ϫ2
Ϫx Ϫ 5
x ϩ 1
3x ϩ 5
si x р Ϫ3
si Ϫ3 Ͻ x Ͻ Ϫ2
si x у Ϫ2
x Ϫ (x ϩ 2) Ϫ (x ϩ 3)
x Ϫ (x ϩ 2) ϩ x ϩ 3
x ϩ x ϩ 2 ϩ x ϩ 3
si x р Ϫ3
si Ϫ3 Ͻ x Ͻ Ϫ2
si x у Ϫ2
Ϫ2x Ϫ 5
1
2x ϩ 5
si x р Ϫ3
si Ϫ3 Ͻ x Ͻ Ϫ2
si x у Ϫ2
Ϫ(x ϩ 2) Ϫ (x ϩ 3)
Ϫ(x ϩ 2) ϩ x ϩ 3
x ϩ 2 ϩ x ϩ 3
4x Ϫ 6 si x у ᎏ
3
2
ᎏ
0 si x Ͻ ᎏ
3
2
ᎏ
si 2x Ϫ 3 у 0
si 2x Ϫ 3 Ͻ 0
2x Ϫ 3 ϩ 2x Ϫ 3
2x Ϫ 3 Ϫ (2x Ϫ 3)
0
2
29
29
0
1
17
17
–2 50– 12
5
4
7
0
3
11
2
2 11

4. 1.16. Dados A ‫؍‬ (2, 4), B ‫؍‬ (؊2, 6] y C ‫؍‬ [؊3, ؉ؕ), calcula:
a) A ഫ B ഫ C b) A പ B പ C c) A പ B ഫ C
a) A ഫ B ഫ C ϭ C ϭ [Ϫ3, ϩϱ) b) A പ B പ C ϭ (2, 4) c) A പ B ഫ C ϭ C ϭ [Ϫ3, ϩϱ)
1.17. Expresa mediante intervalos y gráficamente los siguientes conjuntos de números reales.
a) |x ؊ 2| Ͻ 2 b) |x ؉ 3| у 1 c) |x ؉ 1| р 2
1.18. Halla los errores absoluto y relativo que se cometen al utilizar 1,7 como aproximación de —
1
7
2
—.
Error absoluto: Ea ϭ Έᎏ
1
7
2
ᎏ Ϫ 1,7Έ ϭ ᎏ
7
1
0
ᎏ Error relativo: Er ϭ ϭ ᎏ
1
1
20
ᎏ
1.19. Calcula las mejores aproximaciones por defecto y por exceso y el redondeo de ͙2ෆ a la unidad, la centési-
ma y la diezmilésima.
1.20. (TIC) Calcula las siguientes operaciones y da el resultado en notación científica.
a) 0,00048 ؉ 0,000059 d) 0,0000015 Ϻ 0,000003 g)
b) 35000000 ؊ 720000000 e)
c) 250000 ؒ 5,5 ؒ 105
f)
a) 5,39 и 10Ϫ4
d) 5 и 10Ϫ1
g) 1,425 и 10Ϫ11
b) Ϫ6,85 и 108
e) 1,158 и 10Ϫ2
c) 1,375 и 1011
f) 1,728 и 103
0,00016 ؒ (25 ؒ 103
؉ 2000)
————
0,0025
2,2 ؒ 109
؊ 7,8 ؒ 10؊14
———
1,9 ؒ 1011
1023
ؒ 5,6 ؒ 10؊12
———
3,5 ؒ 1022
؉ 4,3 ؒ 1021
ᎏ
7
1
0
ᎏ
ᎏ
ᎏ
1
7
2
ᎏ
Unidad Centésima Diezmilésima
Defecto 1 1,41 1,4142
Exceso 2 1,42 1,4143
Redondeo 1 1,41 1,4142
a) (0, 4)
b) (؊ؕ, ؊4] ഫ [؊2, ؉ؕ)
c) [؊3, 1]
0 4
0–2–4
0 1–3

5. Solucionario
1.21. Un átomo de hidrógeno (H) pesa 1,66 ؒ 10؊24
gramos.
a) ¿Cuántos átomos de H se necesitan para obtener 20 kg de ese gas?
b) ¿Cuál es la masa de 2,524 ؒ 1026
átomos de H?
c) Si 2 gramos de hidrógeno molecular ocupan un volumen de 22,4 L a 0 ؇C y a la presión atmosférica nor-
mal, ¿cuántas moléculas de hidrógeno contendría un recipiente de 5 L en estas condiciones?
a) ᎏ
1,6
2
6
0
и
00
1
0
0Ϫ24
ᎏ ϭ 1,205 и 1028
átomos serán necesarios para juntar una masa de 20 kg.
b) 2,524 и 1026
и 1,66 и 10Ϫ24
ϭ 419 g ϭ 0,419 kg
c) El recipiente de 5 litros contiene ᎏ
2
22
и
,4
5
ᎏ gramos de hidrógeno, es decir, ᎏ
2
22
и
,4
5
ᎏ Ϻ (1,66 и 10Ϫ24
) ϭ 2,689 и 1023
áto-
mos de hidrógeno. Cada molécula está compuesta por dos átomos, por lo que habrá 1,345 и 1023
moléculas
en total.
1.22. La masa de la Tierra es de 5,97 ؒ 1024
kg, y la de Plutón, de 1,29 ؒ 1022
.
a) ¿Cuántas veces es más masiva la Tierra que Plutón?
b) Suponiendo que ambos planetas fueran esferas perfectas con radios de 6371 y 1160 km, respectivamente,
calcula la densidad aproximada de cada uno de ellos.
a) ᎏ
5
1
,
,
9
2
7
9
и
и
1
1
0
0
2
2
4
2
ᎏ ϭ 463 veces mayor es la masa de la Tierra respecto de la de Plutón.
b) Densidad de la Tierra ϭ ᎏ
Vo
M
lu
a
m
sa
en
ᎏ ϭ ϭ 5,5 и 1012
kg/km3
ϭ ᎏ
5,5 и 1
1
0
0
12
15
и 1000
ᎏ ϭ 5,5 g/cm3
Densidad de Plutón ϭ ᎏ
Vo
M
lu
a
m
sa
en
ᎏ ϭ ϭ 1,97 и 1012
kg/km3
ϭ 1,97 g/cm3
1.23. Simplifica las siguientes expresiones.
a)
Ί—
3
2
—
๶ ؉ ͙6ෆ b) ͙2ෆ ؉ —
3
2
—͙8ෆ ؊ —
1
4
—͙18ෆ c) d)
ΊΊ—
͙
͙
2๶2ෆ
0ෆ
؉
๶؉
͙
͙๶8ෆ
5ෆ
—
๶๶
a)
Ίᎏ
3
2
ᎏ
๶ ϩ ͙6ෆ ϭ ᎏ
͙
͙
3ෆ
2ෆ
ᎏ ϩ ͙6ෆ ϭ ᎏ
͙
͙
3ෆ
2ෆ
и
и
͙
͙
2ෆ
2ෆ
ᎏ ϩ ͙6ෆ ϭ ᎏ
͙
2
6ෆ
ᎏ ϩ ͙6ෆ ϭ ᎏ
3
2
ᎏ͙6ෆ
b) ͙2ෆ ϩ ᎏ
3
2
ᎏ͙8ෆ Ϫ ᎏ
1
4
ᎏ͙18ෆ ϭ ͙2ෆ ϩ ᎏ
3
2
и 2
ᎏ͙2ෆ Ϫ ᎏ
3
4
ᎏ͙2ෆ ϭ ͙2ෆ ϩ 3͙2ෆ Ϫ ᎏ
3
4
ᎏ͙2ෆ ϭ ᎏ
1
4
3
ᎏ͙2ෆ
c) ϭ ϭ ϭ 25
и ͙
6
22
ෆ ϭ 25
и ͙
3
2ෆ
d)
ΊΊᎏ
͙
͙
2๶2ෆ
0ෆ
ϩ
๶ϩ
͙
͙๶8ෆ
5ෆ
ᎏ
๶๶ϭ
ΊΊᎏ
͙
2͙
2ෆ
๶5ෆ
ϩ
๶ϩ
2͙
͙๶2ෆ
5ෆ
ᎏ
๶๶ϭ
ΊΊᎏ
3
3
͙
͙๶2ෆ
5ෆ
ᎏ
๶๶ϭ
Ί4
Ίᎏ
2
5
ᎏ
๶๶ ϭ
Ί8 ᎏ
2
5
ᎏ
๶ ϭ ᎏ
͙
͙
8
8
2ෆ
5ෆ
и
и
͙
͙
8
8
5
5
7
ෆ
7
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
͙
8
2
5
и 57
ෆ
ᎏ
1.24. Opera y simplifica las siguientes expresiones.
a) 128
—
1
2
—
؉ 162
—
3
2
—
b) ͙2͙2͙ෆ2ෆෆෆ
a) 128
ᎏ
1
2
ᎏ
ϩ 162
ᎏ
3
2
ᎏ
ϭ ͙128ෆ ϩ ͙1623
ෆ ϭ ͙27
ෆ ϩ ͙23
и 3ෆ12
ෆ ϭ 23
͙2ෆ ϩ 2 и 36
͙2ෆ ϭ 8͙2ෆ ϩ 1458͙2ෆ ϭ 1466͙2ෆ
b) ͙2͙2͙ෆ2ෆෆෆ ϭ ͙͙23
͙ෆ2ෆෆෆ ϭ ͙͙͙27
ෆෆෆ ϭ ͙
8
27
ෆ
25
и ͙
6
24
ෆ и ͙
6
23
ෆ
ᎏᎏ
͙
6
25
ෆ
24
и ͙
3
22
ෆ и 2͙2ෆ
ᎏᎏ
͙
6
25
ෆ
16 и ͙
3
4ෆ и ΂͙2ෆ΃
3
ᎏᎏ
͙͙
3
32ෆෆ
16 ؒ ͙
3
4ෆ ؒ ΂͙2ෆ΃
3
——
͙͙
3
32ෆෆ
1,29 и 1022
kg
ᎏᎏ
ᎏ
4
3
ᎏ␲ и 11603
km3
5,97 и 1024
kg
ᎏᎏ
ᎏ
4
3
ᎏ␲ и 63713
km3

6. 1.25. Racionaliza los siguientes denominadores.
a) —
2͙
5
5ෆ
— b) —
2͙
5
4
5ෆ
— c) —
2͙5ෆ
5
؉ 1
—
a) ᎏ
2͙
5
5ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
2͙
5͙
5ෆ͙
5ෆ
5ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
5
1
͙
0
5ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
͙
2
5ෆ
ᎏ
b) ᎏ
2͙
5
4
5ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
2͙
5
4
5ෆ
и
и
͙4
͙
5
4
3
ෆ
53
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
5
2
и
и
͙4
5
53
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
͙4
2
53
ෆ
ᎏ
c) ᎏ
2͙5ෆ
5
ϩ 1
ᎏ ϭ ϭ ϭ ᎏ
1
4
0͙
и 5
5ෆ
Ϫ
Ϫ
1
5
ᎏ ϭ ᎏ
10͙
1
5ෆ
9
Ϫ 5
ᎏ
1.26. Simplifica la expresión .
ϭ ϭ ϭ ϭ 1044
1.27. (TIC) Desarrolla las siguientes potencias.
a) ΂3 ؊ 2͙3ෆ΃
5
b) ΂2x ؉ —
3
4
x
—΃
4
a) ΂3 Ϫ 2͙3ෆ΃
5
ϭ ΂ ΃и 35
Ϫ ΂ ΃и 34
и ΂2͙3ෆ΃ ϩ ΂ ΃и 33
и ΂2͙3ෆ΃
2
Ϫ ΂ ΃и 32
и ΂2͙3ෆ΃
3
ϩ ΂ ΃и 3 и ΂2͙3ෆ΃
4
Ϫ ΂ ΃и ΂2͙3ෆ΃
5
ϭ
ϭ 243 Ϫ 5 и 81 и 2͙3ෆ ϩ 10 и 27 и 12 Ϫ 10 и 9 и 24͙3ෆ ϩ 5 и 3 и 144 Ϫ 32 и 9͙3ෆ ϭ 5643 Ϫ 3258͙3ෆ
b) ΂2x ϩ ᎏ
3
4
x
ᎏ΃
4
ϭ ΂ ΃ и (2x)4
ϩ ΂ ΃ и (2x)3
и ᎏ
3
4
x
ᎏ ϩ ΂ ΃ и (2x)2
и ΂ᎏ
3
4
x
ᎏ΃
2
ϩ ΂ ΃ и 2x и ΂ᎏ
3
4
x
ᎏ΃
3
ϩ ΂ ΃ и ΂ᎏ
3
4
x
ᎏ΃
4
ϭ
ϭ 16x4
ϩ 4 и 8x3
и ᎏ
3
4
x
ᎏ ϩ 6 и 4x2
и ᎏ
9
1
x
6
2
ᎏ ϩ 4 и 2x и ᎏ
2
6
7
4
x3
ᎏ ϩ ᎏ
8
2
1
5
x
6
4
ᎏ ϭ 16x4
ϩ ᎏ
12
3
8
ᎏx2
ϩ ᎏ
12
3
8
ᎏ ϩ ᎏ
2
5
7
1
x
2
2
ᎏ ϩ ᎏ
8
2
1
5
x
6
4
ᎏ
1.28. Halla el sexto término de los desarrollos de:
a) ΂͙2ෆ ؉ 2͙8ෆ΃
9
b) (3a2
؉ 2ab)8
a) T6 ϭ ΂ ΃ и ΂͙2ෆ΃
4
и ΂2͙8ෆ΃
5
ϭ 126 и 4 и 4096͙2ෆ ϭ 2064384͙2ෆ
b) T6 ϭ ΂ ΃ и (3a2
)3
и (2ab)5
ϭ 56 и 27a6
и 32a5
b5
ϭ 48384a11
b5
1.29. Calcula el término independiente del desarrollo de la potencia ΂—
x
3
2
— ؉ 5x΃
12
.
Tk ϭ ΂ ΃ и ΂ᎏ
x
3
2
ᎏ΃
13 Ϫ k
и (5x)k Ϫ 1
ϭ ΂ ΃ и ϭ ΂ ΃313 Ϫ k
и 5k Ϫ 1
и x3k Ϫ 27
3k Ϫ 27 ϭ 0 ⇒ k ϭ 9 ⇒ T9 ϭ ΂ ΃313 Ϫ 9
и 59 Ϫ 1
ϭ 495 и 34
и 5812
8
12
k Ϫ 1
313 Ϫ k
и 5k Ϫ 1
и x k Ϫ 1
ᎏᎏᎏ
x26 Ϫ 2k
12
k Ϫ 1
12
k Ϫ 1
8
5
9
5
4
4
4
3
4
2
4
1
4
0
5
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
30 и 29 и 28 и 27
ᎏᎏᎏ
630
΂ᎏ
3
4
0
ᎏ΃ и 4!
ᎏᎏ
630
΄΂ᎏ
2
3
9
ᎏ΃ ϩ ΂ᎏ
2
4
9
ᎏ΃΅ и 4!
ᎏᎏᎏ
630
΄΂ᎏ
2
3
9
ᎏ΃ ϩ ΂ᎏ
2
2
9
5
ᎏ΃΅ и 4!
ᎏᎏᎏ
630
΄΂—
2
3
9
—΃ ؉ ΂—
2
2
9
5
—΃΅ ؒ 4!
———
630
10͙5ෆ Ϫ 5
ᎏᎏ
΂2͙5ෆ΃
2
Ϫ 12
5΂2͙5ෆ Ϫ 1΃
ᎏᎏᎏ
΂2͙5ෆ ϩ 1΃΂2͙5ෆ Ϫ 1΃

7. Solucionario
1.30. Calcula: log2 16, log3 ͙27ෆ y log5 ͙
3
25ෆ.
log2 16 ϭ log2 24
ϭ 4
log3 ͙27ෆ ϭ log3 ͙33
ෆ ϭ log3 3
ᎏ
3
2
ᎏ
ϭ ᎏ
3
2
ᎏ
log5 ͙
3
25ෆ ϭ log5 ͙
3
52
ෆ ϭ log5 5
ᎏ
2
3
ᎏ
ϭ ᎏ
2
3
ᎏ
1.31. Sabiendo que log2 Ϸ 0,301 y que log3 Ϸ 0,477, halla:
a) log3 8 b) log͙0,012ෆ
a) log3 8 ϭ ᎏ
l
l
o
o
g
g
8
3
ᎏ ϭ ᎏ
l
l
o
o
g
g
2
3
3
ᎏ ϭ ᎏ
3
lo
lo
g
g
3
2
ᎏ Ϸ 1,893
b) log͙0,012ෆ ϭ log
Ίᎏ
1
1
0
2
00
ᎏ
๶ ϭ log΂ᎏ
1
1
0
2
00
ᎏ΃
ᎏ1
2
ᎏ
ϭ ᎏ
1
2
ᎏlogᎏ
1
1
0
2
00
ᎏ ϭ ᎏ
1
2
ᎏ(log12 Ϫ log1000) ϭ ᎏ
1
2
ᎏ(log(22
и 3) Ϫ 3) ϭ
ϭ ᎏ
1
2
ᎏ(2log2 ϩ log3 Ϫ 3) Ϸ Ϫ0,9605
1.32. Toma logaritmos en la expresión A ‫؍‬ (xx
)x
.
logA ϭ log΄(xx
)x
΅ ϭ xlog(xx
) ϭ x и xlogx ϭ x2
logx
1.33. Pasa a forma algebraica la siguiente expresión logarítmica.
logA ‫؍‬ 2 ؉ 2logx ؊ logy
logA ϭ log100 ϩ logx2
Ϫ logy ⇒ logA ϭ logᎏ
10
y
0x2
ᎏ ⇒ A ϭ ᎏ
10
y
0x2
ᎏ
1.34. (TIC) Halla el valor de los siguientes logaritmos con la calculadora.
a) log3 21 b) log0,01 12 c) log͙3ෆ 19
a)log3 21 ϭ ᎏ
ln
ln
2
3
1
ᎏ ϭ 2,771 b) log0,01 12 ϭ ᎏ
ln
ln
0
1
,0
2
1
ᎏ ϭ Ϫ0,540 c) log͙3ෆ 19 ϭ ᎏ
l
l
n
n
͙
19
3ෆ
ᎏ ϭ 5,360
1.35. En un cultivo de bacterias, el número se duplica cada dos días. Un día se contabilizan 3000 bacterias.
a) Calcula el número de bacterias que habrá 15 días después.
b) ¿Cuántos días han de pasar para que haya el triple de bacterias?
c) Si el número inicial fuera de 6000, ¿cuántos días tendrían que transcurrir para que hubiera el triple?
d) Se supone que la población se estabiliza al alcanzar las 20000 bacterias. ¿Cuánto tiempo ha de pasar
para ello?
El número de bacterias cuando han pasado t días es N ϭ 3000 и 2
ᎏ
2
tᎏ
.
a) Para t ϭ 15 ⇒ N ϭ 3000 и 27,5
ϭ 543058
b) 3N ϭ N и 2
ᎏ
2
t
ᎏ
⇒ 2
ᎏ
2
t
ᎏ
ϭ 3 ⇒ log2
ᎏ
2
t
ᎏ
ϭ log3 ⇒ ᎏ
2
t
ᎏlog2 ϭ log3 ⇒ t ϭ 2 и ᎏ
l
l
o
o
g
g
3
2
ᎏ ϭ 3,17 días
c) El resultado anterior es independiente del número inicial de bacterias.
d) 20000 ϭ 3000 и 2
ᎏ
2
t
ᎏ
⇒ 2
ᎏ
2
t
ᎏ
ϭ ᎏ
2
3
0
0
0
0
0
0
0
ᎏ ⇒ log2
ᎏ
2
t
ᎏ
ϭ logᎏ
2
3
0
ᎏ ⇒ ᎏ
2
t
ᎏlog2 ϭ logᎏ
2
3
0
ᎏ ⇒ t ϭ 2 и ϭ 5,47 días
logᎏ
2
3
0
ᎏ
ᎏ
log2

8. 1.36. Cierta sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 1600 años. Calcula la cantidad de
masa a la que se habrá reducido 1 kilogramo de esta sustancia al cabo de 10000 años.
La masa al cabo de 10000 años será: 1 и 0,5
ᎏ
1
1
0
6
0
0
0
0
0
ᎏ
ϭ 0,01314 kg ϭ 13,14 g
1.37. Se depositan en un banco 5000 euros durante 2 años. El banco informa de que el interés es del 3,5% anual.
a) Calcula el capital acumulado suponiendo que la capitalización es anual.
b) ¿A cuánto asciende si es mensual?
c) ¿Y si es diaria?
d) Interpreta los resultados obtenidos.
a) C ϭ 5000 и 1,0352
ϭ 5356 €
b) C ϭ 5000 и ΂1 ϩ ᎏ
1
3
2
,
0
5
0
ᎏ΃
2 и 12
ϭ 5362 €
c) C ϭ 5000 и ΂1 ϩ ᎏ
36
3
5
,5
00
ᎏ΃
2 и 365
ϭ 5362,5 €
d) No se aprecian grandes diferencias al cambiar la acumulación anual por la mensual, y son casi insignificantes
al cambiarla por acumulación diaria.
EJERCICIOS
Números reales
1.38. Escribe dos números comprendidos entre:
a) —
1
2
9
3
— y —
2
2
0
3
— b) —
2
7
2
— y ␲
a) ᎏ
1
2
9
3
ᎏ ϭ ᎏ
5
6
7
9
ᎏ y ᎏ
2
2
0
3
ᎏ ϭ ᎏ
6
6
0
9
ᎏ. Entre estos dos números están ᎏ
5
6
8
9
ᎏ y ᎏ
5
6
9
9
ᎏ.
b) ᎏ
2
7
2
ᎏ ϭ 3,1428..., ␲ ϭ 3,1415... Entre ambos están 3,1416 y 3,1417.
1.39. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. En el caso de los racionales, indica su expre-
sión mediante una fracción irreducible.
a) 12,12131415… d) 1,010010001…
b) 12,121212… e) 1,123123123…
c) 12,0121212… f) 0,001002003004…
a) 12,12131415… Irracional
b) 12,121212… ϭ 12,12v Racional Ά ⇒ 99N ϭ 1200 ⇒ N ϭ ᎏ
12
9
0
9
0
ᎏ ϭ ᎏ
4
3
0
3
0
ᎏ
c) 12,0121212… ϭ 12,012v Racional Ά ⇒ 990N ϭ 11892 ⇒ N ϭ ᎏ
11
99
8
0
92
ᎏ ϭ ᎏ
1
1
9
6
8
5
2
ᎏ
d) 1,010010001 Irracional
e) 1,123123123… ϭ 1,123v Racional Ά ⇒ 999N ϭ 1122 ⇒ N ϭ ᎏ
1
9
1
9
2
9
2
ᎏ ϭ ᎏ
3
3
7
3
4
3
ᎏ
f) 0,001002003004 Irracional
1000N ϭ 1123,123123...
N ϭ 1,123123...
1000N ϭ 12012,1212...
10N ϭ 120,121212...
100N ϭ 1212,1212...
N ϭ 12,121212...

9. Solucionario
1.40. Clasifica estos números indicando a qué conjuntos numéricos pertenecen.
a) 25,0123456… c) ؊4 e) 2 g) ؊͙0,0625ෆ
b) 25,4252525… d) —
3
7
— f) ͙2,3ෆ h) ؊—
6
1
5
3
—
a) 25,0123456… es irracional y real.
b) 25,4252525… es racional y real.
c) Ϫ4 es entero, racional y real.
d) ᎏ
3
7
ᎏ es racional y real.
e) 2 es natural, entero, racional y real.
f) ͙2,3ෆ es irracional y real.
g) Ϫ͙0,0625ෆ ϭ Ϫ0,25 es racional y real.
h) Ϫᎏ
6
1
5
3
ᎏ ϭ Ϫ5 es entero, racional y real.
1.41. Ordena de menor a mayor estos números.
25,0111… —
12
5
6
— 25,01 —
22
9
6
—
ᎏ
12
5
6
ᎏ ϭ 25,2; ᎏ
22
9
6
ᎏ ϭ 25,1111...
El orden es: 25,01 Ͻ 25,0111… Ͻ ᎏ
22
9
6
ᎏ Ͻ ᎏ
12
5
6
ᎏ
1.42. Representa los siguientes números reales.
a) —
1
5
2
— b) ؊—
3
7
— c) ͙5ෆ d) ͙6ෆ e) ͙7ෆ f) ͙8ෆ
1.43. Indica qué números reales representan los puntos A y B de la figura.
A ϭ ͙12
ϩෆ22
ෆ ϭ ͙5ෆ
B ϭ ͙22
ϩෆ΂͙5ෆ΃
2
ෆ ϭ ͙4 ϩ 5ෆ ϭ 3
210_3___
7
___12
5
R
A0 1 B R
2
210
5
6
7
8

10. Valor absoluto e intervalos
1.44. Desarrolla las siguientes expresiones.
a) |2x ؊ 4| ؉ x b) |x| ؉ |2x| c) |x ؊ 1|؉ |x ؉ 1| d) x ؉ |x| ؉ |x ؊ 2|
a) |2x Ϫ 4| ϩ x ϭ Ά ⇒ Ά
b) |x| ϩ |2x| ϭ Ά ⇒ Ά
Se podía haber hecho |x| ϩ |2x| ϭ |x| ϩ 2|x| ϭ 3|x|
c) |x Ϫ 1| ϩ |x ϩ 1| ϭ
Ά ϭ
Ά
d) x ϩ |x| ϩ |x Ϫ 2| ϭ
Ά ϭ
Ά
1.45. Dados los conjuntos A ‫؍‬ (؊2, ؉ؕ), B ‫؍‬ (؊2, 0] y C ‫؍‬ [0, 4), calcula A ഫ B ഫ C y A പ B പ C.
A ഫ B ഫ C ϭ A ϭ (Ϫ2, ϩϱ) A പ B പ C ϭ {0}
1.46. Expresa mediante un intervalo los siguientes conjuntos de números reales y represéntalos en la recta real.
a) Έx ؊ —
1
2
—Έ Ͻ —
1
4
— b) |2x ؉ 6| Ͻ 1 c) |x| Ͻ —
1
3
—
a) ΂ᎏ
1
4
ᎏ, ᎏ
3
4
ᎏ΃ c) ΂ᎏ
Ϫ
3
1
ᎏ, ᎏ
1
3
ᎏ΃
b) |x ϩ 3| Ͻ ᎏ
1
2
ᎏ ⇒ ΂ᎏ
Ϫ
2
7
ᎏ, ᎏ
Ϫ
2
5
ᎏ΃
Aproximaciones y errores
1.47. Da la expresión aproximada que se pide en cada caso.
a) —
2
7
3
— por exceso con tres cifras decimales
b) ͙5ෆ ؉ ͙125ෆ por defecto con dos cifras decimales
c) 2␲ ؊ 1 redondeado a tres cifras decimales
a) ᎏ
2
7
3
ᎏ Ϸ 3,286 b) ͙5ෆ ϩ ͙125ෆ Ϸ 13,41 c) 2␲ Ϫ 1 Ϸ 5,283
1.48. Acota el error relativo que se comete al tomar como aproximación del número áureo ␾ ‫؍‬ —
1 ؉
2
͙5ෆ
— el nú-
mero racional 1,618.
Error relativo: Er ϭ Ͻ ᎏ
0,
1
0
,
0
6
0
1
0
8
4
ᎏ Ͻ 0,000022
Έᎏ
1 ϩ
2
͙5ෆ
ᎏ Ϫ 1,618Έᎏᎏᎏ
1,618
si x р 0
si 0 Ͻ x Ͻ 2
si x у 2
Ϫx ϩ 2
x ϩ 2
3x Ϫ 2
si x р 0
si 0 Ͻ x Ͻ 2
si x у 2
x Ϫ x Ϫ x ϩ 2
x ϩ x Ϫ x ϩ 2
x ϩ x ϩ x Ϫ 2
si x р Ϫ1
si Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1
si x у 1
Ϫ2x
2
2x
si x р Ϫ1
si Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1
si x у 1
Ϫ(x Ϫ 1) Ϫ (x ϩ 1)
Ϫ(x Ϫ 1) ϩ x ϩ 1
x Ϫ 1 ϩ x ϩ 1
si x Ͻ 0
si x у 0
Ϫ3x
3x
si x Ͻ 0
si x у 0
Ϫx Ϫ 2x
x ϩ 2x
si x Ͻ 2
si x у 2
4 Ϫ x
3x Ϫ 4
si x Ͻ 2
si x у 2
Ϫ2x ϩ 4 ϩ x
2x Ϫ 4 ϩ x
0
( )
_3 _2 _1_4
0 1
( )
0
( )
_1 1

11. Solucionario
Notación científica
1.49. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica.
a) 108
؊ 4 ؒ 106
d) 150000000 Ϻ 450000
b) 0,00025 ؒ 0,0015 e) 0,00006 Ϻ 45000000
c) 235000 ؒ 0,00025 f) 0,0025 ؒ 10؊13
Ϻ 10؊23
a) 108
Ϫ 4 и 106
ϭ 9,6 и 107
d) 150000000 Ϻ 450000 ϭ 3,333… и 102
b) 0,00025 и 0,0015 ϭ 3,75 и 10Ϫ7
e) 0,00006 Ϻ 45000000 ϭ 1,333… и 10Ϫ12
c) 235000 и 0,00025 ϭ 5,875 и 10 f) 0,0025 и 10Ϫ13
Ϻ 10Ϫ23
ϭ 2,5 и 107
Radicales
1.50. Simplifica el valor de cada expresión.
a) d) ͙
4
39062ෆ5 ؒ a5
ෆb16
ෆ g) ΂—
1
2
— ؊
Ί2 ؊ —
1
2๶—
๶΃
2
j) ͙
3
81a3
ෆ ؉ 2a͙
3
24ෆ
b) —
2
4
7
5
؊
3
1
5
5
ؒ
ؒ
(
(
؊
؊
1
7
5
5
)
)
6
4
0
0
— e) ͙xෆ ؒ ͙
3
xෆ ؒ ͙
4
x3
ෆ h) k) ͙3
͙2ෆ ؒෆ͙
3
4ෆෆ
c) ͙3ෆ ؉ 2͙27ෆ ؊ ͙12ෆ f) ͙3͙3͙ෆ3ෆෆෆ i) 16
—
1
2
—
؉ 9
—
3
2
—
l)
Ί—
2
3
—
๶ ؉
Ί—
3
2
—
๶
a) ϭ ϭ ᎏ
22
и 3
3
3
2
и
и
2
2
4
6
и 33
ᎏ ϭ 34
ϭ 81
b) ᎏ
2
4
7
5
Ϫ
35
15
и
и
(Ϫ
(Ϫ
1
7
5
5
)Ϫ
)4
6
0
0
ᎏ ϭ ᎏ
(3
(
2
33
и
)Ϫ
5
1
)
5
3
(
5
3
(3
и
и
5
5
2
)
)
4
Ϫ
0
60
ᎏ ϭ ϭ 3Ϫ15
и 5105
c) ͙3ෆ ϩ 2͙27ෆ Ϫ ͙12ෆ ϭ ͙3ෆ ϩ 2 и 3͙3ෆ Ϫ 2͙3ෆ ϭ 5͙3ෆ
d) ͙
4
39062ෆ5 и a5
ෆb16
ෆ ϭ ͙
4
58
a5
b1
ෆ6
ෆ ϭ 52
ab4
͙
4
aෆ ϭ 25a2
b4
͙
4
aෆ
e) ͙xෆ и ͙
3
xෆ и ͙
4
x3
ෆ ϭ ͙
12
x6
x4
x9
ෆ ϭ ͙
12
x19
ෆ ϭ x͙
12
x7
ෆ
f) ͙3͙3͙ෆ3ෆෆෆ ϭ ͙
8
34
32
3ෆ ϭ ͙
8
37
ෆ
g) ΂ᎏ
1
2
ᎏ Ϫ
Ί2 Ϫ ᎏ
1
2๶ᎏ
๶΃
2
ϭ ᎏ
1
4
ᎏ ϩ 2 Ϫ ᎏ
1
2
ᎏ Ϫ 2 и ᎏ
1
2
ᎏ
Ίᎏ
3
2
ᎏ
๶ ϭ ᎏ
7
4
ᎏ Ϫ ᎏ
͙
͙
3ෆ
2ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
7
4
ᎏ Ϫ ᎏ
͙
2
6ෆᎏ
h) ϭ ᎏ
͙
͙
4
3
x
xෆ
3
ෆ
ᎏ ϭ Ί12
ᎏ
(x
x
3
4
)3
ᎏ๶ϭ ͙
12
x5
ෆ
i) 16
ᎏ
1
2
ᎏ
ϩ 9
ᎏ
3
2
ᎏ
ϭ ͙16ෆ ϩ ͙36
ෆ ϭ 4 ϩ 27 ϭ 31
j) ͙
3
81a3
ෆ ϩ 2a͙
3
24ෆ ϭ 3a͙
3
3ෆ ϩ 4a͙
3
3ෆ ϭ 7a͙
3
3ෆ
k) ͙3
͙2ෆ иෆ͙
3
4ෆෆ ϭ ͙3
͙
6
23
42
ෆෆ ϭ ͙
18
27
ෆ
l)
Ίᎏ
2
3
ᎏ
๶ ϩ
Ίᎏ
3
2
ᎏ
๶ ϭ ᎏ
͙
͙
2ෆ
3ෆ
ᎏ ϩ ᎏ
͙
͙
3ෆ
2ෆ
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
2
͙
ϩ
6ෆ
3
ᎏ ϭ ᎏ
͙
5
6ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
5͙
6
6ෆᎏ
1.51. Opera y simplifica.
a) (؊2)0
؉ (؊2)1
؉ (؊2)2
؉ ... ؉ (؊2)8
b) —
1
3
— ͙
4
80ෆ؊ —
1
2
— ͙
4
405ෆ؊ ͙
4
5ෆ c) 2ؒ΂2؊3͙2ෆ΃
2
؉΂2؊3͙2ෆ΃ؒ΂2؉3͙2ෆ΃
a) (Ϫ2)0
ϩ (Ϫ2)1
ϩ (Ϫ2)2
ϩ ... ϩ (Ϫ2)8
ϭ 1 Ϫ 2 ϩ 4 Ϫ 8 ϩ 16 Ϫ 32 ϩ 64 Ϫ 128 ϩ 256 ϭ 171
b) ᎏ
1
3
ᎏ͙
4
80ෆ Ϫ ᎏ
1
2
ᎏ͙
4
405ෆ Ϫ ͙
4
5ෆ ϭ ᎏ
1
3
ᎏ и 2͙
4
5ෆ Ϫ ᎏ
1
2
ᎏ и 3͙
4
5ෆ Ϫ ͙
4
5ෆ ϭ Ϫᎏ
1
6
1
ᎏ͙
4
5ෆ
c) 2 и ΂2 Ϫ 3͙2ෆ΃
2
ϩ ΂2 Ϫ 3͙2ෆ΃ и ΂2 ϩ 3͙2ෆ΃ ϭ 2΂4 ϩ 8 Ϫ 12͙2ෆ΃ ϩ 4 Ϫ 18 ϭ 30 Ϫ 24͙2ෆ
͙2ෆ и ͙2ෆ ϩ ͙3ෆ и ͙3ෆᎏᎏᎏ
͙6ෆ
͙x͙xෆෆᎏ
͙
3
xෆ
3Ϫ45
и 340
и 580
ᎏᎏᎏ
370
и 535
и 3Ϫ60
и 5Ϫ60
ᎏ
2
3
2
2
ᎏ и ᎏ
3
2
3
6
ᎏ
ᎏ
ᎏ
24
1
и 33
ᎏ
΂ᎏ
3
2
ᎏ΃
Ϫ2
и ΂ᎏ
4
3
ᎏ΃
Ϫ3
ᎏᎏ
2Ϫ4
и 3Ϫ3
͙x͙xෆෆᎏ
͙
3
xෆ
΂—
3
2
—΃
؊2
ؒ ΂—
4
3
—΃
؊3
——
2؊4
ؒ 3؊3

12. 1.52. Racionaliza los denominadores.
a) —
a͙
6
a
a8
ෆ
— b) —
2͙
3
5
y
y2
ෆ
— c) —
2͙
x
x
؉
؉
2
2ෆ
— d) —
1 ؉
͙2ෆ
͙2ෆ
— e) —
͙3ෆ
2͙
؊
6ෆ
͙2ෆ
— f) —
2͙3ෆ
6͙
؉
6ෆ
3͙2ෆ
—
a) ᎏ
a͙
6
a
a8
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
a͙
6
1
a2
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
a͙
1
3
aෆ
ᎏ ϭ ᎏ
a͙
3
͙
3
aෆ
a
͙
3
2
ෆ
a2
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
͙
3
a
a
2
2
ෆᎏ
b) ᎏ
2͙
3
5
y
y2
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
2͙
5
3
y
y
2
ෆ
͙
5
и
y
͙
3
ෆ
5
y3
ෆ
ᎏ ϭ ᎏ
3y
2
͙
5
y
y3
ෆᎏ ϭ ᎏ
3͙
5
2
y3
ෆᎏ
c) ᎏ
2͙
x
x
ϩ
ϩ
2
2ෆ
ᎏ ϭ ϭ ϭ ᎏ
͙x
2
ϩ 2ෆᎏ
d) ᎏ
1 ϩ
͙2ෆ
͙2ෆ
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
͙
1
2ෆ
Ϫ
Ϫ
2
2
ᎏ ϭ 2 Ϫ ͙2ෆ
e) ᎏ
͙3ෆ
2͙
Ϫ
6ෆ
͙2ෆ
ᎏ ϭ ϭ ᎏ
2͙18ෆ
3
ϩ
Ϫ
2
2
͙12ෆᎏ ϭ 6͙2ෆ ϩ 4͙3ෆ
f) ᎏ
2͙3ෆ
6͙
ϩ
6ෆ
3͙2ෆ
ᎏ ϭ ϭ ϭ 3͙12ෆ Ϫ 2͙18ෆ ϭ 6͙3ෆ Ϫ 6͙2ෆ
Números combinatorios. Binomio de Newton
1.53. Calcula las siguientes operaciones.
a) ΂ ΃ b) ΂ ΃ ؉ ΂ ΃ c) ΂ ΃ ؉ ΂ ΃ ؉ ΂ ΃ ؉ ΂ ΃ d) ΂ ΃ ؉ ΂ ΃
a) ΂ ΃ϭ ΂ ΃ϭ 31626
b) ΂ ΃ϩ ΂ ΃ϭ ΂ ΃ϭ 14950
c) ΂ ΃ϩ ΂ ΃ϩ ΂ ΃ϩ ΂ ΃ϭ 1 ϩ 4 ϩ 6 ϩ 4 ϭ 15
d) ΂ ΃ϩ ΂ ΃ϭ ΂ ΃ϩ ΂ ΃ϭ ΂ ΃ϭ ϭ
1.54. Simplifica las siguientes expresiones.
a) —
6
5
!
!
— ؉ —
8
6
!
!
— b) —
(n ؊
n!
1)!
— ؉ —
(n ؉
n!
2)!
— c) d)
a) ᎏ
6
5
!
!
ᎏ ϩ ᎏ
8
6
!
!
ᎏ ϭ 6 ϩ 8 и 7 ϭ 6 ϩ 56 ϭ 62
b) ᎏ
(n Ϫ
n!
1)!
ᎏ ϩ ᎏ
(n ϩ
n!
2)!
ᎏ ϭ n ϩ (n ϩ 2)(n ϩ 1) ϭ n ϩ n2
ϩ 3n ϩ 2 ϭ n2
ϩ 4n ϩ 2
c) ϭ ϭ ϭ
ϭ ϭ ϭ (n ϩ 1)(n ϩ 2) ϭ n2
ϩ 3n ϩ 2
d) ϭ ϭ 2Ϫ2
и 2 и n! ϭ ᎏ
n
2
!
ᎏ
n3
ϩ 9n2
ϩ 20n ϩ 12
ᎏᎏᎏ
n ϩ 6
n3
ϩ 6n2
ϩ 11n ϩ 6 ϩ 3n2
ϩ 9n ϩ 6
ᎏᎏᎏᎏᎏ
n ϩ 6
΂ᎏ
n ϩ
3
3
ᎏ΃ ϩ ΂ᎏ
n ϩ
2
2
ᎏ΃ᎏᎏᎏ
ᎏ
n ϩ
6
6
ᎏ
΂ᎏ
n ϩ
n
3
ᎏ΃ ϩ ΂ᎏ
n ϩ
n
2
ᎏ΃ᎏᎏᎏ
ᎏ
n ϩ
6
6
ᎏ
2n ؊ 3
ؒ (n ؉ 2)!
——
2n ؊ 1
ؒ ΂—
n ؉
2
2
—΃
΂—
n ؉
n
3
—΃ ؉ ΂—
n ؉
n
2
—΃———
—
n ؉
6
6
—
n3
ϩ 6n2
ϩ 11n ϩ 6
ᎏᎏᎏ
6
(n ϩ 3)(n ϩ 2)(n ϩ 1)
ᎏᎏᎏ
6
n ϩ 3
3
n ϩ 2
3
n ϩ 2
2
nϩ2
n Ϫ 1
nϩ2
2
4
3
4
2
4
1
4
0
26
4
25
4
25
3
252
2
252
250
n ؉ 2
n ؊ 1
n ؉ 2
2
4
3
4
2
4
1
4
0
25
4
25
3
252
250
12͙18ෆ Ϫ 18͙12ෆᎏᎏᎏ
12 Ϫ 18
6͙6ෆ и ΂2͙3ෆ Ϫ 3͙2ෆ΃
ᎏᎏᎏᎏ
΂2͙3ෆ ϩ 3͙2΃ и ΂2͙3ෆ Ϫ 3͙2ෆ΃
2͙6ෆ΂͙3ෆ ϩ ͙2ෆ΃
ᎏᎏᎏ
΂͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ΃ и ΂͙3ෆ ϩ ͙2ෆ΃
͙2ෆ и ΂1 Ϫ ͙2ෆ΃
ᎏᎏᎏ
΂1 ϩ ͙2ෆ΃ и ΂1 Ϫ ͙2ෆ΃
(x ϩ 2) и ͙x ϩ 2ෆᎏᎏᎏ
2(x ϩ 2)
(x ϩ 2) и ͙x ϩ 2ෆᎏᎏᎏ
2͙x ϩ 2ෆ͙x ϩ 2ෆ
ϩ ᎏ
n2
ϩ 3
2
n ϩ 2
ᎏ
n3
ϩ 6n2
ϩ 11n ϩ 6
ᎏᎏᎏ
6
ᎏ
n ϩ
6
6
ᎏ
2n Ϫ 3
и (n ϩ 2)!
2n Ϫ 1
и ΂ᎏ
n ϩ
2
2
ᎏ΃
2n Ϫ 3 Ϫ n ϩ 1
(n ϩ 2)!
ᎏ
(n
2!
ϩ
и n
2
!
)!
ᎏ

13. Solucionario
1.55. (TIC) Realiza los desarrollos de los siguientes binomios.
a) (2 ؉ x)4
e) ΂1 ؉ 2͙2ෆ΃
2
b) ΂2 ؊ —
3
x
—΃
3
f) ΂2 ؊ 3͙3ෆ΃
3
c) ΂—
2
x
— ؉ —
x
2
2
—΃
5
g) ΂—
͙
2
2ෆ
— ؉ ͙2ෆ΃
4
d) ΂2x2
؊ —
3
x
—΃
6
h) ΂5͙2ෆ ؊ 2͙3ෆ΃
3
a) (2 ϩ x)4
ϭ ΂ ΃ и 24
ϩ ΂ ΃ и 23
и x ϩ ΂ ΃ и 22
и x2
ϩ ΂ ΃ и 2 и x3
ϩ ΂ ΃ и x4
ϭ 16 ϩ 32x ϩ 24x2
ϩ 8x3
ϩ x4
b) ΂2 Ϫ ᎏ
3
x
ᎏ΃
3
ϭ ΂ ΃ и 23
Ϫ ΂ ΃ и 22
и ᎏ
3
x
ᎏ ϩ ΂ ΃ и 2 и ΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
2
Ϫ ΂ ΃ и ΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
3
ϭ 8 Ϫ 4x ϩ ᎏ
2
3
ᎏx2
Ϫ ᎏ
2
1
7
ᎏx3
c) ΂ᎏ
2
x
ᎏ ϩ ᎏ
x
2
2ᎏ΃
5
ϭ ΂ ΃и ΂ᎏ
2
x
ᎏ΃
5
ϩ ΂ ΃и ΂ᎏ
2
x
ᎏ΃
4
и ᎏ
x
2
2ᎏ ϩ ΂ ΃и ΂ᎏ
2
x
ᎏ΃
3
и ΂ᎏ
x
2
2ᎏ΃
2
ϩ ΂ ΃и ΂ᎏ
2
x
ᎏ΃
2
и ΂ᎏ
x
2
2ᎏ΃
3
ϩ ΂ ΃и ᎏ
2
x
ᎏ и ΂ᎏ
x
2
2ᎏ΃
4
ϩ ΂ ΃и ΂ᎏ
x
2
2ᎏ΃
5
ϭ
ϭ ᎏ
3
x
2
5
ᎏ ϩ 5 и ᎏ
1
x
6
4
ᎏ ϩ ᎏ
x
2
2ᎏ ϩ 10 и ᎏ
x
8
3
ᎏ и ᎏ
x
4
4ᎏ ϩ 10 и ᎏ
x
4
2
ᎏ и ᎏ
x
8
6ᎏ ϩ 5 и ᎏ
2
x
ᎏ и ᎏ
1
x
6
8ᎏ ϩ ᎏ
x
3
1
2
0ᎏ ϭ ᎏ
3
x
2
5
ᎏ ϩ ᎏ
5
8
x2
ᎏ ϩ ᎏ
5
x
ᎏ ϩ ᎏ
2
x
0
4ᎏ ϩ ᎏ
4
x
0
7ᎏ ϩ ᎏ
x
3
1
2
0ᎏ
d) ΂2x2
Ϫᎏ
3
x
ᎏ΃
6
ϭ΂ ΃и(2x2
)6
Ϫ΂ ΃и(2x2
)5
иᎏ
3
x
ᎏϩ΂ ΃и(2x2
)4
и΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
2
Ϫ΂ ΃и(2x2
)3
и΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
3
ϩ΂ ΃и(2x2
)2
и΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
4
Ϫ΂ ΃и2x2
и΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
5
ϩ΂ ΃и΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
6
ϭ
ϭ 64x12
Ϫ 576x9
ϩ 2160x6
Ϫ 4320x3
ϩ 4860 Ϫ ᎏ
29
x
1
3
6
ᎏ ϩ ᎏ
7
x
2
6
9
ᎏ
e) ΂1 ϩ 2͙2ෆ΃
2
ϭ 1 ϩ 8 ϩ 4͙2ෆ ϭ 9 ϩ 4͙2ෆ
f) ΂2 Ϫ 3͙3ෆ΃
3
ϭ 8 Ϫ 3 и 4 и 3͙3ෆ ϩ 3 и 2 и 27 Ϫ 81͙3ෆ ϭ 170 Ϫ 117͙3ෆ
g)
΂ᎏ
͙
2
2ෆ
ᎏ ϩ ͙2ෆ΃
4
ϭ
΂ᎏ
2 ϩ ͙
͙
2ෆ
2ෆ
и ͙2ෆᎏ
΃
4
ϭ
΂ᎏ
͙
4
2ෆ
ᎏ
΃
4
ϭ ᎏ
25
4
6
ᎏ ϭ 64
h) ΂5͙2ෆ Ϫ 2͙3ෆ΃
3
ϭ 125 и 2͙2ෆ Ϫ 3 и 50 и 2͙3ෆ ϩ 3 и 5͙2ෆ и 12 Ϫ 24͙3ෆ ϭ 430͙2ෆ Ϫ 324͙3ෆ
1.56. Calcula el término que se indica en cada uno de los siguientes desarrollos.
a) El quinto término de (2 ؉ x)8
b) El tercer término de ΂—
2
3
— ؉ —
3
x
—΃
6
c) El último término de (2a2
b ؊ 3a3
)7
a) T5 ϭ ΂ ΃ 24
и x4
ϭ 70 и 16 и x4
ϭ 1120x4
b) T3 ϭ ΂ ΃ и ΂ᎏ
2
3
ᎏ΃
4
и ΂ᎏ
3
x
ᎏ΃
2
ϭ 15 и ᎏ
1
8
6
1
ᎏ и ᎏ
x
9
2
ᎏ ϭ ᎏ
3
8
x
0
2
ᎏ
c) T8 ϭ Ϫ΂ ΃ и (3a3
)7
ϭ Ϫ2187a217
7
6
2
8
4
6
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
5
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
3
3
3
2
3
1
3
0
4
4
4
3
4
2
4
1
4
0

14. 1
͙2ෆ
——
1
——
Logaritmos
1.57. Aplicando la definición, calcula el valor de los siguientes logaritmos.
a) log2 —
1
8
— c) log —
10
1
00
— e) log͙8ෆ
΂2͙2ෆ΃ g) log͙2ෆ
΂2͙2ෆ΃
3
b) log—1
9
—
—
1
3
— d) log—1
3
— ͙27ෆ f) log͙3ෆ ΂—
1
9
—΃ h) log—1
2
— ͙
3
64ෆ
a) log2 ᎏ
1
8
ᎏ ϭ x ⇒ 2x
ϭ ᎏ
1
8
ᎏ ϭ 2Ϫ3
⇒ x ϭ Ϫ3
b) logᎏ1
9
ᎏ
ᎏ
1
3
ᎏ ϭ x ⇒ ΂ᎏ
1
9
ᎏ΃
x
ϭ ᎏ
1
3
ᎏ ⇒ 9Ϫx
ϭ 3Ϫ1
⇒ 3Ϫ2x
ϭ 3Ϫ1
⇒ 2x ϭ 1 ⇒ x ϭ ᎏ
1
2
ᎏ
c) log ᎏ
10
1
00
ᎏ ϭ x ⇒ 10x
ϭ 10Ϫ3
⇒ x ϭ Ϫ3
d) logᎏ1
3
ᎏ ͙27ෆ ϭ x ⇒ ΂ᎏ
1
3
ᎏ΃
x
ϭ 27
ᎏ
1
2
ᎏ
⇒ 3Ϫx
ϭ 3
ᎏ
3
2
ᎏ
⇒ x ϭ Ϫᎏ
3
2
ᎏ
e) log͙8ෆ ΂2͙2ෆ΃ ϭ x ⇒ ΂͙8ෆ΃
x
ϭ 2͙2ෆ ⇒ 2
ᎏ3
2
xᎏ
ϭ 2
ᎏ3
2
ᎏ
⇒ ᎏ
3
2
x
ᎏ ϭ ᎏ
3
2
ᎏ ⇒ x ϭ 1
f) log͙3ෆ ΂ᎏ
1
9
ᎏ΃ ϭ x ⇒ ΂͙3ෆ΃
x
ϭ 3Ϫ2
⇒ 3
ᎏ
2
x
ᎏ
ϭ 3Ϫ2
⇒ x ϭ Ϫ4
g) log͙2ෆ
΂2͙2ෆ΃
3
ϭ x ⇒ ΂͙2ෆ΃
x
ϭ ΂2͙2ෆ΃
3
⇒ 2
ᎏ
2
x
ᎏ
ϭ 2
ᎏ
9
2
ᎏ
⇒ x ϭ 9
h) logᎏ
1
2
ᎏ ͙
3
64ෆ ϭ x ⇒ ΂ᎏ
1
2
ᎏ΃
x
ϭ 2
ᎏ
6
3
ᎏ
⇒ 2Ϫx
ϭ 22
⇒ x ϭ Ϫ2
1.58. Calcula, si es posible, el valor de x en cada una de las siguientes expresiones.
a) logx 8 ‫؍‬ ؊3 c) log3 (؊81) ‫؍‬ x e) logx ͙2ෆ ‫؍‬ 0 g) log3 x ‫؍‬ ؊1
b) log؊ 3 x ‫؍‬ 9 d) log x ‫؍‬ ؊2 f) log1 2 ‫؍‬ x h) log—
1
a
—
a2
‫؍‬ x
a) logx 8 ϭ Ϫ3 ⇒ xϪ3
ϭ ΂ᎏ
1
2
ᎏ΃
Ϫ3
⇒ x ϭ ᎏ
1
2
ᎏ e) logx ͙2ෆ ϭ 0. No existe x.
b) logϪ3 x ϭ 9. No está definido. f) log1 2 ϭ x. No está definido.
c) log3 (Ϫ81) ϭ x. No está definido. g) log3 x ϭ Ϫ1 ⇒ x ϭ ᎏ
1
3
ᎏ
d) log x ϭ Ϫ2 ⇒ x ϭ
΂ᎏ
͙
1
2ෆ
ᎏ
΃
Ϫ2
ϭ 2 h) logᎏ1
a
ᎏ
a2
ϭ x ⇒ ΂ᎏ
1
a
ᎏ΃
x
ϭ a2
⇒ aϪx
ϭ a2
⇒ x ϭ Ϫ2
1.59. Sabiendo que log2 Ϸ 0,301 y que log3 Ϸ 0,477, calcula los logaritmos decimales de los siguientes números.
a) 250 b) 0,72 c) 5,4 d) ͙18ෆ e) ͙
4
6ෆ f) 2,4
a) log250 ϭ logᎏ
10
4
00
ᎏ ϭ log1000 Ϫ log4 ϭ 3 Ϫ log22
ϭ 3 Ϫ 2log2 Ϸ 2,398
b) log0,72 ϭ logᎏ
1
7
0
2
0
ᎏ ϭ log(23
и 32
) Ϫ log100 ϭ 3log2 ϩ 2log3 Ϫ 2 Ϸ Ϫ0,143
c) log5,4 ϭ logᎏ
5
1
4
0
ᎏ ϭ log54 Ϫ log10 ϭ log(33
и 2) Ϫ 1 ϭ 3log3 ϩ log2 Ϫ 1 Ϸ 0,7302
d) log͙18ෆ ϭ ᎏ
log
2
18
ᎏ ϭ ᎏ
log(2
2
и 32
)
ᎏ ϭ ᎏ
log2 ϩ
2
2log3
ᎏ Ϸ 0,628
e) log͙
4
6ෆ ϭ ᎏ
1
4
ᎏlog6 ϭ ᎏ
1
4
ᎏ(log2 ϩ log3) Ϸ 0,1945
f) log2,4 ϭ logᎏ
2
1
4
0
ᎏ ϭ log23
ϩ log3 Ϫ log10 ϭ 3log2 ϩ log3 Ϫ 1 Ϸ 0,38
͙2ෆ

15. Solucionario
1.60. Sabiendo que log3 2 Ϸ 0,631 y que log3 5 Ϸ 1,465, calcula el valor del logaritmo en base 3 de 150.
log3 150 ϭ log3 (2 и 3 и 52
) ϭ log3 2 ϩ log3 3 ϩ 2log3 5 ϭ 0,631 ϩ 1 ϩ 2 и 1,465 ϭ 4,561
1.61. Toma logaritmos decimales en las siguientes igualdades y desarrolla las expresiones.
a) P ‫؍‬ 10x3
yz3
c) R ‫؍‬ 3
Ί—
2x
3
2
z
ؒ
3๶
y5
—๶ e) y ‫؍‬ —
a
͙
3
ؒ
x2
ෆ
x
—
b) Q ‫؍‬ —
x
10
؉
0x
y
2
— d) x ‫؍‬ a4
ؒ b3
ؒ c
—
3
2
—
f) x ؒ y ‫؍‬ —
(m
m
؉
؊
2n
2
)
n
ؒ n2
—
a) P ϭ 10x3
yz3
⇒ logP ϭ 1 ϩ 3logx ϩ logy ϩ 3logz
b) Q ϭ ᎏ
x
10
ϩ
0x
y
2
ᎏ ⇒ logQ ϭ 2 ϩ 2logx Ϫ log(x ϩ y)
c) R ϭ
Ί3 ᎏ
2x
3
2
z
и
3๶
y5
ᎏ๶ ⇒ logR ϭ
d) logx ϭ 4loga ϩ 3logb ϩ ᎏ
3
2
ᎏlogc
e) logy ϭ ᎏ
2
3
ᎏlogx Ϫ loga Ϫ logx ϭ Ϫloga Ϫ ᎏ
1
3
ᎏlogx
f) logx ϩ logy ϭ log(m ϩ 2n) ϩ 2logn Ϫ log(m Ϫ 2n)
1.62. Expresa el valor de E en cada caso sin que aparezcan logaritmos.
a) logE ‫؍‬ 2 ؊ 3logx ؉ logy ؊ 5logz c) logE ‫؍‬ log(x ؊ 2y) ؉ log(x ؉ 2y)
b) logE ‫؍‬ 3log2 ؊ 4logx ؉ 3logy ؊ 2logz d) logE ‫؍‬ 3log(x ؉ 10) ؊ log—
(2x ؉
3
20)
— ؉ log—
3
2
—
a) logE ϭ log100 Ϫ logx3
ϩ logy Ϫ logz5
ϭ logᎏ
x
1
3
0
и
0
z
y
5
ᎏ ⇒ E ϭ ᎏ
x
1
3
0
и
0
z
y
5
ᎏ
b) logE ϭ 3log2 Ϫ 4logx ϩ 3logy Ϫ 2logz ⇒ E ϭ ᎏ
x
8
4
y
z
3
2
ᎏ
c) logE ϭ log(x Ϫ 2y) ϩ log(x ϩ 2y) ⇒ E ϭ (x Ϫ 2y) и (x ϩ 2y) ϭ x2
Ϫ 4y2
d) logE ϭ 3log(x ϩ 10) Ϫ logᎏ
(2x ϩ
3
20)
ᎏ ϩ logᎏ
3
2
ᎏ ⇒ E ϭ ᎏ
2
9
и
и
(
(
2
x
x
ϩ
ϩ
1
2
0
0
)3
)
ᎏ ϭ ᎏ
9
4
ᎏ(x ϩ 10)2
1.63. (TIC) Con la ayuda de la calculadora, obtén aproximaciones decimales hasta las milésimas de los siguientes
logaritmos.
a) log3 20 c) log0,5 60 e) log͙2ෆ ͙3ෆ
b) log—1
4
—
—
7
5
— d) log͙2ෆ
3 f) log—2
5
— ͙
3
2ෆ
a) log3 20 ϭ ᎏ
lo
lo
g
g
2
3
0
ᎏ ϭ 2,727 d) log͙2ෆ
3 ϭ ᎏ
lo
lo
g
g
͙
3
2ෆ
ᎏ ϭ 3,17
b) logᎏ1
4
ᎏ
ᎏ
7
5
ᎏ ϭ ϭ Ϫ0,243 e) log͙2ෆ ͙3ෆ ϭ ᎏ
l
l
o
o
g
g
͙
͙
3ෆ
2ෆ
ᎏ ϭ 1,585
c) log0,5 60 ϭ ᎏ
l
l
o
o
g
g
0
6
,
0
5
ᎏ ϭ Ϫ5,907 f) logᎏ2
5
ᎏ ͙
3
2ෆ ϭ ϭ Ϫ0,252
log͙
3
2ෆᎏ
logᎏ
2
5
ᎏ
log2 ϩ 2logx ϩ 5logy Ϫ log3 Ϫ 3logz
ᎏᎏᎏᎏᎏ
3
logᎏ
7
5
ᎏ
logᎏ
1
4
ᎏ

16. 1.64. Calcula el valor de x en cada caso.
a) 2500 ‫؍‬ 2000 ؒ 1,05x
d) 0,025 ‫؍‬ 0,5 ؒ ex
b) 20 ‫؍‬ logx 5 ؉ 15 e) 3 ؒ 10؊5
‫؍‬ 2؊50x
c) 2 ؒ 106
‫؍‬ x12
f) logx 5 ؉ 1 ‫؍‬ logx 2
a) 1,05x
ϭ ᎏ
2
2
5
0
0
0
0
0
ᎏ ϭ ᎏ
5
4
ᎏ ⇒ log1,05x
ϭ log1,25 ⇒ xlog1,05 ϭ log1,25 ⇒ x ϭ ᎏ
l
l
o
o
g
g
1
1
,
,
2
0
5
5
ᎏ ϭ 4,574
b) 5 ϭ logx 5 ⇒ x5
ϭ 5 ⇒ x ϭ ͙
5
5ෆ ϭ 1,38
c) x ϭ ͙
12
2 и 10ෆ6
ෆ ϭ 3,35
d) ex
ϭ ᎏ
0,
0
0
,
2
5
5
ᎏ ϭ 0,05 ⇒ x ϭ ln0,05 ϭ Ϫ2,996
e) log(3 и 10Ϫ5
) ϭ Ϫ50x и log2 ⇒ x ϭ ᎏ
log
Ϫ
(
5
3
0
и
lo
1
g
0
2
Ϫ5
)
ᎏ ϭ 0,3
f) logx 5 ϩ logx x ϭ logx 2 ⇒ logx 5x ϭ logx 2 ⇒ 5x ϭ 2 ⇒ x ϭ ᎏ
2
5
ᎏ
PROBLEMAS
1.65. Al realizar una encuesta sobre el interés de los habitantes de una localidad en relación con los equipos in-
formáticos, se observó que exactamente el número de encuestados que contestaron que en su casa había
más de un ordenador era el 40,454545…% del total.
¿Cuántas personas formaban parte de la muestra si se sabe que eran menos de 300?
N ϭ ᎏ
40,
1
4
0
5
0
45...
ᎏ ϭ 0,40454545... ⇒ Ά ⇒ N ϭ ᎏ
4
9
0
9
0
0
5
0
ᎏ ϭ ᎏ
2
8
2
9
0
ᎏ
Para calcular el número de encuestados que contestaron que tenían más de un ordenador, se debe multiplicar el
total por la fracción irreducible ᎏ
2
8
2
9
0
ᎏ. Por tanto, el número total de encuestados debe ser múltiplo de 220 y, al ser
menor que 300, es exactamente 220.
1.66. En una clase se realiza una encuesta sobre las aficiones deportivas. El 92,592592592...% del total de la cla-
se contesta que practica algún deporte, y la mitad, que le gusta el fútbol.
Si la clase tiene como máximo 35 alumnos, razona si son posibles los datos anteriores.
N ϭ ᎏ
92,5
1
9
0
2
0
592...
ᎏ ϭ 0,92592592... ⇒ Ά ⇒ N ϭ ᎏ
9
9
2
9
5
9
ᎏ ϭ ᎏ
2
8
2
9
0
ᎏ ϭ ᎏ
2
2
5
7
ᎏ
Para calcular el número de alumnos que contestaron que practican un deporte, se debe multiplicar el total por la
fracción irreducible ᎏ
2
2
5
7
ᎏ. Por tanto, el número total de encuestados debe ser múltiplo de 27.
Pero también debe ser par, ya que la mitad afirma que le gusta el fútbol.
En consecuencia, el mínimo número de alumnos en la clase es de 54. Por tanto, los datos no son correctos.
1000N ϭ 925,925925...
N ϭ 0,925925...
10000N ϭ 4045,454545...
100N ϭ 40,454545...

17. Solucionario
1.67. Calcula de forma exacta el número irracional que representa la relación entre la diagonal de un pentágono
regular y su lado. Comprueba que se trata del número áureo.
Para ello, sigue los siguientes pasos:
• Demuestra que los triángulos DFC y DBC son semejantes calculando
sus ángulos.
• Demuestra que el triángulo BFC es isósceles.
• Aplicando el teorema de Tales, calcula la relación entre los lados que
corresponden a la diagonal y el lado del pentágono.
El ángulo interior de un pentágono regular es ϭ 108Њ.
El triángulo DBC es isósceles, y sus ángulos miden 108Њ, 36Њ y 36Њ.
El triángulo DFC es también isósceles, y sus ángulos miden 36Њ, 36Њ y 108Њ. Por tanto, DFC y DBC son seme-
jantes.
El ángulo BCF mide 108Њ Ϫ 36Њ ϭ 72Њ. El ángulo BFC mide 180Њ Ϫ 108Њ ϭ 72Њ. Por tanto, BFC es isósceles.
Suponiendo un pentágono regular de lado 1:
Aplicando el teorema de Tales a los triángulos semejantes:
ᎏ
D
D
C
B
ᎏ ϭ ᎏ
D
D
C
F
ᎏ ⇒ ᎏ
1
x
ᎏ ϭ ᎏ
x Ϫ
1
1
ᎏ ⇒ x2
Ϫ x ϭ 1 ⇒ x2
Ϫ x Ϫ 1 ϭ 0 ⇒
⇒ x ϭ ᎏ
1 ϩ ͙
2
1 ϩ 4ෆᎏ ϭ ᎏ
1 ϩ
2
͙5ෆᎏ
(En la ecuación de segundo grado, la otra solución es negativa y no tiene sentido.)
x ϭ ᎏ
D
D
C
B
ᎏ ϭ ᎏ
1 ϩ
2
͙5ෆᎏ ϭ ␸
1.68. Demuestra que el número áureo verifica las siguientes propiedades.
a) ␾2
‫؍‬ ␾ ؉ 1 b) ␾ ؊ 1 ‫؍‬ —
␾
1
— c) ␾3
‫؍‬ —
␾
␾
؉
؉
1
1
—
a) ␾2
ϭ ΂ᎏ
1 ϩ
2
͙5ෆᎏ΃
2
ϭ ᎏ
1 ϩ 5
4
ϩ 2͙5ෆᎏ ϭ ᎏ
6 ϩ
4
2͙5ෆᎏ ϭ ᎏ
3 ϩ
2
͙5ෆᎏ ϭ 1 ϩ ᎏ
1 ϩ
2
͙5ෆᎏ ϭ 1 ϩ ␾
b) ␾2
ϭ 1 ϩ ␾ ⇒ ᎏ
␾
␾
2
ᎏ ϭ ᎏ
1 ϩ
␾
␾
ᎏ ⇒ ␾ ϭ ᎏ
␾
1
ᎏ ϩ 1 ⇒ ␾ Ϫ 1 ϭ ᎏ
␾
1
ᎏ
c) ␾3
ϭ ␾2
и ␾ ϭ (1 ϩ ␾) и ␾ ϭ ϭ ᎏ
␾
␾
ϩ
Ϫ
1
1
ᎏ
1.69. El área de un cuadrado es de 10,5 cm2
. Calcula las áreas de sus círculos inscrito y circunscrito, redonde-
ando los resultados con dos cifras decimales.
El lado del cuadrado mide x ϭ ͙10,5ෆ ϭ 3,24 cm.
La diagonal del cuadrado mide ͙2 и 10ෆ,5ෆ ϭ 4,58 cm.
Área del círculo inscrito: S ϭ ␲ и r2
ϭ ␲ и ΂ᎏ
3,
2
24
ᎏ΃
2
ϭ 8,2 cm2
Área del círculo circunscrito: S ϭ ␲ и r2
ϭ ␲ и ΂ᎏ
4,
2
58
ᎏ΃
2
ϭ 16,5 cm2
(2 и 5 Ϫ 4) и 90Њ
ᎏᎏᎏ
5
E B
A
D C
F
x _ 1
x
F
D C
E B
A
1 ϩ ␾
ᎏ
ᎏ
␾
1
ᎏ

18. 1.70. Calcula la medida de la diagonal de un paralelepípedo cuyos lados miden ͙10ෆ, ͙8ෆ y ͙5ෆ cm, respectiva-
mente. ¿Qué tipo de número es el resultado?
Aproxima el resultado redondeando a dos decimales y calcula los errores absoluto y relativo cometidos.
d ϭ ͙΂͙10ෆ΃ෆ
2
ϩ ΂͙ෆ8ෆ΃
2
ϩෆ΂͙5ෆ΃
2
ෆ ϭ ͙23ෆ cm. La medida de la diagonal es un número irracional.
Redondeando, ͙23ෆ Ϸ 4,80 cm.
Error absoluto: Ea ϭ |͙23ෆ Ϫ 4,80| ϭ 0,004
Error relativo: Er ϭ ᎏ
0
4
,0
,8
0
0
4
ᎏ ϭ 0,0008
1.71. La diagonal de un cubo mide exactamente 1,252 cm. Halla la superficie del cubo aproximando su diagonal
por 1,25 cm. Calcula el error relativo cometido.
Usando el valor aproximado: d ϭ ͙a2
ϩෆa2
ϩෆa2
ෆ ⇒ 1,25 ϭ ͙3a2
ෆ ϭ a͙3ෆ ⇒ a ϭ ᎏ
1
͙
,2
3ෆ
5
ᎏ ⇒
⇒ S ϭ 6a2
ϭ ᎏ
6 и
3
1,252
ᎏ ϭ 3,125 cm2
Usando el valor real: a ϭ ᎏ
1
͙
,25
3ෆ
2
ᎏ ⇒ S ϭ 6a2
ϭ ᎏ
6 и 1
3
,2522
ᎏ ϭ 3,135008 cm2
Error relativo: Er ϭ ϭ 0,003
1.72. En la tabla siguiente aparecen las medidas de una niña y de una torre.
Indica cuál de las dos medidas ha sido más precisa y justifica tu respuesta.
En el primer caso, el error relativo es ᎏ
9
2
2
ᎏ ϭ ᎏ
4
1
6
ᎏ. En el segundo, el error relativo es ᎏ
3
1
8
ᎏ.
La medida de la niña es más precisa, ya que el error relativo es menor.
1.73. Javier pretende colocar césped artificial en un jardín cuadrado del que sabe que su lado está comprendido
entre 15 y 16 metros.
El coste de cada metro cuadrado de dicho césped asciende a 30 euros y 10 céntimos, y el presupuesto
con el que cuenta es de 7000 euros.
Calcula los costes máximo y mínimo, y decide si la obra podrá ser emprendida.
15 р lado р 16 ⇒ 225 р área р 256 ⇒ 6772,5 р coste р 7705,6
Por tanto, el presupuesto podría ser insuficiente.
1.74. El radio de la rueda de una bicicleta tiene una longitud comprendida entre 19 y 20 cm.
Calcula los números máximo y mínimo de vueltas completas que dará al recorrer una distancia de 20 km.
19 р r р 20 ⇒ 119,38 Ͻ longitud rueda Ͻ 125,67 ⇒ ᎏ
2
1
0
2
0
5
0
,6
0
7
00
ᎏ Ͻ n.º de vueltas Ͻ ᎏ
2
1
0
1
0
9
0
,3
0
8
00
ᎏ ⇒
⇒ 15914 Ͻ vueltas Ͻ 16754
3,135008 Ϫ 3,125
ᎏᎏᎏ
3,135008
Altura
Real Obtenida con instrumento de medida
92 cm 90 cm
38 m 37 m

19. Solucionario
1.75. Si un automóvil que costó 14425 euros se deprecia un 15% anual, ¿cuánto valdrá a los 6 años?
¿Cuántos años deben pasar para que su valor sea inferior a 3600 euros?
A los 6 años, el coche valdrá V6 ϭ 14425 и 0,856
ϭ 5440,38 euros.
Para calcular dentro de cuántos años su valor será inferior a 3600 euros, se resuelve la siguiente inecuación:
14425 и 0,85t
Ͻ 3600 ⇒ 0,85t
Ͻ ᎏ
1
3
4
6
4
0
2
0
5
ᎏ ⇒ t и log0,85 Ͻ logᎏ
1
3
4
6
4
0
2
0
5
ᎏ ⇒ t Ͼ 8,54
Deberán pasar, al menos, 9 años.
1.76. Se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media que separa la Tierra del Sol y que equivale a
1,49598 ؒ 108
km.
a) Sabiendo que el 1 de enero la distancia entre la Tierra y el Sol es de 1,471 ؒ 108
km, exprésala en uni-
dades astronómicas.
b) Sabiendo que la distancia media entre Júpiter y el Sol es de 5,2 UA, exprésala en kilómetros.
a) ᎏ
1
1
,4
,4
9
7
5
1
98
и
и
10
1
8
08
ᎏ ϭ 0,9833 UA b) 5,2 ϫ 1,49598 и 108
ϭ 7,779 и 108
km
1.77. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50%. Si en el momento inicial había 100 conejos:
a) ¿Cuántos habrá al cabo de 10 años?
b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30000?
c) Si debido a una enfermedad, la tasa de crecimiento cayera al 10%, ¿cuánto tiempo tardaría la población
inicial en triplicarse?
a) t ϭ 10 ⇒ P(10) ϭ 100 и 1,510
ϭ 5766,5 ⇒ Habrá 5766 conejos
b) 100 и 1,5t
ϭ 30000 ⇒ 1,5t
ϭ 300 ⇒ t ϭ ᎏ
l
l
o
o
g
g
3
1
0
,5
0
ᎏ ϭ 14,06 años
c) 100 и 1,1t
ϭ 300 ⇒ 1,1t
ϭ 3 ⇒ t ϭ ᎏ
lo
lo
g
g
1
3
,1
ᎏ ϭ 11,53 años
1.78. El valor de una vivienda, cuando han pasado t años desde su adquisición, es V ‫؍‬ k ؒ e␣ ؒ t
.
La vivienda se compró por 250000 euros, y a los 10 años valía 450000.
a) Calcula el valor de k y ␣.
b) Calcula el valor de la vivienda a los 20 años.
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir desde la compra, para que el valor de la vivienda se triplique?
d) Un trabajador que gana el salario medio puede comprar una vivienda de 90 metros cuadrados. Si el sa-
lario medio aumenta un 3% cada año, al cabo de 10 años, ¿cuál será la superficie de la vivienda que po-
dría comprar el mismo trabajador? (supón que el resto de sus condiciones de vida no han variado.)
a) Ά ⇒ k ϭ 250000 ⇒ e10␣
ϭ ᎏ
4
2
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
ᎏ ϭ 1,8 ⇒ ␣ ϭ ᎏ
1
1
0
ᎏln1,8 ϭ 0,0588 ⇒
⇒ V ϭ 250000 и e0,0588t
b) V ϭ 250000 и e0,0588 и 20
Ϸ 810000
c) 3V ϭ V и e0,0588t
⇒ t ϭ ᎏ
0,0
ln
5
3
88
ᎏ ϭ 18,68 años
d) Si el salario medio inicial es S0 , dentro de 10 años dispondrá de un salario S ϭ S0 и 1,0310
ϭ 1,34 и S0.
Inicialmente podía pagar con su salario 90 m2
, por lo que el precio del m2
salía por V0 ϭ ᎏ
9
S
0
0
ᎏ.
Después de 10 años, el m2
sale por V ϭ ᎏ
9
S
0
0
ᎏ и e0,0588 и 10
ϭ 0,02 S0 .
Con su salario podrá comprar un piso de ᎏ
1
0
,
,
3
0
4
2
S
S
0
0
ᎏ ϭ 67 m2
.
t ϭ 0 ⇒ k и e␣ и 0
ϭ k ϭ 250000
t ϭ 10 ⇒ k и e10␣
ϭ 450000

20. 1.79. Según la escala de Richter, las magnitudes de los terremotos se obtienen mediante la fórmula:
M ‫؍‬ —
l
1
o
,
g
44
E
— ؊ 3,64
siendo E la energía liberada por el seísmo en julios.
La energía liberada por un terremoto de magnitud 6,4 fue 200 veces la energía liberada por una de sus ré-
plicas. Calcula la magnitud de esta réplica.
Energía del terremoto: 6,4 ϭ ᎏ
l
1
o
,
g
44
E
ᎏ Ϫ 3,64 ⇒ logE ϭ 14,4577 ⇒ E ϭ 2,87 и 1014
julios
Energía de la réplica: Er ϭ ᎏ
2,87
20
и
0
1014
ᎏ ϭ 1,43 и 1012
julios
Magnitud de la réplica: Mr ϭ ᎏ
log(1,
1
4
,
3
44
и 1012
)
ᎏ Ϫ 3,64 ϭ 4,8
PROFUNDIZACIÓN
1.80. Sea a un número positivo y diferente de la unidad. Demuestra que la suma de a y su inverso es siempre su-
perior a 2.
a Ͼ 0 y a 1
΂͙aෆ Ϫ ᎏ
͙
1
aෆ
ᎏ΃
2
Ͼ 0 ⇒ a ϩ ᎏ
1
a
ᎏ Ϫ 2ᎏ
͙
͙
aෆ
aෆ
ᎏ ϭ a ϩ ᎏ
1
a
ᎏ Ϫ 2 Ͼ 0 ⇒ a ϩ ᎏ
1
a
ᎏ Ͼ 2
1.81. Demuestra que si a, b y c son números positivos y diferentes, entonces se verifica la siguiente desigualdad.
(a ؉ b ؉ c) ؒ ΂—
1
a
— ؉ —
b
1
— ؉ —
1
c
—΃ Ͼ 9
Utilizando el ejercicio anterior:
(a ϩ b ϩ c) и ΂ᎏ
1
a
ᎏ ϩ ᎏ
1
b
ᎏ ϩ ᎏ
1
c
ᎏ΃ ϭ ᎏ
a
a
ᎏ ϩ ᎏ
b
a
ᎏ ϩ ᎏ
c
a
ᎏ ϩ ᎏ
b
a
ᎏ ϩ ᎏ
b
b
ᎏ ϩ ᎏ
b
c
ᎏ ϩ ᎏ
c
a
ᎏ ϩ ᎏ
b
c
ᎏ ϩ ᎏ
c
c
ᎏ ϭ
ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ ᎏ
b
a
ᎏ ϩ ᎏ
b
a
ᎏ ϩ ᎏ
c
a
ᎏ ϩ ᎏ
c
a
ᎏ ϩ ᎏ
b
c
ᎏ ϩ ᎏ
c
a
ᎏ Ͼ 3 ϩ 2 ϩ 2 ϩ 2 ϭ 9
1.82. Demuestra que ͙3ෆ es un número irracional.
Supongamos que es racional y que, por tanto, lo podemos escribir mediante una fracción irreducible:
͙3ෆ ϭ ᎏ
b
a
ᎏ ⇒ a ϭ b͙3ෆ ⇒ a2
ϭ 3b2
⇒ a2
es múltiplo de 3 ⇒ a es múltiplo de 3
a ϭ 3␭ ⇒ a2
ϭ 9␭2
⇒ 3b2
ϭ 9␭2
⇒ b2
ϭ 3␭2
⇒ b2
es múltiplo de 3 ⇒ b es múltiplo de 3.
Como a y b son ambos múltiplos de 3, la fracción ᎏ
b
a
ᎏ no es irreducible.
Se ha llegado a una contradicción con lo supuesto, lo cual quiere decir que es falso; por tanto, ͙3ෆ no se puede
escribir como una fracción; es decir, es irracional.
1.83. Representa en la recta real el número irracional —
3
5
— ؉ ͙5ෆ.
Se dibujan ᎏ
3
5
ᎏ y ͙5ෆ y se suman con ayuda del compás.
10 2__3
5
5
1
__3
5
5+

21. Solucionario
1.84. Desarrolla la expresión |1 ؉ |x|| omitiendo los valores absolutos.
Como 1 ϩ |x| Ͼ 0 ⇒ |1 ϩ |x|| ϭ 1 ϩ |x| ϭ Ά
1.85. Representa en la recta real el conjunto de valores reales x tales que Έ2x ؊ —
1
3
—Έ Ͻ 1 y determínala median-
te un intervalo.
Έ2x Ϫ ᎏ
1
3
ᎏΈ Ͻ 1 ⇒ Έ ΈϽ ᎏ
1
2
ᎏ ⇒ Έx Ϫ ᎏ
1
6
ᎏΈ Ͻ ᎏ
1
2
ᎏ ⇒ ΂ᎏ
Ϫ
3
1
ᎏ, ᎏ
2
3
ᎏ΃
1.86. En la siguiente tabla se representan de distinta forma varios conjuntos de números reales. Completa la ta-
bla, representando, cuando sea posible, los diferentes conjuntos de cuatro formas diferentes.
1.87. Sabiendo que log2 3 es un número real comprendido entre 1,58 y 1,59, calcula dos números reales, lo más
próximos posible, entre los que se encuentre el valor de log2 27.
1,58 Ͻ log2 3 Ͻ 1,59 ⇒ 3 и 1,58 Ͻ 3log2 3 Ͻ 3 и 1,59 ⇒ 4,74 Ͻ log2 27 Ͻ 4,77
1.88. Racionaliza el denominador de estas expresiones.
a) —
2 ؉ ͙2ෆ
1
؉ ͙3ෆ
— b)
a) ᎏ
2 ϩ ͙2ෆ
1
ϩ ͙3ෆ
ᎏ ϭ ϭ ϭ ᎏ
2 ϩ
3
͙
ϩ
2ෆ
4͙
Ϫ
2ෆ
͙3ෆ
ᎏ ϭ
ϭ ϭ ϭ
b) ᎏ
2 Ϫ
1
͙
3
2ෆ
ᎏ ϭ ϭ ϭ
ϭ ᎏ
4 ϩ 2
8
͙
3
Ϫ
2ෆ
2
ϩ ͙
3
4ෆ
ᎏ ϭ Ϫᎏ
4 ϩ 2͙
3
6
2ෆ ϩ ͙
3
4ෆ
ᎏ
[Aplicando que a3
– b3
= (a – b) и (a2
+ ab + b2
).]
4 ϩ 2͙
3
2ෆ ϩ ͙
3
4ෆᎏᎏᎏᎏᎏ
8 ϩ 4͙
3
2ෆ ϩ 2͙
3
4ෆ Ϫ 4͙
3
2ෆ Ϫ 2͙
3
4ෆ Ϫ ͙
3
8ෆ
4 ϩ 2͙
3
2ෆ ϩ ͙
3
4ෆᎏᎏᎏᎏ
΂2 Ϫ ͙
3
2ෆ΃ и ΂4 ϩ 2͙
3
2ෆ ϩ ͙
3
4ෆ΃
Ϫ2 Ϫ5͙2ෆ Ϫ 3͙3ෆ ϩ 4͙6ෆᎏᎏᎏᎏ
Ϫ23
6 Ϫ 8͙2ෆ ϩ 3͙2ෆ Ϫ 8 Ϫ 3͙3ෆ ϩ 4͙6ෆᎏᎏᎏᎏᎏ
9 Ϫ 32
΂2 ϩ ͙2ෆ Ϫ ͙3ෆ΃΂3 Ϫ 4͙2ෆ΃
ᎏᎏᎏᎏ
΂3 ϩ 4͙2ෆ΃΂3 Ϫ 4͙2ෆ΃
2 ϩ ͙2ෆ Ϫ ͙3ෆᎏᎏᎏ
4 ϩ 2 ϩ 4͙2ෆ Ϫ 3
2 ϩ ͙2ෆ Ϫ ͙3ෆᎏᎏᎏᎏ
΂2 ϩ ͙2ෆ ϩ ͙3ෆ΃΂2 ϩ ͙2ෆ Ϫ ͙3ෆ΃
1
—
2 ؊ ͙
3
2ෆ
2x Ϫ ᎏ
1
3
ᎏ
ᎏ
2
1 ϩ x si x у 0
1 Ϫ x si x Ͻ 0
Intervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamente
{؊3 р x р 1}
(؊ؕ, 1) ഫ (2, ؉ؕ)
|x| Ͼ 3
0
( )
_1 __2
3
1_1___
3
50
Intervalos Desigualdad Valor absoluto Gráficamente
[Ϫ3, 1] ؊3 р x р 1 |x ϩ 1| р 2
(؊ؕ, 1) ഫ (2, ؉ؕ) {x Ͻ 1} ഫ {x Ͼ 2} |x Ϫ 1,5| Ͼ 0,5
(Ϫϱ, Ϫ3) ഫ (3, ϩϱ) {x Ͻ Ϫ3} ഫ {x Ͼ 3} |x| Ͼ 3
[0, 5] 0 р x р 5 |x Ϫ 2,5| ഛ 2,5
50
Falta 354336
Falta 354337
Falta 354338

22. 1.89. Calcula dos números enteros y positivos m y n tales que ͙8 ؉ ͙ෆ60ෆෆ ‫؍‬ ͙mෆ ؉ ͙nෆ.
΂͙8 ϩ ͙ෆ60ෆෆ΃
2
ϭ ΂͙mෆ ϩ ͙nෆ΃
2
⇒ 8 ϩ 2͙15ෆ ϭ m ϩ n ϩ 2͙m и nෆ ⇒ Ά ⇒ m ϭ 3, n ϭ 5
1.90. a) Calcula los desarrollos de (1 ؉ x)n
y (x ؉ 1)n
.
b) Escribe el coeficiente de xn
en el producto de los polinomios (1 ؉ x)n
ؒ (x ؉ 1)n
.
c) Con ayuda de la igualdad:
(1 ؉ x)n
ؒ (x ؉ 1)n
‫؍‬ (1 ؉ x)2n
y del coeficiente hallado en el apartado anterior, demuestra que:
΂ ΃
2
؉ ΂ ΃
2
؉ ΂ ΃
2
؉ ... ؉ ΂ ΃
2
؉ ΂ ΃
2
‫؍‬ ΂ ΃
a) (1 ϩ x)n
ϭ ΂ ΃ ϩ ΂ ΃x ϩ ΂ ΃x2
ϩ ... ϩ ΂ ΃xn
(x ϩ 1)n
ϭ ΂ ΃xn
ϩ ΂ ΃xn Ϫ 1
ϩ ΂ ΃xn Ϫ 2
ϩ ... ϩ ΂ ΃
b) El coeficiente de xn
en (1 ϩ x)n
(x ϩ 1)n
es ΂ ΃ и ΂ ΃ ϩ ΂ ΃ и ΂ ΃ ϩ ... ϩ ΂ ΃ и ΂ ΃ ϭ ΂ ΃
2
ϩ ΂ ΃
2
ϩ ... ϩ ΂ ΃
2
.
c) El término de xn
en el desarrollo (1 ϩ x)2n
es Tk ϭ ΂ ΃xk Ϫ 1
⇒ k Ϫ 1 ϭ n ⇒ k ϭ n ϩ 1
El coeficiente de xn
en el desarrollo (1 ϩ x)2n
es ΂ ΃ ϭ ΂ ΃.
De los apartados b y c se deduce que ΂ ΃
2
ϩ ΂ ΃
2
ϩ ... ϩ ΂ ΃
2
ϭ ΂ ΃.
2n
n
n
n
n
1
n
0
2n
n
2n
n ϩ 1 Ϫ 1
2n
k Ϫ 1
n
n
n
1
n
0
n
n
n
n
n
1
n
1
n
0
n
0
n
n
n
2
n
1
n
0
n
n
n
2
n
1
n
0
2n
n
n
n
n
n ؊ 1
n
2
n
1
n
0
m ϩ n ϭ 8
m и n ϭ 15