limites y continuidad

1. ◊ LÍMITE DE UNAFUNCIÓNEN f(x) EN UNPUNTO x=a: Para cualquier entorno que tomemos de centro el límite y radio ,ε ,E(L,ε)
, por pequeño que este sea, vamos a poder encontrar un entorno de centro a y radio δ , E(a,δ) , de forma que los valores dex que
estén dentro de este entorno cumplan que sus imágenes , f(x) (sin contar a), están dentro del entorno de L , E(L,ε). Con símbolos:
∀𝐄( 𝐋, 𝛆) ∃ E(a,δ) tal que ∀𝒙 ∈ 𝐄( 𝐚, 𝛅) 𝐬𝐮𝐬 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐞𝐧𝐞𝐬 𝐟( 𝐱) ∈ 𝐄( 𝐋, 𝛆) e s d e c i r :
∀𝜺 > 0 ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 | 𝒙 − 𝒂|<δ t endrem os que | 𝒇( 𝒙)− 𝑳| < 𝜀
TIPOS DE INDETERMINACIONES:
∞
∞
,
0
0
,
𝑘
0
, ∞ − ∞ , 1∞
, 𝑒𝑙 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎ñ𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 0· ∞, 00
𝑦 ∞0
I NDET ERM I NA C I ÓN
∞
∞
• Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la x de mayor grado.
NOTA: Límite cuando x tiende a menos infinito
lim
𝑥→−∞
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑓(−𝑥)
I NDET ERM I NA C I ÓN: ∞ − ∞
•Si se trata de funciones racionales (cocientes de polinomios), basta con realizar la operación pasando a común
denominador y resolver la nueva indeterminación que aparezca
• Si aparecen funciones radicales, multiplicamos y dividimos por el conjugado de esa expresión:
I NDET ERM I NA C I ÓN:
𝟎
𝟎
• I: FUNCIÓNRACIONALSIN RADICALES: Se factorizan lospolinomios(Ruffini) yse simplifica
• II: FUNCIÓNRACIONALCON RADICALES: Multiplicamosnumeradory denominadorpor el conjugadode la expresión
irracional.Realizamoslasoperacionesysimplificamoslafracción
I NDET ERM I NA C I ÓN 𝟏∞
Se resuelve transformando el límite que nos dan hasta obtener otro límite en el que aparece el número e.𝑅𝑒𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎: 𝑒 = lim
𝑥 → +∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
◊ LÍMITES CUANDOX → ∞ DE UNAFUNCIÓN. ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Si lim
x→∞
f(x) = A ;se dice que la recta y = A es 𝐀𝐒Í𝐍𝐓𝐎𝐓𝐀 𝐇𝐎𝐑𝐈𝐍𝐙𝐎𝐍𝐓𝐀𝐋 DE f(x)
LÍMITES EN EL INFINITO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:
lim
x→∞
rx = {
0 si 0 < 𝑥 < 1
indeterminación1∞ si x = 1
∞ si x > 1
De este procedimientoresulta: lim
𝑥 → 𝑎
( 𝑓( 𝑥))
𝑔( 𝑥)
=𝟏∞
=𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥)·(𝑓( 𝑥)−1)
= =
RESUMEN DE LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD Profesora: Rosa Henández Gila 15/16
FUNCIÓN
INVERSA
F(x) = 1/x
Tiene por
ASÍNTOTA
HORIZONTAL
y=0 pues
lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0
lim
𝑥 → ∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯+ 𝑏1 𝑥 + 𝑏0
= lim
𝑥 → ∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
= {
∞ si n > 𝑚
𝑎 𝑛
𝑏 𝑚
si n = m
0 si n < 𝑚
Ejemplos:f(x)= 𝟑𝐱+𝟏
𝐱−𝟐
, 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐥𝐢𝐦
𝐱→∞
𝟑𝐱+𝟏
𝐱−𝟐
= 𝟑, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝐲 = 𝟑 𝐞𝐬 𝐚𝐬í𝐧𝐭𝐨𝐭𝐚 𝐡𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥. f(x)
= x2-1, como 𝐥𝐢𝐦
𝐱→∞
𝐱 𝟐
− 𝟏 = ∞, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 𝐧𝐨 𝐭𝐢 𝐞 𝐧𝐞 𝐚𝐬í𝐧𝐭𝐨𝐭𝐚𝐬 𝐡𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥𝐞𝐬.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: lim
𝑥→∞
[
2𝑥 − 3
2𝑥 + 5
]
5𝑥+1
= lim
𝑥→∞
[1 +
2𝑥 − 3
2𝑥 + 5
− 1]
5𝑥+1
= lim
𝑥→∞
[1 +
2𝑥 − 8
2𝑥 + 5
]
5𝑥+1
= lim
𝑥→∞
[1 +
1
2𝑥+ 5
2𝑥− 8
]
2𝑥+5
2𝑥−8
.
2𝑥−8
2𝑥−8
(5𝑥+1)
= 𝑒
lim
2𝑥−8
2𝑥−8
(5𝑥+1)=10
= 𝑒10
Ejemplo: lim
𝑥→2
𝑥2
− 3𝑥 + 2
2 − √𝑥 + 2
=
𝟎
𝟎
= lim
𝑥→2
( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(2 + √𝑥 + 2)
(2 − √𝑥 + 2)(2 + √𝑥 + 2)
= lim
𝑥→2
( 𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(2 + √𝑥 + 2)
4 − ( 𝑥 + 2) = 2 − 𝑥
= lim
𝑥→2
( 𝑥 − 1)(2 + √𝑥 + 2)
−1
= −4

2. ◊ FUNCIONES CONTINUAS: Intuitivamente unafunciónescontinuacuandosugráficase puede dibujarsinlevantar
el lápizdel papel.De unamanera“más formal”.UNAFUNCIÓNESCONTINUAEN UNPUNTO SI SE VERIFICANTRES
:
TIPOS DE DISCONTINUIDADES :
Si una función no es continua en un punto será discontinua y estudiando el valor del límite en dicho punto,
clasificamos el tipo de discontinuidad.
• DISCONTINUIDAD EVITABLE : SI EXISTE LÍMITE DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO, pero o no
coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de la función .
Ej.: Dada la función f(x) =
𝑥2−9
𝑥−3
. Su Domf(x) = R-{3}.Entonces es continua en R-{3}, al ser una función racional.
Como tiene límite en x=3,pues lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
=
0
0
= 6, presentará una DISCONTINUIDAD EVITABLE EN X=3.
• DISCONTINUIDAD DE 1ºESPECIE (O DE SALTO FINITO) SI EXISTEN LOS LÍMITES LATERALES
EN DICHO PUNTO SIENDO FINITOS PERO NO COINCIDEN
Ej.: Dada la función f(x) =
𝑥2−9
𝑥−3
𝑥 > 3
x-1 x<3
•DISCONTINUIDAD DE 1º ESPECIE DE SALTO INFINITO CUANDO UNO ( o los dos) DE LOS
LÍMITES LATERALES DE INFINITO.
Ej.: f(x)=
2
1−𝑥
, su Domf(x) = R-{1},será continua en R-{1}, al ser una función racional será continua salvo donde
se anule el denominador. Como los limites son ∞, la DISCONTINUIDAD SERÁ DE SALTO INFINITO
lim
𝑥→1+
𝑓( 𝑥) =
2
0
= −∞ 𝑦 lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = +∞
•DISCONTINUIDADES ESENCIALES DE 2ª ESPECIE SI NO EXISTE ALGUNO DE LOS LÍMITES
LATERALES .
Ej: f(x) = √ 𝑥 − 2 Domf(x) =[2,∞). Enx=2 estudiamoslacontinuidad1º) f(2) =0
2º) lim
𝑥→2+
𝑓( 𝑥) = 0 𝑦 lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 entoncespresentaUNADISCONTINUIDADDE 2ª ESPECIE.
1ª) Existe f(a )
2ª) Existe el límite de f(x) cuando x tienda a .
Por tanto existen los laterales y coinciden.
3ª) Coincide el valor de f(a) con el límite
UNA FUNCIÓNES CONTINUA si
cumple 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇( 𝒙) = 𝒇(𝒂)
◊ ASÍNTOTAS VERTICALES
𝐒𝐢 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝐚
𝐟( 𝐱) =
𝐊
𝟎
= ∞ ↔ Se dice que x=a es una ASÍNTOTA VERTICAL DE f(x)
𝑘
0
no es una indeterminación, pero tendremos que determinar sus límites laterales para saber si es ±∞ y conocer la
posición de la función respecto a dicha asíntota
NOTA: PARA ESTUDIAR LA CONTINUIDAD DEUNA FUNCIÓN LOPRIMEROQUEDEBES DEHACER ES DETERMINAR SU DOMINIO.
. Dom f(x) = R-{3}, en x =3 presenta una DISCONTINUIDAD DE
SALTO FINITO pues : lim
𝑥→3+
𝑓( 𝑥) =
0
0
= 6 ≠ lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 2
1Ejemplos:La f(x) =x3
-2x+1 NOTIENE ASÍNTOTAS. Domf(x) =R y lim
𝑥→∞
𝑥3 − 2𝑥 + 1 = + ∞ , 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑛𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
. Tampoco tiene verticales pues noexiste ningúnvalor para el cual la función tienda a ∞. Se puede concluir que:lasfuncionespolinómicasno tieneasíntotas
2Ejemplo.:Dada la f(x) =
𝑥+1
𝑥−2
.Determinasusasíntotashorizontalesyverticales.Domf(x) =R-{2}.
•ASÍNTOTA HORIZONTAL : lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥−2
= 1 𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝟏 𝒆𝒔 𝑨𝑺Í𝑵𝑻𝑶𝑻𝑨 𝑯𝑶𝑹𝑰𝒁𝑶𝑵𝑻𝑨𝑳
•ASÍNTOTA VERTCAL: lim
𝑥→2
𝑥+1
𝑥−2
=
3
0
= ∞ entonces x=2 es ASÍNTOTAVERTICAL ( lim
𝑥→2+
𝑥+1
𝑥−2
= + ∞; lim
𝑥→2−
𝑥+1
𝑥−2
= − ∞ )
2.1 1.9