5. หน่ วยการเรียนรู้ ที่ 8 การประยุกต์ สมการเชิ งเส้ นตัวแปรเดียว 65
สมบัติของการเท่ ากัน
นักเรี ยนได้ เคยศึกษาวิธี การหาคาตอบของส มการโดยวิธีการลองแทนค่าตัว แปรแล้วพบ ว่า
ิ ่
บางครั้งอาจมีปัญหาในการใช้วธีน้ ีเมื่อสมการมีความ ยุงยากซับซ้อนมากขึ้น จึงจาเป็ นต้องมีวธีการ หา
ิ
คาตอบของสมการ โดยวิธีที่สะดวกและรวดเร็ วกว่านี้ ดังนั้น เพื่อ ช่วยในการแก้สมการ เพื่อ ความ
สะดวกและรวดเร็ ว ในการหาคาตอบของ สมการ โดยไม่ตองใช้ วธีการลองแทนค่าตัว แปร ตลอดจน
้ ิ
สามารถใช้กบสมการที่มีความ ยุงยากซับซ้อน นักเรี ยนจาเป็ นต้องมีความรู ้เกี่ยวกับ สมบัติ ของการ
ั ่
เท่ากันในการหาคาตอบ
ให้นกเรี ยน พิจารณาการเท่ากันของจานวนสองจานวน ซึ่งสามารถเขียนแสดงได้สองแบบ
ั
ดังนี้
1) x=5 หรื อ 5=x
2) a+b=c หรื อ c=a+b
3) -3 = -6z หรื อ …………………
4) x + 2 = y – 4 หรื อ …………………
การเขียนแสดงการเท่ากันข้างต้นเป็ นไป สมบัติสมมาตร ซึ่ งกล่าวว่า
ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b เป็ นจานวนใด ๆ
ให้นกเรี ยนพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ั
1) ถ้า x = y และ y = 5 ่
แล้วจะสรุ ปได้วา x = 5
่
2) ถ้า a + b = x และ x = -8 แล้วจะสรุ ปได้วา a + b = -8
3) ถ้า a = 1 m และ 1 m = 0 แล้วจะสรุ ปได้วา …………………
3 3 ่
4) ถ้า x = 2y และ 2y = 1.5 แล้วจะสรุ ปได้วา ………………… ่
การเขียนแสดงการเท่ากันข้างต้นเป็ นไป สมบัติถ่ายทอด ซึ่ งกล่าวว่า
ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
ให้นกเรี ยนพิจารณาและตอบคาถามต่อไปนี้
ั
1) ถ้า x = 6 ่
แล้วจะสรุ ปได้วา x+2=6+2
2) ถ้า a + 7 = 4 แล้วจะสรุ ปได้วา ่ a + 7 + (-7) = 4 + (-7)
3) ถ้า x = 12 แล้วจะสรุ ปได้วา ่ x + 3 = …………………
4) ถ้า a – 8 = 2 แล้วจะสรุ ปได้วา ่ ……………= 2 + 8
ครู ครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรี ยนจันทร์ประภัสสร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15
6. 66 สื่ อเสริมสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ พนฐาน ม.2
ื้
่
จากข้างต้น สรุ ป ได้วา “ถ้ามีจานวนสองจานวน เท่ากัน เมื่อ นาจานวนอีกจานวนหนึ่งมาบวก
่
แต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น แล้วผลลัพธ์จะเท่ากัน” เรี ยกสมบัติน้ ีวา สมบัติการบวก ซึ่ งกล่าวว่า
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
ให้นกเรี ยนสังเกตว่าจานวนที่นามาบวก กับแต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น อาจ จะเป็ นจานวนบวก
ั
หรื อจานวนลบก็ได้ กรณี ท่ี บวกด้วยจานวนลบ ก็มีความหมายเหมือนกับนาจานวน บวกมาลบทั้งสอง
ข้างของสมการ คือ
ถ้า a = b แล้ว a + (-c) = b + (-c) หรื อ a – c = b – c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
นันคือ
่
ถ้า a = b แล้ว a – c = b – c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
ให้นกเรี ยนพิจารณาและตอบคาถามต่อไปนี้
ั
1) ถ้า x + 2 = 6n แล้วจะสรุ ปได้วา ่ 4(x + 2) = 4(6n)
2) ถ้า 1 a = 4
2 แล้วจะสรุ ปได้วา ่ 2( 1 a) = 2(4)
2
3) ถ้า x – 2 = 2n แล้วจะสรุ ปได้วา ่ 2(x – 2) = …………………
4) ถ้า 1 a = 5
5 ่
แล้วจะสรุ ปได้วา ……………= 5(5)
่
จากข้างต้นสรุ ปได้วา “ถ้ามีจานวนสองจานวนเท่ากัน เมื่อ นาจานวนอีกจานวนหนึ่งมาคูณกับ
่
แต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น แล้วผลลัพธ์จะเท่ากัน” เรี ยกสมบัติน้ ีวา สมบัติการคูณ ซึ่ งกล่าวว่า
ถ้า a = b แล้ว ac = bc เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
นอกจากนี้ จานวนที่นามา คูณกับจานวนสองจานวนที่เท่ากันนั้น อาจ จะเป็ นจานวนเต็มหรื อ
เป็ นเศษส่ วนหรื อทศนิยมก็ได้ เช่น
ถ้า x = y แล้ว 0.1x = 0.1y เมื่อ x และ y เป็ นจานวนใด ๆ
และถ้า a = b, c 0 แล้ว 1 a = 1 b หรื อ a = b เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
c c c c
นันคือ
่
ถ้า a = b แล้ว a = b เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ ที่ c 0
c c
ครู ครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรี ยนจันทร์ประภัสสร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15
7. หน่ วยการเรียนรู้ ที่ 8 การประยุกต์ สมการเชิ งเส้ นตัวแปรเดียว 67
สรุ ปไว้ ใช้
สมบัติของการเท่ากัน ได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติการบวก
และสมบัติการคูณ
1. สมบัติสมมาตร กล่าวว่า
ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b เป็ นจานวนใด ๆ
2. สมบัติถ่ายทอด กล่าวว่า
ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
3. สมบัติการบวก กล่าวว่า
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
ถ้า a = b แล้ว a – c = b – c เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
4. สมบัติการคูณ กล่าวว่า
ถ้า a = b แล้ว ac = bc เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ
ถ้า a = b แล้ว a = b เมื่อ a, b และ c เป็ นจานวนใด ๆ ที่ c 0
c c
กิจกรรมที่ 8.1 : ทักษะการแก้ปัญหา การให้ เหตุผล การสื่ อความหมาย
การนาเสนอและการเชื่อมโยงความรู้
1. จงเติมช่องว่างต่อไปนี้ให้สมบรู ณ์ โดยใช้สมบัติการเท่ากันของการบวก
1) ให้ x = 18 ดังนั้น x + 5 = 18 + ………
2) ให้ y = 27 ดังนั้น ……… = 27 + 9
3) ให้ (m – 2) = 48 ดังนั้น (m – 2) + 15 = ………
4) ให้ a = 15 ดังนั้น a – 8 = 15 – ………
5) ให้ (e – 5) = 48 ดังนั้น ……… = 48 – 11
2. จงเติมช่องว่างต่อไปนี้ให้สมบรู ณ์ โดยใช้สมบัติการเท่ากันของการคูณ
1) ให้ a = 9 ดังนั้น a×8 = ………
2) ให้ b = c ดังนั้น ……… = 12×c
x
3) ให้ 15 = 13 x
ดังนั้น 15 ×15 = ………
4) ให้ a = 12 ดังนั้น a = ………
4
x
5) ให้ b = x ดังนั้น ……… =
18
ครู ครรชิต แซ่โฮ่ โรงเรี ยนจันทร์ประภัสสร์อนุสรณ์ สพม.เขต 15