Geometria plana

1. 1r BATX C/T
2013/2014
UNITAT 7:
Circumferències, tangents i enllaços

2. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
A- CIRCUMFERÈNCIA:
-Definició
-Elements notables de la circumferència
-Posicions relatives entre una recta i una circumferència
-Angles en la circumferència
-Posicions relatives de dues circumferències
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
-Circumferències que passen per dos punts
-Circumferència que passa per tres punts
-Rectificació d’una circumferència
C- TANGÈNCIES
C.1. Definició
C.2. Principis generals de les tangències
C.3. Construcció de tangències
D- ENLLAÇOS
D.1. Definició
D.2. Construcció d’enllaços
2013/2014

3. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
A- CIRCUMFERÈNCIA:
-Definició
És una línia corba tancada on tots els punts equidisten d’un punt interior anomenat centre.
També podriem definir la circumferència com un lloc geomètric. La superfície delimitada a
l’interior d’una circumferència s’anomena cercle.
-Elements notables de la circumferència
AB diametre
OEradi
GFfletxa (distància entre el punt mitjà d’un
arc a la corda. Es perpendicular a la corda).
CDcorda
SCsecant
Trecta tangent

4. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
-Posicions relatives entre una recta i una circumferència
2013/2014

5. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
-Angles en la circumferència
1.Angle centralformat per dos radis. El vèrtex
coincideix amb el centre de la C1.
2.Angle inscrit costat són dues cordes i vèrtex
un punt de la C1
3.Angle exteriorvèrtex exterior i costats rectes
secants
4.Angle semiinscritvèrtex punt de C1, un
costat
una corda i l’altre una tangent.
5.Angle interiorvèrtex punt interior de la C1
6.Angle circumscritvèrtex exterior a C1 i els
costats són tangents

6. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
-Posicions relatives de dues circumferències
1
3
5
4
2
6
1.Circumferències exteriors
2.Circumferències secants
3.Tangents exteriors
4.Tangents interiors
5.Circumferències concèntriques
6.Circumferències interiors

7. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
-Circumferències que passen per dos punts
A
B

8. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
-Circumferència que passa per tres punts
2013/2014

9. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
-Rectificació d’una circumferència
Rectificar una circumferència és trobar la seva longitud i situar-la com un
segment.
Diversos mètodes per dibuixar una rectificació de circumferència (cap d’ells és
exacte).
-Mètode Mascheroni
-Mètode triangle equilàter i quadrat
-Tercer mètode, per qualsevol arc
-Altres mètodes

10. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
Mètode Mascheroni (1/4, 1/2, 3/4 i una circumferència completa)

11. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
Mètode triangle equilàter i quadrat ( ¼ , ½, ¾, o circumferènca completa)

12. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
Tercer mètode (per rectificar un arc o una circumferència completa)

13. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
B- OPERACIONS I CONSTRUCCIONS DE LA CIRCUMFERÈNCIA
Quart mètode (per circumferència completa)
d
Procés:
1.Sobre una recta marquem 3 cops
el diàmetre de la circumferència.
2.Un dels diametres el dividim en 7
parts iguals (preferiblement l’últim)
3. A continuació agafem un
fragment de la divisió i l’afegim al
final dels diàmetres.
4. Unim el punt inicial amb el final

14. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.1. Definició
C.2. Principis generals de les tangències
C.3. Construcció de tangències
2013/2014

15. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.1. Definició
Diem que una recta és tangent a una circumfèrència, o que una circumferència
és tangent a una recta o a una altra circumferèmcia quan tan sols tenen un punt
de contacte entre totes dues.

16. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.2. Principis generals de les tangències
1. Una recta tangent a una circumferència, és perpendicular al radi de la
circumferència en el punt de tangència T.

17. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.2. Principis generals de les tangències
Si una recta és tangent a una circunferència el punto de
tangència està en la perpendicular a r, que passa per O

18. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.2. Principis generals de les tangències
2. Donades dues rectes tangents a una circumferència des d’un punt
exterior P, el centre de la circumferència es troba sobre la bisectriu de
l’angle que formen les dues rectes.

19. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.2. Principis generals de les tangències
Si una circunferència és tangent a dues rectes el centre
d’aquesta estarà a la bisectriu

20. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.2. Principis generals de les tangències
3. Donades dues circumferències tangents entre si, els centres de les
circumferències es troben alineats amb el punt de tangència.
2013/2014

21. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.2. Principis generals de les tangències
Si dues circunferències són tangents, el punt de
tangència està sobre la recta O1O2

22. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
C- TANGÈNCIES
C.3. Construcció de tangències
C.3.1. Rectes tangents a C1 des d’un punt exterior P
Exercici:
Radi C1= 30mm
2013/2014

23. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.2. Recta tangent a C1 coneixent-ne el punt de tangència M
Exercici:
Radi C1= 20mm
C1

24. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.3. Circumferència C1 tangent a una recta r coneixent-ne el punt de tangència
i el radi
Exercici:
Radi C1= 30mm
C1
R
T
r

25. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.4. Rectes tangents exteriors a les circumferències C1 i C2
Exercici:
Radi C1= 20mm
Radi C2=38mm
R1-R2=R3

26. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.5. Rectes tangents interiors a les circumferències C1 i C2
Exercici:
Radi C1= 18mm
Radi C2=32mm
R1+R2=R3

27. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.6. Circumferència C1 tangent a una recta r, i que passi per un punt P exterior,
coneixent-ne el radi r (dues solucions)
Exercici:
Radi C1= 25mm
P
r
r

28. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.7. Circumferència C2 (2 solucions) tangent a C1 que passi per un punt P
exterior, coneixent-ne el radi.
Exercici:
Radi C2= 35mm
Radi C1=25mm
P

29. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.8. Circumferència C1 tangent a dues rectes que es tallen, coneixent-ne el
radi
Exercici:
Radi C1=25mm
C1

30. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.9. Circumferència C2 tangent exterior a C1 coneixent-ne el punt T de
tangència i el radi
Exercici:
Radi C2= 35mm
Radi C1=20mm
C2
o2
R2
T
C1
R1
o1
SUMA RADIS
R1+R2=O2

31. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.10. Circumferència C3 tangent exterior a dues circumferències C1 i C2
coneixent-ne el radi (2 solucions).
Exercici:
Radi C3=25mm
Radi C1=20mm
Radi C2=35mm
R2+R3
R1+R3
C1
C2
SUMA RADIS
R1+R3=O3
R2+R3=O3

32. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.11. Circumferència C1 tangent a una recta, i que passi per un punt N
exterior, coneixent-ne el punt de tangència M
1. Per M és traça la perpendicular a la recta r
2. És traça la mediatriu del segment MN
3. El punt O és el centre de la circunferència C1

33. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.12. Circumferències tangents a les rectes r i s, i que passi per un punt M
sobre una de les rectes.
1. Per M es traça la perpendicular m a la recta s
2. Es tracen les bisectrius a i b de l’àngle que
formen les rectes r i s
3. Els punts O1 i O2 són els centres de les
circunferències

34. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.13. Circumferència C2 tangent a circumferència C1 coneixent-ne el punt T
de tangència i el radi (2 solucions).
SUMA RADIS
R1+R2=O2
RESTA RADIS
R1-R2=O2
C1
C2
C2
Exercici:
Radi C1=35mm
Radi C2=20mm

35. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.14. Circumferència C2 tangent a una recta r i a una circumferència C1
coneixent-ne el radi (2 solucions).
Exercici:
Radi C2=35mm
Radi C1=15mm
R
C2
C1
R
r’
R
r

36. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.15. Circumferències tangents a tres rectes r,s i t que es tallen 2 a 2.
Exercici:
Traça 3 rectes r,s i t
i troba les circumferències
tangents a les 3 rectes.

37. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.16. Circumferència tangent a una recta r que passi per un punt P exterior
donat i per el punt T donat.
Exercici:
Radi C1=15mm
C1
P
r
T

38. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.17. Circumferència tangent a dues rectes r i s coneixent-ne un dels punts de
tangència.
s
Exercici:
C1
r
T

39. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.18. Circumferència C2 tangent a C1 coneixent-ne el punt T de tangència i
que passa per un punt P exterior.
Exercici:
C1
m
P
C2
T

40. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.20. Circumferència C3 tangent a dues circumferències C1 i C2 coneixent el
punt T de tangència en una d’elles.
Exercici:
Radi C1= 35
Radi C2=15
C2
C1
R2
T
A
T
O3
m

41. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.21. Circumferència C2 tangent a circumferència C1 i a una recta r coneixent el
punt T de tangència amb la recta.
Exercici:
Radi C1= 30
(figura 34)
C2
C1
R
T
T
m

42. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.22. Circumferència C2 tangent a una recta r i a C1 coneixent el punt T de
tangència amb C1.
Exercici:
Radi C1= 30
(figura 35)
C1
tri
isec
b
T
C2
r
T2
u

43. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.23. Circumferència C2 tangent a dues rectes concurrents r i s i a una
circumferència C1 tangent a elles.
Exercici:
Radi C1= 25
(figura 36)
r
A’
C1
C2
A
O1
T
O2
bisectriu
B
B’
s
bisectriu

44. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.24. Circumferència C1 tangent a dues rectes que estallen r i s i a un arc de
circumferència que les talla i que té el centre en el vèrtex de l’angle que formen.
Exercici:
(figura 37)
triu
sec
bi
bis
ec
t
riu
r
T3
T1
C1
T2
s

45. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.24. Circumferència C4 tangent a tres circumferències C1, C2 i C3 de radi
igual.
Exercici:
Radi C1,C2,C3=15mm
(figura 38)
C2
T2
C3
C1
T1
O4
C4
T3

46. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.25. Circumferència C3 de radi conegut tangent interior a C1 i C2 de radis
donats (dos solucions)
Exercici:
Radi C1=20mm
Radi C2=35mm
Radi C3=70mm
C3
R3-R2
R3-R1
O3
Tangent interior:
R3-R2=O3
T4
C2
C1
T3
C’3
T1
T2
O’3

47. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
C.3. Construcció de tangències
C.3.26. Circumferència C3 de radi conegut tangent exterior a C1 de radi donat i
tangent interior a C2 de radi donat (dos solucions)
C3
Exercici:
Radi C1=20mm
R1+R3
Radi C2=35mm
O3
R3-R2
Radi C3=65mm
T4
Tangent exterior:
R1+R3=O3
Tangent interior:
R3-R2=O3
C2
T1
R2
T3
R1
C1
T2
O’3
C3

48. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
D- ENLLAÇOS
D.1. Definició
D.2. Traçat d’enllaços
Un enllaç és la unió entre dues o més rectes o corbes, de tal manera que sembli
una única línia contínua.
Els enllaços són aplicacions dels exercicis de tangències vistos anteriorment, ja
que són necessaris trobar els punts de tangència per unir els diferents elements
de manera harmònica.

49. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
D- ENLLAÇOS
D.2. Traçat d’enllaços
D.2.01. Donades dues rectes r i s paral.leles, enllaçar-les mitjançant arcs de radi
igual, coneixent els punts de tangencia T entre les rectes.
m
T1
r
O1
T2
s

50. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
D- ENLLAÇOS
D.2. Traçat d’enllaços
Enllaç de dues rectes perpendiculars amb arc de
radi conegut R.
2013/2014

51. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
D- ENLLAÇOS
D.2. Traçat d’enllaços
D.2.02. Traçat de tres circumferències C1, C2 i C3 tangents entre si coneixent-ne
els centres.
C1
C2
O1
O2
R
O3
C3

52. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
D- ENLLAÇOS
D.2. Traçat d’enllaços
D.2.03. Donada una recta r i una circunferència C1 enllaçar-les mitjançant un arc
conegut el punt T de tangència en la circunferència C1.
C1
T
r

53. 1r BATX C/T
2013/2014
CONTINGUTS:
D.2.04.Enllaçar punts no alineats amb arcs
de circunferència coneixent un dels radis
1. Tracem la mediatriu del segment AB i un
arc de centre el punt A i radi R.
Obtenim O1 com intersecció de les
anteriors. Amb centre O1 tracem arc AB
O5
F
O3
2. Tracem la mediatriu de BC que talla a la
recta O1B en el punt O2,es traça l’arc BC
C
3. Tracem mediatriu de CD que talla a la
recta O2C en el punt O3 , es traça arc CD i
així de manera succesiva
D
O2
O4
B
E
O1
A
R

54. 1r BATX C/T
CONTINGUTS:
E- EXERCICIS
Pàg 82-83 exercicis 1,2,3,4 i 5
Dossier 12 peces
2013/2014