Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi, meliputi pengertian turunan fungsi, turunan fungsi trigonometri, persamaan garis singgung, fungsi naik dan turun, serta soal-soal latihan. Terdapat pula permintaan donasi untuk mendukung blog tersebut agar tetap eksis.

1. PENDAHULUAN
PENGERTIAN DAN CONTOH
TEOREMA TURUNAN FUNGSI
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
SOAL-SOAL LATIHAN
PENUTUP

3. MGMP MATEMATIKA
SD
SMA
SMP
SKKK JAYAPURA
Kami mohon Donasi dari saudara-saudara sekalian agar blog ini tetap
Eksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat
mengakses materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk
“POWERPOINT” silahkan salurkan lewat rekening Bank MANDIRI atas
nama HENDRIK PICAL,A.Md,S.Sos dengan No. ac Bank
1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima
Kasih.

4. BAB II
TURUNAN FUNGSI

5. TURUNAN FUNGSI
(DIFERENSIAL FUNGSI)
PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI
B.LAJU PERUBAHAN NILAI FUNGSI
A.1 LAJU PERUBAHAN RATA-RATA
Δs
Vrata -rata =
Δt

6. PENGANTAR ILUSTRASI
Seorang murid mengendarai motor dari
rumah ke sekolah yang jaraknya 15 km. Ia
berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak
yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan
cara mengamati spidometer pada
motornya.Catatan jarak yang ditempuh setiap
5 menit adalah sbb:

7. Waktu Jarak
06.00 - 06.05 2,5
06.05 - 06.10 1,25
06.10 - 06.15 2,5
06.15 - 06.20 2,5
06.20 - 06.25 3,75
06.25 - 06.30 2,5
Pertanyaan ?
Kecepatan rata - rata siswa itu mengendarai
Motor dari Rumah ke Sekolah adalah.....

8. KECEPATAN RATA-RATA DALAM
INTERVAL WAKTU
t1 ≤ t ≤ t 2

9. KECEPATAN RATA-RATANYA
RUMUSNYA SBB :
Δs f(t 2 ) − f(t1 )
Vrata -rata = =
Δt t 2 − t1

10. CONTOH 1
Gerak sebuah benda ditentukan dengan
persamaan s=f(t)=4t-5 (s dalam meter dan t
dalam detik). Tentukan besar kecepatan
sesaat untuk waktu-waktu berikut ini :
a). t=2 detik
b). t=5 detik

11. Jawab a
f(a + h) − f(a)
Kecepatan sesaat : Limit , jika a = 2
h → 0 h
f(2 + h) − f(2)
maka Limit , Lintasannya f(t) = 4t - 5
h → 0 h
4{(2 + h) − 5} − {4(2) - 5}
maka Limit
h → 0 h
{8 + 4h) − 5} − {8 - 5}
= Limit
h → 0 h
3 + 4h − 3
= Limit
h → 0 h
4h
= Limit =4
h → 0 h
∴ Kecepatan sesaat pada saat t = 2 detik adalah 4 m/detik

12. Jawab b
f(a + h) − f(a)
Kecepatan sesaat : Limit , jika a = 5
h → 0 h
f(5 + h) − f(5)
maka Limit , Lintasannya f(t) = 4t - 5
h → 0 h
4{(5 + h) − 5} − {4(5) - 5}
maka Limit
h → 0 h
{20 + 4h) − 5} − {20 - 5}
= Limit
h → 0 h
15 + 4h − 15
= Limit
h → 0 h
4h
= Limit =4
h → 0 h
∴ Kecepatan sesaat pada saat t = 5 detik adalah 4 m/detik

13. CONTOH 2
Sebuah bola berjari - jari r cm sehingga
4 3
volume bola itu adalah V = f(r) = πr ,
3
Tentukan laju perubahan volumebola V
terhadap jari - jari r ketika r = 2 cm.

14. Jawab
f(a + h) − f(a)
Kecepatan sesaat : Limit , jika a = 2
h → 0 h
f(2 + h) − f(2) 4
maka Limit , Lintasannya f(r) = πr 3
h → 0 h 3
4 4
π {(2 + h)3} − { π (2)3}
maka Limit 3 3
h → 0 h
4 32
π {8 + 3(2) 2 h + 3(2)(h) 2 + h 3} − { π }
= Limit 3 3
h → 0 h
32 4 32
{ π + 16πh + 8πh 2 + πh 3 } − { π }
= Limit 3 3 3
h → 0 h
4
16πh + 8πh 2 + πh 3
= Limit 3
h → 0 h
4
h(16π + 8πh + πh 2 )
= Limit 3
h → 0 h
= 16π
∴ Volume bola pada saat r = 2 cm adalah 16π

15. SOAL LATIHAN
Tentukan laju perubahan sesaat nilai fungsi
berikut ini pada titik yang disebutkan :
a). f(x) = 3 2x pada x = 2
b). f(x) = 2x + 1, pada x = 1
3

16. Definisi Turunan Fungsi
f(a + h) − f(a)
f ' (a) = Limit ,
h → 0 h

17. CONTOH 1.
Carilah turunan fungsi f(x) = 3 - 2x,
pada x = 1

18. JAWAB
f(x) = 3 - 2x, pada x = 1 adalah f ' (1)
f(1 + h) - f(1)
f ' (1) = Limit
h → 0 h
{3 - 2(1 + h)} - {3 - 2(1)}
f ' (1) = Limit
h → 0 h
− 2h
f ' (1) = Limit = Limit − 2 = −2
h → 0 h h → 0
Jadi turunan fungsi f(x) = 3 - 2x, pada x = 1
adalah f ' (1) = -2

19. CONTOH 2
Turunan Fungsi f(x) = 4x − 3 x + 2,
2
pada x = a, mempunyai nilai 13,
hitunglah nilai a

20. Jawab
Turunan fungsi f(x) = 4x 2 − 3 x + 2, pada x = 2
f(a + h) - f(a)
adalah f ' (a) = Limit
h → 0 h
{4(a + h) 2 − 3(a + h) + 2} − {4(a) 2 − 3a + 2}
= Limit
h → 0 h
{4(a 2 + 2ah + h 2 ) − 3a − 3h + 2} − {4a 2 − 3a + 2}
= Limit
h → 0 h
{4a 2 + 8ah + 4h 2 ) − 3a − 3h + 2} − {4a 2 − 3a + 2}
= Limit
h → 0 h
{8ah + 4h 2 ) − 3h} {4h 2 + 8ah − 3h}
= Limit = Limit
h → 0 h h → 0 h
h{4h + 8a − 3}
= Limit = Limit 4h + 8a − 3 = 8a − 3
h → 0 h h → 0
8a - 3 = 13 ⇔ 8a = 16
⇔a =2
Jadi turunan fungsi f(x) = 4x 2 − 3 x + 2 pada x = a mempunyai
nilai = 13 untuk nilai a = 2

21. SOAL LATIHAN
1. Carilah turunan dari fungsi - fungsi berikut
untuk nilai - nilai x yang disebutkan
a. f(x) = 5 - 2x, pada x = 4
b. f(x) = x − x , pada x = 2
3 2
1 3
2. Diketahui f(x) = x − 2 x 2 + 7 x, dengan
3
daerah asal D f = {x / x ∈ R}
a. Carilah f ' (a) dengan a ∈ R
b. Jika f ' (a) = 19, carilah nilai a yang mungkin

22. TEOREMA UMUM TURUNAN FUNGSI
TEOREMA1. FUNGSIKONSTAN
Jika f(x) = k dengan k konstan maka :
dk
f ' (x) = 0. atau =0
dx
f(x + h) - f(x)
BUKTI: f ' (x) = Limit
h → 0 h
k-k
= Limit
h → 0 h
= Limit 0 = 0 (Terbukti )
h → 0

23. CONTOH
Hitunglah Limit5
h → 0
Jawab :
f(x − h) − f(x)
f ' (x) = Limit
h → 0 h
5 −5
= Limit
h → 0 h
= Limit 0 = 0
h → 0

24. FUNGSI IDENTITAS
TEOREMA 2. FUNGSI IDENTITAS
Jika f(x) = x, maka f ' (x) = 1
d
atau (x ) = 1
dx

25. f(x + h) − f(x)
BUKTI
: f ' (x) = Limit
h → 0 h
x+h- x
= Limit
h → 0 h
h
= Limit
h → 0 h
= Limit 1 = 1 (Terbukti )
h → 0

26. FUNGSI PANGKAT
TEOREMA 3. FUNGSIPANGKAT
Jika f(x) = xn dan n bilangan rasional, maka
d n
f ' (x) = nx n-1 atau (x ) = nx n-1
dx
f(x + h) - f(x) (x + h)n − xn
BUKTI
: f ' (x) = Limit = Limit
h → 0 h h → 0 h
 n  n  n  n-1  n  n-2 2 n  n
 x +  x h +  x h + ... +  h − xn
0  1  2 n 
= Limit        
h → 0 h
 n  n-1  n  n-2 n −1

= Limit x +  x h + ... + h 
h → 0 1  2
    
 n  n- 1
=  x = nx n-1
1  ( Terbukti ).
 

27. CONTOH
Carilah Turunan fungsi dari fungsi - fungsi berikut :
a. f(x) = x3
b. f(x) = x100
c. f(x) = 5x50
SOLUSINYA a. f(x) = x3 , n = 3 maka f ' (x) = nx n-1 = 3x 3 −1 = 3x 2
:
b. f(x) = x100 ,n = 100, maka f ' (x) = nx n-1 = 100x 100 −1 = 100x 99
c. f(x) = 5x50 ,n = 50, maka f ' (x) = nx n-1 = 5 .50 x50 -1 = 250x 49

28. AKTIVITAS SISWA
1. Tentukan Turunan dari fungsi - fungsi berikut :
a. f(x) = 4 d. f(x) = x10
b. f(x) = x5 e. f(x) = x-2
1
c. f(x) = x
-3
f. f(x) = x 4
2. Buktikan Teorema 3 benar untuk n bilangan
bulat negatif dan pecahan

29. HASIL KALI KONSTANTA DENGAN
FUNGSI
TEOREMA 4. HASILKALI
KONSTANTADENGAN FUNGSI
Jika f suatu fungsi, c suatu konstanta, dan g fungsi yang
didefinisi kan oleh g(x) = c.f(x)dan f ' (x) ada, maka :
d d
g ' (x) = c.f ' (x) atau [ c.f(x)] = c. [ f(x)] = c.f ' (x)
dx dx
g(x + h) - g(x)
BUKTI
: g ' (x) = Limit
h → 0 h
c.f(x + h) - c.f(x)
= Limit
h → 0 h
 f(x + h) - f(x)
= Limit c. 
h → 0  h 
= c.f ' (x) ( Terbukti )

30. CONTOH
1. Tentukan Turunan fungsi f(x)berikut :
a. f(x) = 5x50 SOLUSINYA: a. f(x) = 5x50 , f ' (x) = 5.g ' (x)
b. f(x) = 100x 90 = 5.50x 49
6 55
c. f(x) = x = 250x 49
5
b. f(x) = 100x 90 , f ' (x) = 100.g ' (x)
= 100.90x 89
= 9000x 89
6 6
c. f(x) = x55 , f ' (x) = .g ' (x)
5 5
6
= . 55x 54
5
= 66x 54

31. AKTIVITAS SISWA
Tentukan Turunan fungsi f(x)berikut :
2 −3 55x -15
a. f(x) = x d. f(x) = - 35
3 110x
50 50x -50 .x10
b. f(x) = 20 e. f(x) = −3
2x 5x
100x - 32
c. f(x) =
88

32. JUMLAH DUA FUNGSI
TEOREMA5.
JUMLAHDUA FUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x
yang dapat diturunkan dan y = f(x) = U(x)+ V(x),
maka y ' = f ' (x) = U' (x) + V'(x)
d
atau (U + V) = U' + V'
dx

33. BUKTI
f(x + h) - f(x)
f ' (x) = Limit
h → 0 h
= Limit
[u(x + h) + v(x + h)] − [u(x) + v(x)]
h → 0 h
 u(x + h) − u(x) v(x + h) - v(x)
= Limit + 
h → 0  h h 
u(x + h) − u(x) v(x + h) - v(x)
= Limit + Limit
h → 0 h h → 0 h
= u' (x) + v' (x) ( Terbukti )

34. SELISIH DUA FUNGSI
TEOREMA 6. SELISIH
DUA FUNGSI
Jika U dan V adalah fungsi - fungsi dari x yang dapat
diturunkan dan y = f(x) = U(x)- V(x),maka
y ' = f ' (x) = U' (x)- V'(x) atau
d
(u − v) = u' - v'
dx

35. CONTOH 1
Tentukan Turunan dari f(x) = 6x 2 − 7 x + 2
SOLUSINYA:
d d d
f(x) = 6x − 7 x + 2 ⇔ f ' (x) =
2
(6 x ) − (7 x ) +
2
(2)
dx dx dx
d 2 d d
= 6 (x ) − 7 (x) + (2)
dx dx dx
= 6.2x - 7.1 + 0
= 12x - 7

36. CONTOH 2
Sebuah perusahaan menaksir bahwa untuk memproduks i x unit
1
barang dibutuhkan biaya produksi sebesar C(x) = x2 + 30 x + 180
8
ribuan rupiah. Tentukan biaya marjinal dari biaya produksiny a.
SOLUSINYA :
Biaya Marginal ∆C = C(x + h) - C(x)dengan h = 1 sehingga berlaku :
d 1 2 
C' (x) = x + 30 x + 180 
dx  8
 
d 1 2  d
= x + [ 30 x ] + d [180 ]
dx  8  dx
 dx
1 d 2 d
= (x ) + 30 (x) + 0
8 dx dx
1
= .2 x + 30 .1
8
1
= x + 30
4

37. AKTIVITAS KELAS
CARILAHTURUNANFUNGSI- FUNGSIBERIKUT
:
a. f(x) = 4x 3 + 2 x 2 − 5 x
b. f(x) = (6 - 2x)2
2
c. f(x) = 2x + 2
2
x

38. PERKALIAN DUA FUNGSI
TEOREMA 7. PERKALIAN
DUA FUNGSI.
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x
yang dapat diturunkan dan f(x) = U(x).V(x),
maka f ' (x) = U' (x).V(x)+ U(x).V'(x)
atau :
d
(U.V)= U'.(V)+ U.(V')
dx

39. BUKTI
f(x + h) - f(x)
f ' (x) = Limit
h → 0 h
u(x + h).v(x + h) - u(x).v(x)
= Limit
h → 0 h
u(x + h).v(x + h) - u(x + h).v(x) + u(x + h).v(x)- u(x).v(x)
= Limit
h → 0 h
u(x + h)[ v(x + h) - v(x)] v(x).[ u(x + h) - u(x)]
= Limit .Limit
h → 0 h h → 0 h
v(x + h) - v(x) u(x + h) - u(x)
= Limit u(x + h). Limit + Limit v(x).Limit
h → 0 h → 0 h h → 0 h → 0 h
= U(x).V'(x) + V(x).U'(x) ( Terbukti )

40. CONTOH
Gunakan Teorema 7 untuk mencari turunan pertama f(x) = (3x2 − 2)(x4 + x)
SOLUSINYA:
Misalkan U(x) = 3x 2 − 2 dan V(x) = x 4 + x
U' (x) = 6x dan V'(x) = 4x 3 + 1
Masukan ke dalam teorema 7 didapat :
f ' (x) = U(x).V'(x) + U' (x).V(x)
= (3x2 − 2).(4x3 + 1 ) + (6 x )(x 4 + x)
= 12x 5 − 8x 3 + 3x 2 − 2 + 6x5 + 6x 2
= 18x 5 − 8x 3 + 9x 2 − 2

41. PEMBAGIAN DUA FUNGSI
TEOREMA 8.
PEMBAGIANDUA FUNGSI.
Jika U dan V fungsi - fungsi dari x yang dapat diturunkan ,
U(x)
dan f(x) = , V(x)≠ 0, maka
V(x)
U' (x).V(x) U(x).V'(x)
- d  U  U' V − UV'
f ' (x) = atau  V =
[ V(x)] 2
dx   V2

42. CONTOH
3x 2 + 10
Gunakan Teorema 8 untuk mencari turunan f(x) = 3
x +9
SOLUSINYA :
Misalkan U(x) = 3x 2 + 10 ⇔ U' (x) = 6x
V(x) = x 3 + 9 ⇔ V' (x) = 3x 2
Berdasarkan Teorema 8 didapat :
U' (x).V(x) - U(x).V' (x) (6x)(x 3 + 9) - (3x 2 + 10).(3x 2 )
f ' (x) = =
[ V(x)] 2
(x 3 + 9) 2
(6x + 10).(x 3 + 9) − (3x 2 + 10x)(3x 2 )
=
(x 3 + 9) 2
6x 4 + 10x 3 + 54x + 90 − 9x 4 + 30x 3
=
(x 3 + 9) 2
- 3x 4 + 40x 3 + 54x + 90
=
(x 3 + 9) 2

43. AKTIVITAS SISWA
Hitunglah Turunan Fungsi - fungsi berikut :
3x 2 + 2 x + 1 4x 2 + 3x
a. f(x) = c. f(x) = 3
5x + 2 x + 10x - 1
1
3-
x 3x 2 + 4x - 3
b. f(x) = d. f(x) = 2
x+5 x - 2x + 1

44. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Y = Sinx
2. Y = Cosx dan
3. Y = Tanx

45. 1. TURUNAN Y=SIN X
F(X)= SIN X
Jika Y = Sin x, maka Y'(x) = Cos x
BUKTI
:
f(x + h) - f(x) Sin(x + h) − Sinx
f ' (x) = Limit = Limit (Gunakan Rms) Sinα - Sinβ
h → 0 h h → 0 h
1 1
2Cos (2x + h)Sin h 1
2 x 2 = Limit Cos(x + 2 h)Sin 2 h
1 1
= Limit 2
h → 0 h 1
2
h → 0
2h
1
Sin 1 h
= Limit Cos(x + 1 h). Limit 1 2 = Limit Cos(x + 1 h).1
2 2
h → 0 h → 0
2 h h → 0
= Limit Cos(x + 1 h) = Cosx
2 ( Terbukti )
h → 0

46. 2. TURUNAN Y=COS X
F(X)= COS X
Jika Y = Cos x, maka Y'(x) = - Sin x
BUKTI
:
f(x + h) - f(x) Cos(x + h) − Cosx
f ' (x) = Limit = Limit (Gunakan Rms) Cosα - Cosβ
h → 0 h h → 0 h
1 1
- 2Sin (2x + h)Sin h 1
2 x 2 = Limit - Sin(x + 2 h)Sin 2 h
1 1
= Limit 2
h → 0 h 1
2
h → 0
2h
1
Sin 1 h
= Limit- Sin(x + h). Limit 1 2 = Limit- Sin(x + 1 h).1
1
2 2
h → 0 h → 0
2 h h → 0
= Limit- Sin(x + 1 h) = −Sinx
2 ( Terbukti )
h → 0

47. 3. TURUNAN Y=TAN X
Jika Y = TAN X ⇔ Y'(X) = SEC2 X
BUKTI :
Sin x U(x)
Y = Tan x = = (Gunakan Rms. Hasil bagi dua fungsi) di dapat
Cos x V(x)
U' (x).V(x) U(x).V'(x)
-
Y'(x) = dimana U(x) = Sinx ⇔ U' (x) = Cosx
[ V(x)] 2
dan V(x)= Cosx ⇔ V'(x) = -Sinx maka
Cosx.Cosx - Sinx(-sinx) Cos 2 x + Sin2 x
Y'(x) = 2
=
Cos x Cos 2 x
1
= = Sec 2 x ( Terbukti )
Cos 2 x

48. CONTOH
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
2. f(x) = 4sinx – 2cosx
3. f(x) = 2sinxcosx

49. SOLUSINYA
1. f(x) = 4sinx – 2cosx
f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx
=4cosx+2sinx
2. f(x) = 2sinxcosx = sin 2x
f ‘(x) = d2x.dsin2x
=2cos2x

50. Buktikan
Turunan dari
2. y= cosecx
3. Y=secx
4. Y=cotx

51. AKTIVITAS SISWA
Tentukan Turunan Fungsi - fungsi berikut :
a. y = sin (ax + b) f. y = 3sin2x + 4cos2x
b. y = cos(ax + b) g. y = 1 - sin 2 x
c. y = tan ax h. y = - 2sin 2 x + 1
d. y = tan (ax + b) i. y = cos 2 x + sin 2 x
e. y = 2sinx + 4cos2x j. y = 4cos 2 x - 4

52. TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
DENGAN ATURAN RANTAI
TEOREMA 9. DALILRANTAI
Jika y = f(u) merupakan fungsi dari u yang dapat diturunkan
dan u = g(x) merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan
serta y = f(g(x))merupakan fungsi dari x yang dapat diturunkan
maka :
d
y' (x) = (f(g(x)) = f' (g(x)).g' (x)
dx
dy dy du
atau = .
dx du dx

53. CONTOH
Tentukan Turunan dari :
y = (4x2 − 5 x + 3 )6
SOLUSINYA :
U = 4x − 5 x + 3 maka y = U
2 6
dy
= 6U5 = 6(4x 2 − 5x + 3)5
du
du dy dy du
= 8x − 5 ⇔ = .
dx dx du dx
⇔ = 6(4x − 5x + 3) .8x − 5
2 5
⇔ = (48x - 30 )(4x2 − 5x + 3)5

54. CONTOH 2
Carilah Turunan dari fungsi berikut ini :
y = (x + 2)(x + 3) 4

55. AKTIVITAS SISWA
dy
1. Tentukan pada soal berikut ini
dx
a. y = 3u dan u = 2x - 1
15
b. y = 4u dan u = x + 2 x
-3 2
2. Tentukan Turunan fungsi berikut :
a. f(x) = 7x - 2x + 5
2
f(x) = ( x − 3 x + 1 )
3
2
b. 2

56. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
DISUATU TITIK PADA KURVA
h
Q(x+h,f(x+h))
f(x+h)-f(x)
g
P(X,f(X))
x x+h
l
Gradien Garis singgung kurva di titik P
f(x + h) − f(x)
adalah f ' (x) = Limit
h → 0 h

57. RINGKASAN MATERI
1. Gradien Garis Singgung di titik P(x,y) adalah
f(x + h) - f(x)
f ' (x) = Limit =m
h → 0 h
2. Persamaan Garis singgung di titik P(x1 , y1 ) dengan
gradiennya m adalah : y - y1 = m(x − x1 )
3. Jika garis saling tegak lurus maka m 1 .m 2 = −1
4. Jika garisnya sejajar maka m 1 = m 2

58. CONTOH SOAL 1
Tentukan persamaan garis singgung di titik (3,9) pada kurva y = x2
SOLUSINYA :
y = x2 ⇒ y' = 2x pada titik (3,9),maka y ' (3) = 2.3 = 6 = m
persamaan garis singgung di (3,9) adalah :
y - y1 = m( x - x1 )
y - 9 = 6(x - 3)
y = 6x - 18 + 9
y = 6x - 9

59. CONTOH SOAL 2
π 1
Tentukan persamaan garis singgung di titik ( , 2 ) pada kurva y = sinx
4 2
SOLUSINYA :
1
y = sinx ⇒ y' = cosx ⇔ y' ( π ) = cos π =
4 4 2 =m
2
π 1
Persamaan garis singgung di ( , 2 ) adalah
4 2
y - y1 = m(x − x1 )
1 1 1 1
y- 2= 2 (x − π ) ⇔ y =
4 2x + 2 (1 − π )
4
2 2 2 2

60. AKTIVITAS SISWA
1. Gambarlah grafik f(x) = x2 + 2 x − 1 pada interval - 5 ≤ x ≤ 5
kemudian gambarlah garis singgung kurva tersebut di
1
x = -1,1,0, , dan 4
2
2. Carilah persamaan garis singgung pada kurva berikut :
a. y = x2 - 3x - 40,.di (1,-42)
b. y = x3 - 2x 2 + 4 , di(2,4)
c. y = x2 + 3x sejajar garis 2x - y + 3 = 0
d. y = 2x 2 + 3 tegak lurus garis 8y + x + 10 = 0

61. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
Sifat-sifat suatu fungsi dapat diselidiki
dengan menggunakan turunan.
2. Syarat fungsi naik dalam suatu interval
tertentu yaitu Fungsi dikatakan naik jika
seiring pertambahan nilai x ke kanan,maka
nilai f(x) bertambah.atau f ‘(x)>0
3. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring
pertambahan nilai x kekanan,maka nilai f(x)
berkurang.atau f ‘(x)<0

62. SKETSA FUNGSI NAIK DAN TURUN
y=f(x)
y=f(x)
f(x1 ) f(x2 ) f(x1 ) f(x2 )
x1 x2 x1 x2
Fungsi Naik Fungsi Turun
(a) (b)

63. CONTOH
Biaya total produksi x unit barang diberikan dengan
2 3
C(x) = x + 5x + 50x + 10.Tentuka n biaya Marjinalny a.
2
5
Apakah biaya Marjinalny a naik atau turun seiring dengan
penambahan produksi barangnya?

64. Jawabannya
Biaya Marjinal = M(x) = c' (x)
2
= .3x2 + 5.2x + 50
5
6
= x2 + 10 x + 50
5
6
Ja di M(x) = x2 + 10 x + 50 . Kemudian untuk menentukan
5
bahwa biaya marjinal naik atau turun seiring dengan penambahan barang
yaitu apakah M' (x) > 0; M' (x) < 0, untuk x > 0 : ternyata
6 2
M(x) = x + 10 x + 50 .
5
6
M' (x) = 2. x + 10
5
12
= x + 10 Karena x > 0 maka M' (x) akan selalu lebih besar dari 0
5
sehingga Biaya Marjinal akan naik seiring dengan penambahan
produksi barang.

65. CONTOH 2
3
Tentukan interval agar fungsi f(x) = x3 − x2 naik atau turun.
2
3
f(x) = x3 − x2 ⇔ f ' (x) = 3x 2 − 3 x
2
= 3x(x - 1) ⇔ x = 0 atau x = 1
1
Gambar garis bilangan dan selidiki nilai f ' (x) di titik x = -1, x = , dan x = 2
2
f ' (-1) = 3(-1) 2 − 3(−1 ) = 6 > 0 (Positif)
1 1 1 3 6 3
f ' ( ) = 3( )2 − 3( ) = − = - < 0 (Negatif)
2 2 2 4 4 4
f ' (2) = 3(2)2 − 3(2 ) = 12 − 6 = 6 > 0 (Positif)
+ + + - - - + + +
0 1
3 2
Jadi f(x) = x3 -x naik pada interval x < 0 dan x > 1 dan
2
Turun pada interval 0 < x < 1

66. AKTIVITAS SISWA
1. Tentukan interval agar fungsi - fungsi berikut naik atau turun
x2
a). f(x) = x3 − 3x 2 c). f(x) = 2
x +4
1 - x2
b). f(x) = x + x − 1
2
d). f(x) =
(1 + x2 )2
2. Misalkan biaya produksi dari x unit barang dinyatakan dengan
C(x) = 4x + x3 − 2x 2 . Kapankah biaya marjinalny a merupakan
fungsi naik?.

67. Jawaban
f(x) = x − 3x ⇔ f' (x) = 3x − 6x
3 2 2
Syarat fungsi naik f' (x) > 0
3x − 6x > 0
2
3x(x - 2) > 0 ⇔ x = 0 atau x = 2
selidika nilai f' (x) di x = -1, x = 1 dan x = 3
f' (-1) =
f' (1) =
f' (3) =

68. SKETSA GRAFIK DENGAN UJI
TURUNAN
SKETSA GRAFIK DENGAN
UJI TURUNAN PERTAMA
Syaratnya :
1. Bentuk Dasar (Linear atau kuadrat)
2. Titik potong dengan sumbu - sumbu koordinat
3. Interval definisi fungsi
4. Interval fungsi naik atau turun
5. Titik Stasioner.

69. CONTOH
a. Carilah titik stasioner untuk fungsi y = x3 + 6x 2 − 15x − 2
b. Tentukan Jenis dari titik titik stasioner yang diperoleh dari a
c. Buatlah sketsa grafiknya.
JAWAB:
a. y = x3 + 6x 2 − 15x − 2
y' = 3x 2 + 12 x − 15 . Syarat titik stasioner y' = 0
3x 2 + 12 x − 15 . = 0
3(x + 5)(x - 1) = 0
(x + 5)(x - 1) = 0
x = −5 atau x = 1
Jik a x = -5 maka y = (-5) 3 + 6.(-5) 2 - 15.(-5) - 2
y = 98
Jik a x = 1 maka y = (1)3 + 6.(1)2 - 15.(1) - 2
y = -10
Jad i titik - titik stasionern ya adalah (-5,98) dan(1,-10)

70. b. LANJUTAN
Untuk menentukan jenis titik stasioner, maka kita
pakai titik uji disebelah kiri dan kanan titik stasioner.
Misalnya kita pilih x = -6, x = 0, dan x = 2 sebagai sampel
masukan kedalam fungsi turunan.
x = -6 maka y' = 21 > 0
x = 0 maka y' = -15 dan
x = 2 maka y' = 21 > 0
masukkan hasilnya dalam tabel turunan.

71. TABEL TURUNAN
X -6 -5 0 1 2
Y’ + 0 - 0 +
Kemiringan / - - /
Dengan demikian (-5,98) adalah titik balik maksimum
dan (1,-10) adalah titik balik minimum.

72. c. LANJUTAN
Untuk mengsketsa grafik fungsi y = x + 6x - 15x - 2
3 2
dibutuhkan beberapa titik lagi
1. Titik potong dengan sumbu x maka y = 0
x3 + 6x 2 - 15x - 2 = 0
(x - 2)(x2 + 8x + 1) = 0
x = 2 atau x2 + 8x + 1 = 0
x = 2 atau x = -4 ± 15 (Pakai rumus ABC)
x = 2, atau x = -0,127, atau x = - 7,873
Jad i titik potong dengan sumbu x, adalah
(2,0),(-0,127,0) , dan (-7,873,0)

73. C LANJUTAN
Titik potong dengan sumbu y maka x=0
Y=-2
Jadi titik potong dengan sumbu y adalah
(0,-2)
Dari tabel turunan dapat disimpulkan bahwa:
Grafik naik pada selang (-~,-5)dan(1,~) dan turun
Pada interval selang (-5,1)

74. LANJUTAN SKETSA GRAFIK
(-5,98)
Y
y = x + 6x - 15x - 2
3 2
(-7,873,0) (-0,127,0) (2,0) X
(0,-2)
(1,-10)

75. AKTIVITAS SISWA
Misalkan y = x3 - x2 - x + 4
a. Tentukan y' dan faktorkan bentuk kuadrat yang di dapat.
b. Tentukan nilai x yang memenuhi y' (x) = 0 dan nilai
y yang bersesuaia n.
c. Klasifikasikan jenis nilai stasioner sebagai maksimum,
minimum, atau titik belok dengan menggunaka n tabel
turunan.
d. Gambar grafiknya dengan bantuan beberapa titik lain.

76. SKETSA GRAFIK DENGAN UJI
TURUNAN KEDUA
CONTOH :
a. Tentukan dan klasifikas ikan semua titik
stasioner pada grafik y = x + x
4 3
b. Buatlah sketsa grafik y = x + x dengan
4 3
memanfaatk an informasi dari a

78. TURUNAN/
DIFERENSIAL

79. DEFINISI TURUNAN
Turunan dari y = f(x) terhadap x
didefinisikan dengan :
dy 1 1 lim f(x + h) - f(x)
= y = f (x) =
dx h→0 h

80. RUMUS-RUMUS TURUNAN
Turunan pertama dari f(x) = 4x 2 +3x adalah...
A. (2 x - 4) (2x + 8) D. (4x - 3) (4x2 + 3x)2
3 2
-1
B. (2 - 4x) (2x − 3) E. (4x + 3) (4x2 - 3x) 2
3 2
C. (4x - 3) (4x2 - 3x)3
2

81. RUMUS-RUMUS TURUNAN
4. f(x) = U.V maka f 1(x) = U1.V + U.V1
U 1V - U.V1
5. f(x) = maka f 1(x) = U
V V 2

82. Soal ke-1
2 1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang
mungkin adalah ….
2 2
A. 3x C. 9x E. 12x
2
B. 6x D. 10x

83. Pembahasan
2
f(x) = 3x + 4
1
f (x) = 6x

84. Jawaban soal ke-1
2 1
Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang
mungkin adalah ….
2 2
A. 3x C. 9x E. 12x
2
B. 6x D. 10x

85. Soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
2 2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah …
2 2
A. x – 8x + 5 D. 6x + 24x + 8
2 2
B. 2x – 24x – 2 E. 6x + 24x – 8
2

86. Pembahasan
3 3
f(x) = 2x + 12x – 8x + 4
1 2
f (x) = 6x + 24x – 8

87. Jawaban soal ke-2
Nilai turunan pertama dari:
2 2
f(x) = 2(x) + 12x – 8x + 4 adalah …
2 2
A. x – 8x + 5 D. 6x + 24x + 8
2 2
B. 2x – 24x – 2 E. 6x + 24x – 8
2

88. Soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5 D. 12x – 5
B. 24x – 5 E. 12x – 10
C. 12x + 5

89. Pembahasan
f(x) = (3x-2)(4x+1)
1 2
f (x) = 12x + 3x – 8x – 2
2
f(x) = 12x – 5x – 2
1
f (x) = 24x – 5

90. Jawaban soal ke-3
Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1)
Adalah …
A. 24x + 5 D. 12x – 5
B. 24x – 5 E. 12x – 10
C. 12x + 5

91. Soal ke- 4
1 2 6 -1
Nilai f (x) dari f(x) x + 2x adalah...
3
A. 2x 5 + 2x D. 4x 5 + 2x - 1
5 -1 5 -2
B. 2x + 2x E. 4x + 2x
5 -1
C. 4x + 2x

92. Pembahasan
2 6 -1
f(x) = x + 2x
3
f 1 (x) = 6. 2 x 6 - 1 + 2 (-1).x - 1 - 1
3
f1(x) = 4x5 - 2x - 2

93. Jawaban Soal ke- 4
2 6
Nilai f (x) dari f(x) x + 2x - 1 adalah...
1
3
5 5 -1
A. 2x + 2x D. 4x + 2x
B. 2x 5 + 2x - 1 E. 4x 5 + 2x - 2
5 -1
C. 4x + 2x

94. Soal ke- 5
6
Turunan ke - 1 dari y = x + 3 adalah ...
A. 3 x C. 3 x + 2 E. 3 x − 1
2 2
B. 3x D. 3x + 3

95. Pembahasan
6
y= x +3
6
y=x 2 +3
3
y=x +3
1 2
y = 3x

96. Jawaban Soal ke- 5
6
Turunan ke - 1 dari y = x + 3 adalah ...
A. 3 x C. 3 x + 2 E. 3 x − 1
2 2
B. 3x D. 3x + 3

97. Soal ke- 6
3 1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah …
A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6
B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6
2
C. 12x – 6x + 3

98. Pembahasan
3
f(x) = (2x – 1)
f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)
f1(x) = 6(2x – 1)2
1
f (x) = 6(2x – 1)(2x – 1)
f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)
1 2
f (x) = 24x – 24x + 6

99. Jawaban Soal ke- 6
3 1
Jika f(x) = (2x – 1) maka nilai f (x) adalah …
A. 12x2 – 3x + 12 D. 24x2 – 12x + 6
B. 12x2 – 6x – 3 E. 24x2 – 24x + 6
2
C. 12x – 6x + 3

100. Soal ke- 7
2 2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1)
adalah …
3 4 2
A. 20x – 20x D. 5x – 10x + 1
B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1
C. 100x3 – 20x

101. Pembahasan
2 3
f(x) = (5x – 1)
1 2
f (x) = 2(5x – 1) (10x)
1 2
f (x) = 20x (5x – 1)
1 3
f (x) = 100x – 20x

102. Jawaban Soal ke- 7
2 2
Turunan pertama dari f(x) = (5x – 1)
adalah …
3 4 2
A. 20x – 20x D. 5x – 10x + 1
B. 100x3 – 10x E. 25x4 – 10x2 + 1
C. 100x3 – 20x

103. Soal ke- 8
Turunan pertama dari f(x) = 4x 2 + 3x adalah...
A. (2 x - 4) (2x + 8) D. (4x - 3) (4x2 + 3x)2
3 2
-1
B. (2 - 4x) (2x − 3) E. (4x + 3) (4x2 - 3x) 2
3 2
C. (4x - 3) (4x2 - 3x)3
2

104. Pembahasan
f(x) = 4x 2 + 3x
1
f(x) = (4x 2 + 3x)2
1
1 −
f1(x) = + (4x 2 + 3x) 2 (8x + 3)
2
1
3 −
f1(x) = (4x + )(4x 2 + 3x) 2
2

105. Jawaban Soal ke- 8
Turunan pertama dari f(x) = 4x 2 + 3x adalah...
2 3
A. ( x - 4) (2x + 8) D. (4x - ) (4x 2 + 3x)2
3 2
1
2 3 2 -
B. ( - 4x) (2x − 3) E. (4x + ) (4x - 3x) 2
3 2
3
C. (4x - ) (4x 2 - 3x)3
2

106. Soal ke- 9
Turunan pertama dari
2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
adalah …
2 2
A. 3x – 12 D. 9x – 12
2 2
B. 6x – 12 E. 9x + 12
2
C. 6x + 12

107. Pembahasan
2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
Cara 1:
2
Misal : U = 3x – 6x
1
U = 6x – 6
V =x+2
1
V =1

108. Pembahasan
Sehingga:
1 2
f (x) = (6x – 6)(x+2)+(3x +6x).1
1 2 2
f (x) = 6x +12x – 6x – 12+3x – 6x
1 2
f (x) = 9x – 12

109. Pembahasan
2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
Cara 2:
1 -3 2 3
f (x) = 3x +6x – 6x – 12x
1 2
f (x) = 9x +12x –12x – 12
1 2
f (x) = 9x – 12

110. Jawaban Soal ke- 9
Turunan pertama dari
2
f(x) = (3x – 6x) (x + 2)
adalah …
2 2
A. 3x – 12 D. 9x – 12
2 2
B. 6x – 12 E. 9x + 12
2
C. 6x + 12

111. Soal ke- 10
(3x + 2)
Turunan pertama dari f(x) = adalah ...
4x - 1
A. 16x 2 - 8x + 1 D. 24x 2 - 8x - 1
2 - 11
B. 16x + 8x + 1 E.
2
16x - 8x + 1
2
C. 24x - 8x - 1

112. Pembahasan
3x + 2
f(x) =
4x - 1
Misal :
U = 3x + 2
U1 =3
V = 4x - 1
V1 = 4

113. Pembahasan
Maka :
1 1
1 U V - UV
f (x) =
2
V
1 3(4x − 1) − (3x + 2)4
f (x) =
2
(4x − 1)

114. Pembahasan
1 12x − 3 − 12x − 8
f (x) =
2
16x − 8x + 1
1 − 11
f (x) = 2
16x − 8x + 1

115. Jawaban Soal ke- 10
(3x + 2)
Turunan pertama dari f(x) = adalah ...
4x - 1
A. 16x 2 - 8x + 1 D. 24x 2 - 8x - 1
2 - 11
B. 16x + 8x + 1 E.
2
16x - 8x + 1
2
C. 24x - 8x - 1

116. Soal ke- 11
Diketahui f(x) = 3x 2 - 4x + 6
Jika f1 (x) = 4. Nilai yang mungkin adalah ...
5 1
A. C. 1 E.
3 3
4 2
B. D.
3 3

117. Pembahasan
2
f(x) = 3x – 4x + 6
1
f (x) = 6x – 4
1
→ Jika f (x) = 4

118. Pembahasan
Maka :
4 = 6x − 4
4 + 4 = 6x
8 = 6x
6x = 8
8
x=
6
4
x=
3

119. Jawaban Soal ke- 11
Diketahui f(x) = 3x 2 - 4x + 6
Jika f1 (x) = 4. Nilai yang mungkin adalah ...
5 1
A. C. 1 E.
3 3
4 2
B. D.
3 3

120. Soal ke- 12
2 1
Diketahui f(x) = 5x +3x+7. Nilai f (-2)
Adalah ….
A. -29 D. -7
B. -27 E. 7
C. -17

121. Pembahasan
f(x) = 5x2 – 3x + 7
1
f (x) = 10x – 3
1
Maka untuk f (-2) adalah…
f1(-2) = 10(-2)+3
1
f (-2) = -20+3
f1(-2) = -17

122. Jawaban Soal ke- 12
Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2)
Adalah ….
A. -29 D. -7
B. -27 E. 7
C. -17

123. Soal ke- 13
3 2
Diketahui f(x) = 2x - 4x + 5x − 16
1 1 
Nilai f   adalah ...
2
A. - 6 C. 0 E. 6
B. - 3 D. 3

124. Pembahasan
3 2
f(x) = 2x - 6x + 5x - 16
" 2
f (x) = 6x - 12x + 5
"
f (x) = 12x - 12
"1 
Maka untuk f   adalah ...
2

125. Pembahasan
"1   1  - 12
f   = 12  
2 2
"1 
f   = 6 - 12
2
"1 
f   =-6
2

126. Jawaban Soal ke- 13
3 2
Diketahui f(x) = 2x - 4x + 5x − 16
1 1 
Nilai f   adalah ...
2
A. - 6 C. 0 E. 6
B. - 3 D. 3

127. Soal ke- 14
1 2 6
( )
Turunan pertama dari f(x) = 3x − 4x adalah...
2
1 2 5
A. f (x) = (18x - 12) (3x - 1)
1 2 5
B. f (x) = (18x - 2) (3x + 2)
1 2 3
C. f (x) = (18x - 12) (3x - 4x)
1 2 3
D. f (x) = (18x - 12) (3x - 4x)
1 2 3
E. f (x) = (18x - 12) (2x - 4x)

128. Pembahasan
1 2 6
f(x) = (3x − 4x)
2
f 1 (x) = 6.1 (3x 2 − 4x)6 − 1 (6x − 4)
2
f 1 (x) = 3(3x 2 − 4x)5 (6x − 4)
f 1 (x) = (18x − 12)(3x 2 −4x)5

129. Jawaban Soal ke- 14
1 2
(
6
)
Turunan pertama dari f(x) = 3x − 4x adalah...
2
1 2 5
A. f (x) = (18x - 12)(3x - 1)
1 2 5
B. f (x) = (18x - 2)(3x + 2)
1 2 5
C. f (x) = (18x - 12)(3x - 4x)
1 2 5
D. f (x) = (18x - 12)(3x - 4x)
1 2 5
E. f (x) = (18x - 12)(2x - 4x)

130. Soal ke- 15
2 1 1
Diketahui f(x) = 6x − 3x + 1 untuk f ( )
2
maka nilai x yang mungkin adalah...
1 5
A. C. 1 E.
3 3
2 4
B. D.
3 3

131. Pembahasan
f(x) = 6x 2 − 3x + 1
f1 (x) = 12x - 3
1 1
untuk f (x) =
2
maka :
1
= 12x - 3
2
− − − − − − − x2

132. Pembahasan
2 = 24x − 6
2 + 6 = 24x
8 = 24x
24x = 8
8
x=
24
1
x=
3

133. Jawaban Soal ke- 15
2 1 1
Diketahui f(x) = 6x − 3x + 1 untuk f ( )
2
maka nilai x yang mungkin adalah...
1 5
A. C. 1 E.
3 3
2 4
B. D.
3 3

134. Soal ke- 16
Turunan pertama dari :
f(x) = 4 ( 2x - 1) adalah...
8
A. 4 x + 1 C. 8x - 2 E. 8x + 4
B. 8x + 2 D. 8x - 4

135. Pembahasan
8
f(x) = (2x - 1)
4
8
f(x) = (2x - 1) 4
2
f(x) = (2x - 1)

136. Pembahasan
1
f (x) = 2(2x − 1)(2)
1
f (x) = 4(2x − 1)
1
f (x) = 8x − 4

137. Jawaban Soal ke- 16
Turunan pertama dari :
f(x) = 4 ( 2x - 1) adalah...
8
A. 4 x + 1 C. 8x - 2 E. 8x + 4
B. 8x + 2 D. 8x - 4

138. Soal ke- 17
Turunan pertama dari y = 3
( 2x - 1) 6
1
untuk y = 2. Maka nilai x yang mungkin
adalah...
31 31
A. - C. 0 E.
25 25
B. - 1 D. 1

139. Pembahasan
6
y = (5x − 6)
3
6
y = (5x - 6) 3
2
y = (5x - 6)
y = 2(5x - 6) (5)
1
y = 10(5x - 6)

140. Pembahasan
1
Untuk y = 2, maka :
2 = 50x - 60
2 + 60 = 50x
50x = 62
62
x=
50
31
x=
25

141. Jawaban Soal ke- 17
Turunan pertama dari y = 3
( 2x - 1) 6
1
untuk y = 2. Maka nilai x yang mungkin
adalah...
31 31
A. - C. 0 E.
25 25
B. - 1 D. 1

142. 142