Le disequazioni numeriche intere di 1° grado in 1 incognita
1. LE DISEQUAZIONI NUMERICHE INTERE
DI 1° GRADO IN UNA INCOGNITA
TEORIA IN BREVE
I simboli matematici che permettono di rappresentare una disuguaglianza sono
MAGGIORE MAGGIORE O UGUALE
MINORE MINORE O UGUALE
LE DISUGUAGLIANZE NUMERICHE
Proprietà delle disuguaglianze valide per tutti i numeri:
Monotonia dell’addizione:
Se un numero A è minore di un altro numero B allora addizionando un terzo numero K ad entrambi
mantengo la disuguaglianza:
BA KBKA
Per esempio: 94 6964 infatti 1510
Moltiplicazione per un numero positivo:
Se un numero A è minore di un altro numero B allora moltiplicando entrambi per un terzo numero K
positivo mantengo la disuguaglianza:
BA KBKA
Per esempio: 63 5653 infatti 3015
Moltiplicazione per un numero negativo:
Se un numero A è minore di un altro numero B allora moltiplicando entrambi per un terzo numero K
negativo cambia il verso della disuguaglianza:
BA KBKA
Per esempio: 72 2722 infatti 144
LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali per la quale si vuole stabilire quali
valori di una o più lettere rendono vera la disuguaglianza.
Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono l’insieme delle soluzioni della disequazione,
che può essere rappresentato in diversi modi.
ESEMPIO: L’insieme della disequazione x – 3 > 0 è x > 3 che può essere rappresentato da una semiretta:
Per risolvere le disequazioni useremo i principi di equivalenza e le conseguenze (principio del trasporto),
trasformando la disequazione data in disequazioni equivalenti via via più semplici.
Rispetto ai principi di equivalenza delle equazioni cambia solo il 2° principio, se si moltiplicano o dividono i
due membri per uno stesso numero NEGATIVO. In questo caso infatti bisogna cambiare il verso della
disuguaglianza.
ESEMPIO: 5 – x > 3 – x > 3 – 5 – x > – 2 e moltiplicando i due membri per –1 si ha: x < 2
2. ESERCIZI: Risolviamo le seguenti disequazioni numeriche intere:
253 x trasporto il – 5 al 2° membro (cambiandogli il segno!):
523 x risolvo i monomi simili
33 x applico il 2° principio di equivalenza dividendo i due membri per 3:
1x
1534 xx trasporto il – 3 al 2° membro ed il 5x al 1° (cambiandogli il segno!):
3154 xx risolvo i monomi simili
4 x moltiplico i due membri per – 1 (e cambio il verso della disuguaglianza):
4x
xx 72 trasporto il – 2 al 2° membro ed il 7x al 1° (cambiandogli il segno!):
27 xx risolvo i monomi simili
26 x divido i due membri per – 6 (e cambio il verso della disuguaglianza):
3
1
6
2
x
3
1
x
3215 xx risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:
6255 xx trasporto il – 5 al 2° membro ed il 2x al 1° (cambiandogli il segno!):
5625 xx risolvo i monomi simili
13 x divido i due membri per 3:
3
1
x
xxxxx 43224 risolvo le in modo da eliminare le parentesi tonde:
xxxxx 43284 risolvo le in modo da eliminare la parentesi quadra:
xxxxx 43284 trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1° :
83424 xxxxx risolvo i monomi simili
110 ho ottenuto una disuguaglianza numerica verificata sempre col < da tutti i numeri reali.
La disequazione risulta quindi INDETERMINATA.
3.
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
3
xxx risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:
4
1
2
1
2
2
2
4
3
2
3
1
1
xxx trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1°:
4
3
4
1
1
2
1
2
2
3
xxx moltiplico tutti i termini per il minimo comune denominatore 4
314286 xxx risolvo i monomi simili
20 poiché la disuguaglianza numerica ottenuta è falsa, la disequazione è IMPOSSIBILE.
2
1
3
2
3
2
2
1
10
3
xx
x
risolvo le moltiplicazioni in modo da eliminare le parentesi:
3
1
3
1
6
2
3
2
6
2
2
1
10
3
xx
x
moltiplico tutti i termini per il minimo comune denominatore 30
1020101593 xxx risolvo i monomi simili
10201918 xx trasporto i termini numerici al 2° membro ed i termini in x al 1°:
19102018 xx risolvo i monomi simili
92 x divido i due membri per – 2:
2
9
2
2
x
2
9
x .
2
3
1
3
1
3
1
4
13
9
4
2
xxx
x
x risolvo le parentesi tonde:
3
2
3
1
2
3
1
3
2
9
1
1
4
3
9
4 22
xxxxxxx risolvo la parentesi tonde:
3
2
3
1
2
3
1
3
2
9
1
4
3
4
3
9
4 22
xxxxxxx risolvo la parentesi quadra:
3
2
3
1
2
3
1
3
2
9
1
3
1
3
1
9
4 22
xxxxxxx moltiplico tutti i termini per il m.c.d. 9
631893619334 22
xxxxxxx trasporto:
136331896934 22
xxxxxxx risolvo i monomi simili
12 x divido i due membri per – 2 e cambio la disuguaglianza:
2
1
x