1. การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
สืบเนื่องจากการประชุมประจำาปีของ NCTM (National
Council of Teachers of Mathematics) เรื่อง มาตรฐาน
หลักสูตรและการ ประเมินผล
การพัฒนาความสามารถในการคิดในการให้เหตุผล และการ
แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นเป้าหมายหลักในการเรียน
คณิตศาสตร์ถึงกระนั้นก็ดีมีนักเรียนเป็น จำานวนมากที่ไม่สามารถ
บรรลุเป้าหมายนี้ด้วยเหตุผลนานาประการ นับตั้งแต่ หนังสือเรียน
ไม่เหมาะสมไปจนถึงงานที่ได้รับมอบหมายไม่เกิดประโยชน์
การคิดและการให้เหตุผลในคณิตศาสตร์คืออะไร ครูจะรู้ได้
อย่างไรว่า นักเรียนได้มีการคิดและให้เหตุผล
กิจกรรมนั้นโดยตัวเองแล้วไม่จัดว่าเป็นการให้เหตุผลและ
การคิด การให้เหตุเกี่ยวกับสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง เกิด
จากการที่นักเรียนได้กระทำาอะไรระหว่างที่เขาทำากิจกรรมนั้น เมื่อ
ใดก็ตามที่นักเรียนกำาลังตัดสินใจว่าจะเลือกใช้วิธีไหน จะปรับวิธี
การต่างๆอย่างไร หรือจะประสมประสานความรู้ที่มี อยู่แล้วจาก
ประสบการณ์เดิมอย่างไร นั่นหมายความว่าเด็กกำาลัง คิดและให้
เหตุผล แรกเริ่มที่นักเรียนทำากิจกรรมจะเกี่ยวข้อง กับการให้
เหตุผลและการคิด แต่เมื่อได้แก้ปัญหาแบบเดียวกันซำ้าๆ นักเรียน
ก็มักจะใช้แต่วิธีการนำาไปใช้เท่านั้น
ระดับ "การคิด" ที่สูงขึ้นกว่านี้เป็นอย่างไร การมองดูอาจ
ไม่ใช่ของจริง ท่านจะต้องมองเห็นนักเรียนไม่ใช่มองเห็นครู
กระทำาการสอน การพูดจาก็อาจไม่ใช่ของจริงแต่ท่านจะต้อง
ได้ยินครู ถามคำาถามนักเรียนว่าทำาไม อะไรและอย่างไร ซึงเป็น่
คำาถามที่ต้อง การคำาตอบมากกว่าหนึ่งคำาขึ้นไป ท่านจะต้อง
ได้ยินนักเรียนกำาลัง อธิบาย คาดเดา อธิบายรูปแบบ ให้ความคิด
เห็น หรือสื่อ ความหมายในข้อวิเคราะห์ของเขา
การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์นี้กำาลังจะบังเกิด
ขึ้น ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ทั่วสหรัฐ อเมริกา เมื่อภาคเรียนที่แล้ว
ผู้เขียนเรื่องนี้ได้ไปเฝ้าดูนักเรียนเกรด 2 คิดเกี่ยวกับจำานวน คุกกี้

2. ที่ครูจะต้องแจกให้นักเรียน 10 คน คนละ 2 ชิ้นต่อวัน ตั้งแต่ วัน
จันทร์ถึงศุกร์แทนการบอกวิธีให้นักเรียนคิด ครูจะ ให้นักเรียนจับ
คู่แล้วช่วยกันคิดวิธีที่จะแก้โจทย์ปัญหา นี้ นักเรียนบางคู่วาดรูป
นักเรียน 10 คน ในมือแต่ละข้าง ของทุกคนถือคุกกี้ข้างละ 1 ชิ้น
ในแต่ละวัน แล้วเขาก็นับ จำานวนคุกกี้ในภาพ
นักเรียนอีกคู่หนึ่ง สร้างตารางตั้งแต่วันจันทร์ ถึงศุกร์ ด้าน
ซ้ายเป็นจำานวน 1-10 หาผลลัพธ์ของแต่ ละคอลัมน์ได้ 20 รวม
5 คอลัมน์ได้ 100 บางคูใช้เบี้ย แทนคุกกี้ บางคู่นับทีละ 10
่
สำาหรับคุกกี้จำานวนแรกของ วันแรก อีก 10 ชิ้น ต่อไปเป็นจำานวน
ที่สองของวันแรก และต่อไปเรื่อย ๆ จนถึง 10 ชิ้นสุดท้าย การ
สนทนาของพวกเด็ก ๆ จะเกี่ยวกับวิธีจะทำา อย่างไรกับข้อมูลที่มี
อยู่ และทำาอย่างไรจะให้ได้ ผลลัพธ์ มีเด็กคนหนึ่งเขียนแค่
56+44 = 100 บน กระดาษ ก็ได้รับการร้องขอให้อธิบายว่าคุกกี้
เกี่ยวข้อง อย่างไรกับ 56 และ 44 นักเรียนเหล่านี้กำาลังคิดและให้
เหตุผลอย่างแน่นอน นักเรียนที่มีวิธีการที่แตกต่างก็รับ ผิดชอบ
ในการอธิบายวิธีคิดของเขาแก่เพื่อนร่วมชั้น เป็นการสังเกตการณ์
สอนที่มีคุณค่ามากในความเห็นของผู้เขียน
อีกชั้นเรียนหนึ่งที่ผู้เขียนได้ไปเฝ้าสังเกตคือเกรด 6
นักเรียนกำาลังหาอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งกับ
เส้น ผ่านศูนย์กลาง กระบวนการนี้เด็กชายคู่หนึ่งได้ใช้กฎการหา
พื้นที่วงกลม และได้รับการขอร้องให้อธิบาย คนแรกตอบไม่
ถูกเขาตอบว่าถ้าท่านสร้าง สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งในวงกลม พื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมรูปนั้นจะ เท่ากับ อีกคนไม่เห็นด้วยเขา สร้างวงกลม
บนกระดานจากรัศมีเขาสร้างรูปสี่เหลี่ยมบน สี่เหลี่ยม ของ
วงกลม แล้วชีให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม คือ "ถ้าพื้นที่ของ
้
วงกลมทังสิ้นคือ 4 r2 พื้นที่ก็จะมาก เกินไป จำานวนที่ถูกต้องน่า
้
จะเพียงแค่ 3 เท่าของ รูปสี่เหลี่ยม หรือคือ ซึ่งผู้เขียนคิดว่า
เป็น การอธิบายสูตรที่แยบยล
อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นนักเรียนมัธยมปลายหลัง จากผ่าน
Advanced Placement Calculus Test เมื่อภาคเรียนก่อน ครูจะ
ตรวจสอบเรื่อง ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้นกับเด็กที่เธอสอน ก่อนจะ
ลงมือดำาเนินการครูได้ให้ดูภาพยนต์แสดงถึงแต่ละภาคตัดกรวย

3. จะมีส่วนร่วมของระนาบและรูปกรวย นักเรียนคนหนึ่งก็ถามขึ้นว่า
ระเบียบวิธีของส่วนร่วมเกี่ยวข้องกับนิยามของภาคตัดกรวยที่ใช้
ระยะทางอย่างไร ครูก็ส่งคำาถามให้นักเรียนในชั้นให้ ช่วยกัน
คิด เพื่อหาข้อความคาดการณ์
ผู้เขียนรู้สึกทึ่งมากได้ให้ข้อเสนอแนะไปข้อสองข้อ เมื่อสัญญาณ
หมดเวลาดังขึ้น โดยยังหาข้อยุติไม่ได้ นักเรียนก็ต้องออกจาก
ห้องไปโดยถกเถียงกันไประหว่างทางว่ากลวิธีใดจึงจะบังเกิดผล
ครูก็ยอมรับว่าตัวเธอเองก็ไม่รู้คำาตอบเหมือนกันแต่จะไปค้นคว้า
ต่อที่บ้าน (ผู้เขียนเองก็ไม่ทราบเหมือนกันก็ต้องไปตรวจสอบกับ
แหล่งทีเชื่อถือได้ต่อไป!) เห็นได้ชัดว่านักเรียนเหล่านั้นคุ้นเคย
่
กับการเสี่ยง คุ้นเคยกับการให้ผลเฉลย และการอธิบายคำาตอบ
และคุ้นเคยกับการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ กิจกรรมเหล่านี้ดู
เหมือนและรู้สึกว่าเป็นตัวอย่างอันดีสำาหรับการคิด และการให้
เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
พื้นฐานของมาตรฐานคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การมองดู หรือความ
รู้สึกที่เห็นหรือสังเกตได้ในชั้นเรียน หากแต่ต้องเป็นสิ่งที่เกิดขึ้น
จริง เด็ก ๆ ที่ยก ตัวอย่างข้างต้นนั้นได้นำาเครื่องมือและ
กระบวนการ ที่ได้เรียนแล้วมาใช้ประโยชน์อย่างมีนัยสำาคัญใน
คณิตศาสตร์ เป็นการสะท้อนผลการสอนของครู ฉะนั้นขณะที่
ท่านวางแผนสำาหรับบทเรียนในอนาคต ก็ควรที่จะพยายามหา
ทางหลายๆทางที่ให้นักเรียนได้มีส่วนเกี่ยวข้อง และไปให้เหนือ
กว่าขั้นการใช้ทักษะและกระบวนการ พยายามส่งเสริมให้นักเรียน
บรรลุถึงเป้าหมายของคำาว่า มาตรฐาน คือการคิดและการให้
เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์
Let's Talk about Mathematical Thinking and
Reasoning
ของ Gail Burrill ในเอกสาร NCTM News Bulletin ฉบับเดือน
January 1998 หน้า 3